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湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2015届高三上学期期中考试数学(文)


湖北省武汉华中师范大学第一附属中学 2015 届高三上学期 期中考试数学(文)试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 M ? {1,2}, N ? {a2 } ,则“ a ? 1 ”是“ N ? M ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

2.等差数列 {an } 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 ,则 S15 的值为 A.250 B.260 C.350 D.360

3.已知圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? 0 .设该圆过点(-1,4)的最长弦和最短弦分别为

AC 和 BD ,则四边形 ABCD 的面积为
A.15 B.30 C.45 D.60 4.若 l 、 m 、 n 是互不相同的空间直线, ? 、 ? 是不重合的平面,则下列结论正确的是 A. ? // ? , l ? ? , n ? ? ? l // n C. l ? n, m ? n ? l // m B. ? ? ? , l ? ? ? l ? ? D. l ? ? , l // ? ? ? ? ?

5.已知向量 a ? (2,3) , b ? (?1,2) ,若 ma ? nb 与 a ? 2b 共线,则 A. ?

?

?

?

?

?

?

m 等于 n

1 2

B.

1 2

C. ? 2

D. 2

6. 偶函数 f ( x)( x ? R) 满足: f (?4) ? f (1) ? 0 , 且在区间[0, 3]与 [3, ??) 上分别递减和递增, 则不等式 xf ( x) ? 0 的解集为 A. (??, ?4) C. (??, ?4) 7.若 sin(

(4, ??) (?1,0)

B. (?4, ?1) D. (??, ?4)

(1, 4) (?1,0) (1,4)

?

6 7 A. ? 8

??) ?

1 2? ? 2? ) ? ,则 cos( 4 3 1 B. ? 4

C.

1 4

D.

7 8

第 1 页 共 8 页

9.若不等式 (?1) a ? 2 ?
n

A. [ ?2, )

3 2

(?1) n ?1 对于任意正整数 n 都成立,则实数 a 的取值范围是 n 3 3 3 ( ? 2, ) ( ? 3, ) B. C. [ ?3, ) D. 2 2 2

10.如图, A 地在高压线 l (不计高度)的东侧 0.50km 处, B 地在 A 地东北方向 1.00km 处, 公路沿线 PQ 上任意一点到 A 地与高压线 l 的距离相等. 现要在公路旁建一配电房向 A 、
B 两地降压供电(分别向两地进线) .经协商,架设低压

线路部分的费用由 A 、 B 两地用户分摊, 为了使分摊费
Q

用总和最小,配电房应距高压线 l A.1.21km C.0.75km B.0.50km D.0.96km
l P A

B

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡对应题号 的位 ....... 置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11.化简: lg 25 ? lg 2 lg 50 ? (lg 2) 2 = . . .

12.若 x, y ? R ,且 x ? 2 y ? 16 ,则 xy 的最大值为 13.已知五个实数 1, a, b, c,16 依次成等比数列,则 a ? b ? c =

?x ? 0 4 ? 14.若不等式组 ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 分为面积相等的两部分,则 3 ?3 x ? y ? 4 ?

k 的值是_________.
15.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( .

第 2 页 共 8 页

(第 15 题图) (第 16 题图) 16.把边长为 1 的正方形 ABCD 如图放置, A 、 D 别在 x 轴、 y 轴的非负半轴上滑动. (1)当 A 点与原点重合时, OB ? OC = (2) OB ? OC 的最大值是_________. 17.用 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,例如 [?2.5] ? ?3 ,[2.5] ? 2 ,设函数 f ( x) ? [ x[ x]] . (1) f (3.6) ? ; . ;

(2)若函数 f ( x) 的定义域是 [0,n) , n ? N ? ,则其值域中元素个数为

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin 2x ? 2 3cos2 x ? 3 ? a . (1)求函数 f ( x) 的单调递减区间; (2)设 x ?[0, ]时f ( x) 的最小值是 ?2 ,求 f ( x) 的最大值.

?

2

P 19. (本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P -ABCD 中, PA ? 底面ABCD , ABCD 是矩形, E 是棱 PD 的 中点, PA ? AD ? 4 , AB ? 3 . (1)证明 PB / /平面ACE ; (2)求直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值. B

E

A

D C

第 3 页 共 8 页

21. (本小题满分 14 分)已知椭圆的中心为原点,焦点在 x 轴上,离心率为

3 ,且经过点 2

M (4,1) , 直线 l : y ? x ? m 交椭圆于异于 M 的不同两点 A, B . 直线 MA、MB与x 轴 分
别交于点 E、 F . (1)求椭圆标准方程; (2)求 m 的取值范围; (3)证明 ?MEF 是等腰三角形.

22 . (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? a ln x ? bx(a, b ? R ) ,曲线 y ? f ? x? 在点

?1, f ?1?? 处的切线方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 .
(1)求 f ( x) 的解析式;

k ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围; x (3)设 n 是正整数,用 n! 表示前 n 个正整数的积,即 n!? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n .
(2)当 x ? 1 时, f ? x ? ? 求证: n!? e
n ( n ?1) 4



第 4 页 共 8 页

华中师大一附中 2014-2015 学年度上学期高三期中检测 数学(文科)试题参考答案

三、解答题 18.解析: (1) f ( x) ? sin 2 x ? 3(1 ? cos2 x) ? 3 ? a

? sin 2x ? 3 cos2 x ? a ? 2sin(2 x ? ) ? a , 3 ? ? 3? 5? 11? 令 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ,得 k? ? ? x ? k? ? ,k ?Z , 2 3 2 12 12 5? 11? ? f ( x) 的单调递减区间 [k? ? ??6 分 , k? ? ](k ? Z ) 12 12 3 ? ? ? ? 2? ? sin(2 x ? ) ? 1 (2) 0 ? x ? ,?? ? 2x ? ? ,? 2 3 2 3 3 3

?

