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必修4第二章平面向量单元习题


平面向量 练习一 向量的线性运算( 向量的概念、向量的加法、减法、实数与向量的积)

一、 选择题 1.把平面内模长均为 4 的所有向量的起点移到同一点,则这些向量的终点构成的图 形是( ) B.射线 C.圆 D.无法确定 )

A.直线

2.命题 A: a ? b ,命题 B: a ? b ,则 A 是 B 成立的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件

D.不充分也不必要条件 ) D.矩形

3.四边形 ABCD 中, AB ? DC ,则四边形 ABCD 是( A.平行四边形 B.梯形 C.菱形

4.图 1 所示,D 是△ABC 的边 AB 上的中点,则向 A. ? BC ? BA
1 2 1 C. BC ? BA 2

量 CD ? (



B. ? BC ? BA D. BC ? BA )
1 2

1 2

2) b ? (2, 3) ,若向量 ? a ? b 与向量 c ? (?4, ? 7) 共线,则 ? ? ( 5. 向量 a ? (1,,

A. 1

B.-1

C.2
?

D.-2
?
? ?

6.已知平面向量 a =(3,1) , b =(x,–3) ,且 a ? b ,则 x= A. –3
??? ?





B. –1
??? ?
5 3

C. 1
??? ?
2 3

D . 3
????
????

7 在 △ ABC 中, AB ? c , AC ? b .若点 D 满足 BD ? 2DC ,则 AD ? ( A. b ? c
2 3 1 3


1 3 2 3

B. c ? b

2 3

C. b ? c

1 3

D. b ? c )

8.已知向量 a、b 满足:|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a+b|=( A.1 B. 2 C. 5
??? ?

D. 6
??? ?
??? ?

9. 在平行四边形 ABCD 中, AC 为一条对角线, 若 AB ? (2, 4) ,AC ? (1,3) ,则 BD ?(
1



A. (-2,-4)

B. (-3,-5)

C. (3,5)D. (2,4) ( )

10.在△ABC 中,∠C=90°, AB ? (k,1), AC ? (2,3),则 k 的值是 A.5 B.-5 C. 3
2

D. ? 3

2

11. 已知 O, A, B 是平面上的三个点, 直线 AB 上有一点 C, 满足 2 AC ? CB ? 0 , 则 OC ? ( )
??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

A. 2OA ? OB
?

B. ?OA ? 2OB
?

??? ?

??? ?

C. OA ? OB )
?

? 1 ??? ? 2 ??? 3 3

D. ? OA ? OB

? 1 ??? 3

? 2 ??? 3

12.平面向量 a , b 共线的充要条件是( A. a , b 方向相同 C. ?? ? R , b ? ? a
? ?

?

?

B. a , b 两向量中至少有一个为零向量 D. 存在不全为零的实数 ?1 , ?2 , ?1 a ? ?2 b ? 0 )
? ? ?

?

13.已知向量 a, b 且 AB ? a ? 2b, BC ? ?5a ? 6b , CD ? 7a ? 2b ,则一定共线的三点是( (A)A、D、B (B)A、B、C (C)B、C、D (D)A、C、D

二、 填空题 14.与向量 a (?3,4) 同方向的单位向量是__________,反方向的单位向 量是_________. 15.(1)如图 1,某人从 A 到 B,再从 B 按原方向到 C,则两次的位移之和为_____. (2)如图 2,飞机从 A 到 B,再改变方向从 B 到 C,则两次位移和为________. (3)如图 3,船的速度是 AB ,水流的速度是 BC ,则两个速度的和是_______. A B C A B A 16.在四边形 ABCD 中, CB ? AD ? BA ? _____________. 17.在平行四边形 ABCD 中, AB ? a, AD ? b, AN ? 3NC ,M 为 BC 的中点,则 ???? ? ?? MN ? ___________________.(用 a、 b 表示) 18.已知 O 为△ABC 的外心,以线段 OA、OB 为邻边作平行四边形,第四个顶点为 D, 再以 OC、OD 为邻边作平行四边形,它的第四个顶点为 H,若 OA = a , OB = b , OC = c , 则 OH =________.
2

C

B

C

??? ?

