# 新人教版必修1第2章第3节对数运算性质的应用_换底公式_图文

0, N > 0, 那么

⑴ log a ( MN ) ? log a M ? log a N

M ? log a M ? log a N ⑵ log a N

n log M ? n log a M (n ? R) ⑶ a

①简记为：“积的对数 = 对数的和” “商的对数 = 对数的差” “n次方的对数 = 对数的n倍” ②注意公式的正用和逆用 ③注意底数和真数的取值范围

1. lg 2 ? lg 5 ? 1

2. log5 10 ? log5 2 ? 1

3. log3 1 ? log3 3 ? log3 27 ? 4

1. log2 3与 log 4 9 之间的关系如何?

x

\ 2 = 3, \ x = log2 3. \ log2 3 = log4 9.
2. 一般情况如何呢?

logc N loga N = logc a
N = p
p

(a, c > 0且a, c ? 1, N

0)

=a

p

? logc N

logc a ? logc N p logc a log c N log c N 即 log a N ? ? p? log c a log c a

n loga m N = loga N m
n

(a > 0且a ? 1, N 0, m 0)
n

loga m 证明： 取以a为底的对数得：
n n loga N = loga N m m loga a n n loga N 即 loga m N = m
n

N

loga N n = = m loga a

n m

n loga m N = loga N = loga N m

= log

m an

N

(a, b > 0且a, b

1)

log b b 证明: 取以b为底的对数得：log a b ? log b a 1 ? logb b ? 1, \ loga b = logb a

loga b ?logb a

1

lg 4 lg 5 lg 8 = × × lg 3 lg 4 lg 5 lg 9 = log3 9 = = lg 3

lg 9 × lg 8

log 3 32 = 2

1 解 : log9 (x + 5) = log 32 (x + 5) = 2 log3 (x + 5).

\ 原方程化为 2 log3 (x - 1) = log3 (x + 5) ,

\

ì x - 1> 0 ? ? ? ? íx + 5> 0 ? 2 ? ( x 1) = x+ 5 ? ? ?

\ 原方程的解为x = 4.

2 1 2 1 = 2 logN 3 + logN 4 + = + a b log3 N log4 N

= logN 3 + logN 4= logN (9 4) = logN 36 = 2 logN 6
2

2 2 而 = c log6 N

= 2 logN 6

2 1 2 \ + = . a b c

1. 设 log3 4 鬃 log4 8 log 8 m = log 4 16, 求m 的值.

2. 解方程 : log5 (x + 1) = log 1 x .
5

3. 若x , y , z > 0, 且 3 = 4 = 6 , 1 1 1 求证 : = . z x 2y

x

y

z

1. 设 log3 4 鬃 log4 8 log 8 m = log 4 16, 求m 的值. 解 : log3 4 鬃 log 4 8 log 8 m = log 4 16

lg 4 lg 8 lg m 2 × × = log 4 4 lg 3 lg 4 lg 8 lg m = 2 lg 3

log3 m = 2

\ m= 9

2. 解方程 : log5 (x + 1) = log 1 x .
5

1 log5 x = log5 . x 1 \ 原方程化为 log5 = log5 (x + 1)
- 1

5

x

ì x + 1> 0 ? ? ? ? x> 0 ? \ í ? 1 ? ? = x+1 ? ? ?x
\ 原方程的解为x =

5- 1 2

5- 1 . 2

3. 若x , y , z > 0, 且 3x = 4y = 6z , 1 1 1 求证 : = . z x 2y

x = log3 N , y = log4 N , z = log6 N ,
1 1 1 1 = z x log6 N log3 N

= logN 6 - logN 3
1 2

6 = logN 2. = logN 3

1 1 1 = logN 4 = logN 4 而 = 2 2y 2 log4 N 1 1 1 \ = . z x 2y

= logN 2.

1.换底公式

logc N loga N = logc a

(a, c > 0且a, c ? 1, N

0)

2.换底公式的两个推论 n n (1). loga m N = loga N m

(a > 0且a ? 1, N 0, m 0)

1 (2). loga b = logb a

(a, b > 0且a, b

1)

1

3.注意公式的正用和逆用。 4.注意底数和真数的范围。

1.求 log2 3 鬃 log3 7 log7 8 的值.

2.求 9

log3 x

- 7

log49 x 2

- 12 > 0 的解集.