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2014年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)――直线与圆的位置关系


2014 年高考数学一轮复习精品学案(人教版 A 版) 直线、圆的位置关系
一. 【课标要求】
1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标; 2.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离; 3.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系; 4.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题; 5.在平面解析几何初步的学习过程中,体会用代数方法处理几何问题的思想。

二. 【命题走向】
本讲考察重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关 系(特别是弦长问题) ,此类问题难度属于中等,一般以选择题的形式出现,有时在解析几 何中也会出现大题,多考察其几何图形的性质或方程知识. 预测 2014 年对本讲的考察是: (1)一个选择题或一个填空题,解答题多与其它知识联合考察; (2)热点问题是直线的位置关系、借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系,注 重此种思想方法的考察也会是一个命题的方向; (3)本讲的内容考察了学生的理解能力、逻辑思维能力、运算能力.

三. 【要点精讲】
1.直线 l1 与直线 l2 的的平行与垂直 (1)若 l1,l2 均存在斜率且不重合: ①l1//l2 ? k1=k2;②l1 ? l2 ? k1k2=-1。 (2)若 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, 若 A1、A2、B1、B2 都不为零。 ①l1//l2 ?

l 2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0

A1 B1 C1 ; ? ? A2 B2 C 2

②l1 ? l2 ? A1A2+B1B2=0; ③l1 与 l2 相交 ?

A1 B1 ; ? A2 B2 A1 B1 C1 ; ? ? A2 B2 C 2

④l1 与 l2 重合 ?

注意:若 A2 或 B2 中含有字母,应注意讨论字母=0 与 ? 0 的情况。两条直线的交点:两条 直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数. 距离
2.

(1)两点间距离:若 A(x1 , y1 ), B(x 2 , y 2 ) ,则 AB ?

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2

特别地: AB // x 轴,则 AB ? | x1 ? x2 | 、 AB // y 轴,则 AB ? | y1 ? y2 | 。 ( 2 ) 平 行 线 间 距 离 : 若 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0, l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,

则: d ?

C1 ? C 2 A 2 ? B2

。注意点:x,y 对应项系数应相等.

(3)点到直线的距离: P(x ? , y ? ), l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 P 到 l 的距离为:

d?

Ax? ? By ? ? C A 2 ? B2

3.直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种 (1)若 d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

, d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ;

(2) d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; (3) d ? r ? 相交 ? ? ? 0 。 还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组 ?

? Ax ? By ? C ? 0
2 2 ? x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

求解, 通过解

的个数来判断: (1)当方程组有 2 个公共解时(直线与圆有 2 个交点) ,直线与圆相交; (2)当方程组有且只有 1 个公共解时(直线与圆只有 1 个交点) ,直线与圆相切; (3)当方程组没有公共解时(直线与圆没有交点) ,直线与圆相离; 即:将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式为Δ ,圆心 C 到直线 l 的距离为 d,则直线与圆的位置关系满足以下关系: 相切 ? d=r ? Δ =0; 相交 ? d<r ? Δ >0; 相离 ? d>r ? Δ <0。 4.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d 。

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线; d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线;

外离

外切

相交 内切 内含 判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决.

四. 【典例解析】
题型 1:直线间的位置关系 例 1. (全国Ⅱ文 15)已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 5 和点 A(1,2) ,则过 A 且与圆 O 相切的直线 与两坐标轴围成的三角形的面积等于

1 (x-1), x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的 即 2 5 1 5 25 截距分别是 5 和 ,所以所求面积为 ? ? 5 ? 。 2 2 2 4 25 【答案】 4
【解析】由题意可直接求出切线方程为 y-2= ? 【总结点评】本题主要考查直线的方程、直线与圆的位置关系等知识,数形结合与分类讨论 的思想方法,以及定性地分析问题和解决问题的能力. (2)已知两条直线 l1 : ax ? 3 y ? 3 ? 0, l2 : 4x ? 6 y ?1 ? 0. 若 l1 // l2 ,则 a ? ___ 解析: (1)答案: _。

