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3.3.1几何概型教案


3.3.1 几何概型
教材分析:和古典概型一样,在特定情形下,我们可以用几何概型来计算事件发生的概 率.它也是一种等可能概型.教材首先通过实例对比概念给予描述,然后通过均匀随机数随 机模拟的方法的介绍,给出了几何概型的一种常用计算方法.与本课开始介绍的 P(A)的 公式计算方法前后对应, 使几何概型这一知识板块更加系统和完整. 这节内容中的例题既通 俗易懂,又具有代表性,有利于我们的教与学生的学.教学重点是几何概型的计算方法,尤 其是设计模型运用随机模拟方法估计未知量;教学难点是突出用样本估计总体的统计思想, 把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题. 教学目标:1. 通过这节内容学习,让学生了解几何概型,理解其基本计算方法并会运 用. 2. 通过对照前面学过的知识,让学生自主思考,寻找几何概型的随机模拟计算方法, 设计估计未知量的方案,培养学生的实际操作能力. 3. 通过学习,让学生体会试验结果的随机性与规律性,培养学生的科学思维方法,提 高学生对自然界的认知水平. 教学重点与难点:是随机模拟部分.这节内容的教学需要一些实物模型作为教具,如教 科书中的转盘模型、例 2 中的随机撒豆子的模型等.教学中应当注意让学生实际动手操作, 以使学生相信模拟结果的真实性,然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试 验, 得到模拟的结果. 随机模拟的教学中要充分使用信息技术, 让学生亲自动手产生随机数, 进行模拟活动. 教学过程: 一、问题情境 如图,有两个转盘.甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则 乙获胜. 问题:在下列两种情况下分别求甲获胜的概率.

二、建立模型
1. 提出问题 首先引导学生分析几何图形和甲获胜是否有关系, 若有关系, 和几何体图形的什么表面 特征有关系?学生凭直觉,可能会指出甲获胜的概率与扇形弧长或面积有关.即:字母 B 所在扇形弧长(或面积)与整个圆弧长(或面积)的比.接着提出这样的问题:变换图中 B 与 N 的顺序,结果是否发生变化?(教师还可做出其他变换后的图形,以示决定几何概率 的因素的确定性).

题中甲获胜的概率只与图中几何因素有关,我们就说它是几何概型. 注意:(1)这里“只”非常重要,如果没有“只”字,那么就意味着几何概型的概率可能 还与其他因素有关,这是错误的. (2)正确理解“几何因素”,一般说来指区域长度(或面积或体积). 2. 引导学生讨论归纳几何概型定义,教师明晰———抽象概括 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样 的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 在几何概型中,事件 A 的概率的计算公式如下:

3. 再次提出问题,并组织学生讨论 (1)情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少? (2)在 500ml 的水中有一个草履虫,现从中随机取出 2ml 水样放到显微镜下观察,求发 现草履虫的概率. (3)某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多 于 10min 的概率.

通过以上问题的研讨,进一步明确几何概型的意义及基本计算方法. 三、典型例题
1. 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6:30~7:30 之间把报纸送到你家,而 你父亲离开家去工作的时间在早上 7: 00~8: 之间, 00 问你父亲在离开家前能得到报纸 (称 为事件 A)的概率是多少.

分析:我们有两种方法计算事件的概率. (1)利用几何概型的公式. (2)利用随机模拟的方法.

解法 1:如图,方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间,纵坐标表示 父亲离开家去工作的时间. 假设随机试验落在方形内任一点是等可能的, 所以符合几何概型 的条件.根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能得到报纸,即事件 A 发生,所以

解法 2:设 X,Y 是 0~1 之间的均匀随机数.X+6.5 表示送报人送到报纸的时间,Y +7 表示父亲离开家去工作的时间.如果 Y+7>X+6.5,即 Y>X-0.5,那么父亲在离开 家前能得到报纸.用计算机做多次试验,即可得到 P(A). 教师引导学生独立解答, 充分调动学生自主设计随机模拟方法, 并组织学生展示自己的 解答过程,要求学生说明解答的依据.教师总结,并明晰用计算机(或计算器)产生随机数 的模拟试验.强调:这里采用随机数模拟方法, 是用频率去估计概率,因此,试验次数越多, 频率越接近概率. 2. 如图,在正方形中随机撒一大把豆子,计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆 子数之比,并以此估计圆周率的值.

解:随机撒一把豆子,每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的,落在每个区域的豆 子数与这个区域的面积近似成正比,即

假设正方形的边长为 2,则

由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的,所以

这样就得到了 π 的近似值. 另外,我们也可以用计算器或计算机模拟,步骤如下: (1)产生两组 0~1 区间的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND;

(2)经平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2,b=(b1-0.5)*2;

(3)数出落在圆内 a2+b2<1 的豆子数 N1,计算 数).

(N 代表落在正方形中的豆子

可以发现,随着试验次数的增加,得到 π 的近似值的精度会越来越高. 本例启发我们,利用几何概型,并通过随机模拟法可以近似计算不规则图形的面积. [练 习]

1. 如图 30-4,如果你向靶子上射 200 镖,你期望多少镖落在黑色区域. 2. 利用随机模拟方法计算图 30-5 中阴影部分(y=1 和 y=x2 围成的部分)的面积.

3. 画一椭圆,让学生设计方案,求此椭圆的面积. 作业:课本


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