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高考数学立体几何基础题题库一(有详细答案)

立体几何基础题题库一(有详细答案)

1、二面角? ?l ? ? 是直二面角, A??,B ? ? ,设直线 AB 与?、? 所成的角分别为∠1 和∠2,则

(A)∠1+∠2=900 解析:C

(B)∠1+∠2≥900

(C)∠1+∠2≤900

(D)∠1+∠2<900

?

A

?1

?2

B

?

如图所示作辅助线,分别作两条与二面角的交线垂直的线,则∠1 和∠2

分别为直线 AB 与平面?, ? 所成的角。根据最小角定理:斜线和平面所成的角,是这条斜线和平面内

经过斜足的直线所成的一切角中最小的角??ABO ? ?2 ?ABO ? ?1 ? 90 ??2 ? ?1 ? 90

2. 下列各图是正方体或正四面体,P,Q,R,S 分别是所在棱的中点,这四个点中不.共.面.的一个 图是

P Q

S P

SS PP

S P

S

SS

S

PP

P

R

RR

P

Q

R Q

QR

R

P

QR P PQ

Q

R

P

R

Q

QS

R

SS

Q
R

S

SQ R

Q

Q

RP

Q

P

R

S

S

R

Q

P S

R Q

(A)

(B)

(C)

(D)

D

解析: A 项: PS 底面对应的中线,中线平行 QS,PQRS 是个梯形

D'
P
A'

S

C'

B'
R

D

A

B 项: 如图

Q

C B

C 项:是个平行四边形

D 项:是异面直线。

3. 有三个平面? ,β ,γ ,下列命题中正确的是

(A)若? ,β ,γ 两两相交,则有三条交线

(B)若? ⊥β ,? ⊥γ ,则β ∥γ

(C)若? ⊥γ ,β ∩? =a,β ∩γ =b,则 a⊥b (D)若? ∥β ,β ∩γ = ? ,则? ∩γ =?
D 解析:A 项:如正方体的一个角,三个平面相交,只有一条交线。
B 项:如正方体的一个角,三个平面互相垂直,却两两相交。

a

?

?

?

C 项:如图

b

4. 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的侧面 AB1 内有一动点 P 到直线 AB 与直线 B1C1 的距离 相等,则动点 P 所在曲线的形状为

A

B

O P

A1

B1

A P
A1

B

A

P

B1

A1

B

A

B

O

O

P

B1

A1

B1

C

D

C

A

B

P

D1

C1

A1

B1

D' A'

C' B'

P

D

C

解析: B1C1 ? 平面 AB1? B1C1 ? PB, ,如图: A

B P 点到定点 B 的距离与到定直线 AB 的

距离相等,建立坐标系画图时可以以点 B1B 的中点为原点建立坐标系。

5. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中与 AD1 成 600 角的面对角线的条数是

(A)4 条

(B)6 条

(C)8 条

(D)10 条

C

D' A'

C' B'

D' A'

C' B'

D
A
解析:如图 共 8 条。

C

D

A
B 这样的直线有 4 条,另外,这样的

C
B 直线也有 4 条,

6. 设 A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足 AB ? AC ? 0 , AC ? AD ? 0 , AB ? AD ? 0 ,则△BCD 是

(A)钝角三角形

(B)直角三角形

(C)锐角三角形

(D)不确定

C

解析:假设 AB 为 a,AD 为 b,AC 为 c,且 a ? b ? c 则,BD= a2 ? b2 ,CD= c2 ? b2 ,BC= a2 ? c2
A

a

b

c

B

D

如图

C

则 BD 为最长边,根据余弦定理

? ? ? ? ? ? 2

2

2

a2 ? c2 ? c2 ? b2 ? a2 ? b2

cos ?DCB ?

? 0 ??DCB 最大角为锐角。所以△

2 a2 ? c2 ? c2 ? b2

BCD 是锐角三角形。

7.设 a、b 是两条不同的直线,α 、β 是两个不同的平面,则下列四个命题

()

①若 a ? b, a ? ?,则b //?

②若 a //?,? ? ? ,则a ? ?

③ a ? ? ,? ? ? ,则a //?

④ 若a ? b, a ? ?,b ? ? ,则? ? ?

其中正确的命题的个数是

()

A.0 个

B.1 个

C.2 个

D.3 个

B 解析:注意①中 b 可能在α 上;③中 a 可能在α 上;④中 b//α ,或 b ?? 均有? ? ? ,

故只有一个正确命题

8.如图所示,已知正四棱锥 S—ABCD 侧棱长为 2 ,底

面边长为 3 ,E 是 SA 的中点,则异面直线 BE 与 SC

所成角的大小为

()

A.90° C.45°

B.60° D.30°

B 解析:平移 SC 到 S ?B ,运用余弦定理可算得 BE ? S ?E ? S ?B ? 2.

9. 对于平面 M 与平面 N, 有下列条件: ①M、N 都垂直于平面 Q; ②M、N 都平行于平面 Q; ③ M 内不共线的三点到 N 的距离相等; ④ l, M 内的两条直线, 且 l // M, m // N; ⑤ l, m 是异面直线,且 l // M, m // M; l // N, m // N, 则可判定平面 M 与平面 N 平行的条件的个数是
()

A.1

B.2

C.3

只有②、⑤能判定 M//N,选 B A
10. 已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,A1B⊥CB1,则 A1B 与 AC1
所成的角为

(A)450

(B)600

A1

(C)900

(D)1200

D.4 C B
C1 B1

C 解析:作 CD⊥AB 于 D,作 C1D1⊥A1B1 于 D1,连 B1D、AD1,易知 ADB1D1 是平行四边形,由三垂 线定理得 A1B⊥AC1,选 C。

11. 正四面体棱长为 1,其外接球的表面积为

A. 3 π

3
B. π
2

5
C. π
2

D.3π

解析:正四面体的中心到底面的距离为高的 1/4。(可连成四个小棱锥得证

12. 设有如下三个命题:甲:相交直线 l 、m 都在平面α 内,并且都不在平面β 内;乙:直线 l 、m 中
至少有一条与平面β 相交;丙:平面α 与平面β 相交.

当甲成立时,

A.乙是丙的充分而不必要条件

B.乙是丙的必要而不充分条件

C.乙是丙的充分且必要条件

D.乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件

解析:当甲成立,即“相交直线 l 、m 都在平面α 内,并且都不在平面β 内”时,若“ l 、m 中至少有

一条与平面β 相交”,则“平面α 与平面β 相交.”成立;若“平面α 与平面β 相交”,则“ l 、m 中至
少有一条与平面β 相交”也成立.选(C).

13. 已知直线 m、n 及平面? ,其中 m∥n,那么在平面? 内到两条直线 m、n 距离相等的点的集合可
能是:(1)一条直线;(2)一个平面;(3)一个点;(4)空集.其中正确的是



解析:(1)成立,如 m、n 都在平面内,则其对称轴符合条件;(2)成立,m、n 在平面? 的同一侧, 且它们到? 的距离相等,则平面? 为所求,(4)成立,当 m、n 所在的平面与平面? 垂直时,平面? 内
不存在到 m、n 距离相等的点

14.空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为( )

A.3

B.1 或 2

C.1 或 3

D.2 或 3

解析:C 如三棱柱的三个侧面。

15.若 a、b 为异面直线,直线 c∥a,则 c 与 b 的位置关系是

()

A.相交

B.异面

C.平行

D. 异面或相交

解析:D 如正方体的棱长。

16.在正方体 A1B1C1D1—ABCD 中,AC 与 B1D 所成的角的大小为

()

A. ? 6

B. ? 4

C. ? 3

D. ? 2

解析:D B1D 在平面 AC 上的射影 BD 与 AC 垂直,根据三垂线定理可得。
17.如图,点 P、Q、R、S 分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线 PQ 与 RS 是 异面直线的一个图是( )