1 ; (2)2。 2

点评: (1)三点共线问题借助斜率来解决,只需保证 k AB ? k AC ; (2)对直线平行关系 的判断在一般式方程中注意系数为零的情况。 例 2.已知两条直线 y ? ax ? 2 和 y ? (a ? 2) x ? 1 互相垂直,则 a 等于( A.2 B.1 C.0 D. ?1 )

(2) (2007 安徽理,7) 若曲线 y ? x4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为( A. 4 x ? y ? 3 ? 0 B. x ? 4 y ? 5 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 )

D. x ? 4 y ? 3 ? 0

解析: 1) ( 答案为 D; 2) ( 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直的直线 l 为 4 x ? y ? m ? 0 , y ? x4 即 在某一点的导数为 4,而 y? ? 4 x3 ,所以 y ? x4 在(1,1)处导数为 4,此点的切线为

4 x ? y ? 3 ? 0 ,故选 A。
点评: 直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系, 同时兼顾到斜率为零和 不存在两种情况。 题型 2:距离问题 例 3. 将直线 2 x ? y ? ? ? 0 沿 x 轴向左平移 1 个单位, 所得直线与圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 相切,则实数 ? 的值为 ( ) (A)-3 或 7 (B)-2 或 8 (C)0 或 10 (D)1 或 11 【思路点拨】本题考查了平移公式、直线与圆的位置关系,只要正确理解平移公式和直线与 圆相切的充要条件就可解决. 【正确解答】由题意可知:直线 2 x ? y ? ? ? 0 沿 x 轴向左平移 1 个单位后的直线 l 为:

2( x ? 1) ? y ? ? ? 0 .已知圆的圆心为 O(?1, 2) ,半径为 5 .
解法 1:直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于圆的半径,因而有

| 2 ? (?1 ? 1) ? 2 ? ? | ? 5 ,得 ? ? ?3 或 7. 5
解法 2:设切点为 C ( x, y) ,则切点满足 2( x ? 1) ? y ? ? ? 0 ,即 y ? 2( x ? 1) ? ? ,代入圆 方程整理得: 5x ? (2 ? 4? ) x ? (? ? 4) ? 0 , (*)
2 2

由直线与圆相切可知, (*)方程只有一个解,因而有 ? ? 0 ,得 ? ? ?3 或 7. 解法 3:由直线与圆相切,可知 CO ? l ,因而斜率相乘得-1,即

y?2 ? 2 ? ?1 ,又因为 x ?1

C ( x, y) 在圆上,满足方程 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 ,解得切点为 (1,1) 或 (2,3) ,又 C (x, y) 在
直线 2( x ? 1) ? y ? ? ? 0 上,解得 ? ? ?3 或 7. (2) (湖北文 14)过原点 O 作圆 x2+y -6x-8y+20=0 的两条切线,设切点分别为 P、Q, 则线段 PQ 的长为 。 【解析】可得圆方程是 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 5 又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定
2 2
2-

理得 PQ ? 4 .

例 4。

(圆、向量与三角函数)

设 A、B 为圆 x 2 ? y 2 ? 1上两点,O 为坐标原点(A、O、B 不共线) (Ⅰ)求证: OA ? OB与OA ? OB 垂直. (Ⅱ)当 ?xOA ?

??? ??? ??? ??? ? ? ? ?

?

4 ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? 解: (Ⅰ)由 | OA |?| OB |? 1得 | OA |2 ?| OB |2 ? 1
则 OA ? OB ? 1

, ?xOB ? ? ,? ? (?

? ?

??? ??? 3 ? ? , ), 且OA? ? 时.求 sin ? 的值. OB 4 4 5

??? 2 ?

??? 2 ?

??? 2 ??? 2 ? ? OA ? OB ? 0

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? (OA ? OB)? OA ? OB) ? 0 (

则 OA ? OB与OA ? OB 垂直 (Ⅱ)由 ?xOA ?

??? ??? ??? ??? ? ? ? ?

?

??? ? ? ? 得OA ? (cos ,sin ) 4 4 4

又 ?xOB ? ? ?OB ? (cos? ,sin ? )

??? ?

OB ? 由 OA?

??? ??? ? ?

3 ? ? 3 得 cos cos ? ? sin sin ? ? 5 4 4 5 3 5

即 cos(

?
4

?? ) ?