? f ( x)min ? ? 3 ? a ; f ( x) max ? 2 ? a ,令 ? 3 ? a ? ?2, 得a ? 3 ? 2,
所以

f ( x) m a x? 2 ?

3? 2 = 3

??12 分 P E A D C

19.解析: (1)连 BD 交 AC 于 O ,连 EO 则 EO 是 ?PBD 的中位线,所以 PB / / EO , 因为 PB ? 平面ACE , EO ? 平面ACE , 所以PB / / 平面ACE . ???6 分 (2) 作BH ? AC于H,连PH 因为P A? 底面 A B C ,所以平面 D P? A平面 C ABCD 由两平面垂直的性质定理得, BH ? 平面PAC 所以 ?BPH 就是直线PB与平面PAC所成的角 , B

H O

12 BH 12 , 所以sin?BPH ? , ? 5 PB 25 12 即直线 PB和平面PAC 所成角的正弦值是 . 25
因为 PB ? 5, BH ? 20.解析: (1)当 n ? 2, n ? N 时: ?
*

???12 分

?4Tn ? 12Sn ? 13n , ?4Tn?1 ? 12Sn?1 ? 13(n ? 1) 13 5 ? ?3n ? , 两式相减得: 4bn ?12an ? 13 ,∴ bn ? 3an ? 4 4 17 5 又 b1 ? ? 也适合上式,∴数列 {bn} 的通项公式为 bn ? ?3n ? . 4 4
第 5 页 共 8 页

(也可直接求出 Tn ,再求 bn ) (2)由(1)得 cn ? ?3n ,

???7 分

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) cn cn?1 9n(n ? 1) 9 n n ? 1 1 1 1 ? ? ? 所以 c1c 2 c c cn cn ? 1 2 3 1 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? )] 9 2 2 3 n n ?1 1 1 n ? (1 ? )? 9 n ? 1 9(n ? 1)
于是 令

11 n ? ,得 n ? 99 9( n ? 1 ) 100
???13 分

所以 n 的最小值为 100 . 21.解析: (1)设椭圆的方程为

3 x2 y 2 ,所以 a 2 ? 4b2 , ? 2 ? 1, 因为 e ? 2 2 a b 16 1 又因为椭圆过点 M (4,1) ,所以 2 ? 2 ? 1 ,解得 b2 ? 5, a 2 ? 20 , a b 2 x y2 故椭圆标准方程为 ???4 分 ? ?1 20 5 x2 y 2 (2)将 y ? x ? m 代入 ? ? 1 并整理得 5x2 ? 8mx ? 4m2 ? 20 ? 0, 20 5
令 ? ? (8m)2 ?20(4m2 ? 20) ? 0 ,解得 ?5 ? m ? 5 . 又由题设知直线不过 M(4,1),所以 所以 m 的取值范围是

4 ? m ? 1, m ? ?3


, ???8 分

(?5,?3) ? (?3,5)

第 6 页 共 8 页

( y1 ? 1)( x2 ? 4) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 4) ? ( x1 ? m ? 1)( x2 ? 4) ? ( x2 ? m ? 1)( x1 ? 4)
= 2 x1 x2 ? (m ? 5)( x1 ? x2 ) ? 8(m ? 1)

?

2(4m 2 ? 20) 8m( m ? 5) ? ? 8(m ? 1) =0, 5 5

? k1 ? k2 ? 0 ,
所以 ?MEF 是等腰三角形. 22.解析(1)∵ f ? x ? ? a ln x ? bx , ∵直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的斜率为 ∴ f ?? x? ? ?????14 分

a ?b. x

1 1 ,且曲线 y ? f ? x ? 过点 (1, ? ) , 2 2

1 1 ? ? f ?1? ? ? , ?b ? ? , ? 1 ? ? 2 2 ∴? 即? 解得 a ? 1, b ? ? . 2 ? f ? ?1? ? 1 , ?a ? b ? 1 , ? ? ? 2 ? 2
所以 f ? x ? ? ln x ?

x 2

????4 分

(2)由(1)得当 x ? 1 时, f ? x ? ?

k x k ? 0 恒成立即 ln x ? ? ? 0 , x 2 x
第 7 页 共 8 页

等价于 k ?

x2 ? x ln x . 2

令 g ? x? ?

x2 ? x ln x ,则 g? ? x ? ? x ? ? ln x ?1? ? x ?1? ln x . 2
1 x ?1 ? . x x

令 h ? x ? ? x ?1 ? ln x ,则 h? ? x ? ? 1 ?

当 x ? 1 时, h? ? x ? ? 0 ,函数 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,故 h ? x ? ? h ?1? ? 0 .

从而,当 x ? 1 时, g? ? x ? ? 0 ,即函数 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增, 故 g ? x ? ? g ?1? ?

1 . 2 1 x2 ? x ln x 恒成立,则 k ? . 2 2 1 2
???11 分

因此,当 x ? 1 时, k ?

∴ k 的取值范围是 (??, ] . (3)由(2)知,当 x ? 1 时, f ? x ? ? 0 ( k ? 0 时) , 又 x ? 1 时 f ? x ? ? 0 也成立, 所以当

x , 于是 x ?1 2 1 2 3 n ln 1 ? , ln 2 ? , ln 3 ? , , ln n ? 2 2 2 ?? 2
时, ln x ?

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