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重庆市重庆一中2013-2014学年高一数学上学期期末考试试题湘教版


秘密★启用前

2014 年重庆一中高 2016 级高一上期期末考试题 数 学 试 题 卷
2014.1 数学试题共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 一.选择题.(每小题 5 分,共 50 分) 1.已知集合 A ? ?0,1 ?, B ? ??1,0, a ? 3? ,且 A ? B ,则 a ? ( A. 1 B. 0 C. ?2 ) D. ?3

2.已知集合 A ? ?1, 2, m? 与集合 B ? ?4,7,13? ,若 f : x ? y ? 3x ? 1 是从 A 到 B 的映射, 则 m 的值为( A. 22 3. sin ) B. 8 ) C. 7 D. 4

29 ? ?( 6

A. ?

3 2

B. ?

1 2

C.

1 2


D.

3 2

4.在下列函数中,同时满足以下三个条件的是( (1)在 ? 0,

? ?? ? 上单调递减(2)最小正周期为 2? (3)是奇函数 ? 2?
B. y ? cos x C. y ? tan x ) D. m ? 1 D. y ? sin 2 x

A. y ? ? sin x

5.“使 lg m ? 1 ”成立的一个充分不必要条件是( A. m ? 0 B. m ??1,2?

C. 0 ? m ? 10 )

6.已知函数 f ? x ? ? x x ? 2x ,则下列结论正确的是( A. f ? x ? 是偶函数,单调递增区间是 ? 0, ??? B. f ? x ? 是偶函数,单调递减区间是 ? ??,1?

C. f ? x ? 是奇函数,单调递增区间是 ? ??,0? D. f ? x ? 是奇函数,单调递减区间是 ? ?1,1? 7. 已 知 函 数 y ? loga ? x ? 3? ?1(a ? 0且a ? 1) 的 图 象 恒 过 定 点 A , 若 点 A 也 在 函 数

f ( x) ? 3x ? b 的图象上,则 f ? log9 4? ? (
A. 8.

) D. 函

8 9


B.

7 9


C.

5 9

2 9


f(

?

? x)

? ?A s

?
2

i ?在x ? 个 周n 一

? A ?(

?
)得

)

x?

期内的图象如图所示,则 y ? f ( x) 的图象可由函数 y ? cos x 的图象(纵坐标不变)( 到。

? 单位 6 ? B.先把各点的横坐标缩短到原来的 倍,再向右平移 个单位 12 ? C.先把各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移 个单位 6 ? D.先把各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右平移 个单位 12
A.先把各点的横坐标缩短到原来的 倍,再向左平移 9.(原创)定义在 R 上的函数满足 f ? x ? 2? ? f ( x) ,且 x ??1,3? 时, f ? x ? ? cos 则下列大小关系正确的是( A. f ? tan1? ? f ( ) B. f ? cos

?
2

x,

1 ) tan1

? ?

5? 6

?? ? ? ? ? f ? cos ? 3? ? ?

C. f (sin 2) ? f ? cos 2?

D. f ? cos1? ? f ? sin1?

10.设函数 f ? x ? 为偶函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? ? ? ,又函数 g ? x ? ? x sin ? x ,则函 数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ( x) 在 ? ? A. 3 B. 4

?1? ?4?

x

? 1 ? , 2 上的零点的个数为( ? 2 ? ?
C. 5

)个。 D. 6

二.填空题.(每小题 5 分,共 25 分) 11.已知扇形的半径为 12,弧长为 18,则扇形圆心角为 12.幂函数 y ? x
1 3 ? p2 ? p ? 2 2

( p ? N ? ) 为偶函数,且在 ? 0, ??? 上单调递增,则实数 p ?

13.求值:

1 sin

?

?

3 cos

?

?

18

18

14.已知函数 f ? x ? ? log2 x ,正实数 m, n 满足 m ? n ,且 f ?m ? ? f ? n ? ,若 f ? x ? 在区间
2 ? ?m , n? ? 上的最大值为 2,则 n ?

15.若函数 f ? x ? 满足:在定义域 D 内存在实数 x0 ,使得 f ? x0 ?1? ? f ? x0 ? ? f ?1? 成立, 则称函数 f ? x ? 为“1 的饱和函数” 。给出下列四个函数:① f ? x ? ?