解析:C

D'
P
A'

S

C'

B'
R

D

C

A,B 选项中的图形是平行四边形,而 D 选项中可见图: A Q B

18.如图,是一个无盖正方体盒子的表面展开图,A、B、C 为其上的三个点,则在正方体盒子中,

∠ABC 等于

()

A.45°

B.60°

C.90°

D.120°

A C

B
解析:B 如图

★右图是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题:

①AB 与 CD 所在直线垂直;

②CD 与 EF 所在直线平行

③AB 与 MN 所在直线成 60°角;

④MN 与 EF 所在直线异面

其中正确命题的序号是

()

A.①③

B.①④

C.②③

D.③④

解析:D

D E
F N

B M
C A

19.线段 OA,OB,OC 不共面, ? AOB= ? BOC= ? COA=60 ? ,OA=1,OB=2,OC=3,则△ABC 是

()

A.等边三角形

B 非等边的等腰三角形

C.锐角三角形

D.钝角三角形

解析:B. 设 AC=x,AB=y,BC=z,由余弦定理知:x2=12+32-3=7,y2=12+22-2=3,z2=22+32-6=7。

∴ △ABC 是不等边的等腰三角形,选(B).

20.若 a,b,l 是两两异面的直线,a 与 b 所成的角是 ? ,l 与 a、l 与 b 所成的角都是? , 3

则? 的取值范围是

()

A.[ ? , 5? ] 66
解析:D

B.[ ? , ? ] 32

C.[ ? , 5? ] 36

D.[ ? , ? ] 62

解 当 l 与异面直线 a,b 所成角的平分线平行或重合时,a 取得最小值 ? ,当 l 与 a、b 的公垂线平行 6
时,a 取得最大值 ? ,故选(D). 2
21.小明想利用树影测树高,他在某一时刻测得长为 1m 的 竹竿影长 0.9m,但当他马上测树高时, 因树靠近一幢建 筑物,影子不全落在地面上,有一部分影子上了墙如图所 示.他测得留在地面部分的影子长 2.7m, 留在墙壁部分的
影高 1.2m, 求树高的高度(太阳光线可看作为平行光线) _______.
4.2 米

解析:树高为 AB,影长为 BE,CD 为树留在墙上的影高,? CD ? 1.2 ? 1 , CE=1.08 米,树影长 CE CE 0.9

BE= 2.7 ?1.08 ? 3.78 米,树高

AB= 1 BE= 4.2 米。 0.9

A D

22.如图,正四面体
A ? BCD (空间四边形的
长及两对角线的长都相等)
中, E, F 分别是棱 AD, BC 的中点, 则

B

C

E

四条边

A

E

B

F

D

C

EF 和 AC 所成的角的大小是________.

解析:设各棱长为 2,则 EF= 2 ,取 AB 的中点为 M, cos ?MFE ? 2 . 即? ? ? .

2

4

23.OX,OY,OZ 是空间交于同一点 O 的互相垂直的三条直

线,点 P 到这三条直线的距离分别为 3,4,7,则 OP 长

为_______.

解析:在长方体 OXAY—ZBPC 中,OX、OY、OZ 是相交的三条互相垂直的三条直线。又 PZ ? OZ, PY ? OY,PX ? OX,有 OX2+OZ2=49,OY2=OX2=9, OY2+OZ2=16,

得 OX2+OY2+OZ2=37,OP= 37 .

24.设直线 a 上有 6 个点,直线 b 上有 9 个点,则这 15 个点,能确定_____个不同的平面.

解析: 当直线 a,b 共面时,可确定一个平面; 当直线 a,b 异面时,直线 a 与 b 上 9 个点可确 定 9 个不同平面,直线 b 与 a 上 6 个点可确定 6 个不同平面,所以一点可以确定 15 个不同的平面.

25. 在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,BC 的中点.求证:EF 和 AD 为异面直线.

解析:假设 EF 和 AD 在同一平面? 内,…(2 分),则 A,B,E,F?? ;……(4 分)又 A,E? AB, ∴AB ? ? ,∴B?? ,……(6 分)同理 C?? ……(8 分)故 A,B,C,D?? ,这与 ABCD 是空间
四边形矛盾。∴EF 和 AD 为异面直线.

26. 在空间四边形 ABCD 中,E,H 分别是 AB,AD 的中点,F,G 分别是 CB,CD 的中点,若 AC + BD
= a ,AC ? BD =b,求 EG2 ? FH 2 . A

解析:四边形 EFGH 是平行四边形,…………(4 分)

E H

B F

D
G C

EG2 ? FH 2 =2 (EF 2 ? FG2 ) = 1 ( AC2 ? BD2 ) ? 1 (a2 ? 2b)

2

2

27. 如图,在三角形⊿ABC 中,∠ACB=90?, AC=b,BC=a,P 是⊿ABC 所在平面外一点,PB⊥AB, 点,AB⊥MC,求异面直 MC 与 PB 间的距离.
解析:作 MN//AB 交 PB 于点 N.(2 分)∵PB⊥AB,∴PB⊥MN。 A

P

M 是 PA 的中

M

N

B (4 分)又

C

AB⊥MC,∴MN⊥MC.(8 分)MN 即为异面直线 MC 与 PB 的公垂线段,(10 分)其长度就是 MC 与 PB 之间
的距离, 则得 MN= 1 AB= 1 a2 ? b2 . 22

28. 已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 中, A1A=AB, E、F 分别是 BD1 和 AD 中点. (1)求异面直线 CD1、EF 所成的角; (2)证明 EF 是异面直线 AD 和 BD1 的公垂线.

(1)解析:∵在平行四边形 BAD1C1 中,E 也是 AC1 的中点,∴ EF // C1D ,(2 分)

∴两相交直线 D1C 与 CD1 所成的角即异面直线 CD1 与 EF 所成的角.(C41分)又

D1

A1A=AB,长方体的侧面 ABB1A1, CDD1C1 都是正方形

B1

,∴D1C ? CD1
∴异面直线 CD1、EF 所成的角为 90°.(7 分)

C B

(2)证:设 AB=AA1=a, ∵D1F= a2 ? AD2 ? BF, ∴EF⊥BD1 .(9 分)
4

A1
E D
F A

由平行四边形 BAD1C1 ,知 E 也是 AC1 的中点,且点 E 是长方体 ABCD—A1B1C1D1 的对称中心,(12

分)∴EA=ED,∴EF⊥AD,又 EF⊥BD1,∴EF 是异面直线 BD1



AD 的公垂线.(14 分)

C1

D1

B1
C B

A1
E D
F A

29. ⊿ABC 是边长为 2 的正三角形,在⊿ABC 所在平

一点 P,PB=PC= 7 ,PA= 3 ,延长 BP 至 D,使

2

2

BD= 7 ,E 是 BC 的中点,求 AE 和 CD 所成角的大小
条直线间的距离.

解析:分别连接 PE 和 CD,可证 PE//CD, (2 分)则∠PEA

AE 和 CD 所成角.(4 分)在 Rt⊿PBE 中,

A

D

面外有

P C
E B

和这两 即是

PB=

7 ,BE=1,∴PE=

3 。在⊿AEP 中,AE=

3 , cos?AEP ?

3? 3 ? 9 44

=1 .

2

2

2? 3? 3 2

2

∴∠AEP=60?,即 AE 和 CD 所成角是 60?.(7 分)

∵AE⊥BC,PE⊥BC,PE//DC,∴CD⊥BC,∴CE 为异面直线 AE 和 CD 的公垂线段,(12 分)它们之间的 距离为 1.(14 分)

30. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F,G,H,M,N 分别是正方体的棱 A1A, AB,BC, CC1, C1D1, D1A1 的中点,试证:E,F,G,H,M,N 六点共面.