??

?
4

?? ?

?
4

?0 ?

?
4

?? ?

?

? 4 ? sin( ? ? ) ? 2 4 5

? ? ? ? ?? ? ? ? sin ? ? sin ? ? ( ? ? ) ? ? sin cos( ? ? ) ? cos sin( ? ? ) 4 4 4 4 4 ?4 ?
=

2 3 2 4 2 ? ? ? ?? 2 5 2 5 10

点评:该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知 识,充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱 俗,能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.比较深 刻地考查了解析法的原理和应用,以及分类讨论的思想、方程的 思想。该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了

不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高,有较好的区分度. 题型 3:直线与圆的位置关系 例 5. (2009 江苏卷 18) (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1 : ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 4 和圆 C2 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 4 . (1)若直线 l 过点 A(4, 0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2 ,它们分别 与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试 求所有满足条件的点 P 的坐标. 解 (1)设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 4k ? 0 由垂径定理,得:圆心 C1 到直线 l 的距离 d ? 42 ? ( 结合点到直线距离公式,得:

| ?3k ? 1 ? 4k |

2 3 2 ) ? 1, 2

k 2 ?1 7 2 化简得: 24k ? 7k ? 0, k ? 0, or , k ? ? 24
求直线 l 的方程为: y ? 0 或 y ? ?

? 1,

7 ( x ? 4) ,即 y ? 0 或 7 x ? 24 y ? 28 ? 0 24

(2) 设点 P 坐标为 (m, n) ,直线 l1 、 l2 的方程分别为:

1 1 1 y ? n ? k ( x ? m), y ? n ? ? ( x ? m) ,即: kx ? y ? n ? km ? 0, ? x ? y ? n ? m ? 0 k k k
因为直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,两圆半径相等。 由垂径定理,得: :圆心 C1 到直线 l1 与 C2 直线 l2 的距离相等。

4 1 | ? ?5? n? m| k 故有: | ?3k ? 1 ? n ? km | ? k , 2 1 k ?1 ?1 k2
关于 k 的方程有无穷多解,有: ?

化简得: (2 ? m ? n)k ? m ? n ? 3, 或(m ? n ? 8)k ? m ? n ? 5

?2 ? m ? n ? 0 ?m-n+8=0 ,或 ? ?m ? n ? 3 ? 0 ?m+n-5=0

解之得:点 P 坐标为 (? 3 , 13 ) 或 ( 5 , ? 1 ) 。 2 2 2 2 例 6.已知圆 M: (x+cos?)2+(y-sin?)2=1,直线 l:y=kx,下面四个命题: (A) 对任意实数 k 与?,直线 l 和圆 M 相切; (B) 对任意实数 k 与?,直线 l 和圆 M 有公共点; (C) 对任意实数?,必存在实数 k,使得直线 l 与和圆 M 相切; (D)对任意实数 k,必存在实数?,使得直线 l 与和圆 M 相切. 其中真命题的代号是______________(写出所有真命题的代号) 解析:圆心坐标为(-cos?,sin?)

|-k cos ?-sin ? |
d=

1+k 2 =|sin ?+?)? 1 ( |



1+k 2 |sin ?+?) ( | 1+k 2

故选(B) (D)

点评:该题复合了三角参数的形式,考察了分类讨论的思想。 题型 4:直线与圆综合问题 例 7. (江西理 16) .设直线系 M : x cos ? ? ( y ? 2)sin ? ? 1 (0 ? ? ? 2? ) ,对于下列四个命 题: A . M 中所有直线均经过一个定点 B .存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上

C .对于任意整数 n(n ? 3) ,存在正 n 边形,其所有边均在 M 中的直线上
D . M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号) .

s ( 【 解 析 】 因 为 xc o ? ? y ?

2 ) ? i n 所 以 点 P( 0 , 2到 M 中 每 条 直 线 的 距 离 s? 1 )

d?

