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【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:5.4 平面向量的数量积及运算律


§5.4

平面向量的数量积及运算律

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理
1.向量数量积的定义 (1)向量 a 与 b 的夹角 → → 已知两个非零向量,作OA=a,OB=b,则∠AOB 叫做向量 [0°,180°] a 与 b 的夹角.夹角的范围是______________. a⊥b 当 θ=90° 时,a 与 b 垂直,记作________; 当 θ=0° 时,a 与 b 同向; 当 θ=180° 时,a 与 b 反向.

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(2)a与b的数量积 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则把数量

|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积,记作a· b, |a||b|cos θ 即a· b=______________.
(3)规定零向量与任一向量的数量积为0. (4)a· b的几何意义 数量积a· b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ

的乘积.

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2.向量数量积的性质 设 a,b 都是非零向量,e 是与 b 方向相同的单位向量,θ 是 a 与 e 的夹角,则 |a|cos θ (1)e· a=a· e=_________. a· b=0 (2)a⊥b?__________. (3)当 a 与 b 同向时,a· b=|a||b|; 当 a 与 b 反向时,a· -|a||b| b=__________; 特别地,a· a=|a|2 或|a|= a2. a· b (4)cos θ= . |a||b| (5)|a· ≤ b|_____|a||b|.

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3.向量数量积的运算律 (1)a· b=b· a. a· (λb) (2)(λa)· b=λ(a· b)=_______. (3)(a+b)· c=a· c+b· c. 4.平面向量数量积的坐标表示 x1x2+y1y2 (1)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b=_____________. x2+y2 (2)设 a=(x,y),则|a|=___________. (3)若向量 a 的起点坐标和终点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), ?x2-x1?2+?y2-y1?2 则|a|=______________________.这就是两点间的距离公式. (4)设 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则 a⊥b?a· b=0?x1x2+y1y2=0.
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思考探究 1.向量的数量积是一个数量,它的符号是怎样确定的?

提示:由向量数量积的定义知:a· b=|a||b|· θ.当a,b为非零 cos
向量时,a· b的符号由夹角的余弦来确定.当0°≤θ<90°时, a· b>0;当90°<θ≤180°时,a· b<0;当a与b至少有一个为零 向量或θ=90°时,a· b=0. 2.向量a,b,c满足规律(a· b)c=a(b· c)? 提示:不满足,因为(a· b)c与c共线,而a(b· c)与a共线.一般情 况下,a与c不一定共线,所以(a· b)c与a(b· c)不一定相等.
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课前热身
1.(2012· 高考重庆卷)设 x,y∈R,向量 a=(x,1),b=(1,y), c=(2,-4)且 a⊥c,b∥c,则|a+b|=( ) A. 5 C.2 5 B. 10 D.10

解析:选 B.∵a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4), 由 a⊥c 得 a· c=0, 即 2x-4=0,∴x=2. 由 b∥c,得 1×(-4)-2y=0, ∴y=-2. ∴a=(2,1),b=(1,-2). ∴a+b=(3,-1),∴|a+b|= 32+?-1? 2= 10.

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3 2.已知|b|=3,a 在 b 方向上的投影是 ,则 a· 为( b 2 9 A.3 B. 2 C.2 1 D. 2

)

答案:B

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3.已知a+b=(2,-8),a-b=(-8,16),则a· b=______.

答案:-63
4.已知a=(3,2),b=(-1,2),(a+λb)⊥b,则实数λ= ________.
1 答案:- 5

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考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 平面向量数量积的运算

求两个向量的数量积,有两种方法:一是根据定义,确定两 个向量的长度以及两个向量的夹角, 代入定义式即可;二是 坐标形式,确定两个向量的坐标,然后代入坐标公式.

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例1

(1)已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=|b|=4,则

a· b=________;(a-2b)· (a+b)=________.
(2)若a=(3,-4),b=(2,1),则(a-2b)· (2a+3b)=

__________________________________________________;
b在a上的投影为________.

【思路分析】
b2,及a· b.

利用平面向量数量积的定义及运算律计算a2,

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【解析】

1 (1)a· b=|a||b|cos120° =4×4×(- )=-8. 2

(a-2b)· (a+b)=a2-a· b-2b2=16+8-32=-8. (2)法一:a-2b=(3,-4)-2(2,1)=(-1,-6), 2a+3b=2(3,-4)+3(2,1)=(12,-5), (a-2b)· (2a+3b)=(-1)×12+(-6)×(-5)=18. 法二:(a-2b)· (2a+3b)=2a2-a· b-6b2 =2[32+(-4)2]-[3×2+(-4)×1]-6(22+12)=18. ?2,1? 2 a· ?3,-4?· b b 在 a 上的投影|b|cos θ= = = . 5 5 |a| 2 【答案】 (1)-8 -8 (2)18 5
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【领悟归纳】

两个向量的数量积,若两个向量没给出具体

的坐标时,就依据运算律计算,若给出向量具体的坐标,可
求出具体坐标如(2)的法一,也可依据运算律如(2)的法二.

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考点 2

利用平面向量数量积解决夹角、长度问题

找两向量的夹角,在图形中必须使两向量共起点,可以结合解 三角形求角.注意向量夹角的范围:[0° ,180° ], 而|a|= a2= a· a.

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例2 (2011· 高考湖北卷)若向量 a=(1,2),b=(1,-1), 则 2a+b 与 a-b 的夹角等于( ) π π A.- B. 4 6
π C. 4 3π D. 4

【思路分析】

首先求出2a+b、a-b,借助公式求解.

