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高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结


平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作: AB 或 a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度) ,记作: | AB | 或 | a | 。 3.单位向量:长度为 1 的向量。若 e 是单位向量,则 | e |? 1 。 4.零向量:长度为 0 的向量。记作: 0 。 【 0 方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量) :方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。 AB ? ? BA 。 8.三角形法则: AB ? BC ? AC ; AB ? BC ? CD ? DE ? AE ; AB ? AC ? CB (指向被减数) 9.平行四边形法则: 以 a, b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为 a ? b , a ? b 。 10.共线定理: a ? ? b ? a / /b 。当 ? ? 0 时, a与b 同向;当 ? ? 0 时, a与b 反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若 a ? ( x, y) ,则 | a |? x 2 ? y 2 , a ?| a |2 , | a ? b |? (a ? b ) 2 13.数量积与夹角公式: a ? b ?| a | ? | b | cos? ; 2 cos ? ? a ?b | a |?| b | 14.平行与垂直: a / /b ? a ? ?b ? x1 y2 ? x2 y1 ; a ? b ? a ? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 题型 1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形 ABCD 是平行四边形的条件是 AB ? CD 。 (5)若 AB ? CD ,则 A、B、C、D 四点构成平行四边形。 (6)因为向量就是有向线段,所以数轴是向量。 (7)若 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线。 (8)若 ma ? mb ,则 a ? b 。 1 (9)若 ma ? na ,则 m ? n 。 (10)若 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都不是零向量。 (11)若 a ? b ?| a | ? | b | ,则 a / / b 。 (12)若 | a ? b |?| a ? b | ,则 a ? b 。 题型 2.向量的加减运算 1.设 a 表示“向东走 8km”, b 表示“向北走 6km”,则 | a ? b |? 2.化简 ( AB ? MB) ? (BO ? BC) ? OM ? 。 、 。 , AD ? 。 。 3.已知 | OA |? 5 , | OB |? 3 ,则 | AB | 的最大值和最小值分别为 4.已知 AC为AB与AD 的和向量,且 AC ? a, BD ? b ,则 AB ? 5.已知点 C 在线段 AB 上,且 AC ? 题型 3.向量的数乘运算 1.计算: (1) 3(a ? b) ? 2(a ? b) ? 3 AB ,则 AC ? 5 BC , AB ? BC 。 (2) 2(2a ? 5b ? 3c ) ? 3(?2a ? 3b ? 2c ) ? 1 2.已知 a ? (1, ?4), b ? (?3,8) ,则 3a ? b ? 。 2 题型 4.作图法球向量的和 1 3 已知向量

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