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大德教育 高考课外辅导 孙老师 187 8906 2361
专题一:基本初等函数图像及其性质

基础知识
1.指数函数图像及其性质 函数名称
定义

指数函数

函数 y ? ax (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数

a ?1

0? a ?1

y y ? ax

y ? ax y

图象
定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性
函数值的变化情况
a 变化对图象的影响

y?1

(0, 1)
1

y?1

(0, 1)
1

O0

x

O0

x

R (0, ??)

图象过定点 (0,1) ,即当 x ? 0 时, y ? 1.

非奇非偶

在 R 上是增函数

在 R 上是减函数

ax ? 1 (x ? 0)

ax ? 1 (x ? 0)

ax ? 1 (x ? 0)

ax ? 1 (x ? 0)

ax ? 1 (x ? 0)

ax ? 1 (x ? 0)

在第一象限内, a 越大图象越高;在第二象限内, a 越大图象越低.

2.对数函数 对数的定义
①若 ax ? N (a ? 0,且a ? 1) ,则 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x ? loga N ,其中 a 叫做底数, N 叫做真数.
②负数和零没有对数. ③常用对数与自然对数
常用对数: lg N ,即 log10 N ;自然对数: ln N ,即 loge N (其中 e ? 2.71828 …).

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3.对数函数图像及其性质 函数名称 定义
图象

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对数函数

函数 y ? loga x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数

a ?1

0? a ?1

x?1

y

y ? loga x

y

x?1 y ? loga x

1

O 0 (1, 0)

x

1

(1, 0)

O0

x

定义域 值域
过定点 奇偶性 单调性
函数值的变化情况
a 变化对图象的影响

(0, ??)

R 图象过定点 (1, 0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 .
非奇非偶

在 (0, ??) 上是增函数

在 (0, ??) 上是减函数

loga x ? 0 (x ? 1)

loga x ? 0 (x ? 1)

loga x ? 0 (x ? 1)

loga x ? 0 (x ? 1)

loga x ? 0 (0 ? x ? 1)

loga x ? 0 (0 ? x ? 1)

在第一象限内, a 越大图象越靠低;在第四象限内, a 越大图象越靠高.

4.幂函数
(1)幂函数的定义: 一般地,函数 y ? x? 叫做幂函数,其中 x 为自变量,? 是常数.
(2)幂函数的图象

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(3)幂函数的性质

①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象
分布在第一、二象限(图象关于 y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限

(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.

②过定点:所有的幂函数在 (0, ??) 都有定义,并且图象都通过点 (1,1) .

③单调性:如果? ? 0 ,则幂函数的图象过原点,并且在[0, ??) 上为增函数.如果? ? 0 ,则

幂函数的图象在 (0, ??) 上为减函数,在第一象限内,图象无限接近 x 轴与 y 轴.

??q ④奇偶性:当? 为奇数时,幂函数为奇函数,当? 为偶数时,幂函数为偶函数.当 p (其

q
中 p, q 互质, p 和 q ? Z ),若 p 为奇数 q 为奇数时,则 y ? x p 是奇函数,若 p 为

q

q

奇数 q 为偶数时,则 y ? x p 是偶函数,若 p 为偶数 q 为奇数时,则 y ? x p 是非奇

非偶函数.

⑤图象特征:幂函数 y ? x? , x ? (0, ??) ,当? ? 1 时,若 0 ? x ? 1,其图象在直线 y ? x 下方, 若 x ? 1,其图象在直线 y ? x 上方,当? ? 1时,若 0 ? x ? 1,其图象在直线 y ? x

上方,若 x ? 1,其图象在直线 y ? x 下方.

5.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

①一般式: f (x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)

②顶点式: f (x) ? a(x ? h)2 ? k(a ? 0)

③两根式: f (x) ? a(x ? x1)(x ? x2 )(a ? 0)

(2)求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时,宜用一般式.

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式.

③若已知抛物线与 x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求 f (x) 更方便.

(3)二次函数图象的性质

①二次函数 f (x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象是一条抛物线,

x?? b ,

(? b , 4ac ? b2 )

对称轴方程为

2a 顶点坐标是 2a 4a .