? ??? ?

? ????

????

19.△ABC 中, BC ? a , CA ? b ,则 AB =______. 20.设 e1 、 e 2 是两个不共线向量,而 e1 ? 4e2 和 k e1 ? e2 共线,则实数 k=_______. 21.已知向量 OA ? (k ,12), OB ? (4,5), OC ? (?k,10) ,且 A、B、C 三点共线,则 k=____. 22.已知平面向量 a ? (2, 4) , b ? (?1, 2) .若 c ? a ? (a ? b )b ,则 | c |? _____________. 23.已知向量 a ? (?2,2),b ? (5, k ).若 | a ? b | 不超过 5,则 k 的取值范围是 三、解答题 24.一艘船从 A 点出发以 2 3km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时喝水的流速 为 2km / h ,求船实际航行的速度的大小与方向。 25.如图: OA , OB 不共线, P 点在 AB 上. 求证:存在实数 ?.?且? ? ? ? 1 使 OP ? ?OA ? ?OB
O P B A

??? ?

??? ?

??? ?

?

?

?

?

? ? ?

?

26.如果向量 AB ? i ? 2 j, BC ? i ? mj, 其中i, j分别是x轴, y 正方向上的单位向量,试确定实 数 m 的值使 A、B、C 三点共线。27.已知 A(4,0).B(4,4).C(2,6).求AC与OB的交点坐标P( x, y) 28.如图,以原点和 A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB,使?B = 90?,求点 B 和向量
AB 的坐标。

29.在△ABC 中, AB =(2, 3), AC =(1, k),且△ABC 的一个内角为直角,求 k 值。 练习一 向量的加法、减法、实数与向量的积参考答案

一、选择题 1 .C 8 .D 2 .B 9.B 3 .A 10.D 4.A 11.A 5.C 12.D 6.C 13.A 7.A

二、填空题
3 4? ?3 4? 14. ? ? ? , ? , ? ,? ? ? 5 5? ?5 5?

15.(1) AC , (2) AC ,(3) AC 20. ? 21. ?
3

16. CD 22. 8 2

17. ? a ? b 23. [-6,

1 4

1 4

18. a + b + c

19. - a - b

1 4

2 3

2] 三、解答题 24. 解:设 AD 表示船垂直于对岸的速度, AB 表示水流的速度, 以 AD,AB 为邻边作平行四边形 ABCD,则 AC 就是船实际航 行的速度 在 Rt ?ABC 中, | AB |? 2 , | BC |? 2 3 所以 | AC |? | AB | 2 ? | BC | 2 ? 4 因为 tan?CAB ?
2 3 ? 3 ? ?CBA ? 60? 2

25.证明:∵P 点在 AB 上, ∴ AP 与 AB 共线 ∴存在实数 ? ,使得 AP ? ? AB ∴ OP ? OA ? AP ? OA ? ? AB = OA ? ?(OB ? OA) ? OA ? ?OB ? tOA
? (1 ? ?)OA ? ?OB

令 1 ? ? ? ?,则 存在实数 ?.?且? ? ? ? 1 使 OP ? ?OA ? ?OB 26. 解法一、利用 AB ? ? BC 可得 i ? 2 j ? ?(i ? m j) 于是 ?
? ? ?1 得 m ? ?2 ??m ? ?2

解法二、易得 AB ? (1,?2).BC ? (1, m),由AB、BC共线得m ? 2 ? 0得m ? ?2 故当 m ? ?2 时,三点共线
? OP与OB共线,又OP ? ( x, y),OB ? (4,4) 27. 解? P在OB上,

? 4x-4y=0? x=y

同理, AP与AC共线,由AP ? ( x ? 4, y), AC ? (?2,6)得 (x-4)6+2y=0
4

解得 x ? 3, y ? 3.P点的坐标为( 3, 3) 当平行四边形为 ABCD 时, 得 D1=(2, 2)当平行四边形为 ACDB 时, 得 D2=(4, 6)当平行四边形为 DACB 时, 得 D3=(?6, 0) 28. 解:设 B 点坐标(x, y),则 OB = (x, y), AB = (x?5, y?2) ∵ OB ? AB ∴x(x?5) + y(y?2) = 0 即:x2 + y2 ?5x ? 2y = 0 ∴x2 + y2 = (x?5)2 + (y?2)2 即:10x + 4y = 29

又∵| OB | = | AB |

? 7 3 ? ? x1 ? 2 ?x 2 ? y 2 ? 5x ? 2 y ? 0 ? ? x2 ? 2 ?? 或 由? 3 ? 7 ?10x ? 4 y ? 29 ? y1 ? ? ? y2 ? ? 2 ? 2 ?