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【解析】

2a+b=2(1,2)+(1,-1)=(3,3),

a-b=(1,2)-(1,-1)=(0,3), (2a+b)· (a-b)=9. |2a+b|=3 2,|a-b|=3. 9 2 π 设所求两向量夹角为 α,则 cos α= = ,∴α= . 4 3 2×3 2 【答案】 C

【思维总结】

求向量夹角要注意角的范围.

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跟踪训练
1 1 已知|a|=1,a· ,(a-b)· b= (a+b)= ,求: 2 2 (1)a 与 b 的夹角; (2)a 与(a+b)的夹角的余弦值.
1 解:(1)∵(a+b)· (a-b)=|a| -|b| = . 2 1 2 2 又∵|a|=1,∴|b|= |a| - = . 2 2
2 2

a· b 2 设 a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ= = = , |a||b| 2 2 1· 2 ∵0° ≤θ≤180° ,∴θ=45° .
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1 2

1 1 5 (2)(a+b) =a +2a· b+b =1+2× + = , 2 2 2
2 2 2

10 ∴|a+b|= , 2 1 3 又∵a· (a+b)=|a|2+a· b=1+ = , 2 2 a· ?a+b? 3 10 ∴cos〈a,a+b〉= = = . 10 |a||a+b| 10 2 3 2

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考点3

利用平面向量数量积解决垂直、平行问题

(1)两个向量平行的充要条件: a∥b?|a· b|=|a|· |b|?a· b=|a||b|或-|a||b|. (2)两个非零向量垂直的充要条件: 两非零向量垂直,则它们的数量积等于0. 上述两点的实质就是把位置关系的判定转化为代数运算.

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例3 已知平面向量 a=( 3,-1),b=(1, 3). 2 2
(1)证明:a⊥b; (2)若(a+2b)⊥(ka+b),求 k 的值.

【思路分析】

利用公式a· b=0?a⊥b.

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【解】

1 3 (1)证明:∵a· b= 3× -1× =0,∴a⊥b. 2 2

(2)(a+2b)· (ka+b)=k|a|2+2|b|2+(2k+1)a· b. |a|2=3+1=4.|b|2=1. 且由(1)知 a· b=0. ∴(a+2b)· (ka+b)=4k+2=0, 1 ∴k=- . 2 【思维总结】

在(2)中直接利用a· b=0,使化简简单,如果把

a与b的坐标代入(a+2b)· (ka+b)化简过程麻烦.
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方法感悟
方法技巧

1.向量的加、减、数乘与数量积的混合运算可以看成多项式
的运算,按多项式的运算法则进行.例如(λ1a+λ2b)· 1a+k2b) (k =λ1k1a2+(λ1k2+λ2k1)a· 2k2b2. b+λ 2.用坐标计算时,有时先化简再代入坐标简单,整体运用|a|2 及a· b的结果.

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失误防范
1.向量的数量积与数的乘法的区别 (1)两个向量的数量积是个数量,而不是向量. (2)当 a≠0 时,由 a· b=0 不能推出 b 一定是零向量.这是因为 对任一与 a 垂直的非零向量 b,都有 a· b=0. (3)a· b=b· c a=c. (4)对于实数 a、 有|ab|=|a|· 但对于向量 a、 有|a· b, |b|, b, b|≤|a|· |b|. 2. 当两向量的夹角 θ 为钝角时, -1<cos θ<0, 要注意 cos θ≠ -1,这一点特别容易忽略,因为 cos θ=-1 时,两向量反向, 所成角不是钝角.同样当 θ 为锐角时,0<cos θ<1.cos θ=1 时 θ 为 0,两向量同向.

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考向瞭望把脉高考
命题预测 向量作为数学工具正越来越被接受和应用,从近几年的高考

中,向量的数量积是必考内容,即单独考查,以选择题,填
空题的形式出现,又以解答题的形式与解析几何综合,具有 一定难度. 2012年的高考中,北京卷、上海卷、浙江卷、江苏卷结合几 何图形,考查数量积的计算,安徽卷是在向量差的模的条件

下,求数量积的最小值,湖南卷则是给定数量积求向量的模,
广东卷则是对向量赋于新意,在新定义下求a?b的值.
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预测2014年高考客观题以求模长、求夹角为重点,主观题中
注重与三角函数、解析几何、立体几何等综合,转化为坐标 运算为多.

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典例透析 例
(2012· 高考广东卷)对任意两个非零的平面向量 α 和 β,

α·β 定义 α?β= .若两个非零的平面向量 a,b 满足 a 与 b 的夹角 β·β

?π,π ?,且 a?b 和 b?a 都在集合? n?n∈Z?中, ? ? θ∈ 4 2 ? ? ? 2? ?
则 a?b=( 5 A. 2 ) 3 B. 2 C.1 1 D. 2

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a· |a|· b |b|cos θ |a| 【解析】 根据新定义得 a?b= = = cos θ, b· b |b|2 |b| b· |a|· a |b|cos θ |b| b?a= = = cos θ. a· a |a|2 |a| ? n? ? 又因为 a?b 和 b?a 都在集合? 2?n∈Z?中, ? ? n1 n2 设 a?b= ,b?a= (n1,n2∈Z), 2 2 n1n2 2 那么(a?b)· (b?a)=cos θ= ,所以 0<n1n2<2, 4 n1 1 所以 n1,n2 的值均为 1,故 a?b= = ,选 D. 2 2 【答案】 D

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【名师点评】 本题考查向量的数量积的定义、性质等知识, 考查综合分析问题的能力及运算求解能力,难度中等.

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知能演练轻松闯关

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