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广东省深圳市福田中学月考试题高三数学文2008[1].8

广东省深圳市福田中学月考试题高三数学( 广东省深圳市福田中学月考试题高三数学(文) 2008.8) 深圳市福田中学月考试题高三数学 (2008.8)
小题, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 选择题: 1.已知曲线 y = A.1 x2 1 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为 4 2 B.2 C.3 D.4 ( D.2、-2、0 或 1 ( ) ) ( )

2.若 A = {1,4, x}, B = {1, x 2 },且A ∩ B = B, 则x = A.2 B.±2 C.2、-2 或 0

3.命题“对任意的 x ∈ R,x3 ? x 2 + 1 ≤ 0 ”的否定是 A.不存在 x ∈ R,x3 ? x 2 + 1 ≤ 0 C.存在 x ∈ R,x 3 ? x 2 + 1 > 0 B.存在 x ∈ R,x3 ? x 2 + 1 ≤ 0

D.对任意的 x ∈ R,x 3 ? x 2 + 1 > 0

4.在各项都为正数的等比数列{an}中, a1=3,前三项的和为 21,则 a3+ a4+ a5= ( ) A.33 B.72 C.84 D.189 5.已知 f ( x) = x 3 ? ax在[1,+∞) 上是单调增函数,则 a 的最大值是 A.0 B.1 C.2 D.3 6.要得到函数 y=cos2x 的图象,只要把 y=sin2x 的图象( ) A.向右平移 C.向右平移 ( )

π π
4 2

单位 单位

B.向左平移 D.向左平移

π π
4 2

单位 单位
f (x) 满 足 条 件 :

7 . 已 知 定 义 在 正 整 数 集 上 的 函 数

f(1)=2,f(2)=-2,f(n+2)=f(n+1)-f(n),则 f(2008)的值为 A.2 B.-2 C.4 D.-4 8.函数 y = log 2 (1 ? x) 的图象是

( (

) )

9. 方程 sin 2 x ? 2sin x ? a = 0 在 x ∈ R 上有解,则 a 的取值范围是(
A. [? 1,+∞ ) B. ( ? 1, +∞ ) C. [?1,3] D. [? 1,3 )

).

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10. 已知 y = f (x) 是定义在 R 上的奇函数, y = f ( x + 且 有下列几种描述 ① y = f (x) 是周期函数

π
2

) 为偶函数, 对于函数 y = f (x)

② x = π 是它的一条对称轴

③ (?π ,0) 是它图象的一个对称中心 ④当 x =

π
2

时,它一定取最大值 ( D.②③ )

其中描述正确的是 A.①② B.①③ C.②④ 填空题: 小题, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11.sin105o= 。 12.已知等差数列{an}前 17 项和 S17=51,则 a7+ a11=

?x ≥ 0 ? 13. 若实数 x、y 满足条件 ? y ≤ 1 ,则目标函数 z = 2 x + y 的最大值为 ?2x-2y +1 ≤ 0 ?



14.注意:在以下(1) 注意: (2)两题中任选一题。如果两题都做,按(1)给分。 注意 π 5π (1) (坐标系与参数方程选做题)极坐标系中,A(2, ),B(3, 坐标系与参数方程选做题) ),则 A、B 两点的距 6 6 。 离是: C (2) 几何证明选讲选做题) 如图 AB 是⊙O 的直径, (几何证明选讲选做题) P 为 AB 延长线上一点, 切⊙O 于点 C, PC PC=4, PB=2。 则⊙O 的半径等于 ; P A
O B

小题, 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写 解答题: 出文字说明、证明过程或演算步骤. 出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分 12 分) 设全集 U = R ,集合 A = {x | 6 ? x ? x 2 > 0} ,集合 B = {x | (Ⅰ)求集合 A 与 B ; (Ⅱ)求 A ∩ B 、 (CU A) ∪ B. 2x ?1 > 1} x+3

16、 (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) = ? 3 sin 2 x + sin x cos x
? π? (I)求函数 f (x) 的最小正周期; (II)求函数 f ( x)在x ∈ ?0, ? 的值域. ? 2?