∴B 点坐标 ( ,? ) 或 ( , ) ; AB = (? ,? ) 或 (? , ) 29. 解:当 A = 90?时, AB ? AC = 0,∴2×1 +3×k = 0 ∴k = ?
3 2

7 2

3 2

3 7 2 2

3 2

7 2

7 3 2 2

当 B = 90?时, AB ? BC = 0, BC = AC ? AB = (1?2, k?3) = (?1, k?3) ∴2×(?1) +3×(k?3) = 0 ∴k =
11 3

当 C = 90?时, AC ? BC = 0,∴?1 + k(k?3) = 0

∴k =

3 ? 13 2

5

6

练习二

向量的分解与向量的坐标运算、向量的数量积与运算律

三、 选择题 1. 已知 a、 b 是非零向量且满足(a-2b) ⊥a, (b-2a) ⊥b, 则 a 与 b 的夹角是 (
2? 5? D. 3 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2.若向量 a与b 的夹角为 60 , | b |? 4,(a ? 2b).(a ? 3b) ? ?72 ,则向量 a 的模为



A.

? 6

B.

? 3

C.

( )



A.2

B.4

C.6

D.12

3.已知 a、b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么|a+3b|= ( A. 7 B. 10 C. 13 D.4

4 .直角坐标平面上三点 A(1, 2)、B(3, ?2)、C(9,7) ,若 E、F 为线段 BC 的三等分点,则
??? ? ??? ? AE ? AF =(

) C.2
? ? ?

A.22
?

B.12
?

D.32
? ?

5.若 | a |? 1,| b |? 2, c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为( (A)30°
? ? ?

?

?

)

(B)60°
? ?
? ?

(C)120°
? ?

(D)150° )

6.若 | a |? 1,| b |? 2, c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为( (A)30° (B)60° (C)120°
5 2

(D)150° )

7.已知向量 a ? (1,2), b(?2,?4), | c |? 5 , 若(a ? b) ? c ? , 则a与c的夹角为 ( A.30° B.60° C.120° D.150°
7

8. 点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点, 满足 OA? OB ? OB ? OC ? OC ? OA , 则点 O 是 ?ABC 的( ) (B)三条边的垂直平分线的交点 (D)三条高的交点 )

(A)三个内角的角平分线的交点 (C)三条中线的交点

9.P 是△ABC 所在平面上一点,若 PA? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则 P 是△ABC 的( A.外心 B.内心
?2 2? ?2 2?

C.重心

D.垂心 ( )

7 1? ?1 7? 10.与向量 a= ? ? , ?, b ? ? , ? 的夹角相等,且模为 1 的向量是 4 3? (A) ? ? ,? ? ? 5 5? ? 2 2 1? (C ) ? ? 3 ,? 3? ? ? 4 3? ? 4 3? (B) ? ? ,? ? 或?? , ?

? 5 5? ? 5 5? ? 2 2 1? ? 2 2 1? (D) ? 或? ? 3 ,? 3? ?? 3 , 3? ? ? ? ?

11.如图,已知正六边形 PP 1 2P 3P 4P 5P 6 ,下列向量的数量积中最大的是( ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? (A) PP (B) PP 1 2 , PP 1 3 1 2 , PP 1 4 ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? (C) PP (D) PP 1 2 , PP 1 5 1 2 , PP 1 6



12.已知向量 a ? ? 3,1? , b 是不平行于 x 轴的单位向量,且 a ? b ? 3 ,则 b = (
? 3 1? ? A. ? ? 2 ,2? ? ? ?1 3? ? B. ? ? , ? ?2 2 ? ?1 3 3? ? C. ? ? , ? ?4 4 ?