1 ;② f ? x ? ? 2x ; ③ x

f ? x ? ? lg ? x 2 ? 2 ? ;④ f ? x ? ? cos ? x 。其中是“1 的饱和函数”的所有函数的序号是
三.解答题.(共 6 小题,共 75 分) 16.(13 分)已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 P (3, y ) ,

4 3 (1)求 sin ? ? cos ? 的值; sin(? ? ? ) ? 2cos(? ? ? ) (2)求 的值。 3 3 sin( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) 2 2
且 tan ? ? ?

17.(13 分)已知函数 f ? x ? ?

x ?1 的定义域是集合 A, x?2

2 2 函数 f ? x ? ? lg ? ? x ? (2a ? 1) x ? a ? a ? ? 定义域是集合 B。

(1)求集合 A、B; (2)若 A B ? B ,求实数 a 的取值范围。

18.(13 分)已知 sin( A ? (1)求 cos A 的值;

?
4

)?

7 2 ?? ? ? , A?? , ? 10 ?4 2?
5 sin A sin x 的值域。 2

(2)求函数 f ? x ? ? cos 2 x ?

19.(12 分)(原创)已知函数 f ? x ? ?

2 sin ? x ? ? ? ?sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? )? ?

2 2

? 0 ? ? ? ? ? ,若 f ( x) ?

? ?? ? f ? ? x ? 对 x ? R 恒成立,且 f ( ) ? f (? ) 。 2 ?3 ?

(1)求 y ? f ? x ? 的解析式; (2)当 x ? ? ?

? ? ?? 时,求 y ? f ? x ? 的单调区间。 , ? 12 2 ? ?

20.(12 分)(原创)已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 4? ? f ? x ? ,当 x ? ?0, 4? 时,

f ? x? ? 2

x ?m

? n ,且 f ? 2? ? 6 。
x

(1)求 m, n 的值; (2)当 x ? ?0,4? 时,关于 x 的方程 f ? x ? ? a 2 ? 0 有解,求 a 的取值范围。

21.(12 分)已知函数 f ? x ? 的图象在 ? a, b? 上连续不断,定义:

f1 ? x ? ? min ? f ? t ? a ? t ? x? ? x ? ? a, b ?? , f 2 ? x ? ? max ? f ? t ? a ? t ? x? ? x ? ? a, b ?? 。
其中, min f ? x ? x ? D 表示函数 f ? x ? 在 D 上的最小值, max f ? x ? x ? D 表示函数

?

?

?

?

f ? x ? 在 D 上的最大值。若存在最小正整数 k ,使得 f2 ? x ? ? f1 ? x ? ? k ( x ? a) 对任意的
。 x ? ? a, b? 成立,则称函数 f ? x ? 为 ? a, b? 上的“ k 阶收缩函数” (1)若 f ? x ? ? cos x, x ??0, ? ? ,试写出 f1 ? x ? , f2 ? x ? 的表达式; (2)已知函数 f ? x ? ? x , x ?? ?1, 4? ,试判断 f ? x ? 是否为 ? ?1, 4? 上的“ k 阶收缩函数” ,
2

如果是,求出对应的 k ;如果不是,请说明理由; (3)已知函数 f ? x ? ? ? x ? 3x 在 ? 0, 2? 上单调递增,在 ?2, ??? 上单调递减,若
3 2

,求 b 的取值范围。 f ? x ? ? ?x3 ? 3x2 是 ?0, b? (b ? 0) 上的“ 2 阶收缩函数”

— — — — — — —线— — — — — — — — — — — —

2014 年重庆一中高 2016 级高一上期期末考试 数 学 答 题 卷 2014. 1 二.填空题.(每题 5 分,共 25 分) 题号 答案 三.解答题.(共 75 分) 16.(13 分) 11 12 13 14 15

考号

17.(13 分)

18.(13 分)

19.(12 分)

20.(12 分)

班次

— — — — — — — — — — — — 密—

21.(12 分)

2014 年重庆一中高 2016 级高一上期期末考试 数 学 试 题 答 案 2014.1 一.选择题.(每小题 5 分,共 50 分)

题号 答案

1 C

2 D

3 C

4 A

5 B

6 D

7 A

8 B

9 C

10 C

二.填空题.(每小题 5 分,共 25 分) 11.