解析:∵EN//MF,∴EN 与 MF 共面? ,(2 分)又∵EF//MH,∴EF 和 MH 共面 ? .(4 分)∵不共线 的三点 E,F,M 确定一个平面,(6 分)∴平面? 与 ? 重合,∴点 H?? 。(8 分)同理点 G?? .(10
分)故 E,F,G,H,M,N 六点共面.

31.三个互不重合的平面把空间分成六个部份时,它们的交线有

()

A.1 条

B.2 条

C.3 条

D.1 条或 2 条

D
解析:分类:1)当两个平面平行,第三个平面与它们相交时,有两条交线; 2)当三个平面交于一 条

直线时,有一条交线,故选 D

32.两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是

A.4 个

B.5 个

C.6 个

() D.8 个

解析:C 如四棱锥的四个侧面, C42 ? 6 个。

33..在空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、G、H 四点如果 EF 与 HG 交

于点 M,则

()

A.M 一定在直线 AC 上

B.M 一定在直线 BD 上

C.M 可能在 AC 上,也可能在 BD 上

D.M 不在 AC 上,也不在 BD 上

解析:∵平面 ABC∩平面 ACD=AC,先证 M∈平面 ABC,M∈平面 ACD,从而 M∈AC

A 34. .用一个平面去截正方体。其截面是一个多边形,则这个多边形的边数最多是
. 解析:6 条
35. 已知: a ? ?,b ? ?, a ? b ? A, P ?b, PQ// a. 求证 : PQ ? ?..(12分)
本题主要考查用平面公理和推论证明共面问题的方法. 解析:∵PQ∥a,∴PQ 与 a 确定一个平面 ? ,?直线a ? ? ,点P ? ?.
? p ? b,b ? ?,? p ??
又? a ? ? ??与?重合 ? PQ ? ? 36. 已知△ABC 三边所在直线分别与平面α 交于P、Q、R 三点,求证:P、Q、R 三点共线。(12 分)
本题主要考查用平面公理和推论证明共线问题的方法 解析:∵A、B、C 是不在同一直线上的三点
∴过 A、B、C 有一个平面 ? 又? AB ?? ? P,且AB ? ?
?点P既在?内又在?内,设? ? ? ? l,则p ? l. 同理可证: Q ?l, R ?l
? P,Q, R三点共线.
37. 已知:平面? ? 平面? ? a,b ? ?,b ? a ? A, c ? ?且c // a,
求证:b、c 是异面直线 解析:反证法:若 b 与 c 不是异面直线,则 b∥c 或 b 与 c 相交 (1)若b // c.? a // c,? a // b这与a ? b ? A矛盾 (2)若b, c相交于B, 则B ? ? , 又a ? b ? A,? A ? ? ? AB ? ? ,即b ? ?这与b ? ? ? A矛盾 ?b, c是异面直线.
38. 在空间四边形 ABCD 中,AD=BC=2,E、F 分别是 AB、CD 的中点,EF= 3 ,求 AD 与 BC 所成
角的大小

(本题考查中位线法求异面二直线所成角)

解析:取 BD 中点 M,连结 EM、MF,则

EM // AD, 且EM ? 1 AD ? 1, MF // BC且MF ? 1 BC ? 1,

2

2

在?MEF中,? EF ? 3,由余弦定理得cos?EMF ? EM 2 ? MF 2 ? EF 2 ? 1?1? 3 ? ? 1

2? EM ?MF

2

2

??EMF ? 120?

?异面直线AD, BC所成角的大小为60?

39. 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别为棱 AA1 和 BB1 的中点,求异面直线 CM 与 D1N 所成角的正弦值.(14 分)
(本题考查平移法,补形法等求异面二直线所成角)

解析:取 DD1 中点 G,连结 BG,MG,MB,GC 得矩形 MBCG,记 MC∩BG=0

则 BG 和 MC 所成的角为异面直线 CM 与 D1N 所成的角.

? MC2 ? MA2 ? AC2 ? ( 3 a)2 (设正方体的棱长为a) 2
BC ? a

?cos?BOC ? 1 ?sin ?BOC ? 4 5

9

9

而 CM 与 D1N 所成角的正弦值为 4 5
9
40. 如图,P 是正角形 ABC 所在平面外一点,M、N 分别是 AB 和 PC 的中点,且 PA=PB=PC=AB=a。

(1)求证:MN 是 AB 和 PC 的公垂线

(2)求异面二直线 AB 和 PC 之间的距离

解析:(1)连结 AN,BN,∵△APC 与△BPC 是全等的正三角形,又 N 是 PC 的中点

∴AN=BN

又∵M 是 AB 的中点,∴MN⊥AB

同理可证 MN⊥PC

又∵MN∩AB=M,MN∩PC=N

∴MN 是 AB 和 PC 的公垂线。

(2)在等腰在角形 ANB 中,? AN ? BN ? 3 a, AB ? a,? MN ? AN 2 ? (1 AB)2 ? 2 a

2

2

2

即异面二直线 AB 和 PC 之间的距离为 2 a . 2

41 空间有四个点,如果其中任意三个点都不在同一条直线上,那么经过其中三个点的平



[

]

A.可能有 3 个,也可能有 2 个 B.可能有 4 个,也可能有 3 个

C.可能有 3 个,也可能有 1 个 D.可能有 4 个,也可能有 1 个

解析:分类,第一类,四点共面,则有一个平面,第二类,四点不共面,因为没有任何三点共线,则 任何三点都确定一个平面,共有 4 个。.

42. 下列命题中正确的个数是 [

]

①三角形是平面图形 ②四边形是平面图形

③四边相等的四边形是平面图形 ④矩形一定是平面图形

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

解析:命题①是正确的,因为三角形的三个顶点不共线,所以这三点确定平面。

命题②是错误,因平面四边形中的一个顶点在平面的上、下方向稍作运动,就形成了空间四边形。命 题③也是错误,它是上一个命题中比较特殊的四边形。

命题④是正确的,因为矩形必须是平行四边形,有一组对边平行,则确定了一个平面。

43. 如果一条直线上有一个点不在平面上,则这条直线与这个平面的公共点最多有____1 个。

解析:如果有两个,则直线就在平面内,那么直线上的所有点都在这个平面内,这就与已知有一个点 不在平面上矛盾,所以这条直线与这个平面的公共点最多有一个。

44. 空间一条直线及不在这条直线上的两个点,如果连结这两点的直线与已知直线_______,则它们在 同一平面内。答案:相交或平行

解析:根据推论 2,推论 3 确定平面的条件。

45. 三角形、四边形、正六边形、圆,其中一定是平面图形的有________3 个。

解析:三角形的三个顶点不在一条直线上,故可确定一个平面,三角形在这个平面内;圆上任取三点 一定不在一条直线上,这三点即确定一个平面,也确定了这个圆所在的平面,所以圆是平面图形;而 正六边形内接于圆,故正六边形也是平面图形;而四边形就不一定是平面图形了,它的四个顶点可以 不在同一平面内。

46. 三条平行直线可以确定平面_________个。答案:1 个或 3 个

解析:分类、一类三线共面,即确定一个平面,另一类三线不共面,每两条确定一个,可确定 3 个。 47. 画出满足下列条件的图形。 (1)α ∩β =1,a α ,b β ,a∩b=A (2)α ∩β =a,b β ,b∥a 解析:如图 1-8-甲,1-8-乙

48.经过平面? 外两点 A,B 和平面? 垂直的平面有几个?
解析:一个或无数多个。
当 A,B 不垂直于平面? 时,只有一个。 当 A,B 垂直于平面? 时,有无数多个。

49. 设空间四边形 ABCD,E、F、G、H 分别是 AC、BC、DB、DA 的中点,若 AB=12 2 ,CD=4 2 , 且四边形 EFGH 的面积为 12 3 ,求 AB 和 CD 所成的角.
解析: 由三角形中位线的性质知,HG∥AB,HE∥CD,∴ ∠EHG 就是异面直线 AB 和 CD 所成的角.