1 cos ? ? sin 2 ?
2

?1

即 M 为圆 C : x2 ? ( y ? 2)2 ? 1的全体切线组成的集合,从而 M 中存在两条平行直线, 所以 A 错误; 又因为 (0, 2) 点不存在任何直线上,所以 B 正确; 对任意 n ? 3 ,存在正 n 边形使其内切圆为圆 C ,故 C 正确; M 中边能组成两个大小不同的正三角形 ABC 和 AEF ,故 D 错误, 故命题中正确的序号是 B,C. 【答案】 B, C 例 8. (江西理 16) .设直线系 M : x cos ? ? ( y ? 2)sin ? ? 1 (0 ? ? ? 2? ) ,对于下列四个命 题: A . M 中所有直线均经过一个定点 B .存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上

C .对于任意整数 n(n ? 3) ,存在正 n 边形,其所有边均在 M 中的直线上
D . M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号) .

s ( 【 解 析 】 因 为 xc o ? ? y ?

2 ) ? i n 所 以 点 P( 0 , 2到 M 中 每 条 直 线 的 距 离 s? 1 )

d?

1 cos2 ? ? sin 2 ?
2

?1
2

即 M 为圆 C : x ? ( y ? 2) ? 1的全体切线组成的集合,从而 M 中存在两条平行直线, 所以 A 错误; 又因为 (0, 2) 点不存在任何直线上,所以 B 正确;

对任意 n ? 3 ,存在正 n 边形使其内切圆为圆 C ,故 C 正确; M 中边能组成两个大小不同的正三角形 ABC 和 AEF ,故 D 错误, 故命题中正确的序号是 B,C. 【答案】 B, C

例 9. (江西理 16) .设直线系 M : x cos ? ? ( y ? 2)sin ? ? 1 (0 ? ? ? 2? ) ,对于下列四个命 题: A . M 中所有直线均经过一个定点 B .存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上

C .对于任意整数 n(n ? 3) ,存在正 n 边形,其所有边均在 M 中的直线上
D . M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号) .

s ( 【 解 析 】 因 为 xc o ? ? y ?

2 ) ? i n 所 以 点 P( 0 , 2到 M 中 每 条 直 线 的 距 离 s? 1 )

d?

1 cos2 ? ? sin 2 ?

?1

即 M 为圆 C : x2 ? ( y ? 2)2 ? 1的全体切线组成的集合,从而 M 中存在两条平行直线, 所以 A 错误; 又因为 (0, 2) 点不存在任何直线上,所以 B 正确; 对任意 n ? 3 ,存在正 n 边形使其内切圆为圆 C ,故 C 正确; M 中边能组成两个大小不同的正三角形 ABC 和 AEF ,故 D 错误, 故命题中正确的序号是 B,C. 【答案】 B, C 例 10.已知函数 f(x)=x2-1(x≥1)的图像为 C1,曲线 C2 与 C1 关于直线 y=x 对称。 (1)求曲线 C2 的方程 y=g(x); (2)设函数 y=g(x)的定义域为 M,x1,x2∈M,且 x1≠x2,求证|g(x1)-g(x2)|<|x1-x2|; (3)设 A、B 为曲线 C2 上任意不同两点,证明直线 AB 与直线 y=x 必相交。 解析: (1)曲线 C1 和 C2 关于直线 y=x 对称,则 g(x)为 f(x)的反函数。 ∵y=x2-1,x2=y+1,又 x≥1,∴x=

y ? 1 ,则曲线 C2 的方程为 g(x)=
x1 ? x 2 x1 ? 1 ? x 2 ? 1

x ? 1 (x≥0)。

(2)设 x1,x2∈M,且 x1≠x2,则 x1-x2≠0。又 x1≥0, x2≥0, ∴|g(x1)-g(x2)|=|

x1 ? 1 - x2 ? 1 |=



x1 ? x 2 2

<|x1-x2|。

(3)设 A(x1,y1)、B(x2,y2)为曲线 C2 上任意不同两点,x1,x2∈M,且 x1≠x2, 由(2)知,|kAB|=|

y1 ? y 2 | g ( x1 ) ? g ( x2 ) | |= <1 x1 ? x2 | x1 ? x2 |

∴直线 AB 的斜率|kAB|≠1,又直线 y=x 的斜率为 1,∴直线 AB 与直线 y=x 必相交。 点评: 曲线对称问题应从方程与曲线的对应关系入手来处理, 最终转化为点的坐标之间 的对应关系. 题型 6:轨迹问题 例 11. 已知动圆过定点 ? 切,其中 p ? 0 。 (I)求动圆圆心 C 的轨迹的方程; (II)设 A、B 是轨迹 C 上异于原点 O 的两个不同点,直 线 OA 和 OB 的倾斜角分别为 ? 和 ? ,当 ? , ? 变化且

p ?p ? 且与直线 x ? ? 相 ,0 ? , 2 ?2 ?
y

B A M

N

o

x
?p ? F ? ,0 ? ?2 ?