3 2

12. 1

13. 4

14. 2

15. ②④

三.解答题.(共 75 分) 16.(13 分) 解:①因为 tan ? ?

y 4 ? ? ,所以 y ? ?4 ,则 r ? 5 。 3 3 4 3 1 ? sin ? ? ? , cos ? ? ,则 sin ? ? cos ? ? ? 5 5 5 4 ? ?2 sin ? ? 2 cos ? tan ? ? 2 ②原式 ? ? ? 3 ? ? cos ? ? sin ? ?1 ? tan ? ?1 ? 4 3

?

10 3 ? ?10 1 3

17.(13 分) 解: (1) A ? x x ? ?1或x ? 2 ,集合 B 中 x2 ? (2a ? 1) x ? a2 ? a ? 0 则 ? x ? a ? ? x ? (a ?1)? ? 0 ,? B ? x x ? a或x ? a ? 1 (2)由 A

?

?

?

?

?a ? ?1 B ? B ? A ? B ,? ? ? ?1 ? a ? 1 ?a ? 1 ? 2

18.(13 分) 解: (1)由 A ? ?

? ? ? 3? ?? ? ? , ? ,可知 A ? ? ? , 4 ?2 4 ?4 2?

? 2 ? ? ,则 cos( A ? ) ? ? 4 10 ?

? ? ? ? ? ? 2 2 7 2 2 3 cos A ? cos[( A ? ) ? ] ? cos( A ? ) cos ? sin( A ? )sin ? ? ? ? 4 4 4 4 4 4 10 2 10 2 5
(2) f ? x ? ? cos 2 x ?
2

5 5 4 sin A sin x ? 1 ? 2sin 2 x ? ? sin x ? ?2sin 2 x ? 2sin x ? 1 2 2 5

1? 3 ? 3? ? ? ?2 ? sin x ? ? ? ,由 sin x ???1,1? ,可知 f ? x ? ? ? ?3, ? 2? 2 ? 2? ?

19.(12 分) 解: (1) f ? x ? ?

2 cos ? x ? ? ? sin( x ? ? ) ? 2 sin 2 ( x ? ? ) ?

2 2

?

2 2 2 ? sin(2 x ? 2? ) ? ?1 ? cos(2 x ? 2? )? ? ? sin(2 x ? 2? ? ) 2 2 2 4

又由 f ( x) ? f ? 则 2?

? ?? ? ? x ? ,可知 x ? 为函数的对称轴 6 ?3 ?

k? 5? ? ,k ?Z , 6 4 2 2 24 5? 17? 或? ? 由 ? 0 ? ? ? ? ? ,可知 ? ? 24 24 ? 2? ? ? k? ? ,? ?
又由 f ( ) ? f (? ) ,可知 ? sin(2? ?

?

?

?

?

?

2 5? 17? 17? ? 或? ? 验证 ? ? ,则 ? ? ,所以 y ? f ? x ? ? ? sin(2 x ? ) 24 24 24 6
(2)当 x ? ? ?

) ? sin(2? ? ) ,则 sin(2? ? ) ? 0 4 4 4

?

?

? ? 7? ? ? ? ?? , ? , 2 x ? ? ?0, ? 6 ? 6 ? ? 12 2 ?
?
? ?? ? ? ?? ? ?0, ? ,即 x ? ? ? , ? 时, y ? f ? x ? 单减 6 ? 2? ? 12 6 ?

若 2x ?

若 2x ?

?

? ? 7? ? ?? ? ? ? ? , ? ,即 x ? ? , ? 时, y ? f ? x ? 单增 6 ?2 6 ? ?6 2?

20.(12 分) 解: (1)由已知 f ? 0? ? f ? 4? ,可得 2 ? n ? 2
m 4?m

? n ? m ? 4 ? m ,? m ? 2

又由 f ? 2? ? 6 可知 2 (2)方程即为 2
x ?2

2? 2

? n ? 6,?n ? 5

? 5 ? m ? 2x 在 ?0, 4? 有解。

2? x x 当 x ? ?0, 2? 时, 2 ? 5 ? m ? 2 ? m ?

?2 ?
? ?

