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2015年重庆一中高2017级高二(上)期中考试 理科数学


秘密★启用前

2015 年重庆一中高 2017 级高二上期半期考试

数 学 试 题 卷(理科)

2015.12

数学试题共 4 页,共 22 个小题。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦 干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:(本大题共12个小题,每小题5分,共60分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的;各题答案必须答在答题卡上相应的位置. 1. 直线 3x ? 2 y ? 6 ? 0 的横、纵截距之和等于( A . ?1 B. 1 ) C. 4 ) D.内切 D. 32 3? D. 5

2.圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 ( A.外离 B.外切 3.已知球 O 的表面积为 12? ,则球 O 的体积为( A. 2 3? B. 4 3? C. 相交 ) C. 12 3?

4.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 、 F2 ,点 P 在椭圆上,若 PF1 ? 6 ,则 ?F1 PF2 的大小为( 49 24
0



A. 150

B. 135
2

0

C. 120

0

D. 90

0

5.已知 f ? x ? ? x ? x ? 1,命题 p : ?x ? R, f ? x ? ? 0 ,则( A. p 是真命题, ?p : ?x0 ? R, f ? x0 ? ? 0 C. p 是假命题, ?p : ?x0 ? R, f ? x0 ? ? 0
2 2



B. p 是真命题, ?p : ?x0 ? R, f ? x0 ? ? 0 D. p 是假命题, ?p : ?x0 ? R, f ? x0 ? ? 0

6.已知直线 l 与双曲线 x ? y ? 1 交于 A、B 两点,若线段 AB 的中点为 C ? 2,1? ,则直线 l 的斜率为 ( ) A. ? 2 B. 1 C. 2 ) D. 3

7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是(

A. 18 ? 9 3

B. 18 ? 9 2

C. 9 ? 18 2

D. 9+18 3

8.下列说法正确的个数有(

)个.

(1)若 ? , ? 垂直于同一平面,则 ? 与 ? 平行; (2)“如果平面 ? ? 平面? ,那么平面 ? 内一定存在直线平行于平面 ? ”的逆否命题为真命题; (3)“若 m ? 2 ,则方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线”的否命题为真命题; m ?1 2 ? m

(4)“ a ? 1 ”是“直线 l1 : ax ? 2 y ? 0 与直线 l2 : x ? (a ? 1) y ? 4 ? 0 平行”的充分不必要条件 . A.1 B.2 C.3 D.4

9.(原创)已知 a ? R ,直线 l1 : x ? 2 y ? a ? 2 和直线 l 2 : 2 x ? y ? 2 a ? 1 分别与圆 E :

? x ? a?

2

? ? y ? 1? ? 4 相交于 A、C 和 B、D ,则四边形 ABCD 的面积为(
2



A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

10.(原创)正项数列 ?an ? 满足:a1 ? 1, a2 ? 2, 项的和 S2015 ? ( A. 4026

1 1 1 ? ? ? 1( n ? N * ),则前 2015 an an ?1 an an ? 2 an ?1an ? 2

) B. 4027
0

C. 4028

D. 4029

11.(原创)四面体 ABCD 中, ?CBD ? 90 , AB ? 面BCD ,点 E 、 F 分别为 BC 、 CD 的中点, 过点 E 、 F 和四面体 ABCD 的外接球球心 O 的平面将四面体 ABCD 分成两部分,则较小部分的体 积与四面体 ABCD 的体积之比为( ) A.

1 8

B.

3 16

C.

1 4

D.

27 64

12. (原创)已知点 O 为坐标原点, F 为椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的左焦点,点 P 、 Q 在椭圆上,点 P 、 3

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? Q 、 R 满足 OF ? PQ ? 0, QR ? 2PQ ? 0 ,则 3 PF ? OR 的最大值为 (
A. 6 B. 3 1+ 2+ 3

) D. 3 ? 3 3

?

?

C. 3 ? 3 2

第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)各题答案必须填写在答题卡相应的位置上. 13.在 ?ABC 中,若 AB ? 1, AC ? 4, A ? 1200 , 则 ?ABC 的面积等于 .

14.正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 2 , AA1 ? 1 , 点 E 是 B1C1 的中点,则异面直线 AC1 与 BE 所成角的大小为 .

15.(原创)点 F 为双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0) 的右焦点,以 F 为圆心的圆过坐标原点 O , a 2 b2

且与双曲线 C 的两渐近线分别交于 A 、 B 两点,若四边形 OAFB 是菱形,则双曲线 C 的离心率 为 . 16. (原创) 设 F 为抛物线 C : y 2 ? ?12 x 的焦点, 过抛物线 C 外一点 A 作抛物线 C 的切线, 切点为 B . 若 ?AFB ? 90 ,则点 A 的轨迹方程为
0

.

三、解答题 :(本大题6个小题,其中17题10分,其余每题12分,共70分)各题解答必须答在答题卡上相 应题 目指定的方框内(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程). 17. 在等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 21, a9 ? 17 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? 2
an

? an (n ? N * ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n .

18. 如图,在直三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中, AB ? AC , AB ? AC ? 2 , AA 1 ? 4 ,点 D 是 BC 的中点. (1)求证: A1 B∥面 ADC1 ; (2)求直线 B1C1 与平面 ADC1 所成角的余弦值.

19.(原创)已知 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 b, c cos A, acos C 成等差数列.

c2 ? a2 (1)求 的值; b2
(2)若 c ? 5, tan A ?

1 ,求边 a 的长. 2

20. (原创) 如图,已知四边形 ABCD 满足 AD∥ BC , AB ? AD ? CD ?

1 BC ? 2 ,E 是 BC 的中点, 2

将 ?BAE 沿 AE 折成 ?B1 AE ,使面 B1 AE ? 面AECD , F 为棱B1 D 上一点. (1)若 F 为 B1 D 的中点,求证: B1D ? 面AEF ; (2)若 B1E ? AF ,求二面角 C ? AF ? B1 的余弦值.

21. (原创) 已知点 A ? 4,8? 关于直线 l1 : x ? y ? 4 的对称点 B 在抛物线 C : y ? 2 px ? p ? 0? 的准线上.
2

(1)求抛物线 C 的方程; (2)直线 l2 与 x 轴交于点 D , 与抛物线 C 交于 E、 F 两点. 是否存在定点 D , 使得 为定值?若存在,请指出点 D 的坐标,并求出该定值;若不存在,请说明理由.

1 1 ? 2 DE DF 2

22. (原创)左、右焦点分别为 F1、F2 的椭圆 C 1 :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 与焦点为 F 的抛物线 a 2 b2

C2 : x2 ? 2 y 相交于 A、 B 两点,若四边形 ABF1 F2 为矩形,且 ?ABF 的周长为 3 ? 2 2 .
(1)求椭圆 C1 的方程; (2)过椭圆 C 1 上一动点 P (不在 x 轴上)作圆 O : x ? y ? 1 的两条切线 PC、PD ,切点分别为
2 2

C、 D ,直线 CD 与椭圆 C1 交于 E、 G 两点, O 为坐标原点,求 ?OEG 的面积 S ?OEG 的取值范围.

命题人 王中苏 审题人 张 伟


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