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解析式

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f(x)=ax2+bx+c(a>0)

f(x)=ax2+bx+c(a<0)

图象

定义域 值域
6.二次函数图像及其性质
单调性
奇偶性 顶点
对称性

(-∞,+∞) 4ac-b2 [ 4a ,+∞)

(-∞,+∞) 4ac-b2
(-∞, 4a ]

在 x∈(-∞,-2ba]上单调递减 在 x∈[-2ba,+∞)上单调递增

在 x∈(-∞,-2ba]上单调递增 在 x∈[-2ba,+∞)上单调递减

当 b=0 时为偶函数,b≠0 时为非奇非偶函数 b 4ac-b2
(-2a, 4a ) b
图象关于直线 x=-2a 成轴对称图形

7.一元二次函数表达式形式 顶点式:f(x)=a(x-h)2+k,定点坐标(h,k) 分解式:f(x)=a(x-x1)(x-x2), 一元二次方程的两根为 x1,x2 一般式:f(x)=ax2+bx+c,(a≠0).
8.反函数 互为反函数的两个图像关于 y=x 成轴对称关系; 原函数的定义域是其反函数的值域,原函数的值域是其反函数的定义域

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专题一 基本初等函数图像及其性质 练习一

一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要

求的一项填在答题卡上.

1.(新课标全国卷)下列函数中,既是偶函数,又是在(0,+∞)上单调递增的函数是(

)

A.y=x3

B.y=|x|+1

C.y=-x2+1

D.y=2-|x|

2.(广东卷)设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( )

A.f(x)+|g(x)|是偶函数

B.f(x)-|g(x)|是奇函数

C.|f(x)|+g(x)是偶函数

D.|f(x)|-g(x)是奇函数

3.(湖北卷)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足下列关系

f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0,且 a≠1).若 g(2)=a,则 f(2)=( )

A.2

B.145

C.147

D.a2

4.(山东卷)对于函数 y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的(B)

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.(全国卷)设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f???-52???=(

)

A.-12

B.-14

C.14

D.12

6.在实数集 R 中定义一种运算“*”,对任意给定的 a,b∈R,a*b 为唯一确定的实数,且具有性质:

(1)对任意 a,b∈R,a*b=b*a;

(2)对任意 a∈R,a*0=a;

(3)对任意 a,b∈R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(c*b)-2c.关于函数 f(x)=(3x)*31x的性质,有如下

说法:①函数 f(x)的最小值为 3;②函数 f(x)为奇函数;

③函数 f(x)的单调递增区间为???-∞,-13???,???13,+∞???.其中所有正确说法的个数为(

)

A.0

B.1

C.2

D.3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上.

??-x2+2x x>0

7.已知函数 f(x)=?0

x=0

??x2+mx

x<0

为奇函数,若函数 f(x)在区间[-1,|a|-2]上单调递增,

则 a 的取值范围是



8.(上海卷)设 g(x)是定义在 R 上,以 1 为周期的函数,若函数 f(x)=x+g(x)在区间[3,4]上的值域为

[-2,5],则 f(x)在区间[-10,10]上的值域为



9.对方程 lg(x+4)=10x 根的情况,有以下四种说法:①仅有一根;②有一正根和一负根;③有两个负根;

④没有实数根.其中你认为正确说法的序号是



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大德教育 高考课外辅导 孙老师 187 8906 2361 三、解答题:本大题共 2 小题,共 25 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 10.(12 分)已知函数 f(x)=ax2+bx+c,x∈[0,6]的图象经过(0,0)和(6,0)两点,如图所示,且函数 f(x)
的值域为[0,9].过动点 P(t,f(t))作 x 轴的垂线,垂足为 A,连接 OP. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)记△OAP 的面积为 S,求 S 的最大值.
12.(13 分)(上海卷)已知函数 f(x)=a·2x+b·3x,其中常数 a,b 满足 a·b≠0. (1)若 a·b>0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 a·b<0,求 f(x+1)>f(x)时的 x 的取值范围.
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专题一 基本初等函数图像及其性质 练习二

一、选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

目要求的。

1.函数 y ? f (2x ?1) 是偶函数,则函数 y ? f (2x) 的对称轴是

()

A. x ? 0

B. x ? ?1

C. x ? 1 2

2.已知 0 ? a ? 1,b ? ?1 ,则函数 y ? a x ? b 的图象不经过

D. x ? ? 1 2

()

A.第一象限

B.第二象限

C. 第三象限

3.函数 y ? ln x ? 2x ? 6 的零点必定位于区间

D. 第四象限

()

A.(1,2) 4.给出四个命题:

B.(2,3)

C.(3,4)

D.(4,5)

(1)当 n ? 0 时, y ? x n 的图象是一条直线;

(2)幂函数图象都经过(0,1)、(1,1)两点; (3)幂函数图象不可能出现在第四象限;

(4)幂函数 y ? x n 在第一象限为减函数,则 n ? 0 。

其中正确的命题个数是

A.1

B.2

C.3

D.4

()

5.函数 y ? a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为 3,则 a 的值为

()

A. 1

B.2

2

C.4

D. 1

4

6.设 f (x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f (x) ? log 2 x, 则当 x ? 0 时, f (x) ?

