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2.3.2三种角


专题一、立体几何中的角

复习回顾
1.在平面几何中"角"是怎样定义的?
从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。

或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。

2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的?
直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别 引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成 的锐角 (或直角)叫做异面直线所成的角。

3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的?
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫 做这条直线和这个平面所成的角。

两直线所成角的取值范围:[ 0o, 90o ]. 异面直线所成角的取值范围:(0o, 90o ]. 直线和平面所成角的取值范围:[ 0o, 90o ]. 平面的斜线和平面所成的角 的取值范围:(0o, 90o).
?
O

?

A

B

例1.已知三棱锥A-BCD中,AB=CD,且直线 AB与CD成60度角,点M,N分别是BC,AD 的中点,求直线AB与MN所成角的大小。

例2.如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形, PD垂直于底面ABCD,E为PB的中点, 若 PD ? 2AB,求AE与平面PBD所成角的大 小。
P

E D O A B C

问题:异面直线所成的角、直线和平面所成 的角有什么共同的特征? 结论:它们的共同特征都是将三维空间的角 转化为二维空间的角,即平面角。都转化为 两条相交直线所成的角。

讲授新课
1.半平面的定义 平面内的一条直线把平面分为两部
分,其中的每一部分都叫做半平面. 半 平 面 半 平 面

2.二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组

成的图形叫做二面角,这条直线叫做二
面角的棱,每个半平

面叫做二面角的面. 棱为l,两个面分
别为?、?的二面角记

l

? ?

为 ?-l-? .

3.画二面角 ⑴ 平卧式:

?

?
l B B l

A

A

?

?
⑵ 直立式:

A l
B

?

?

4.二面角的大小 怎样度量二面角的大小?能否转化 为两相交直线所成的角? l

? ?

4.二面角的大小 怎样度量二面角的大小?能否转化 为两相交直线所成的角? 在二面角?-l-?的 棱l上任取一点O,如 图,在半平面 ? 和 ? 内,从点 O 分别作垂 直于棱 l 的射线OA、 l O B A

? ?

OB,射线OA、OB组成∠AOB.

4.二面角的大小 怎样度量二面角的大小?能否转化 为两相交直线所成的角? 在二面角?-l-?的 棱l上任取一点O,如 图,在半平面 ? 和 ? O1 内,从点 O 分别作垂 直于棱 l 的射线OA、 l O B A A1 B1

?

?

OB,射线OA、OB组成∠AOB.

4.二面角的大小

∠AOB的大小一定. 一个平面垂直于二 l 面角 ?-l-? 的棱 l,且与 O 两个半平面的交线分别 是射线 OA、OB,O 为 O1 垂足,则 ∠AOB 叫做 二面角 ?-l-? 的平面角.
B A A1 B1

?

?

4.二面角的大小 二面角的大小可以用它的平面角来 度量.即二面角的平面角是多少度,就

说这个二面角是多少度. ① 二面角的两个面重合: 0 ;
o

② 二面角的两个面合成一个平面:180o;

二面角的范围:[ 0 , 180 ].
o o

③ 平面角是直角的二面角叫直二面角.

5. 二面角的平面角的作法 定义法

寻找二面角的平面角

例3.在正方体ABCD-A’B’C’D’中,找出下列二面角的 平面角: (1)二面角D’-AB-D和A’-AB-D;

(2)二面角C’-BD-C和C’-BD-A.

D’
A’ D A B B’

C’

C

寻找二面角的平面角

在正方体ABCD-A’B’C’D’中,找出下列二面角的 平面角: (1)二面角D’-AB-D和A’-AB-D;

(2)二面角C’-BD-C和C’-BD-A.

D’

C’

A’ D A

B’

C
B

寻找二面角的 平面角

寻找二面角的平面角

在正方体ABCD-A’B’C’D’中,找出下列二面角的 平面角:

(1)二面角D’-AB-D和A’-AB-D;
(2)二面角C’-BD-C和C’-BD-A.

D’
A’ D A O B B’

C’

C

寻找二面角的平面角

在正方体ABCD-A’B’C’D’中,找出下列二面角的 平面角:

(1)二面角D’-AB-D和A’-AB-D;
(2)二面角C’-BD-C和C’-BD-A.

D’
A’ D A O B B’

C’

C

例4.已知空间四边形ABCD的四条边和对
角线都相等,求二面角A-CD-B的余弦值.
A

B C

.O

D

课堂小结:
一、三个角: 1.异面直线所成的角:平移转化法;(0,90]

2.直线与平面所成的角:射影转化法;[0,90]
3.二面角:定义法(用其平面角度量);[0 , 180] 二、角的求解过程:

作--------证-------- 算

6. 平面与平面垂直 两个平面相交,如果它们所成的二 面角是直二面角,就说这两个平面互相 垂直. 平面?与?垂直,记作?⊥?.

6. 平面与平面垂直定义 两个平面相交,如果它们所成的二 面角是直二面角,就说这两个平面互相 垂直. 平面?与?垂直,记作?⊥?.

?

? ?
?

面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线,那么这两个平面互相垂直

l ?α? 符号表示: ? ?α?β l ?β? ? A
线线 垂直

? B

l

C D

线面 垂直

面面 垂直

例2 如图,AB是⊙O的直径, PA垂直于
⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A, B 的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC. P

C
A O

B

例2 如图,AB是⊙O的直径, PA垂直于
⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A, B 的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC. 线线垂直 P

→线面垂直
→面面垂直 A

C
O

B

练习1:教材P.69探究 (1) 四个面的形状怎样? (2) 有哪些直线与平面垂直? (3)有哪些平面与平面垂直? (4)任意两个平面所成的二面角的平面角 如何确定? A

B
C

D

练习2: ABCD是正方形,O是正方形的 中心,PO⊥平面ABCD , E是PC的中点, 且PB=BC。
ABCD
是正方形,

求证:(1) PC⊥平面BDE;

(2)平面PAC⊥平面BDE.

P E D C O B

A

练习2:如图,已知三棱锥D-ABC的三
个侧面与底面全等,且AB=AC= 3 , BC=2,求以BC为棱,以面BCD与面 BCA为面的二面角的大小? D

A B

C

练习2:如图,已知三棱锥D-ABC的三
个侧面与底面全等,且AB=AC= 3 , BC=2,求以BC为棱,以面BCD与面 BCA为面的二面角的大小? D

A B E

C

练习2:如图,已知三棱锥D-ABC的三
个侧面与底面全等,且AB=AC= 3 , BC=2,求以BC为棱,以面BCD与面 BCA为面的二面角的大小? D

A B E

C

课堂小结
1. 二面角的定义、二面角的平面角; 2. 二面角平面角的求法;

3. 平面与平面垂直的判定.


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