D. ?1,0?

二、填空题 13.?ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H,OH ? m(OA ? OB ? OC) ,则 实数 m = 14.直角坐标平面 xoy 中,若定点 A(1,2) 与动点 P( x, y) 满足 OP ? OA ? 4 ,则点 P 的轨迹 方程是______________. 15.在 ?ABC 中,O 为中线 AM 上一个动点,若 AM=2,则 OA ? (OB ? OC) 的最小值是 __________.
8

16.设向量 a 与 b 的夹角为 ? ,且 a ? (3,3) , 2b ? a ? (?1,1) ,则 cos ? ? _____________. 三、解答题 17.已知: a ? 2, b ? 3, a与b的夹角为 1200 , 求(1)a ? b .(2) a ? b . 18.已知:向量 a、 b不共线,且2a ? b ? a ? 2b , 求证: (a ? b) ? (a ? b)
cos 2 x) , b ? (1 ? sin 2 x, · b ,其中向量 a ? (m, 19.设函数 f ( x) ? a 1) , x ? R ,且 y ?
2 2

?

?

?

?

?

f ( x) 的图象经

? 过点 ? 2? . ? , π ?4 ?

(Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的最小值及此时 x 值的集合. 20. 已知 x ? R ,向量 OA ? (a cos2 x,1), OB ? (2, 3a sin 2x ? a) , f ( x) ? OA ? OB , a ? 0 . (Ⅰ)求函数 f ( x) 解析式,并求当 a>0 时, f ( x) 的单调递增区间;
? (Ⅱ)当 x ? [0, ] 时, f ( x) 的最大值为 5,求 a 的值.
2
??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

π π 21.已知向量 a=(sinθ ,1),b=(1,cosθ ),- <θ < . 2 2 (1)若 a⊥b,求 θ ; (2)求|a+b|的最大值.

9

10

练习二

向量的数量积与运算律参考答案

一、选择题 1.B 2.C 3.C 4.A 5.C 6.C 7.C 8.B 9.D 10.B 11.A 12.B

二、填空题 13,1 三、解答题 17. 解: (1) a ? b ? a ? b ? 4 ? 9 ? ?5 (2) a ? b ? (a ? b) 2 ? a ? 2ab ? b ? a ? 2 a b cos? ? b ? 7 18. 解:? 2a ? b ? a ? 2b ,?(2a ? b) 2 ? (a ? 2b) 2
? 4a ? 4ab ? b ? a ? 4ab ? 4b ,? a ? b
2 2 2 2 2 2 2

14. x+2y-4=0

15.-2

16.

3 10 10

2

2

2

2

2

2

2

2

? (a ? b) ? (a ? b) ? a ? b ? 0, 又a与b不共线, a ? b ? 0, a ? b ? 0

?(a ? b) ? (a ? b)
b ? m(1 ? sin 2 x) ? cos 2 x , 19. 解: (Ⅰ) f ( x) ? a?

π? π? π ? 由已知 f ? ? ? ? m ?1 ? sin ? ? cos ? 2 ,得 m ? 1 . 4 2 2 ? ? ? ? π? (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin ? ? 2x ? ? , ? 4? π? ? ? 当 sin ? 2 x ? ? ? ?1时, f ( x) 的最小值为 1 ? 2 , 4? ?
11

? 3π ? π? 由 sin ? ? 2 x ? ? ? ?1,得 x 值的集合为 ? x x ? kπ ? ,k ? Z? .
? 4?

?

8

?

20.解:(Ⅰ) f ( x) ? 2a cos2 x ? 3a sin 2x ? a ? 3a sin 2x ? a cos 2x ? 2a sin(2 x ? ) . 当 a ? 0 时,由 2k? ?
k? ?

?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

6

,得

?
3

? x ? k? ?

?
6

? ?? ?k ? Z ? ,故单调增区间为 ? ?k? ? , k? ? ? ?k ? Z ?
? 3 6?

? ? ? ? 7? (Ⅱ) f ( x) ? 2a sin(2 x ? ) ,当 x ? [0, ] 时, 2 x ? ? [ , ] .
6

2

6

6

6

若 a ? 0 ,则 2 x ?
?

