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2013高考风向标文科数学一轮课时知能训练:第3章 第8讲 函数模型及其应用


第8讲

函数模型及其应用

1.在一定范围内,某种产品的购买量 y 吨与单价 x 元之间满足一次函数关系.如果购 买 1 000 吨,每吨为 800 元;购买 2 000 吨,每吨为 700 元.一客户购买 400 吨,单价应该 是( ) A.820 元 B.840 元 C.860 元 D.880 元 2.用长度为 24 的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙 的长度为( ) A.3 B.4 C.6 D.12 3.(2011 届山东聊城调研)已知某驾驶员喝了 m 升酒后,血液中酒精的含量 f(x)(毫克/ x-2 ?0≤x≤1?, ?5 毫升)随时间 x(小时)变化的规律近似满足表达式 f(x)=?3 ?1?x ?5·3? ? ?

?

?x>1?,

《酒后

驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》 规定: 驾驶员血液中酒精含量不超过 0.02 毫克/毫升, 此驾驶员至少要过( )小时后才能开车(精确到 1 小时).( ) A.2 B.3 C.4 D.5 4.进货单价为 80 元的商品 400 个,按 90 元一个可以全部卖出,已知这种商品每涨价 1 元,其销售量就减少 20 个,问售价( )元时获得的利润最大?( ) A.85 B.90 C.95 D.100 5.某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y=3 000+20x-0.1x2,x ∈(0,240).若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最 低产量为______台. 6.(2010 年浙江)某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元,预测六月份销售额 为 500 万元,七月份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月 份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月至十月份销售总额至少达 7 000 万元,则 x 的最小值是______. 7.某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠,商场规定: ①如一次购物不超过 200 元,不予以折扣; ②如一次购物超过 200 元,但不超过 500 元,按标价予以九折优惠; ③如一次购物超过 500 元的, 其中 500 元给予九折优惠, 超过 500 元的给予八五折优惠; 某人两次去购物,分别付款 176 元和 432 元,如果他只去一次购买同样的商品,则应付款 ______元. 8.(2011 届海淀区统测)如图 K3-8-1(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所 得票价收入与付出成本的差)y 与乘客量 x 之间关系的图象. 由于目前该条公交线路亏损, 公 司有关人员提出了两种调整的建议,如图 K3-8-1(2)(3)所示.

图 K3-8-1 给出以下说法: (1)图(2)的建议是:提高成本,并提高票价;

(2)图(2)的建议是:降低成本,并保持票价不变; (3)图(3)的建议是:提高票价,并保持成本不变; (4)图(3)的建议是:提高票价,并降低成本. 其中所有说法正确的序号是________. 9.已知某企业原有员工 2 000 人,每人每年可为企业创利润 3.5 万元.为应对国际金融 危机给企业带来的不利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的策略,分流出一部分员 工待岗.为维护生产稳定,该企业决定待岗人数不超过原有员工的 5%,并且每年给每位待 岗员工发放生活补贴 0.5 万元.据评估,当待岗员工人数 x 不超过原有员工 1%时,留岗员 81 工每人每年可为企业多创利润?1-100x?万元;当待岗员工人数 x 超过原有员工 1%时,留岗 ? ? 员工每人每年可为企业多创利润 0.959 5 万元. 为使企业年利润最大, 应安排多少员工待岗?

10.(2011 年湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情 况下,大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上 的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/ 千米时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时)f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时).

第8讲

函数模型及其应用

1.C 2.A 3.C 4.C 5.150 6.20 7.541.8 8.(2)(3) 9.解:设重组后,该企业年利润为 y 万元. ∵2 000×1%=20,∴当 0<x≤20 且 x∈N 时, 81 y=(2 000-x)?3.5+1-100x?-0.5x ? ? 324? =-5?x+ x ?+9 000.81. ? ∵x≤2 000×5%. ∴x≤100,∴当 20<x≤100 且 x∈N 时, y=(2 000-x)(3.5+0.959 5)-0.5x =-4.959 5x+8 919. ?-5?x+324?+9 000.81?0<x≤20且x∈N?, ? x ? ∴y=? ?

?-4.959 5x+8 919?20<x≤100且x∈N?. ? 324 当 0<x≤20 时,有 y=-5?x+ x ?+9 000.81 ? ?

≤-5×2 324+9 000.81=8 820.81. 324 当且仅当 x= ,即 x=18 时取等号,此时 y 取得最大值. x 当 20<x≤100 时,函数 y=-4.959 5x+8 919 为减函数, ∴y<-4.959 5×20+8 919=8 819.81. 综上所述 x=18 时,y 有最大值 8820.81 万元. 即要使企业年利润最大,应安排 18 名员工待岗. 10.解:(1)由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60. 当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b,显然 v(x)=ax+b 在[20,200]是减函数,由已知得 1 a=- , ?200a+b=0, 3 ? ? 解得 200 ? ?20a+b=60, b= . 3

? ? ?

故函数 v(x)的表达式为 ?60?0≤x<20?, ? v(x)=?1 ?3?200-x??20≤x≤200?. ? (2)依题意并由(1)可得 ?0≤x<20?, ?60x ? f(x)=?1 ? ?3x?200-x? ?20≤x≤200?. 当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1 200. 当 20≤x≤200 时, 1 1 10 000 f(x)= x(200-x)=- (x-100)2+ , 3 3 3 10 000 所以,当 x=100 时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值 . 3 10 000 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 ≈3 333, 3 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/小时.


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