? ? ? 为定值 ? (0 ? ? ? ? ) 时,证明直线 AB 恒过定点,
并求出该定点的坐标。 解析: (I)如图,设 M 为动圆圆心, ?

x??

p 2

?p ? ,0 ? 为记为 ?2 ?

F ,过点 M 作直线 x ? ?
点 F 与定直线 x ? ?

p 的垂线,垂足为 N ,由题意知: MF ? MN 即动点 M 到定 2

p 的距离相等,由抛物线的定义知,点 M 的轨迹为抛物线,其中 2

p ?p ? F ? ,0 ? 为焦点, x ? ? 为准线,所以轨迹方程为 y 2 ? 2 px(P ? 0) ; 2 ?2 ?
(II)如图,设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由题意得 x1 ? x2(否则 ? ? ? ? ? ) x1 , x2 ? 0 且 所以直线 AB 的斜率存在, 设其方程为 y ? kx ? b , 显然 x1 ?

y12 y2 x ? 将 , x2 ? 2 , y ?k b 与 2p 2p

y 2 ? 2 px(P ? 0) 联 立 消 去 x , 得 k 2 ? 2 y
y1 ? y2 ? 2p 2 pb , y1 ? y2 ? ① k k

p?y 2

p0 韦 达 定 理 知 ?由 b

(1)当 ? ?

?
2

时,即 ? ? ? ?

?
2

时, tan ? ? tan ? ? 1 所以

y1 y2 ? ? 1, x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , x1 x2

2 2 pb y12 y2 ? 4 p 2 所以。因此直线 AB 的方程可表示为 ? y1 y2 ? 0 所以 y1 y2 ? 4 p 2 由①知: 2 k 4p

y ? kx ? 2Pk ,即 k ( x ? 2P) ? y ? 0 ,所以直线 AB 恒过定点 ? ?2 p,0? 。

(2)当 ? ?

?
2

时,由 ? ? ? ? ? ,

得 tan ? ? tan(? ? ? ) =

tan ? ? tan ? 2 p( y1 ? y2 ) = , 1 ? tan ? tan ? y1 y2 ? 4 p 2
2p 2p ? 2 pk , ,所以 b ? tan ? b ? 2 pk

将①式代入上式整理化简可得: tan ? ?

此时,直线 AB 的方程可表示为 y ? kx ?

2p 2p ? ? ? 2 pk 即 k ( x ? 2 p) ? ? y ? ??0, tan ? tan ? ? ?

所以直线 AB 恒过定点 ? ?2 p,

? ?

2p ? ?。 tan ? ?

所以由(1) (2)知,当 ? ? 过定点 ? ?2 p,

?
2

时,直线 AB 恒过定点 ? ?2 p,0? ,当 ? ?

?
2

时直线 AB 恒

? ?

2p ? ?。 tan ? ?

点评:该题是圆与圆锥曲线交汇题目,考察了轨迹问题,属于难度较大的综合题目。 O 例 12. 如图, O1 与圆 O 2 的半径都是 1, 1O2 ? 4 . 圆 N PN 过动点 P 分别作圆 O 2 、 O 2 的切线 PM , ( M , 圆 分别为切点) ,使得 PM ? 2 PN . 试建立适当的坐标 系,并求动点 P 的轨迹方程. 解析:以 O1O 2 的中点 O 为原点, O1O 2 所在直线 为 x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则 O1 ( ?2, , O2 (2, 。 0) 0) 由已知 PM ? 2 PN ,得 PM 2 ? 2 PN 2 。
2 因为两圆半径均为 1,所以 PO12 ? 1 ? 2( PO2 ? 1) 。

y 设 P( x , ) ,则 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 ? 2[( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1] ,