?

6 2 7? 若 a ? 0,当2 x ? ? 时, f ( x) 的最大值为 ? a ? 5 ,则 a ? ?5 . 6 6

?

?

时, f ( x) 最大值为 2a ? 5 ,则 a ? .

5 2

21. 解: (1)若 a⊥b,则 sinθ +cosθ =0, π π π 由此得 tanθ =-1(- <θ < ),所以 θ =- ; 2 2 4 (2)由 a=(sinθ ,1),b=(1,cosθ )得 |a+b|= (sinθ +1)2+(1+cosθ )2= 3+2(sinθ +cosθ ) π = 3+2 2sin(θ + ), 4 π π 当 sin(θ + )=1 时, |a+b|取得最大值, 即当 θ = 时, |a+b|最大值为 2 4 4 +1.

12

练习三

向量在几何与物理中的应用

一、选择题 1.经过点 P(3,-5)且平行于向量 a ? ?1,2? 的直线方程为( A. 2 x ? y ? 11 ? 0 B. 2 x ? y ? 11 ? 0 C. 2 x ? y ? 11 ? 0 )

D. 2 x ? y ? 11 ? 0 ) D. 3x ? 4 y ? 1 ? 0 ②

2.过点 ?3,2? ,垂直于向量 n ? ?3,?4? 的直线的方程是( A. 3x ? 4 y ? 1 ? 0 B. 3x ? 4 y ? 1 ? 0 C. 3x ? 4 y ? 1 ? 0

3. 已知直线 l :Ax ? By ? C ? 0 , 向量 n ? ?? B, A? , 向量 v ? ?A, B? , 有下列说法: ① l // v
l // n

③l ? v B.3 个

④l ? n C.4 个

⑤ n?v

⑥ n // v ,其中正确的有(



A .2 个

D .6 个

4.已知平行四边形 ABCD 中,E、F 在对角线 BD 上,并且 BE ? FD, 有以下说法: A F E B C ② AE ? CF ③ AF ? EC ④ AB ? CD ⑤ AD ? BC D

①四边形 AECF 为平行四边形 ⑥ OE ? ?OF 则正确的有( A .2 个 )

B.3 个

C.4 个

D .6 个
13

5. 已知向量 OF1 = ?2,2? , 则 F1 ? F2 的大小为 ( OF2 = ?? 2,3? 分别表示两个力 F1 , F2 , A. 17 B. 2 2 ? 13 C.5 D. ?0,5?



6.如图,两条绳子提一个重物,每条绳子用力 5N,这时两条强子的夹角为 600 ,则 物体的重量 G 等于( 5N 60 0 5N )

G

A.5N

B.5 2 N

C.

5 3 N 2

D. 5 3 N )

7.如图,一物体从 A 运动到 B,则物体的位移是( A B

A.AB

B. AB

C. BA
??? ? ??? ?

D.BA
??? ? ????
????

8.在 △ ABC 中, AB ? c , AC ? b .若点 D 满足 BD ? 2DC ,则 AD ? ( A. b ? c
2 3 1 3



1 1 2 D. b ? c 3 3 3 ??? ? ??? ? ??? ? 9.在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,若 AB ? (2, 4) ,AC ? (1,3) ,则 BD ?(

B. c ? b

5 3

2 3

C. b ? c

2 3



A.

(-2,-4)

B. (-3,-5) C. (3,5)

D. (2,4)
???? ??? ? ??? ?
??? ? ??? ?

10. 设 D、 E、 F 分别是△ABC 的三边 BC、 CA、 AB 上的点, 且 DC ? 2BD, CE ? 2EA, AF ? 2FB, 则 AD ? BE ? CF 与 BC ( A.反向平行 不垂直 11. △ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,若 c ? 2,b ? 6,B ? 120? ,则 a 等于
14

??? ?

???? ??? ? ??? ?

??? ?

) B.同向平行 C.互相垂直 D. 既不平行也

( A. 6

) B.2 C. 3 D. 2

12.在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点, AE 的延长线与
CD 交于点 F

.若 AC ? a , BD ? b ,则 AF ? ( B. a ? b
2 3 1 3

??? ?

