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山东省泰安市2013届高三上学期期末考试理科数学试题


山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试

数学试题(理)
2013.1 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.“ m ? 1 ”是“直线 x ? y ? 0 和直线 x ? my ? 0 互相垂直”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】C 【ZXXK 解析】当 m ? 0 时,直线 x ? my ? 0 为 x ? 0 ,此时两直线不垂直,所以 m ? 0 ,所以 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x ? my ? 0 的斜率为 ?

1 1 , 若直线垂直, 则有 ? ? ?1 , m ? 1 , “ m ? 1 ” “直线 x ? y ? 0 即 所以 是 m m
,选 C.

和直线 x ? my ? 0 互相垂直”的充要条件

2.如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边均为 1,则该

几何体的体积为 A.

1 3

B.

1 2

C.

1 6

D.1

【答案】A 【ZXXK 解析】由三视图可知,该几何体是四棱锥,底面为边长为 1 的正方形,高为 1 的四棱锥,所 以体积为 ? 1? 1? 1 ?
0.5

1 3

1 ,选 A. 3

3.设 a ? 3 , b ? log3 2, c ? cos 2 ,则 A. c ? b ? a C. a ? b ? c B. c ? a ? b D. b ? c ? a

【答案】A 【ZXXK 解析】 3
0.5

? 3 ? 1,, 0 ? log3 2 ? 1 ,, cos 2 ? 0 ,所以 c ? b ? a ,选 A.

4.设向量 a ? ? cos ? , ?1? , b ? ? 2,sin ? ? ,若 a ? b ,则 tan ? ? ? A. ?

?

?

?

?

? ?

??

? 等于 4?

1 3

B.

1 3

C. ?3

D.3

【答案】B 【 ZXXK 解 析 】 因 为 a ? b , 所 以 a? ? 2 c o s b ??

?

?

??

n ? ? n , 即 t a? ? si 0

2 。 所 以

t a ?? n (

?

t a? ? 1 ? 2 1 1 n ? ) ? ? ,选 B. 4 1 t? n ? 1 2 ? a 3

x 5.已知集合 M ? x y ? 2 x ? x 2 ,集合 N ? y y ? 3 , x ? 0 ,则如图所示的韦恩图中阴影部分

?

?

?

?

所表示的集合为 A. ? 2,??? C. ?0,1? ? ? 2, ??? 【答案】C 【 ZXXK 解 析 】 B. ?0,1? ? ? 2, ??? D. ?0,1? ? ?2, ???

M ? x y ? 2x ? x2 ? {x 2x ? x2 ? 0} ? {x 0 ? x ? 2}

?

?



N ? ? y y ? 3x , x ? 0? ? { y y ? 1} ,则阴影部分为 {x x ? M ? N且x ? M ? N}

M ? N ? {x x ? 0}



M ? N ? {x 1 ? x ? 2}





















{x x ? M ? N且x ? M ? N} ? {x 0 ? x ? 1或x ? 2},即 ?0,1? ? ? 2, ??? ,选 C.
6.由曲线 xy ? 1 ,直线 y ? x, x ? 3 及 x 轴所围成的曲边四边形的面积为 A.

11 6

B.

9 2

C.

1 ? ln 3 2

D. 4 ? ln 3

【答案】C

?y ? x 1 ? 【 ZXXK 解 析 】 由 xy ? 1 得 y ? ,由 ? 1 得 xD ? 1 , 所 以 曲 边 四 边 形 的 面 积 为 x y? ? x ?

?

1

0

xdx ? ?

3

1

1 1 dx ? x 2 x 2
2

1 0

3 ? ln x 1 ?

1 ? ln 3 ,选 C. 2

7.函数 y ? 1 ? 2sin ( x ?

?
4

)是
B.最小正周期为 ? 的奇函数 D.最小正周期为

A.最小正周期为 ? 的偶函数 C.最小正周期为 【答案】B 【 ZXXK

? 的偶函数 2

? 的奇函数 2

解 析 】 y ? 1 ? 2sin ( x ?
2

?

T?

2?

?

?

2? ? ? ,所以函数为奇函数,所以选 B. 2

) ? cos 2( x ? ) ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x , 所 以 周 期 4 4 2

?

?

8.下列命题正确的是 A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【答案】C 【ZXXK 解析】A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线可能平行,也可能相交或异 面,所以错误。B 中,若三点共线,则两平面不一定平行,所以错误。C 正确。D 若两个平面都垂 直于第三个平面,则这两个平面平行或相交,所以错误。所以命题正确的为 C,选 C. 9.设 a ? b ,函数 y ? ? x ? a ?
2

? x ? b ? 的图象可能是

【答案】B

【ZXXK 解析】 由图象可知 0 ? a ? b 。 y ? f ( x ) ? ? x ? a ? 当 a ? x ? b 时, f ( x) ? ? x ? a ?
2

2

? x ? b ? ,则 f (0)

2 ??a b ?0 ,排除 A,C.,

? x ? b ? ? 0 ,排除 D,选 B.