即 ( x ? 6) 2 ? y 2 ? 33 (或 x 2 ? y 2 ? 12 x ? 3 ? 0 )。 点评:本小题主要考查求轨迹方程的方法及基本运算能力. 题型 7:课标创新题
2 2 例 13.已知实数 x、y 满足 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1 ,求 z ?

y ?1 的最 x

大值与最小值。 解析:

y ?1 2 2 表示过点 A(0,-1)和圆 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1 上 x

的动点(x,y)的直线的斜率。 如下图,当且仅当直线与圆相切时,直线的斜率分别取得最大值

和最小值. 设切线方程为 y ? kx ? 1 ,即 kx ? y ? 1 ? 0 ,则

| 2k ? 2 | k ?1
2

? 1 ,解得 k ?

4? 7 。 3

因此, z max ?

4? 7 4? 7 ,z min ? 3 3

点评:直线知识是解析几何的基础知识,灵活运用直线知识解题具有构思巧妙、直观性强等 特点,对启迪思维大有裨益。下面举例说明其在最值问题中的巧妙运用. 例 14.设双曲线 xy ? 1 的两支分别为 C1、C2 ,正三角形 PQR 的三顶点位于此双曲线 上。若 P ?1, ? 1 在 C2 上,Q、R 在 C1 上,求顶点 Q、R 的坐标.

?

?

分析:正三角形 PQR 中,有 PQ ? PR ? QR , 则以 P ?1, ? 1 为圆心,PR 为半 径的圆与双曲线交于 R、Q 两点。 根据两曲线方程可求出交点 Q、R 坐标. 解析:设以 P 为圆心, PR ? r (r ? 0) 为半径的圆的方程为: ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? r 2 ,
2 2

?

?

?? x ? 1?2 ? ? y ? 1?2 ? r 2 ? 2 2 由? 得: x ? 1 ? r ? 1 x ? 1 ? 0 。 ? xy ? 1 ?

?

?

( 其 中 , 可 令

t ? x?

1 进行换元解之) x

?x ? x ? r 2 ? 1 ? 1 ? 2 设 Q、R 两点的坐标分别为 x1,y1 , x2 ,y2 ,则 ? 1 。 ? x1 x2 ? 1 ?

?

? ?
2

?

? r ? 1 ? 1? ? 4 , 同理可得: ? y ? y ? ? ? r ? 1 ? 1? ? 4 , 且 因 为 △ PQR
即 ? x1 ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ?
2 2 2 2

2

2

1

2

是正三角形,则

PQ ? QR
2

2

? r2 ,
2 2

即 r ? ? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ? ? 2 ? ?
2

?

?

2 ? r 2 ? 1 ? 1 ? 4? ,得 r 2 ? 24 。 ?

?

代入方程 x 2 ? 1 ? r 2 ? 1 x ? 1 ? 0 ,即 x ? 4 x ? 1 ? 0 。
2

?

?

? x1 ? 2 ? 3 ? x2 ? 2 ? 3 ?x2 ? 4 x ? 1 ? 0 ? ? 由方程组 ? ,得: ? 或? , ? y1 ? 2 ? 3 ? y2 ? 2 ? 3 ? xy ? 1 ? ?
所以,所求 Q、R 的坐标分别为 2 ? 3,2 ? 3 , 2 ? 3,2 ? 3

?

? ?

?

点评:圆是最简单的二次曲线,它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用。对一 些数学问题,若能作一个辅助圆,可以沟通题设与结论之间的关系,从而使问题得解,起到 铺路搭桥的作用.