∵ EFGH 是平行四边形,HG= 1 AB=6 2 , 2

HE= 1 ,CD=2 3 ,

2

D

∴ SEFGH=HG·HE·sin∠EHG=12 6 sin∠EHG,∴ 12 6 sin∠EHG
H
12 3 .

∴ sin∠EHG= 2 ,故∠EHG=45°. 2

E A

∴ AB 和 CD 所成的角为 45°


G
C F B

注:本例两异面直线所成角在图中已给,只需指出即可。

50. 点 A 是 BCD 所在平面外一点,AD=BC,E、F 分别是 AB、CD 的中点,且 EF= 2 AD,求异面直线 AD 2
和 BC 所成的角。(如图)

解析:设 G 是 AC 中点,连接 DG、FG。因 D、F 分别是 AB、

A
CD 中

点,故 EG∥BC 且 EG= 1 BC,FG∥AD,且 FG= 1 AD,由异面直

E

线所

2

2

成角定义可知 EG 与 FG 所成锐角或直角为异面直线 AD、BC

G

所成

角,即∠EGF 为所求。由 BC=AD 知 EG=GF= 1 AD,又 EF=AD,

B

2

D 由余

弦定理可得 cos∠EGF=0,即∠EGF=90°。

F

C

注:本题的平移点是 AC 中点 G,按定义过 G 分别作

出了

两条异面直线的平行线,然后在△ EFG 中求角。通常在出现线段中点时,常取另一线段中点,以构成

中位线,既可用平行关系,又可用线段的倍半关系。

51. 已知空间四边形 ABCD 中,AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N 分别为 BC、AD 的中点。

求:AM 与 CN 所成的角的余弦值;

解析:(1)连接 DM,过 N 作 NE∥AM 交 DM 于 E,则∠CNE

为 AM 与 CN 所成的角。

∵N 为 AD 的中点, NE∥AM 省

∴NE= 1 AM 且 E 为 MD 的中点。 2

设正四面体的棱长为 1,

则 NC= 1 ·

3
=

3 且 ME= 1 MD= 3

22 4

2

4

在 Rt△ MEC 中,CE2=ME2+CM2=

3

1
+

=

7

16 4 16

∴cos∠CNE= CN 2

? NE 2

? CE 2

?

(

3)2 4

?(

3)2 4

?7 16

??2,

2 ? CN ? NE

2? 3 ? 3

3

44

又∵∠CNE ∈(0, ? ) 2

∴异面直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为 2 . 3

注:1、本题的平移点是 N,按定义作出了异面直线中一条的平行线,然后先在△CEN 外计算 CE、CN、 EN 长,再回到△CEN 中求角。

2、作出的角可能是异面直线所成的角,也可能是它的邻补角,在直观图中无法判定,只有通过解三角 形后,根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角(也就是异面直线所成的角)或钝角(异面 直线所成的角的邻补角)。最后作答时,这个角的余弦值必须为正。

52. .如图所示,在空间四边形 ABCD 中,点 E、F 分别是 BC、AD 上的点,已知 AB=4,CD=20,EF=7,
AF ? BE ? 1 。求异面直线 AB 与 CD 所成的角。 FD EC 3

解析:在 BD 上取一点 G,使得 BG ? 1 ,连结 EG、FG

C

GD 3

在Δ BCD 中, BE ? BG ,故 EG//CD,并且 EC GD
EG ? BE ? 1 , CD BC 4

E

BG

A

F

D

所以,EG=5;类似地,可证 FG//AB,且 FG ? DF ? 3 , AB AD 4

故 FG=3,在Δ EFG 中,利用余弦定理可得

cos∠

D1 A1

C1 B1

E

D

C

O A

B

FGE= EG 2 ? GF 2 ? EF 2 ? 32 ? 52 ? 72 ? ? 1 ,故∠FGE=120°。

2 ? EG ? GF

2?3?5

2

另一方面,由前所得 EG//CD,FG//AB,所以 EG 与 FG 所成的锐角等于 AB 与 CD 所成的角,于 是 AB 与 CD 所成的角等于 60°。

53. 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=c,AB=a,AD=b,且 a>b.求 AC1 与 BD 所成的角的余弦.

解一:连 AC,设 AC∩BD=0,则 O 为 AC 中点,取 C1C 的中点 F,连 OF,则 OF∥AC1 且 OF= 1 AC1, 2

所以∠FOB 即为 AC1 与 DB 所成的角。在△FOB 中,OB= 1 a2 ? b2 ,OF= 1 a 2 ? b2 ? c2 ,

2

2

1
BE=

b 2 ? 1 c 2 ,由余弦定理得

2

4

D1
A1 O1
D O
A

C1 B1
F G
C
B

1 (a 2 ? b2 ) ? 1 (a 2 ? b2 ? c2 ) ? (b2 ? 1 c2 )

cos∠OB= 4

4

4=

2? 1 a2 ? b2 ? a2 ? b2 ? c2

4

a2 ? b2 (a 2 ? b2 )(a 2 ? b2 ? c 2)

解二:取 AC1 中点 O1,B1B 中点 G.在△C1O1G 中,∠C1O1G 即 AC1 与 DB 所成的角。

解三:.延长 CD 到 E,使 ED=DC.则 ABDE 为平行四边形.AE∥BD,所以∠EAC1 即为 AC1 与 BD 所成的角.连 EC1,在△AEC1

中,AE= a2 ? b2 ,AC1= a2 ? b2 ? c2 ,C1E= 4a2 ? c2 由余弦定理,得

cos∠EAC1= (a2 ? b2 ) ? (a2 ? b2 ? c2 ) ? (4a2 ? c2 ) =

b2 ? a2

<0

2? a2 ? b2 ? a2 ? b2 ? c2

(a 2 ? b2 )(a 2 ? b2 ? c 2)

所以∠EAC1 为钝角.

根据异面直线所成角的定义,AC1 与 BD 所成的角的余弦为

a2 ?b2

(a 2 ? b2 )(a 2 ? b2 ? c2 )

54. 已知 AO 是平面 ? 的斜线,A 是斜足,OB 垂直 ? ,B 为垂足,则

直线 AB 是斜线在平面 ? 内的射影,设 AC 是 ? 内的任一条

直线,

解析:设 AO 与 AB 所成角为 ?1 ,AB 与 AC 所成角为 ? 2 , 角为 ? ,则有 cos? ? cos?1 ? cos?2 。
在三棱锥 S—ABC 中,∠SAB=∠SAC=

O

A'

B

A C

C'

AO 与 AC 所成

∠ACB= 90? , AC ? 2, BC ? 3, SB ? 29 ,求异面直线 SC 与 AB 所成角的大小。(略去了该题的
1,2 问)

由 SA⊥平面 ABC 知,AC 为 SC 在平面 ABC 内的射影,

S

设异面直线 SC 与 AB 所成角为 ? , 则 cos? ? cos?SCA? cos?BAC,
由 AC ? 2, BC ? 3, SB ? 29 得 AB ? 17 , SA ? 2 3, SC ? 2

B A
C

∴ cos?SCA ? 1 , cos?BAC ? 2 ,

2

17

∴ cos ? ? 17 , 即异面直线 SC 与 AB 所成角为 arccos 17 。

17

17

55. 已知平行六面体 ABCD ? A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形,且 ?C1CB ? ?C1CD ? ?BCD ? 60 ? ,证明 C1C?BD 。
(略去了该题的 2,3 问)

B1 C1
B

解析:设 C1 在平面 ABCD 内射影为 H,则 CH 为 C1C 在平面 ABCD C H
射影,

A1 D1

A D

内的

∴ cos?C1CD ? cos?C1CH ? cos?DCH , ∴ cos ?C1CB ? cos ?C1CH ? cos ?BCH , 由题意 ?C1CD ? ?C1CB , ∴ cos?DCH ? cos?BCH 。 又 ∵ ?DCH,?BCH ?[0, ?)