4

x 2

?

5 ?1? ?1 ? ,令 ? ? ? t ? ? ,1? x 2 ?2? ?4 ?

x

则 m ? 4t ? 5t 在 ? ,1? 单增,? m ? ? ,9 ? 4 2
2

?1 ? ? ?
x?2

?3 ?

当 x ? ? 2, 4? 时, 2

1 1 ?1? ? 1 1? ? 5 ? m ? 2 ? m ? ? 5 ? x ,令 ? ? ? t ? ? , ? 4 2 ?2? ?16 4 ?
x

x

则m ?

1 ? 9 3? ? 5t ,? m ? ? , ? 4 ?16 2 ?

综上: m ? ?

?9 ? ,9 ?16 ? ?

21.(12 分) 解: (1)由题意得: f1 ? x ? ? cos x, x ??0, ? ? , f 2 ? x ? ? 1, x ??0, ? ?
2 ? ? ? x , x ? ? ?1, 0 ? ?1, x ? ? ?1,1? (2) f1 ? x ? ? ? , , f2 ? x ? ? ? 2 0, x ? 0, 4 x , x ? 1, 4 ? ? ? ? ? ? ? ?

?1 ? x 2 , x ? ? ?1, 0 ? , ? f 2 ? x ? ? f1 ? x ? ? ?1, x ? ?0,1? , ? 2 ? x , x ? ?1, 4? ,
当 x ?? ?1,0? 时, 1 ? x2 ? k ( x ? 1),?k ? 1 ? x, k ? 2 当 x ? ? 0,1? 时, 1 ? k ( x ? 1),? k ?
2

1 ,k ?1 x ?1

x2 16 ,k ? 当 x ??1, 4? 时, x ? k ( x ? 1),? k ? x ?1 5
综上所述: k ?

16 ? ,又 k ? N ,则 k ? 4 5
3 2

(3)ⅰ) b ? 2 时, f ? x ? 在 ?0, b? 上单调递增,因此, f2 ? x ? ? f ? x ? ? ?x ? 3x , ,所以, f1 ( x) ? f ? 0? ? 0 。因为 f ? x ? ? ?x3 ? 3x2 是 ?0, b? 上的“ 2 阶收缩函数” ① f2 ? x ? ? f1 ? x ? ? 2( x ? 0) 对 x ? ?0, b? 恒成立; ②存在 x ? ?0, b? ,使得 f2 ? x ? ? f1 ? x ? ? ( x ? 0) 成立。 ①即: ? x ? 3x ? 2 x 对 x ? ?0, b? 恒成立,由 ? x ? 3x ? 2 x ,解得:
3 2 3 2

0 ? x ? 1或x ? 2 ,要使 ? x3 ? 3x2 ? 2 x 对 x ??0, b? 恒成立,需且只需 0 ? b ? 1
2 2 ②即:存在 x ? ?0, b? ,使得 x x ? 3 x ? 1 ? 0 成立。由 x x ? 3 x ? 1 ? 0 得:

?

?

?

?

x ? 0或

3? 5 3? 5 3? 5 ?x? ,所以,需且只需 b ? 2 2 2 3? 5 ? b ?1 2

综合①②可得:

ⅱ) 2 ? b ? 3 时, f ? x ? 在 ? 0, 2? 上单调递增,在 ? 2, b? 上单调递减, 因此, f2 ? x ? ? f ? 2? ? 4, f1 ? x ? ? f ? 0? ? 0, f 2 ? x ? ? f1 ? x ? ? 4, x ? 0 ? x, 显然当 x ? 0 时, f2 ? x ? ? f1 ? x ? ? 2( x ? 0) 不成立。 ⅲ)当 b ? 3 时, f ? x ? 在 ? 0, 2? 上单调递增,在 ? 2, b? 上单调递减 因此, f2 ? x ? ? f ? 2? ? 4, f1 ? x ? ? f ?b ? ? 0, f 2 ? x ? ? f1 ? x ? ? 4 ? f ?b ? ? 4, x ? 0 ? x, 显然当 x ? 0 时, f2 ? x ? ? f1 ? x ? ? 2( x ? 0) 不成立。

综合ⅰ)ⅱ)ⅲ)可得:

3? 5 ? b ?1 2


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