五. 【思维总结】
1.关于直线对称问题: (1)关于 l :Ax +By +C =0 对称问题:不论点,直线与曲线关于 l 对称问题总可 以转化为点关于 l 对称问题,因为对称是由平分与垂直两部分组成,如求 P(x0 ,y0)关于 l : +By +C =0 对称点 Q 1 , 1) 有 Ax (x y .

x ? x1 y ? y1 A y0 ? y1 =- (1) A· 0 与 +B· 0 2 2 B x0 ? x1

+C =0。 (2)解出 x1 与 y1 ;若求 C1 :曲线 f(x ,y)=0(包括直线)关于 l :Ax +By + C1 =0 对称的曲线 C2 ,由上面的(1)(2)中求出 x0 =g1(x1 ,y1)与 y0 =g2(x1 ,y1) 、 , 然后代入 C1 :f [g1(x1 ,y1) 2(x2 ,y2)]=0,就得到关于 l 对称的曲线 C2 方程:f [g1 ,g (x ,y) 2(x ,y)]=0。 ,g (3)若 l :Ax +By +C =0 中的 x ,y 项系数|A|=1,|B |=1.就可以用直接代入 解之, 尤其是选择填空题。 如曲线 C1 : 2 =4 x -2 关于 l : -y -4=0 对称的曲线 l2 的 y x 2 方程为:(x -4) =4(y +4)-2.即 y 用 x -4 代,x 用 y +4 代,这样就比较简单了. (4)解有关入射光线与反射光线问题就可以用对称问题来解决. 点与圆位置关系:P(x0 ,y0)和圆 C :(x -a) 2 +(y -b) 2 =r2。 ①点 P 在圆 C 外有(x0 -a) 2 +(y0 -b) 2 >r2; ②点 P 在圆上:(x0 -a) 2 +(y0 -b) 2 =r2; ③点 P 在圆内:(x0 -a) 2 +(y0 -b) 2 <r2 。 3.直线与圆的位置关系:l :f1(x ,y)=0.圆 C :f2(x ,y)=0 消 y 得 F(x2) =0。 (1)直线与圆相交:F(x ,y)=0 中? >0;或圆心到直线距离 d <r 。 直 线 与 圆 相 交 的 相 关 问 题 : ① 弦 长 |AB| =

1 ? k 2 · |x1 - x2| =
x1 ? x2 y1 ? y2 , ) ; 2 2

或|AB|=2 r 2 ? d 2 ; ②弦中点坐标 ( 1 ? k 2 · ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ,

③弦中点轨迹方程。 (2) 直线与圆相切:(x) F =0 中? =0, d =r . 或 其相关问题是切线方程. P 0 , 如 (x 2 2 2 2 y0)是圆 x +y =r 上的点,过 P 的切线方程为 x0x +y0y =r ,其二是圆外点 P(x0 , y0)向圆到两条切线的切线长为 ( x0 ? a) ? ( y0 ? b) ? r 或
2 2 2

x0 ? y0 ? r 2 ;其三是 P
2 2

(x0 ,y0)为圆 x2 +y2 =r2 外一点引两条切线,有两个切点 A ,B ,过 A ,B 的直线方 程为 x0x +y0y =r2 。

(3)直线与圆相离:F(x)=0 中? <0;或 d <r ;主要是圆上的点到直线距离 d 的 最大值与最小值, Q 为圆 C :(x -a) 2 +(y -b) 2 =r2 上任一点,|PQ|max =|PC|+r ; 设 |PQ|min =|PQ|-r ,是利用图形的几何意义而不是列出距离的解析式求最值. 4.圆与圆的位置关系:依平面几何的圆心距|O1O2|与两半径 r1 ,r2 的和差关系判定. (1)设⊙O1 圆心 O1 ,半径 r1 ,⊙O2 圆心 O2 ,半径 r2 则: ①当 r1 +r2 =|O1O2|时⊙O1 与⊙O2 外切;②当|r1 -r2|=|O1O2|时,两圆相切;③ 当|r1 -r2|<|O1O2|<r1 +r2 时两圆相交;④当|r1 -r2|>|O1O2|时两圆内含;⑤当 r1 +r2 <|O1O2|时两圆外离. (2)设⊙O1 :x2 +y2 +D1x +E1y +F1 =0,⊙O2 :x2 +y2 +D2x +E2y +F2 =0。 ①两圆相交 A 、B 两点,其公共弦所在直线方程为(D1 -D2)x +(E1 -E2)y +F1 -F2 =0; ②经过两圆的交点的圆系方程为 x2 +y2 +D1x +E1y +F1 +?(x2 +y2 +D2x +E2y +F2)=0(不包括⊙O2 方程).


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