∴ ?DCH ? ?BCH , 从而 CH 为 ?DCB 的平分线, 又四边形 ABCD 是菱形, ∴ CH?BD

∴ C1C 与 BD 所成角为 90? , 即 C1C?BD
56.. 在正四面体 ABCD 中,E,F 分别为 BC,AD 的中点, 求异面直线 AE 与 CF 所成角的大小。 解析: 连接 BF、EF,易证 AD⊥平面 BFC, ∴ EF 为 AE 在平面 BFC 内的射影,
设 AE 与 CF 所成角为 ? , ∴ cos? ? cos?AEF? cos?CFE , 设正四面体的棱长为 a ,则 AE ? CF ? BF ? 3 a ,
2 显然 EF⊥BC, ∴ EF ? 2 a ,
2

A F

B

D

E C

∴ cos ?AEF ? EF ? 6 , cos ?AFE ? EF ? 6 ,

AE 3

CF 3

∴ cos? ? 2 , 即 AE∴与 CF 所成角为 arccos2 。

3

3

57. 三棱柱 OAB ? O1 A1B1 ,平面 OBB1O1 ⊥平面 OAB,

?O1OB ? 60 ? , ?AOB ? 90 ? ,且 OB ? OO1 ? 2, OA ? 3 ,求异面直线 A1B 与 AO1 所成角的大小,
(略去了该题的 1 问)

解析: 在平面 BO1 内作 BC?OO1 于 C ,连 A1C ,

O1

B1

A1

由平面 BOO1B1? 平面 AOB, ?AOB ? 90? 知,

C

O

B

AO⊥平面 BOO1B1 , ∴ AO?BC ,

A

又 AO ? OO1 ? O , ∴ BC⊥平面 AOO1 A1 ,

∴ A1C 为 A1B 在平面 AOO1 A1 内的射影。

设 A1B 与 AO1 所成角为 ? , A1C 与 AO1 所成角为 ? 2 ,

则 cos? ? cos?BA1C ? cos?2 ,

由题意易求得 BC ? 3, A1C ? 2, A1B ? 7 ,



cos ?BA1C

?

A1C A1 B

?

2, 7

在矩形 AOO1 A1 中易求得 A1C 与 AO1 所成角 ? 2 的余弦值: cos ?2

?

7 14





cos? ? cos?BA1C ? cos?2

?1, 7

即 A1B 与 AO1 所成角为

arccos1 。 7

58. 已知异面直线 a 与 b 所成的角为 50? ,P 为空间一定点,则过点 P 且与 a , b 所成的角均是 30? 的
直线有且只有( )

A、1 条 B、2 条 C、3 条 D、4 条

解析: 过空间一点 P 作 a ' ∥ a ,b ' ∥ b ,则由异面直线所成角的定义知:a ' 与 b ' 的交角为 50? ,过 P 与 a ' ,b ' 成等角的直线与 a ,b 亦成等角,设 a ' ,b ' 确定平面 ? ,a ' ,b ' 交角的平分线为 l ,则过 l 且 与 ? 垂直的平面(设为 ? )内的任一直线 l ' 与 a ' ,b ' 成等角(证明从略),由上述结论知:l ' 与 a ' ,b ' 所成角大于或等于 l 与 a ' ,b ' 所成角 25? ,这样在 ? 内 l 的两侧与 a ' ,b ' 成 30? 角的直线各有一条,共 两条。在 a ' ,b ' 相交的另一个角130? 内,同样可以作过130? 角平分线且与 ? 垂直的平面 ? ,由上述结 论知, ? 内任一直线与 a ' , b ' 所成角大于或等于 65? ,所以 ? 内没有符合要求的直线,因此过 P 与 a , b 成 30? 的直线有且只有 2 条,故选(B)

59. 垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是(



A.平行

B.相交

C.异面

D.以上都有可能

解析:D

60. l1、l2 是两条异面直线,直线 m1、m2 与 l1、l2 都相交,则 m1、m2 的位置关系是(



A.异面或平行

B.相交

C.异面

D.相交或异面

解析:D

61. 在正方体 ABCD-A’B’C’D’中,与棱 AA’异面的直线共有几条





A.4

B.6

C.8

D.10

解析:A

62.在正方体 ABCD-A’B’C’D’中 12 条棱中能组成异面直线的总对数是





A.48 对 C.12 对

B.24 对 D.6 对

解析:B
D' A'

C' B'

D

C

A B
一次,共有 24 对.

棱 AA’有 4 条与之异面,所以,所有棱能组成 4×12=48 对,但每一对都重复计算

63.. 正方体 ABCD-A’B’C’D’中,异面直线 CD’和 BC’所成的角的度数是(



A.45°

B.60°

C.90°

D.120°

D' A'

C' B'

D

C

解析:B

A B

∠AD’C=60°即为异面直线 CD’和 BC’所成的角的度数为 60°

64.异面直线 a、b,a⊥b,c 与 a 成 30°角,则 c 与 b 成角的范围是





? ? ? ? , 32
A.

? ? ? ? , 62
B.

? ? ? 2? , 63
C.

? ? ? 2? , 33
D.

c2 c1

b
解A b 成角的最小值是 60°

直线 c 在位置 c2 时,它与 b 成角的最大值为 90°,直线 c 在 c1 位置时,它与

65..如图,空间四边形 ABCD 的各边及对角线长都是 1,点 M 在边 AB 上运动、点 Q 在边 CD 上运动,

则 P、Q 的最短距离为(



1

2

3

3

A.

B.

C.

D.

2

2

4

2

解析:B

当 M,N 分别为中点时。

因为 AB, CD 为异面直线,所以 M, N 的最短距离就是异面直线 AB,CD 的距离为最短。连接 BN,AN 则 CD⊥BN,CD⊥AN 且 AN=BN,所以 NM⊥AB。同理,连接 CM,MD 可得 MN⊥CD。所以 MN 为 AB,CD

3
的公垂线。因为 AN=BN= 2 所以在 RT△BMN 中,MN=

BN2-BM2 =

31 2 -=
44 2


异面直线的距离通常利用定义来求,它包括两个步骤:先证一条线段同时与两异面直线相交垂直;再利

用数量关系求解。在做综合题时往往大家只重视第二步,而忽略第一步。

66. 空间四边形 ABCD 中,AD=BC=2,E,F 分别是 AB,CD 的中点,EF=√3,则 AD,BC 所成的角为





A.30°

B.60°

C.90°

D.120°

12+12-? 3?2 1
cos?EMF= 2?1?1 =- 2

解B

注:

面直线所成角的概念,范围及求法,需注意的是,异面直线所

不能是钝角,而利用平行关系构造可求解的三角形,可能是钝

形,望大家注意。同时求角的大小是先证明再求解这一基本过

67. 直线 a 是平面α 的斜线,b 在平α 内,已知 a 与 b 成 60° B

A
E M
F C

考察异 成的角 角三角 程。
的角, D

且 b 与 a 在平α 内的射影成 45°角时,a 与α 所成的角是 ()

A.45°

B.60°

C.90°

D.135°

解A

A
a

Ob

C

?

B

A∈a,A在 ?内的射影是C,则AC⊥ ?于C,AB⊥b 于B,则OB⊥平面ABC?OB⊥BC

OC

OB

∵cos?AOC= OA cos?AOB=cos60?= OA

cos?

BOC=cos45?=

OB OC

∴cos?AOC=

OC OA

cos?AOB cos60? = cos?BOC = cos45? =

2 2 ∴?AOC=45?

