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黄冈市2016年春高一期末考试数学(理)试题


黄冈市 2016 年春季高一年级期末考试数学试卷(理)
(满分:150 分.时间:120 分钟).姓名__________ 班级_________ 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1、已知集合 M={y|y=cosx,x∈R}, A. B.{0,1} C.{-1,1} 分数________

A.

B.

C.

D.

10、设两条直线的方程分别为 x+y+a=0,x+y+b=0,已知 a、b 是关于 x 的方程 x2+x+c=0 的两个实数根,且 ,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为( )

,则 M∩N 为( ) D.(-1,1]

A.

B.

C.

D.

2、已知 a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是( ) A.若 a>b,则 ac2>bc2 C.若 ,则 a>b B.若 a3>b3 且 ab<0,则 D.若 a2>b2 且 ab>0,则 11、如下图所示将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有 n(n>1,n∈N*)个点, 相应的图案中总的点数记为 an,则 ( )

3、已知点(-3,-1)和点(b,-4)均在直线 3x-2y-a=0 上,则 ab 的值为( ) A. B.-35 C.35 D.

4、下列命题错误的是( ) A.如果平面α ⊥平面β ,那么平面α 内所有直线都垂直于平面β B.如果平面α ⊥平面β ,那么平面α 内一定存在直线平行于平面β C.如果平面α ⊥平面γ ,平面β ⊥平面γ ,α ∩β =l,那么 l⊥平面γ D.如果平面α 不垂直于平面β ,那么平面α 内一定不存在直线垂直于平面β 5、已知等比数列{an}的公比 q≠1,则下面说法中不正确的是( ) A.{an+2+an}是等比数列 B.对于 k∈N*,k>1,ak-1+ak+1≠2ak C.对于 n∈N*,都有 anan+2>0 D.若 a2>a1,则对于任意 n∈N*,都有 an+1>an 6、下列命题中,正确的命题的是( ) A.已知 ,则 f(x)的最小值是

A. 12、已知曲线

B.

C.

D.

与直线 y=2x+m 有两个交点,则 m 的取值范围是( )

A.(-∞,-4)∪(4,+∞) B.(-4,4) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-3,3) 二.填空题(本大题共 4 个小题,每题 5 分,共 20 分。) 13、一个几何体的三视图如下图所示,若其正视图、侧视图的轮廓都 是边长为 1 的菱形,俯视图是边长为 1 的正方形,则该几何体的体积 为__________. 14、设 0<x<1,函数 的最小值为__________.

B.已知数列{an}的通项公式为

,则{an}的最小项为

C.已知实数 x,y 满足 x+y=2,则 xy 的最大值是 1 D.已知实数 x,y 满足 xy=1,则 x+y 的最小值是 2

15、已知实数 x,y 满足

,则

的取值范围是__________.

7、在数列{an}中, A.5 B.

,anan+2=1,则 a2016+a2017=( ) C. D. ,则直线 l:ax-by+c=0 的倾斜角为( )

16、在平面直角坐标系中,设△ABC 的顶点分别为 A(0,a),B(b,0),C(c,0),点 P(0, p)在线段 AO 上(异于端点),设 a、b、c、p 均为非零实数,直线 BP,CP 分别交 AC、AB 于点 E、F,一同学已正确算得 OE 的方程: ,请你求 OF 的方程:

8、函数 y=asinx-bcosx 的一条对称轴为

A.45° B.60° C.120° D.135° 9、已知直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为正方形,AA1=2AB,E 为 AA1 的中点,则 异面直线 BE 与 CD1 所成角的余弦值为( )

. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17、(本题满分 10 分)已知两条直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列 条件的 a,b 的值: (1)l1⊥l2,且 l1 过点(-3,-1);(2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.

为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆,公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆.若每天运送人数不少于 900,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备 A 型 车、B 型车各多少辆?

18、 (本题满分 12 分)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=btanA,且 B 为钝角. (1)求 B-A 的值;(2)求 sinA+sinC 的取值范围.

21、(本题满分 12 分)对于函数 f(x),若存在 x0∈R,使 f(x0)=x0,则称 x0 是 f(x)的一个 2 不动点,已知函数 f(x)=ax +(b+1)x+(b-1)(a≠0), (1)当 a=1,b=-2 时,求函数 f(x)的不动点; (2)对任意实数 b,函数 f(x)恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若 y=f(x)的图象上 A,B 两点的横坐标是 f(x)的不动点,且 A, B 两点关于直线 对称,求 b 的最小值.

19、(本题满分 12 分)已知:数列{an}满足

,n∈N*.

(1)求数列{an}的通项;(2)设

,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

22、(本题满分 12 分)如图,在底面是正方形的四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,BD 与 AC 相交于点 E,F 为 PC 中点,G 为 AC 上一点. (1)求证:BD⊥FG; (2) 确定 G 在 AC 上的位置, 使得 FG∥平面 PBD, 并说明理由; (3)当二面角 B—PC—D 的大小为 所成角的正切值. 时,求 PC 与底面 ABCD

20、(本题满分 12 分)某客运公司用 A、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务, 每车每天往返一次.A、B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的营运成本分别