??? ?

??? ?


1 4

A. a ? b

1 4

1 2

C. a ? b

1 2

D. a ? b
??? ? ??? ? ??? ?

1 3

2 3

13.已知 O,A,B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足 2 AC ? CB ? 0 ,则 OC ? ( )
??? ? ??? ?

A. 2OA ? OB

B. ?OA ? 2OB

??? ?

??? ?

C. OA ? OB

? 1 ??? ? 2 ??? 3 3

D. ? OA ? OB

? 1 ??? 3

? 2 ??? 3

14 .已知 O 是 △ ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,且 2OA ? OB ? OC ? 0 ,那么 ( A
????


????

A. AO ? OD

B. AO ? 2OD

????

????

C. AO ? 3OD

????

????

D. 2 AO ? OD )

????

????

15.在直角 ?ABC 中, CD 是斜边 AB 上的高,则下列等式不成立的是( (A) AC ? AC ? AB (B) BC ? BA ? BC
??? ? 2 ???? ??? ? (C) AB ? AC ? CD ??? ?2 ??? ? ??? ?

??? ?2

??? ? ??? ?

???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ( AC ? AB) ? ( BA ? BC ) (D) CD ? ??? ?2 AB
? ?

16.直角坐标系 xOy 中, i ,j 分别是与 x,y 轴正方向同向的单位向量.在直角三角形
ABC

中,若 AB ? 2 i ? j , AC ? 3 i ? k j ,则 k 的可能值个数是( A.1 B.2 C.3
???? ??? ? ??? ? ? 1 ??? 3

?

?

?

?

) D.4
??? ?

CD ? CA ? ? CB ,则 ? ? ( 17.在 △ ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD ? 2 DB,



A.

2 3

B.

1 3

C. ?

1 3

D. ?

2 3

二、填空题 18.直角坐标平面上三点 A(1, 2)、B(3, ?2)、C(9,7) ,若 E、F 为线段 BC 的三等分点,则
??? ? ??? ? AE ? AF =



15

19. 已知 a, b, c 为△ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, 向量 m = ( 3,?1 ) , (cosA,sinA) . n= 若 m ⊥ n ,且 acosB+bcosA=csinC,则角 B= .

20.在 △ ABC 中, AB ? 2 , AC ? 3 , D 是边 BC 的中点,则 AD ? BC =______. 21.在四面体 O ? ABC 中, OA ? a , OB ? b , OC ? c , D 为 BC 的中点, E 为 AD 的中点, 则 OE ? 三、解答题 22.若 A,B,C,D 是数轴上的三点,求证: AB ? BC ? CD ? DA ? 0 。 23. 已知 A (-1, 0) , B (1, 0) , 点 C 在直线 2 x ? 3 ? 0 上, 且 2CA ? CB ? AC ? AB ? BA ? BC , 求 cos CA,CB 。 24.已知向量 m = ?sin B, 1 ? cos B? , 向量 n = (2,0) ,且 m 与 n 所成角为 ,其中 A、 B、C 是 ?ABC 的内角。 (1) 求角 B 的大小; (2) 求 sin A ? sin C 的取值范围。
?? 25.已知向量 a ? ?tan x,1? , b ? ?sin x, cos x?,其中 x ? ? ?0, ? , f ?x ? = a ? b .
? 3?

??? ?

(用 a,b,c 表示) .

? 3

(Ⅰ)求函数 f ?x ? 的解析式及最大值;
? ? ? (Ⅱ)若 f ?x ? = ,求 2sin ? ? ? x ? ? cos ? ? x ? ? 1 的值.
5 4

?

?

?4

?

?4

?