68. m 和 n 是分别在两个互相垂直的面 α 、β 内的两条直线,α 与 β 交于 l,m 和 n 与 l 既不垂直, 也不平行,那么 m 和 n 的位置关系是
A.可能垂直,但不可能平行 B.可能平行,但不可能垂直 C.可能垂直,也可能平行 D.既不可能垂直,也不可能平行
解析:这种结构的题目,常常这样处理,先假设某位置关系成立,在此基础上进行推理,若无矛盾, 且推理过程可逆,就肯定这个假设;若有矛盾,就否定这个假设。
设 m//n,由于 m 在 β 外,n 在 β 内, ∴m//β 而 α 过 m 与 β 交于 l ∴m//l,这与已知矛盾, ∴m 不平行 n. 设 m⊥n,在 β 内作直线 α ⊥l, ∵α ⊥β , ∴a⊥α , ∴m⊥a. 又由于 n 和 a 共面且相交(若 a//n 则 n⊥l,与已知矛盾) ∴m⊥β , ∴m⊥l 与已知矛盾, ∴m 和 n 不能垂直. 综上所述,应选(D).

69. 如图,ABCD-A1B1C1D1 是正方体,E、F 分别是 AD、DD1 的中点,则面 EFC1B 和面 BCC1 所成二 面角的正切值等于
解析:为了作出二面角 E-BC1-C 的平面角,需在一个面内取一点,过该点向另一个面引垂线(这是用

三垂线定理作二面角的平面角的关键步骤)。
从图形特点看,应当过 E(或 F)作面 BCC1 的垂线. 解析:过 E 作 EH⊥BC,垂足为 H. 过 H 作 HG⊥BC1,垂足为 G.连 EG. ∵面 ABCD⊥面 BCC1,而 EH⊥BC ∵EH⊥面 BEC1, EG 是面 BCC1 的斜线,HG 是斜线 EG 在面 BCC1 内的射影.

∵HG⊥BC1,
∴EG⊥BC1, ∴∠EGH 是二面角 E-BC1-C 的平面角。

在 Rt△ BCC1 中:sin∠C1BC=

=

在 Rt△ BHG 中:sin∠C1BC=

∴HG= 而 EH=1,

(设底面边长为 1).

在 Rt△ EHG 中:tg∠EGH= ∴∠EGH=arctg

故二面角 E-BC1-C 等于 arctg .

70. 将边长为 1 的正方形 ABCD,沿对角线 AC 折起,使 BD= .则三棱锥 D-ABC 的体积为
解析:设 AC、BD 交于 O 点,则 BO⊥AC 且 DO⊥AC,在折起后,这个垂直关系不变,因此∠BOD 是二面角 B-AC-D 的平面角.
由于△ DOB 中三边长已知,所以可求出∠BOD:
这是问题的一方面,另一方面为了求体积,应求出高,这个高实际上是△ DOB 中,OB 边上的高 DE, 理由是:
∵DE⊥OB
∴DE⊥面 ABC. 由 cos∠DOB= ,知 sin∠DOE=
∴DE= ∴ 应选(B) 71. 球面上有三个点 A、B、C. A 和 B,A 和 C 间的球面距离等于大圆周长的 . B 和 C 间的球面距离等 于大圆周长的 .如果球的半径是 R,那么球心到截面 ABC 的距离等于

解析:本题考查球面距离的概念及空间想像能力.
如图所示,圆 O 是球的大圆,且大圆所在平面与面 ABC 垂直,其中弦 EF 是过 A、B、C 的小 圆的直径,弦心距 OD 就是球心 O 到截面 ABC 的距离,OE 是球的半径,因此,欲求 OD,需先求出

截面圆 ABC 的半径. 下一个图是过 A、B、C 的小圆.AB、AC、CB 是每两点之间的直线段.它们的长度要分别在△AOB、
△AOC、△COB 中求得(O 是球心).由于 A、B 间球面距离是大圆周长的 ,所以∠AOB= ×2π = ,

同理∠AOC= ,∠BOC= .
∴|AB|=R, |AC|=R, |BC|= . 在△ABC 中,由于 AB2+AC2=BC2. ∴∠BAC=90°,BC 是小圆 ABC 的直径.

∴|ED|=

从而|OD|=

.

故应选 B.

72. 如图,四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 是正方形,PA⊥底面 ABCD,该图中,互相垂直的面有

A.4 对 B.5 对 C.6 对 D.7 对 答案(D)
解析:要找到一个好的工作方法,使得计数时不至于产生遗漏 73. ABCD 是各条棱长都相等的三棱锥.M 是△ABC 的垂心,那么 AB 和 DM 所成的角等于______

解析:90°连 CM 交 AB 于 N,连 DN,易知 N 是 AB 中点,AB⊥CN,AB⊥DN.

74. 已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证:MN⊥CD; (2)若∠PDA=45°,求证 MN⊥面 PCD.(12 分) 解析:

(1)取PD中点E, 又N为PC中点, 连NE, 则NE // CD, NE ? 1 CD. 2

又? AM // CD, AM ? 1 CD,? AM // NE,?四边形AMNE为平行四边形

2

?

? MN // AE

?

PA CD

? 平面ABCD?

? 面ABCD

? ?

?

CD CD

? ?

PA ? AD??

?

CD AE

? ?

平面ADP? 平面ADP??

?

CD

?

AE.(注 : 或直接用三垂线定理,

(2)当?PDA ? 45?时, Rt?PAD为等腰直角三角形 则AE ? PD,又MN // AE,? MN ? PD, PD ? CD ? D ? MN ? 平面PCD.
75. 设 P、Q 是单位正方体 AC1 的面 AA1D1D、面 A1B1C1D1 的中心。
如图:(1)证明:PQ∥平面 AA1B1B;
(2)求线段 PQ 的长。(12 分)

(1)证法一 : 取AA1, A1B1的中点M , N ,连结MN, NQ, MP

? MP//

AD, MP

?

1 2

AD,

NQ

//

A1 D1 ,

NQ

?

1 2

A1 D1

? MP // ND且MP ? ND

?四边形PQNM为平行四边形

? PQ// MN

? MN ? 面AA1B1B, PQ ? 面AA1B1B

? PQ // 面AA1B1B

证法二: 连结AD1, AB1,在?AB1D1中,显然P, Q分别是AD1, D1B的中点

?

PQ

//

A B, 且P Q

1 2

AB1

? PQ ? 面AA1B1B, AB1 ? 面AA1B1B

? PQ // 面AA1B1B

(2)方法一 : PQ ? MN ?

A1M 2 ? A1N 2 ?

2a 2

方法二:

PQ

?

1 2

AB1

?

2 a. 2

评注:本题提供了两种解法,方法一,通过平行四边形的对边平行得到“线线平行”,从而证得“线面 平行”;方法二,通过三角形的中位线与底边平行得到“线线平行”,从而证得“线面平行”。本题证法 较多。

76. 如图,已知? ? ? ? l, EA ? ?于A, EB ? ?于B, a ? ?, a ? AB.

求证 a∥l 解析:

EA ? ?, ??? ?

EB l

?

?

? ? ?

?

l l

? ?

EA? EB??

?

l

?

平面EAB

又? a ? ?, EA ? ?,? a ? EA

又?a ? AB

? a ? 平面EAB

?a // l.

77. .如图,ABCD 为正方形,过 A 作线段 SA⊥面 ABCD,又过 A 作与 SC 垂直的平面交 SB、 SC、SD 于 E、K、H,求证:E、H 分别是点 A 在直线 SB 和 SD 上的射影。(12 分)

解析:

? SA ? 平面ABCD?

BC ? 平面ABCD

? ? SA ? ?

