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文科数学试题


文科数学试题
第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.) 1.已知集合 A ? {x | ?2 ? x ? 7}, B ? {x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1} 且 B ? ? ,若 A ? B ? A 则( ) A. ? 3 ? m ? 4 2. .已知 A.
a ? 2i 1? i

B. ? 3 ? m ? 4

C. 2 ? m ? 4

D. 2 ? m ? 4 )

? b ? i ( a, b ? R )其中 为虚数单位,则 a+b=(

B.1

C.2

D.3

3.用“抓阄法”从 10 名学生中确定一名数学课代表,这种方法属于哪种抽 样方法 A 抽签法 B 简单随机抽样 C 随机数表法 D 系统抽样 4 如图给出的是计算 1 ?
1 3 ? 1 5 ??? 1 2013

的值的一个程序框图, D. i ? 1007

其中判断框内应填入的条件是 A. i ? 2013 B. i ? 2013 5.双曲线

C. i ? 1007

y2 x2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的渐近线与抛物线 y ? x 2 ? 1 相切,则该 2 a b

双曲线的离心率等于( A.
5 2

) C. 6 D.
6 2

B. 5

6. 某几何体的三视图如右图所示,则它的体积是( ) 2? ? 2? A8 ? B8 ? C 8 ? 2? D
3 3 3

? 3x - y ? 6 ? 0 ? 7.设二元一次不等式组 ? 3x ? y ? 6 ? 0 ? y ? ?3 ?

所表示的平面区域为 M, 范围内有一圆, M 当圆的面积最

大时圆的半径是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.设 a, b 是两条直线, ? , ? 是两个不同平面,下列四个命题中,正确的命题是( A.若 a, b 与 ? 所成的角相等,则 a // b C.若 a ? ? , b ? ? , ? ? ? ,则 a ? b
? ? ? ? ?
?



B.若 a // ? , b // ? , ? // ? ,则 a // b D.若 a ? ? , b ? ? , a // b ,则 ? // ? )

9. 已知 a ? (1,2), a ? b ? 10 , | a ? b |? 5 2 ,则 b ? ( A. 5 B. 10 C.5 D.25

10. 若 f ( x) sin (2?x ? ? ) 的图像上直线 x= ? 称中心,规定 ? ? 0 , 0 ? ? ? A.
? 6

?
2

3? ? 是的一条对称轴,点( ,0 4 4

)是与它相邻的对

,则符合条件的 ? 值为( D.
? 5



? ? C. 4 3 1 2 11.函数 f(x)=lnx- x 的大致图像是 2

B.

12.已知函数定义域为 D 的函数 f(x) ,如果对 x∈ D,存在正数 k,有|f(x)|≤k|x|成立,则称 函数 f(x)是 D 上的“倍约束函数” ,已知下列函数: (1)f(x)=2x; (2)f(x)=sin(x+ (3)f(x)= x ? 1 ; (4)f(x)=
A. (1) (4) (3) B.(1) (2)

? ) ; 4

x x ? x ?1
2

;其中是“倍约束函数”的是
D.(2) (4) (3)

C.(3) (4)

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分. 13 题~第 21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须做答. 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 13.已知函数 f(x)=xex,则函数 f(x)图象在点(0,f(0))处的切线方程为________. 14 函数 y ? log 1 ( x 2 ? 2mx ? 3) 在(-∞,1)上为增函数,则实数 m 的取值范围是____.
2

15 已知点 P 是抛物线 y 2 ? 4 x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A 的坐标是(4,a) ,则 当 | a |? 4 时, | PA | ? | PM | 的最小值是 。
? 对一切 x ? R 恒成立, ?6?

? 16. 设 f ? x ?= a sin2x+ b cos2x , 其中 a, b ? R, ab ? 0 . 若 f ? x ? ? f ?

??

则以下结论正确的是___________(写出所有正确结论的编号) . ① f?
? 11? ? ? ? 0; ? 12 ?

② f(

7?

) ? f( ); 12 5

?

③ f ? x ? 既不是奇函数也不是偶函数;
2? ? ?k ? Z ? ; 3 ? ?
-2-

④ f ? x ? 的单调递增区间是 ? k? ?
?

?

?
6

, k? ?



经过点 ? a , b ? 的所有直线均与函数 f ? x ? 的图象相交.

三、解答题(要求写出必要的计算步骤和思维过程。 )
17(本小题满分 12 分)设数列 ?a n ? 的前项和为 S n ,且 S n ? 2 ?

1 2 n ?1

, ?b n ? 为等差数列,且 a1=b1,

a2(b2-b1)=a1.
(Ⅰ)求数列 ?a n ? 和 ?b n ? 通项公式; (Ⅱ)设 c n ?

an bn

,求数列 ?c n ? 的前 n 项和 T n .

18. (本小题满分 12 分) 如 图 所 示 , 矩 形 ABCD 中 , A C ? B D? G, AD ⊥ 平 面 ABE ,
AE ? EB ? BC ? 2 , F 为 CE 上的点,且 BF ⊥平面 ACE 。 (1)求证: AE ⊥平面 BCE ; (2)求三棱锥 C ? BGF 的体积。

19. 为了大面积提高高三年级学生的成绩,某校引进了专家讲课,即从外地聘请专家给高三学生讲 课,根据统计情况,得出学生认真听专家讲课的时间 x(小时)与学生提高的总体成绩 y(分数) 的几组数据: x 1 1 2 3 .5 .5 y 2 3 4 4 5 0 0 5 (1) 求这组数据的样本点中心;
? ? ? (2) 根据上表数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? b x ? a ;

(3) 根据(2)求出的线性回归方程,预测某学生认真听专家讲课 6 小时,总体成绩能提高多少 分。

? b?

?x y
i i ?1 n

n

i

? nx ? y
? ? a ? y ?b?x

?x
i ?1

2 i

? n?x2

20. 已知椭圆 C :
5 2 3

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1(a ? b ? 0) 的离心率为

6 3

,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的

三角形的面积为



(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知动直线 y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点. ①若线段 AB 中点的横坐标为 ? ,求斜率 k 的值;②若点 M (? , 0) ,求证: MA ? MB 为定值.
2 3 1 7
???? ????

-3-

21.已知函数 f(x)=x2+alnx. (1)当 a=-2e 时,求函数 f(x)的单调区间和极值; 2 (2)若函数 g(x)=f(x)+ x在[1,4]上是减函数,求实数 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ABCD 四点共圆, ,过 A 点的圆的切线与 CB 的延长线交于 E 点,
B C E

证明: (1) ?AEB ? ?DCA ; (2)若 AD ? 1, CE ? 4 ,求 AC 长。

D

A

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以 O 原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设直线 l 的参数方 程是 ?
?x ? ?y ? 2t 2t ? 3 2

( t 是参数) ,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? ? ?
?

?

??

?. 4?

(1)求圆心 C 的直角坐标; (2)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? ? x ? 1 ? 3 , g ? x ? ? 2 x ? 2 ? 3 . (1)解不等式: f ? x ? ? ?1 . (2)当 x ? R 时, f ( x) ? g ( x) ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围.

-4-


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