26.已知△ ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、C (c,0) . (1)若 c ? 5 ,求 sin∠ A 的值; (2)若∠ A 是钝角,求 c 的取值范围. 27.在 △ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, tan C ? 3 7 . (1)求 cos C ; (2)若 CB ? CA ? ,且 a ? b ? 9 ,求 c .
16

5 2

练习三

向量在几何与物理中的应用参考答案

一、选择题 1.A 14.A 2.A 15.C 3.B 4.B 5.C 6.D 7.B 8.A 9.B 10.A 11.D 12.B 13.A

16.B 17.A

二、填空题 18.22 三、解答题 22. 证 明 : 设 A?a, b?, B?c, d ?, C?e, f ?, D?g, h? , 则
AB ? ?c ? a, d ? b? , BC ? ?e ? c, f ? d ? ,
π 19. 6 5 20. 2 1 1 1 a? b? c 21. 2 4 4 22.23.24.25.26.27.

CD ? ?g ? e, h ? f ?, DA ? ?a ? g, h ? b? ,故 AB ? BC ? CD ? DA ? 0
? 23.解:设点 C ?a, b ? ,则 2a ? 3 ? 0 , a ? ,故点 C 的坐标为 ? ? ,b? 则
3 2

3 ?2

?

17

?5 ? ? 1 ? AC ? ? , b ? , AB ? ?2,0?, CB ? ? ? , b ? , ? 2 ? ?2 ?

故 AC ? AB ? 5

CA ? CB ?

5 3 2 7 ? b 2 , BA ? BC ? ?1 ,所以 b 2 = ,故 cos CA,CB = 4 4 7

24.解: (1)? m = ?sin B, 1 ? cos B? ,且与向量 n = (2,0)所成角为 ,
?
1 ? cos B ? 3 sin B

? 3 sin A ? cos B ? 1? sin( B ?

?

? 3

又? 0 ? B ? ?

?

?

6

? B?

?
6

?

(2)由(1)知, B ?
? sin A ? sin C = sin A ? sin( ? 0? A? ? sin(

2? ? ,? A+C= 3 3

7? 6

?B?

?
6

?

5? 6

6 2? ?B? 3

)?

1 2

?

? 1 3 ? A) = sin A ? cos A = sin( ? A) 3 3 2 2

?
3

, ?

?
3

? A?

?
3

?

2? 3

?

? 3 ? ? 3 ? ? A) ? ? ,1? ,? sin A ? sin C ? ? ? ? 2 ,1? 3 ? 2 ? ? ?

25.解: (Ⅰ)∵ a ? ? tan x,1? ,b ? ?sin x, cos x ? , ∴ f ?x ? = a ? b= tan x ? sin x ? cos x ?
1 cos x

? ? ?? ? x ? ?0, ? ,∴当 x ? 时, f ?x ? 的最大值为 3 ? 3?

1 ?? ? f ? ?= ?2 ? ?3? cos 3

(Ⅱ)∵ f ?x ? = ,∴ ∵ x?? ?0,
?

5 4

1 5 4 ? ,则 cos x ? . cos x 4 5

??

3 ,∴ sin x ? ? 5 3?

24 ?? ?? ? ?? ? ?? ? ? 2sin ? ? x ? ? cos ? ? x ? ? 1 = 2cos2 ? ? x ? ? 1 ? cos ? 2 x ? ? ? ? sin 2 x =—2 sin x cos x =25 2? ?4 ? ?4 ? ?4 ? ?

26. 解:(1)

??? ? ???? AB ? (?3, ?4) , AC ? (c ? 3, ?4)

???? 当c=5时, AC ? (2, ?4)

???? ??? ? ?6 ? 16 1 cos ?A ? cos ? AC, AB ?? ? 5? 2 5 5

进而

sin ?A ? 1 ? cos 2 ?A ?

2 5 5

(2)若A为钝角,则 AB﹒AC= -3(c-3)+( -4)2<0
25

解得c> 3
18

25 显然此时有AB和AC不共线,故当A为钝角时,c的取值范围为[ 3 ,+ ? ) sin C ? ?3 7 27.解: (1)? tan C ? 3 7, cos C 1 又?sin 2 C ? cos2 C ? 1 解得 cos C ? ? . 8 1 ? tan C ? 0 ,? C 是锐角. ? cos C ? . 8 5 5 (2) CB ? CA ? , ? ab cos C ? , ? ab ? 20 . 2 2

又? a ? b ? 9

? a2 ? 2ab ? b2 ? 81 .

? a 2 ? b2 ? 41.

?c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 36 . ? c ? 6 .

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