BC

又? AB ? BC, SA ? AB ? A,? BC ? 平面SAB

? BC ? AE

? SC ? 平面AHKE

? SC ? AE

又BC ? SC ? C

? AE ? 平面SBC

? AE ? SB,即E为A在SB上的射影.

用理可证, H是点A在SD上的射影.

78. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1,G 为 CC1 的中点,O 为底面 ABCD 的中心。 求证:A1O⊥平面 GBD(14 分)
解析:

? A1 A AC ?

? BD?

BD

? ?

?

BD A1O

? 平面A1 ? 面A1 A

AD?

O

? ?

?

BD

?

A1O

又 ? A1O 2

?

A1 A2

? AO2

? a2

?(

2 a)2 2

?

3 a2 2

OG 2 ? OC 2 ? CG 2 ? ( 2 a)2 ? ( a )2 ? 3 a 2

2

24

A1G 2 ? A1C12 ? C1G 2 ? (

2a)2

?

a2 (

)

?

9

a2

24

? A1O 2 ? OG 2 ? A1G 2

? A1O ? OG 又BD ? OG ? 0 A1O ? 平面GBD

79. 如图,已知 a、b 是两条相互垂直的异面直线,其公垂线段 AB 的长为定值 m,定长为 n(n>m) 的线段 PQ 的两个端点分别在 a、b 上移动,M、N 分别是 AB、PQ 的中点。

(1)求证:AB⊥MN;

(2)求证:MN 的长是定值(14 分)

解析:

(1)取PB中点H ,连结HN,则HN //b 又? AB ? b ? AB ? HN 同理AB ? MH ? AB ? 平面MNH ? AB ? 平面MNH ? AB ? MN

(2)

?

b b

? ?

AB?

a

? ?

?

b

?

平面P

AB?

b

?

PB.

在Rt?PBQ中, BQ2 ? PQ2 ? PB2 ? n2 ? PB2 ?(1)

在Rt?PBA中, PA2 ? PB2 ? AB2 ? PB2 ? m2 ?(2)

(1),(2)两式相加PA2 ? BQ2 ? n2 ? m2

? a ? b,? ?MHN ? 90?

? MN ? MH 2 ? NH 2 ? ( PA)2 ? ( BQ)2 ? 1 n2 ? m2 (定值)

2

22

80. 已知:平面? 与平面 ? 相交于直线 a,直线 b 与? 、 ? 都平行,求证:b∥a.

证明:在 a 上取点 P,b 和 P 确定平面? 设? 与? 交于 a? ,? 与 ? 交于 a??

∵ b∥? 且 b∥ ?

∴ b∥ a? 且 b∥ a??

∴ a? 与 a?? 重合,而 a? ? ? , a?? ? ? ,实际上是 a? 、 a?? 、a 三线重合,

∴ a∥b.
81. 有三个几何事实(a,b 表示直线,? 表示平面),① a∥b,② a∥? ,③ b∥? .其中,a,b 在面 ? 外.

用其中两个事实作为条件,另一个事实作为结论,可以构造几个命题?请用文字语言叙述这些命题, 并判断真伪.正确的给出证明,错误的举出反例.

解析:Ⅰ: a∥b
a∥? ?b∥? b 在? 外
Ⅱ:a∥b
b∥? ?a∥? a 在? 外

Ⅰ、Ⅱ是同一个命题:两条平行直线都在一个平面外,若其中一条与平面平行,则另一条也与该平面 平行.

证明:过 a 作平面 ? 与? 交于 a?

∵ a∥?

∵ a∥ a?

而 a∥b

∴ b∥ a? 且 b 在? 外, a? 在? 内

∴ b∥? .

Ⅲ:a∥?

? a∥b

b∥?

命题:平行于同一个平面的两条直线平行,

这是错的,如右图

82. 两个平面同时垂直于一条直线,则两个平面平行.

已知:?、?是两个平面,直线 l⊥?,l⊥?,垂足分别为 A、B.

求证:?∥?思路 1:根据判定定理证. 证法 1:过 l 作平面??, ?∩?=AC,?∩?=BD, 过 l 作平面?, ?∩?=AE,?∩?=BF,

γ
?C
?D

l

E
B F

l⊥? ?l⊥AC

l⊥? ?l⊥BD

?AC∥BD ?AC∥?,

l、AC、BD 共面
同理 AE∥?,AC∩AE≠??,AC,AE ? ??,故?∥?.

思路 2:根据面面平行的定义,用反证法.

证法 2:设?、?有公共点 P

则 l 与 P 确定平面?,

且?∩?=AP,?∩?=BP.

l⊥? ?l⊥AP

l⊥? ?l⊥BP

l、AP、BP 共面,于是在同一平面内过一点有两条直线 AP、BP 都与 l 垂直,这是不可能的.

故?、?不能有公共点,∴ ?∥?.

83. 已知:a、b 是异面直线,a ? 平面?,b ? 平面?,a∥?,b∥?.

求证:?∥?.

证法 1:在 a 上任取点 P,

显然 P∈b.

于是 b 和点 P 确定平面?.

b′

且??与??有公共点 P

∴ ??∩?=b′

且 b′和 a 交于 P,

∵ b∥??,

∴ b∥b′

∴ b′∥?

而 a∥?

这样??内相交直线 a 和 b′都平行于?

∴ ?∥?.

证法 2:设 AB 是 a、b 的公垂线段,

过 AB 和 b 作平面??,

??∩? =b′,

过 AB 和 a 作平面??,

? ∩?=a′.

a∥ ? ?a∥a′

b∥? ?b∥b′

∴AB⊥a ?AB⊥a′,AB⊥b ?AB⊥b′

于是 AB⊥??且 AB⊥?,∴ ?∥?.

84. 已知 a、b、c 是三条不重合的直线,α 、β 、r 是三个不重合的平面,下面六个命题:

①a∥c,b∥c ?a∥b;

②a∥r,b∥r ?a∥b;

③α ∥c,β ∥c ?α ∥β ;

④α ∥r,β ∥r ?α ∥β ;

⑤a∥c,α ∥c ?a∥α ;

⑥a∥r,α ∥r ?a∥α .

其中正确的命题是

()

(A) ①④

(B) ①④⑤

(C) ①②③

(D) ①⑤⑥

解析:由公理 4“平行于同一条直线的两条直线互相平行”可知命题①正确;若两条不重合的直线同平 行于一个平面,它们可能平行,也可能异面还可能相交,因此命题②错误;平行于同一条直线的两个 不重合的平面可能平行,也可能相交,命题③错误;平行于同一平面的两个不重合的平面一定平行, 命题④正确;若一条直线和一个平面分别平行于同一条直线或同一个平面,那么这条直线与这个平面 或平行,或直线在该平面内,因此命题⑤、⑥都是错的,答案选 A.

85. 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC,M、N 分别是 A1B1,AB 的中点,P 点在线段 B1C 上,则

NP 与平面 AMC1 的位置关系是

()

(A) 垂直

(B) 平行
P (C) 相交但不垂直

(D) 要依 P 点的位置而定

解析:由题设知 B1M∥AN 且 B1M=AN, 四边形 ANB1M 是平行四边形, 故 B1N∥AM,B1N∥AMC1 平面.
又 C1M∥CN,得 CN∥平面 AMC1,则平面 B1NC∥AMC1,NP ? 平面 B1NC,
∴ NP∥平面 AMC1. 答案选 B. 86. 已知:正方体 ABCD-A1B1C1D1 棱长为 a. (1) 求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C; (2) 求平面 A1BD 和平面 B1D1C 的距离. 证明:(1) 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, ∵ BB1 平行且等于 DD1, ∴ 四边形 BB1D1D 是平行四边形, ∴ BD∥B1D1, ∴ BD∥平面 B1D1C. 同理 A1B∥平面 B1D1C, 又 A1B∩BD=B, ∴ 平面 A1BD∥平面 B1D1C 解:(2) 连 AC1 交平面 A1BD 于 M,交平面 B1D1C 于 N. AC 是 AC1 在平面 AC 上的射影,又 AC⊥BD, ∴ AC1⊥BD, 同理可证,AC1⊥A1B, ∴ AC1⊥平面 A1BD,即 MN⊥平面 A1BD, 同理可证 MN⊥平面 B1D1C. ∴ MN 的长是平面 A1BD 到平面 B1D1C 的距离, 设 AC、BD 交于 E,则平面 A1BD 与平面 A1C 交于直线 A1E.

