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2016上海市金山高三数学一模


上海市金山区 2016 届高三一模数学试卷
2016.01 一. 填空题(本大题共 14 题,每题 4 分,共 56 分) 1. lim 2.

3n ? 1 ? n ?? 2 n ? 3



已 知 全 集 U ? R , 集 合 M ? {x | x2 ? 4 x ? 5 ? 0} , N ? {x | x ? 1} , 则 ;

M ? (CU N ) ?
3. 若复数 z 满足 z ?

3 ? 4i ( i 为虚数单位) ,则 | z | ? ; 1 ? 2i 4. 若直线 l1 : 6 x ? my ? 1 ? 0 与直线 l2 : 2x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m ?
5. 若线性方程组的增广矩阵为 ?
x x

; ;

? 2 3 c1 ? ?x ? 2 ,则 c1 ? c2 ? ? ,解为 ? ? 3 2 c2 ? ?y ?1
; ; ;

6. 方程 4 ? 6 ? 2 ? 8 ? 0 的解是

7. 函数 y ? sec x ? sin x 的最小正周期 T ? 8. 二项式 ( x ? 9. 以椭圆

1 6 ) 展开式中 x3 系数的值是 x2

x2 y 2 ? ? 1 的中心为顶点, 且以该椭圆的右焦点为焦点的抛物线方程是 25 16
; (结果用数值表示) ; ;



10. 在报名的 5 名男生和 3 名女生中,选取 5 人参加数学竞赛,要求男、女生都有,则不同 的选取方式的种数为 11. 方程 cos 2 x ? sin x ? 1 在 (0, ? ) 上的解集是 12. 行列式

a b (a, b, c, d ?{?1,1, 2}) 所有可能的值中,最小值为 c d
2

13. 已知点 P 、Q 分别为函数 f ( x) ? x ? 1 ( x ? 0) 和 g ( x) ?

则点 P 和 x ?1 图像上的点,

Q 两点距离的最小值为



14. 某种游戏中,用黑、黄两个点表示黑、黄两个“电子狗” ,它们从棱长为 1 的正方体 ;黑“电 ABCD ? A1B1C1D1 的顶点 A 出发沿棱向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段” 子狗”爬行的路线是 AA 1 ? A 1D 1 ? ... ,黄“电子狗”爬行的路线是 AB ? BB 1 ? ... ,它 们都遵循如下规则:所爬行的第 i ? 2 段与第 i 段所在直线必须是异面直线(其中 i 是正整 数) ;设黑“电子狗”爬完 2015 段、黄“电子狗”爬完 2014 段后各自停止在正方体的某个 顶点处,这时黑、黄“电子狗”间的距离是 ;

二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分)
1

15.“直线 l1 、 l2 互相垂直”是“直线 l1 、 l2 的斜率之积等于 ?1 ”的( A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既非充分也非必要条件 )



16. 若 m 、 n 是任意实数,且 m ? n ,则( A. m ? n
2 2

n 1 m 1 n ?1 C. lg(m ? n) ? 0 D. ( ) ? ( ) m 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 17. 已知 a 、b 是单位向量,a ? b ? 0 , 且 c 满足 | c ? a ? b | ? 1, 则 | c | 的取值范围是 (
B. A. [ 2 ?1, 2 ?1] C. [ 2, 2 ? 1] B. [ 2 ?1, 2] D. [2 ? 2, 2 ? 2]



18. 如图, AB 为定圆 O 的直径,点 P 为半圆 AB 上的动点,过 点 P 作 AB 的垂线,垂足为 Q ,过 Q 作 OP 的垂线,垂足为 M , 记? AP 的长为 x ,线段 QM 的长为 y ,则函数 y ? f ( x) 的大致 图像是( )

A.

B.

C.

D.

三. 解答题(本大题共 5 题,共 12+14+14+16+18=74 分) 19. 在△ ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,已知 a ? 3 , cos A ?

B ? A?

?
2

6 , 3

;试求 b 的大小及△ ABC 的面积 S ;

? 20. 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC ? 1 , ?BAC ? 90 ,且异面直线 A 1B 与 B 1C1

所成的角等于 60 ,设 AA 1 ?a; (1)求 a 的值; (2)求三棱锥 B1 ? A1BC 的体积;

?

2

x2 y 2 ? ? 1 ,设点 R( x0 , y0 ) 是椭圆 C 上一点,从 24 12 原点 O 向圆 R : ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? 8 作两条切线,切点分别为 P 、 Q ;
21. 在平面直角坐标系中,已知椭圆 C : (1)若直线 OP 、 OQ 互相垂直,且点 R 在第一象限内,求点 R 的坐标; (2)若直线 OP 、 OQ 的斜率都存在,并记为 k1 、 k2 ,求证: 2k1k2 ? 1 ? 0 ;

22. 已知函数 f ( x) ? | x | ?

m ? 1 ( x ? 0) ; x

(1)当 m ? 2 时,证明 f ( x ) 在 (??, 0) 上是单调递减函数; (2)若对任意 x ? R ,不等式 f (2x ) ? 0 恒成立,求 m 的取值范围; (3)讨论函数 y ? f ( x) 的零点个数;

2 23. 已知各项均为正数数列 {an } 前 n 项和 Sn 满足 S1 ? 1 ,且 6Sn ? an ? 3an ? 2 (n ? N ) ;
*

(1)求 {an } 的通项公式; (2)设数列 {bn } 满足 bn ? ? (3)设 Cn ?

? ? an , n 为偶数 , Tn 为数列 {bn } 的前 n 项和,求 Tn ; an 2 , n 为奇数 ? ?

bn?1 (n ? N * ) ,问是否存在正整数 N ,使得当任意正整数 n ? N 时恒有 bn

Cn ? 2015 成立?若存在,请求出正整数 N 的取值范围;若不存在,请说明理由;

3


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