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2014高考数学(人教A版)大一轮复习特训:第3章 三角函数、解三角形:第4讲 Word版含解析


第三章

第4讲

(时间:45 分钟 分值:100 分) 一、选择题 π 1. [2013· 聊城模拟]函数 y=cos(2x- )的部分图象可能是( 3 )

答案:D π π π 解析:∵y=cos(2x- ),∴当 2x- =0,即 x= 时,函数取得最大值 1,结合图象看, 3 3 6 π 可使函数在 x= 时取得最大值的只有 D. 6 π π 2π 2. [2013· 长春调研]函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0 且|φ|< )在区间[ , ]上单调递减,且函数值 2 6 3 从 1 减小到-1,那么此函数图象与 y 轴交点的纵坐标为( A. C. 1 2 3 2 B. D. 2 2 6+ 2 4 )

答案:A π 2π 解析:函数 y=sin(ωx+φ)的最大值为 1,最小值为-1,由该函数在区间[ , ]上单调递 6 3 2π π π 2π 2π 减,且函数值从 1 减小到-1,可知 - = 为半周期,则周期为 π,ω= = =2,此时原 3 6 2 T π π π 函数式为 y=sin(2x+φ),又由函数 y=sin(ωx+φ)的图象过点( ,1),代入可得 φ= ,因此函 6 6 π 1 数为 y=sin(2x+ ),令 x=0,可得 y= ,故选 A. 6 2 3. 如图是周期为 2π 的三角函数 y=f(x)的图象,那 f(x)可以写成( ) 么

A. f(x)=sin(1+x) B. f(x)=sin(-1-x) C. f(x)=sin(x-1) D. f(x)=sin(1-x) 答案:D 解析:设 y=sin(x+φ),点(1,0)为五点法作图的第三点,∴由 sin(1+φ)=0?1+φ=π,φ =π-1,∴y=sin(x+π-1)=sin(1-x). 4. [2013· 唐山模拟]函数 y=sin3x 的图象可以由函数 y=cos3x 的图象( π A. 向左平移 个单位得到 3 π C. 向左平移 个单位得到 6 答案:D π π 解析:∵sin3x=cos( -3x)=cos(3x- ) 2 2 π =cos[3(x- )]. 6 π ∴函数 y=cos3x 的图象向右平移 个单位即可得到函数 y=sin3x 的图象,故选 D. 6 π 5. [2012· 天津高考]将函数 f(x)=sinωx(其中 ω>0)的图象向右平移 个单位长度,所得图象 4 3π 经过点? 4 ,0?,则 ω 的最小值是( ? ? A. C. 1 3 5 3 ) B. 1 D. 2 π B. 向右平移 个单位得到 3 π D. 向右平移 个单位得到 6 )

答案:D π 3 π π 解析:∵y=sinω(x- )过点( π,0),∴sin ω=0,∴ ω=kπ,ω=2k,当 k=1 时,ω 最 4 4 2 2 小值为 2. 6. [2013· 佛山模拟]如图所示为函数 f(x)=2sin(ωx+ φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象,其中 A,B 两点之间的距离为 5,那么 f(-1)=( A. 2 C. - 3 答案:A 1 π 5π 解析:由图可知,f(0)=1,即 2sinφ=1,解得 sinφ= .又因为 0≤φ≤π,所以 φ= 或 . 2 6 6 ) B. 3

D. -2

5π 显然 φ 应在函数 f(x)的单调递减区间内,则 φ= .又 A,B 两点是函数图象上的最高点和最低 6 点,设 A(x1,2),B(x2,-2),由题意可知|AB|=5,即 ?x2-x1?2+?-2-2?2=5,解得|x2-x1|= T 2π 3.由图可知,A、B 两点横坐标之差的绝对值为最小正周期的一半,即|x2-x1|= ,而 T= , 2 ω π π π 5π π 5π π 故 =3,解得 ω= .所以 f(x)=2sin( x+ ),故 f(-1)=2sin(- + )=2sin =2,故选 A. ω 3 3 6 3 6 2 二、填空题 7. [2012· 大纲全国高考]当函数 y=sinx- 3cosx(0≤x<2π)取得最大值时,x=________. 5π 答案: 6 π 解析:由 y=sinx- 3cosx=2sin(x- ), 3 π π 5π π π 5π ∵0≤x<2π,∴x- ∈[- , ),当 x- = ,即 x= 时,函数取得最大值为 2. 3 3 3 3 2 6 π 8. [2013· 宝鸡检测]函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示,则 f(x) 2 =________.