? y ? ?x ? 2 1 ? 10.已知不等式组? y ? kx ? 1 所表示的平面 区域为面积等于 的三角形,则实 k 的值为 数 4 ?y ? 0 ?
A. ?1 【答案】D 【ZXXK 解析】 由图象知 k ? 0 。 y ? 0 时,xB ? 当 得 yA ? B. ?

1 2

C.

1 2

D.1

1 1 1 ? y ? ?x ? 2 . xC ? 2 ., 所以 ? 2 , k ? 由 ? 即 , k k 2 ? y ? kx ? 1

2k ? 1 1 1 2k ? 1 1 2 1 ? , k ? 1 或k ? ? (舍去) 所以k ? 1 , , 所以S ?ABC ? (2 ? ) ? 解得 , 选D. 1? k 2 k 1? k 4 7 2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线线相切的圆的方程是 11.以双曲线 6 3
A. x ? 3
2

?

?

2

? y2 ? 3

B. x ? 3
2

?

?

2

? y2 ? 3

2 C. ? x ? 3? ? y ? 3

2 D. ? x ? 3 ? ? y ? 3

【答案】D 【ZXXK 解析】双曲线的右焦点为 (3, 0) ,双曲线的渐近线为 y ? ?

2 2 x, x ,不妨取渐近线 y ? 2 2

即 2x ? 2 y ? 0 ,所以圆心到直线的距离等于圆的半径,即 r ? 所以圆的标准方程为 ( x ? 3) ? y ? 3 ,选 D.
2 2

3 2 ( 2)2 ? 22

?

3 2 3 ? ? 3, 6 3

12.函数 f ? x ? ? A sin ??x ? ? ? (其中 A ? 0, ? ? 图象,则只需将 f ? x ? 的图象

?
2

)的图象如图所示,为了得到 g ? x ? ? sin 2x 的

? 个长度单位 6 ? C.向左平移 个长度单位 6
A.向右平移 【答案】A 【ZXXK 解析】由图象可知 A ? 1 , 为 f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ?

? 个长度单位 12 ? D.向左平移 个长度单位 12
B.向右平移

?

? ? ,所以当 k ? 0 时, ? ? ,所以 6 2 3 2 3 ? ? ? ? f ( x) ? sin(2 x ? ) 。 g ? x ? ? sin 2 x ? sin[2( x ? ) ? ] ,所以只需将 f ? x ? 的图象向右平移 , 3 6 3 6
?? ? ? 2k? , k ? Z ,即 ? ? ? 2k? , k ? Z ,因为 ? ?

?

T 7? ? ? 2? ? ? ? ,即周期 T ? ? ? ,所以 ? ? 2 ,所以函数 4 12 3 4 ? 7? 7? ? ) ? sin(2 ? ? ? ) ? ?1 , 即 s i n ? ? ? ), 所 以 ( 1 。 又 f( 12 12 6

?

即可得到 g ? x ? ? sin 2x 的图象,所以选 A. 二、填空题:本大题 个小题 共4 ,每小题4 分, 共16 分.请把答案填在答题纸的相应 位置上. 13.设非零向量 a, b, c 满足 a ? b ? c , a ? b ? c ,则 a, b ? __________. 【答案】 120 或
?

? ??
2? 3

?? ?

?? ?

?? ?

?

?

? ?

【 ZXXK 解 析 】 因 为 a ? b ? c , 所 以 c ? ?(a ? b) , 所 以 c ? ?(a ? b) ? a ? b 所 , 以

? ?

?

?

? ?

?

? ?

? ?

? ? ? ?1 b2 ? ? ?2 ?2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? 1 a? b 1 2 , c ? a ?2 ? b? b 即 a ?b ? ? b , 所 以 cos ? a, b ?? ? ? ? ? ? ? ? , 所 以 a 2 2 a b a b

? ? ? ? a, b ?? 1 2 。 0
14.下面图形由小正方形组成,请观察图 1 至图 4 的规律,并依此规律,写出第 n 个图形中小正方形 的个数是___________.