A. ? log 2 x

B. log 2 (?x)

C. log 2 x

D. ? log 2 (?x)

7.若方程 2( m ?1 ) x 2 +4 mx ? 3m ? 2 ? 0 的两根同号,则 m 的取值范围为

() ()

A. ? 2 ? m ? ?1

B. ? 2 ? m ? ?1或 2 ? m ? 1 3

C. m ? ?1 或 m ? 2 D. ? 2 ? m ? ?1或 2 ? m ? 1

3

3

8.已知 f (x) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ?1 时, f (x) ? lg x. 设 a ? f (6),b ? f ( 3), c ? f ( 5 ), 则

5

2

2

A. a ? b ? c

B. b ? a ? c

C. c ? b ? a

D. c ? a ? b

9.已知 0 ? x ? y ? a ? 1 ,则有

()

A. log a (xy) ? 0 B. 0 ? log a (xy) ? 1 C.1< log a (xy) ? 0 D. log a (xy) ? 2

10.已知 0 ? a ? 1, log a m ? log a n ? 0, 则

A.1 ? n ? m

B.1 ? m ? n

C. m ? n ? 1

D. n ? m ? 1

()

11.设 f (x) ? lg 2 ? x , 则 f ?? x ?? ? f ?? 2 ?? 的定义域为 2?x ?2? ?x?
A.( ? 4,0) ? (0,4) B. (?4,?1) ? (1,4) C.( ? 2,?1) ? (1,2) D.( ? 4,?2) ? (2,4)

()

?(3a ?1)x ? 4a, x ? 1

12.已知 f (x) ? ? ?

log a x, x ? 1

是 R 上的减函数,那么 a 的取值范围是

()

A.(0,1)

B.(0, 1 ) 3

C.

? ??

1 7

,

1 3

?? ?

D.

? ??

1 7

,1?? ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在题中横线上。

13.若函数 y ? log a (kx2 ? 4kx ? 3) 的定义域是 R,则 k 的取值范围是



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14.函数 f (x) ? 2ax ? 2a ?1, x ?[?1,1], 若 f (x) 的值有正有负,则实数 a 的取值范围为



16.给出下列命题:

①函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 与函数 y ? log a a x (a ? 0, a ? 1) 的定义域相同; ②函数 y ? x 3 与 y ? 3x 的值域相同;

③函数

y

?

1 2

?

1 与函数 2x ?1

y

?

(1 ? 2x )2 x ? 2x

均是奇函数;

④函数 y ? (x ?1)2 与 y ? 2x ?1在 R? 上都是增函数。
其中正确命题的序号是 三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)

设 a ? 0 , f (x) ? e x ? a 是 R 上的偶函数。 a ex
⑴求 a 的值;
⑵证明: f (x) 在 ?0,?? ? 上是增函数。

18.(本小题满分 12 分)
设函数 y ? f (x) 是定义在 R ? 上的减函数,并且满足 f (xy) ? f (x) ? f ( y) , f ?? 1 ?? ? 1, ?3?
(1)求 f (1) 的值, (2)如果 f (x) ? f (2 ? x) ? 2 ,求 x 的取值范围。

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大德教育 高考课外辅导 孙老师 187 8906 2361 19.(本小题满分 14 分)
已知函数 f (x) ? log a (x ? 1), g(x) ? log a (1 ? x)(其中a ? 0,且a ? 1) ⑴求函数 f (x) ? g(x) 的定义域; ⑵判断函数 f (x) ? g(x) 的奇偶性,并予以证明; ⑶求使 f (x) ? g(x) <0 成立的 x 的集合。
20.(本小题满分 12 分)
函数 f (x) 对任意 a,b ? R 都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ?1, 并且当 x ? 0 时 f (x) ? 1。 求证:函数 f (x) 是 R 上的增函数。
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