π π 答案: 2sin( x+ ) 8 4 2π π 解析:依题意得,A= 2, =2×(6+2)=16,ω= , ω 8 π π π π π sin( ×2+φ)=1,又|φ|< ,因此 φ= ,f(x)= 2sin( x+ ). 8 2 4 8 4 π 4π 2π 9. [2013· 金版原创]将函数 y=sin(ωx+φ)( <φ<π)的图象, 仅向右平移 , 或仅向左平移 , 2 3 3 所得到的函数图象均关于原点对称,则 ω=________. 1 答案: 2 T 4π 2π 解析: 注意到函数的对称轴之间距离是函数周期的一半, 即有 = -(- )=2π, T=4π, 2 3 3 2π 1 即 =4π,ω= . ω 2 三、解答题 1 π 10. 已知函数 y=3sin( x- ). 2 4

(1)用五点法作出函数的图象; (2)说明此图象是由 y=sinx 的图象经过怎么样的变化得到的; (3)求此函数的振幅、周期和初相; (4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 解:(1)列表: x 1 π x- 2 4 1 π 3sin( x- ) 2 4 描点、连线,如图所示: π 2 0 0 3 π 2 π 2 3 5 π 2 π 0 7 π 2 3 π 2 -3 9 π 2 2π 0

(2)“先平移,后伸缩”. π π 先把 y=sinx 的图象上所有点向右平移 个单位,得到 y=sin(x- )的图象;再把 y=sin(x 4 4 π 1 π - )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到 y=sin( x- )的图象,最 4 2 4 1 π 1 后将 y=sin( x- )的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变), 就得到 y=3sin( 2 4 2 π x- )的图象. 4 2π 2π π (3)周期 T= = =4π,振幅 A=3,初相是- . ω 1 4 2 1 π π (4)令 x- = +kπ(k∈Z), 2 4 2 3 得 x=2kπ+ π(k∈Z),此为对称轴方程. 2 1 π π 令 x- =kπ(k∈Z),得 x= +2kπ(k∈Z). 2 4 2 π 对称中心为(2kπ+ ,0)(k∈Z). 2 11. [2013· 苏州模拟]已知函数 y=Asin(ωx+φ)+n 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期 π π π 为 ,直线 x= 是其图象的一条对称轴,若 A>0,ω>0,0<φ< ,求函数的解析式. 2 3 2
? ? ?A+n=4, ?A=2, 解:由题意可得? 解得? ?-A+n=0 ?n=2; ? ?

π 2π π π 又因为函数的最小正周期为 ,所以 ω= =4;由直线 x= 是一条对称轴可得 4× +φ 2 π 3 3 2 π =kπ+ (k∈Z), 2 5π π π π 故 φ=kπ- (k∈Z),又 0<φ< ,所以 φ= .综上可得 y=2sin(4x+ )+2. 6 2 6 6 π 12. [2013· 潍坊质检]函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ< )的部分图象如图所示. 2

(1)求 f(x)的解析式; π π π (2)设 g(x)=[f(x- )]2,求函数 g(x)在 x∈[- , ]上的最大值,并确定此时 x 的值. 12 6 3 T π 2π π 3 解:(1)由题图知 A=2, = ,则 =4× ,∴ω= . 4 3 ω 3 2 π 3 π π 又 f(- )=2sin[ ×(- )+φ]=2sin(- +φ)=0, 6 2 6 4 π π π π π ∴sin(φ- )=0,∵0<φ< ,∴- <φ- < , 4 2 4 4 4 π π ∴φ- =0,即 φ= , 4 4 3 π ∴f(x)的解析式为 f(x)=2sin( x+ ). 2 4 π 3 π π (2)由(1)可得 f(x- )=2sin[ (x- )+ ] 12 2 12 4 3 π =2sin( x+ ), 2 8 π 1-cos?3x+ ? 4 π 2 ∴g(x)=[f(x- )] =4× 12 2 π =2-2cos(3x+ ), 4 π π π π 5π ∵x∈[- , ],∴- ≤3x+ ≤ , 6 3 4 4 4 π π ∴当 3x+ =π,即 x= 时,g(x)max=4. 4 4


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