17、 (本题 14 分)已知函数 f ( x) = log 2 ( x + m), m ∈ R

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(I)若 f (1) , f (2) , f (4) 成等差数列,求 m 的值;
b c 且 b c 试判断 f (a ) + f (c) (II) a 、 、 是两两不相等的正数, a 、 、 依次成等差数列, 若

与 2 f (b) 的大小关系,并证明你的结论. 18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) = x 2 + ax + 4 ( x ≠ 0) 。 x

(Ⅰ)若 f (x) 为奇函数,求 a 的值; (Ⅱ)若 f (x) 在 [3,+∞) 上恒大于 0,求 a 的取值范围。 19. (本小题 14 分)已知数列 {an } 是等差数列, a2 = 6, a5 = 18 ;数列 {bn } 的前 n 项
1 和是 Tn ,且 Tn + bn = 1 . 2

(Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ) 求证:数列 {bn } 是等比数列;

(Ⅲ) 记 cn = an ? bn ,求 {cn } 的前 n 项和 Sn 20. (本小题满分 14 分) 已知函数 y = f (x) ,若存在 x0,使得f ( x0 ) = x0 ,则 x0 称是函数 y = f (x) 的一 个不动点,设 f ( x) =
? 2x + 3 . 2x ? 7

(Ⅰ)求函数 y = f (x) 的不动点; (Ⅱ)对(Ⅰ)中的二个不动点 a、b(假设 a>b) ,求使 的常数 k 的值; (Ⅲ)对由 a1=1,an= f (a n ?1 ) 定义的数列{an},求其通项公式 an.
f ( x) ? a x?a =k? 恒成立 f ( x) ? b x?b

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深圳市福田中学月考试题高三数学( (2008.8) 深圳市福田中学月考试题高三数学(文) 2008.8) (2008.8 参考答案
一、 选择题 题号 1 答案 A 二、填空题 题号 答案 2 C 11
6+ 2 4

3 C

4 C

5 D 12 6

6 B 13 2

7 B

8 C 14(1) 19

9 C

10 B 14(2) 3

小题, 解答应写出文字说明、 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步 解答题: 骤. 15 . 解 : ( Ⅰ ) ∵ 6 ? x ? x 2 > 0,∴ x 2 + x ? 6 < 0 , 不 等 式 的 解 为 ?3 < x < 2 ,
∴ A = {x | ?3 < x < 2}



2x ?1 2x ?1 x?4 > 1,∴ ? 1 > 0, 即 > 0,∴ x < ?3或x > 4 ,∴ B = {x | x < ?3或x > 4} x+3 x+3 x+3

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 A = {x | ?3 < x < 2} , B = {x | x < ?3或x > 4} ,∴ A ∩ B = ? Ⅱ 由 Ⅰ 可知

∵ CU A = {x | x ≤ ?3或x ≥ 2} ,∴ (CU A) ∪ B = {x | x ≤ ?3或x ≥ 2}.

16、解: f ( x) = ? 3 sin 2 x + sin x cos x
= ? 3× 1 ? cos 2 x 1 1 3 3 π 3 + sin 2 x = sin 2 x + cos 2 x ? = sin(2 x + ) ? 2 2 2 2 2 3 2 2π (I)函数 f ( x ) 的最小正周期是 T = =π ……………………………7 分 2 π π π 4π (II)∴ 0 ≤ x ≤ ∴ ≤ 2x + ≤ 2 3 3 3 3 π ∴ ? ≤ sin(2 x + ) ≤ 1 2 3 ? 2? 3? 所以 f ( x ) 的值域为: ?? 3 , …………12 分 ? 2 ? ?

17、解: (1)因为 f (1) , f (2) , f (4) 成等差数列,所以 2f(2)=f(1)+f(4), 即:2log2(2+m)=log2(1+m)+log2(4+m),即 log2(2+m)2=log2(1+m)(4+m),得 (2+m)2=(1+m)(4+m),得 m=0. (2) 若 a 、 、 是两两不相等的正数, a 、 、 依次成等差数列,设 a=b-d,c=b+d,(d b c 且 b c 不为 0);

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f(a)+f(c)-2f(b)=log2(a+m)+log2(c+m)-2log2(b+m)=log2