【答案】

n(n ? 1) 2

【 ZXXK 解 析 】 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 6, a4 ? 10 , 所 以 a2 ? a1 ? 2, a3 ? a2 ? 3, a4 ? a3 ? 4 ,

? an ? an?1 ? n ,等式两边同时累加得 an ? a1 ? 2 ? 3 ? ?? n ,即 an ? 1 ? 2 ? ? ? n ?
所以第 n 个图形中小正方形的个数是

n(n ? 1) 。 2

n(n ? 1) , 2

15.已知 F 是抛物线 y ? x2 的焦点,M、N 是该抛物线上的两点, MF ? NF ? 3 ,则线段 MN 的中点 到 x 轴的距离为__________. 【答案】

5 4 1 4 1 。 , 过 M,N 分 别 作 准 线 的 垂 线 , 则 4

【 ZXXK 解 析 】 抛 物 线 的 焦 点 为 ( 0, ), 准 线 为 y ? ?

MM ' ? MF , NN' ?
PP ' ?

NF , 所 以 M M ? '

N'N ?

M F ?

, ? F 以 中 位 线 N 所 3

MM ' ? NN ' 3 1 3 1 5 ? ,所以中点到 x 轴的距离为 PP ' ? ? ? ? 。 4 2 4 4 2 2

16.已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?1,5? ,部分对应值如下表, f ? x ? 的导函数 y ? f ? ? x ? 的图像如图 所示,给出关于 f ? x ? 的下列命题:

①函数 y ? f ? x? 在x ? 2 时,取极小值

②函数 f ? x ? 在?0,1? 是减函数,在 ?1, 2? 是增函数,③当

1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ? x ? ? a 有 4 个零点 ④如果当 x ???1, t ? 时, f ? x ? 的最大值是 2,那么的
最小值为 0,其中所有正确命题序号为_________. 【答案】①③④ 【ZXXK 解析】由导数图象可知,当 ?1 ? x ? 0 或 2 ? x ? 4 时, f '( x) ? 0 ,函数递增。当 0 ? x ? 2 或 4 ? x ? 5 时, f '( x) ? 0 ,函数递减。所以在 x ? 2 处,函数取得极小值,所以①正确,②错误。

当 1 ? a ? 2 时,由 y ? f ? x ? ? a ? 0 得 f ? x ? ? a 。

由图象可知,此

时有四个交点,所以③正确。当 x ?? ?1, t ? 时, f ? x ? 的最大值是 2,由图象可知 t ? 0 ,所以的最小 值为 0,所以④正确。综上所有正确命题序号为①③④。 三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 74 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 请将解答过程写在答题纸的相应位置. 17.(本小题满分 12 分)

?ABC 的内角A、B、C 所对的边分别为a, b, c ,且a sin A ? sin B ?sin C ? sin b c 2 a
(I)求角 C; (II)求 3 sin A ? cos ? B ? 18.(本小题满分 12 分)

B

? ?

??

? 的最大值. 4?

在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 Sn ,等比数列 ?bn ? 的各项均为正数,b1 ? 1 ,公比为 q , 且 b2 ? S2 ? 12, q ?

S2 . b2

(I)求 an 与 bn ; (II)设 Tn ? anb1 ? an ?1b2 ????? a1bn ,n ? N ,求 Tn 的值.
?

19.(本小题满分 12 分) 如 图 , 四 棱 锥 P — ABCD 中 , PB ? 底 面 ABCD. 底 面 ABCD 为 直 角 梯 形 ,

?ABC ? 90? , AD / / BC, AB ? AD ? PB, BC ? 2 AD. 点 E 在棱 PA 上,且 PE=2EA.
(I)求证: CD ? 平面 PBD; (II)求二面角 A—BE—D 的余弦值. 20.(本小题满分 12 分) 小王于年初用 50 万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出 6 万元,从第二年起,每年都 比上一年增加支出 2 万元,假定该年每年的运输收入均为 25 万元.小王在该车运输累计收入超过总 支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第 x 年年底出售,其销售价格为 25 ?x 万元(国 家规定大货车的报废年限为 10 年). (I)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出? (II 在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?) (利润=累计收入+销售收入-总支出) 21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 的离心率为 , F1 、 F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点,过 F2 的 2 a b 3

直线与 C 相交于 A、B 两点, ?F1 AB 的周长为 4 3 . (I)求椭圆 C 的方程; (II)若椭圆 C 上存在点 P,使得四边形 OAPB 为平行四边形,求此时直线的方程. 22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x ln x ? ax ? a ? R ?
2 (I)若函数 f ? x ? 在区间 ? e , ?? 上为增函数,求 a 的取值范围; ?

?

(II)若对任意 x ? ?1, ??? , f ? x ? ? k ? x ?1? ? ax ? x 恒成立,求正整数 k 的值.


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