答案与解析:
1、B 解析:M=[-1,1],N={0,1,2},∴M∩N={0,1}. 2、B 解析:A 选项,当 c=0 时不成立;C 选项,当 c<0 时不成立;D 选项,举反例 a=-2, b=-1;故选 B. 3、C 解析:因为点(-3,-1)在直线 3x-2y-a=0 上,所以 3×(-3)-2×(-1)-a=0,解得 a =-7,又点(b,-4)在直线 3x-2y+7=0 上,所以 3b+8+7=0,解得 b=-5,所以 ab=35. 4、A 解析:若平面α ⊥平面β ,那么两平面内的直线可能平行,异面,相交,故选 A. 5、D 解析:若 a2>a1,则 a1(q-1)>0,当 a1>0 时,q>1,此时有 an+1>an,当 a1<0 时,有 q<1, 当 q<0 时,an+1>an 不成立,故选 D. 6、C 解析:A 选项,∵sin2x∈[0,1],∴当 sin2x=1 时,f(x)有最小值 3,错误; B 选项,∵n∈N*,∴当 n=1 或 2 时,an 有最小值 3,错误; C 选项,xy=x(2-x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,当 x=1 时,xy 有最大值 1,正确; D 选项, ,无最小值,错误.



12、A

解析:画出

的图象,当 y=2x+m 过点(-2,0)时,m=4;当 y=2x+ 与直线 y=2x+m 有

m 过点 0) m=-4; (2, 时, 观察知, 当 m>4 或 m<-4 时, 曲线 两个交点. 13、 14、9 15、[5,6] 16、

7、B

解析:

,∴{an}是周期为 4 的周期数列,

17、解:(1)由已知可得 l2 的斜率存在,且 k2=1-a. 若 k2=0,则 1-a=0,a=1. ∵l1⊥l2,直线 l1 的斜率 k1 必不存在,即 b=0. 又∵l1 过点(-3,-1),∴-3a+4=0,即 ∴此种情况不存在,∴k2≠0. 即 k1,k2 都存在,∵k2=1-a, ,l1⊥l2, (矛盾).

∴ 8、D 所以 均有 则直线 l 的斜率 9、C a,则

. 解析:函数 y=asinx-bcosx 在对称轴处取得最值,

,化简得 a=-b,且 b≠0. ,倾斜角为 135°.

∴k1k2=-1,即

.①

解析:连接 A1B,则 A1B//CD1,所以∠A1BE 为异面直线 BE 与 CD1 所成的角,设 AB= ,在△A1BE 中,根据余弦定理

又∵l1 过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0.② 由①②联立,解得 a=2,b=2.(5 分) (2)∵l2 的斜率存在,l1∥l2,∴直线 l1 的斜率存在, k1=k2,即 .③

又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,且 l1∥l2, . ∴l1,l2 在 y 轴上的截距互为相反数,即 ,④

10、 D

ab=c, 解析: 根据韦达定理 a+b=-1,



联立③④,解得



∴a=2,b=-2 或

,b=2.(10 分)

两条直线之间的距离

,故最大值为

,最小值为



18、(1)由 a=btanA 及正弦定理,得 即 ,(3 分)

,∴sinB=cosA,

11、C 解析:每个边有 n 个点,把每个边的点数相加得 3n,这样角上的点数被重复计算了一次, 故 an=3n-3.

又 B 为钝角,因此 故 ,即

,(不写范围的扣 1 分) ;(5 分) ,(7 分)

直线 z=1600x+2400y 在 y 轴上的截距

最小,即 z 取得最小值.(11 分)

(2)由(1)知,C=π -(A+B)=

故应配备 A 型车 5 辆、B 型车 12 辆,可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小.(12 分) 21、解:(1)当 a=1,b=-2 时,函数 f(x)的不动点即为 3 和-1;(2 分) 2 (2)∵函数 f(x)恒有两个相异的不动点,∴f(x)-x=ax +bx+(b-1)=0 恒有两个不等的 实根, △=b2-4a(b-1)=b2-4ab+4a>0 对 b∈R 恒成立,(4 分) ∴(4a)2-16a<0,得 a 的取值范围为(0,1).(6 分) (3)由 ax +bx+(b-1)=0 得
2

,由题知 k=-1,

,(7 分)



设 A,B 中点为 E,则 E 的坐标为

,(9 分)

由此可知 sinA+sinC 的取值范围是

.(12 分)



19、解:(1)

, 当且仅当 .(4 分) 22、(1) (2)G 为 EC 中点,理由如下:连 PE, .(6 分) (8 分) (3)过 B 作 BH⊥PC 于 H,连 DH. 即为二面角 B—PC—D 的平面角 (3 分) ,即 时等号成立,∴b 的最小值为 .(12 分)

验证 n=1 时也满足上式:
n (2)bn=n·3 (6 分) Sn=1·3+2·32+3·33+…+n·3n 3Sn=1·32+2·33+3·34+…+n·3n+1 2 3 n n+1 -2Sn=3+3 +3 +…+3 -n·3 ,

(5 分)

.(12 分) 20、解:设 A 型、B 型车辆分别为 x、y 辆,相应营运成 本为 z 元,则 z=1600x+2400y.(1 分) 由题意,得 x,y 满足约束条件 设 BC=x,则 作可行域如图所示, (7 分) .(8 分)

.从而可得 PA=x.(10 分)

又 PA⊥面 ABCD,则∠PCA 即为 PC 与面 ABCD 所成的角. ,即 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值为 .(12 分)

可行域的三个顶点坐标分别为 P(5,12),Q(7,14),R(15,6).(9 分) 由图可知,当直线 z=1600x+2400y 经过可行域的点 P 时,


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