(a + m)(c + m) (b + m) 2

因为(a+m)(c+m)-(b-m)2=ac+(a+c)m+m2-(b+m)2=b2-d2+2bm+m2-(b+m)2=-d2<0 所以:0<(a+m)(c+m)<(b+m)2,得 0< 所以:f(a)+f(c)<2f(b). 18. 解: (Ⅰ) f (x) 的定义域关于原点对称 若 f (x) 为奇函数,则 f (? x) = (Ⅱ) f ′( x) = 1 ? (? x) 2 + a(? x) + 4 = ? f ( x) ?x ∴a=0
(a + m)(c + m) (a + m)(c + m) <1,得 log2 <0, 2 (b + m) (b + m) 2

4 ∴在 [3,+∞) 上 f ′( x) > 0 ∴ f (x) 在 [3,+∞) 上单调递增 x2 13 ∴ f (x) 在 [3,+∞) 上恒大于 0 只要 f (3) 大于 0 即可,∴ 3a + 13 > 0 ? a > ? 3 13 若 f (x) 在 [3,+∞) 上恒大于 0,a 的取值范围为 a > ? 3

19. 解:(Ⅰ)设 {an } 的公差为 d ,则: a2 = a1 + d , a5 = a1 + 4d ,
∵ a2 = 6 , a5 = 18 ,∴ ?

?a1 + d = 6 ,∴ a1 = 2, d = 4 . ………………………2 分 ?a1 + 4d = 18

∴ an = 2 + 4( n ? 1) = 4n ? 2 . …………………………………………4 分

1 2 b1 = 1 ,得 b1 = . …………………5 分 2 3 1 1 当 n ≥ 2 时,∵ Tn = 1 ? bn , Tn ?1 = 1 ? bn ?1 , 2 2 1 1 ∴ Tn ? Tn ?1 = (bn ?1 ? bn ) ,即 bn = (bn ?1 ? bn ) . …………………………7 分 2 2 1 ∴ bn = bn ?1 . ……………………………………………………………8 分 3 2 1 ∴ {bn } 是以 为首项, 为公比的等比数列. …………………………………9 分 3 3 2 1 n ?1 1 n (Ⅲ)由(2)可知: bn = ? ( ) = 2 ? ( ) . ……………………………10 分 3 3 3 1 n 1 n ∴ cn = an ? bn = (4n ? 2) ? 2 ? ( ) = (8n ? 4) ? ( ) . …………………………………11 分 3 3 1 1 2 1 n ?1 1 n ∴ S n = c1 + c2 + ? + cn ?1 + cn = 4 × ( ) + 12 × ( ) + ? + (8n ? 12) × ( ) + (8n ? 4) × ( ) . 3 3 3 3
(Ⅱ)当 n = 1 时, b1 = T1 ,由 T1 +

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1 1 1 1 1 S n = 4 × ( ) 2 + 12 × ( )3 + ? + (8n ? 12) × ( )n + (8n ? 4) × ( )n +1 . 3 3 3 3 3 1 2 1 1 2 1 3 1 n 1 n +1 ∴ S n ? S n = S n = 4 × + 8 × ( ) + 8 × ( ) + ? + 8 × ( ) ? (8n ? 4) × ( ) 3 3 3 3 3 3 3 1 1 ( ) 2 ? [1 ? ( ) n ?1 ] 4 1 3 = + 8× 3 ? (8n ? 4) × ( ) n +1 1 3 3 1? 3 8 1 1 = ? 4 × ( ) n ?1 ? (8n ? 4) × ( ) n +1 . ………………………………………13 分 3 3 3 1 n ∴ S n = 4 ? 4( n + 1) ? ( ) . …………………………………………………14 分 3


20.解: (Ⅰ)设函数 y = f ( x)的不动点为x0 , 则

- 2 x0 + 3 1 = x0,解得x 0 = ? ,x 0 = 3 2 x0 - 7 2

? 2x + 3 ?3 1 2x ? 7 ? 8 x + 24 x ?3 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 a = 3, b = , = = 8? 1 1 2 ? 2x + 3 1 + ?x+ x+ 2x ? 7 2 2 2
可知使 f ( x) ? a x?a =k? 恒成立的常数 k=8. f ( x) ? b x?b

(Ⅲ)由(Ⅱ)知

an ? 3 a ?3 = 8 n ?1 1 1 an + a n ?1 + 2 2

可知数列 {

an ? 3 a ?3 }是以 1 为首项,8 为公比的等比数列 1 1 an + a1 + 2 2

即以 ?

a ?3 4 4 为首项,8 为公比的等比数列. 则 n = ? ? 8 n ?1 1 3 3 an + 2

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