∵ M∈平面 A1BD,M∈AC1 ? 平面 A1C,
∴ M∈A1E.

同理 N∈CF.

在矩形 AA1C1C 中,见图 9-21(2),由平面几何知识得

MN

?

1 3

AC1



∴ MN ? 3 a . 3
评述:当空间图形较为复杂时,可以分解图形,把其中的平面图形折出分析,利于清楚地观察出平面 上各种线面的位置关系.证明面面平行,主要是在其中一个平面内找出两条与另一个平面平行的相交 直线,或者使用反证法. 87. 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1,底面边长为 8,对角线 B1C=10,D 为 AC 的中点. (1) 求证 AB1∥平面 C1BD; (2) 求直线 AB1 到平面 C1BD 的距离. 证明:(1) 设 B1C∩BC1=O. 连 DO,则 O 是 B1C 的中点. 在△ACB1 中,D 是 AC 中点,O 是 B1C 中点. ∴ DO∥AB1,
又 DO ? 平面 C1BD,AB1 ? 平面 C1BD,
∴ AB1∥平面 C1BD. 解:(2) 由于三棱柱 ABC-A1B1C1 是正三棱柱,D 是 AC 中点, ∴ BD⊥AC,且 BD⊥CC1, ∴ BD⊥平面 AC1, 平面 C1BD⊥平面 AC1,C1D 是交线. 在平面 AC1 内作 AH⊥C1D,垂足是 H, ∴ AH⊥平面 C1BD,

又 AB1∥平面 C1BD,故 AH 的长是直线 AB1 到平面 C1BD 的距离. 由 BC=8,B1C=10,得 CC1=6, 在 Rt△C1DC 中,DC=4,CC1=6,

6

3

sin ?C1DC ?

? 42 ? 62

13

在 Rt△DAH 中,∠ADH=∠C1DC



AH

?

AD ? sin ?C1DC

?

12 13 13





AB1 到平面

C1BD

的距离是 12 13 13



评述:证明线面平行的关键是在平面内找出与已知直线平行的直线,如本题的 DO.本题的第(2)问, 实质上进行了“平移变换”,利用 AB1∥平面 C1BD,把求直线到平面的距离变换为求点 A 到平面的距 离.

88. 已知:直线 a∥平面? .求证:经过 a 和平面? 平行的平面有且仅有一个.

证:过 a 作平面与? 交于 a? ,在? 内作直线 b? 与 a? 相交,在 a 上任取一点 P,在 b? 和 P 确定的平面 内,过 P 作 b∥ b? .b 在? 外, b? 在? 内,

∴ b∥?

而 a∥?

∴ a,b 确定的平面 ? 过 a 且平行于? .

∵ 过 a,b 的平面只有一个,

∴ 过 a 平行于平面? 的平面也只有一个

89. 已知平面? 、? 、? 、? .其中? ∩? =l,? ∩? =a,? ∩? = a? ,a∥ a? ,? ∩? =b,? ∩? = b? , b∥ b?

上述条件能否保证有? ∥ ? ?若能,给出证明,若

l

个反例,并添加适当的条件,保证有? ∥ ? .

不能给出一

不足以保证? ∥ ? .
如右图.

?

b'

a'
?

b

a

?

?

如果添加条件 a 与 b 是相交直线,那么? ∥ ? .
证明如下:
a∥ a? ?a∥ ? b∥ b? ?b∥ ? ∵ a,b 是? 内两条相交直线, ∴ ?∥?.
90. 三个平面两两相交得三条直线,求证:这三条直线相交于同一点或两两平行. 已知:平面α ∩平面β =a,平面β ∩平面γ =b,平面γ ∩平面α =c. 求证:a、b、c 相交于同一点,或 a∥b∥c. 证明:∵α ∩β =a,β ∩γ =b
∴a、b ? β ∴a、b 相交或 a∥b. (1)a、b 相交时,不妨设 a∩b=P,即 P∈a,P∈b 而 a、b ? β ,a ? α ∴P∈β ,P∈α ,故 P 为α 和β 的公共点 又∵α ∩γ =c 由公理 2 知 P∈c ∴a、b、c 都经过点 P,即 a、b、c 三线共点. (2)当 a∥b 时 ∵α ∩γ =c 且 a ? α ,a ? γ ∴a∥c 且 a∥b ∴a∥b∥c 故 a、b、c 两两平行. 由此可知 a、b、c 相交于一点或两两平行.

说明:此结论常常作为定理使用,在判断问题中经常被使用. 91. 如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 在 AB1 上,F 在 BD 上,且 B1E=BF. 求证:EF∥平面 BB1C1C. 证法一:连 AF 延长交 BC 于 M,连结 B1M. ∵AD∥BC ∴△AFD∽△MFB
∴ AF ? DF FM BF
又∵BD=B1A,B1E=BF ∴DF=AE ∴ AF ? AE
FM B1E ∴EF∥B1M,B1M ? 平面 BB1C1C ∴EF∥平面 BB1C1C. 证法二:作 FH∥AD 交 AB 于 H,连结 HE ∵AD∥BC ∴FH∥BC,BC ? BB1C1C ∴FH∥平面 BB1C1C 由 FH∥AD 可得 BF ? BH
BD BA 又 BF=B1E,BD=AB1 ∴ B1E ? BH
AB1 BA ∴EH∥B1B,B1B ? 平面 BB1C1C ∴EH∥平面 BB1C1C, EH∩FH=H

∴平面 FHE∥平面 BB1C1C EF ? 平面 FHE ∴EF∥平面 BB1C1C
说明:证法一用了证线面平行,先证线线平行.证法二则是证线面平行,先证面面平行,然后说明直线 在其中一个平面内. 92. 已知:平面α ∥平面β ,线段 AB 分别交α 、β 于点 M、N;线段 AD 分别交α 、β 于点 C、D;线段 BF 分别交α 、β 于点 F、E,且 AM=m,BN=n,MN=p,△FMC 面积=(m+p)(n+p),求:END 的面积. 解析:如图,面 AND 分别交α 、β 于 MC,ND,因为α ∥β , 故 MC∥ND,同理 MF∥NE,得 ∠FMC=∠END, ∴ND∶MC=(m+p):m 和 EN∶FM=n∶(n+p)

1 ? EN ? ND ?sin END 2 S△END∶S△FMC=
1 ? FM ? MC ?sin FMC
2

得 S△END= EN ? ND ×S△FMC FM MC

= n ? m ? p ·(m+p)(n+p)= n (m+p)2

n? p m

m

∴△END 的面积为 n (m+p)2 平方单位. m

93. 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 N 在 BD 上,点 M 上,并且 CM=DN.

在 B1C

求证:MN∥平面 AA1B1B.

解析:本题是把证“线面平行”转化为证“线线平行”,即在 ABB1A1 内找一条直线与 MN 平行,除上面的证法外,还可以连 长交直线 BA 于点 P,连 B1P,就是所找直线,然后再设法证 B1P.

平面 CN 并延 明 MN∥

分析二:要证“线面平行”也可转化为证“面面平行”,因此,本题也可设法过 MN 作一个平面,使此 平面与平面 ABB1A1 平行,从而证得 MN∥平面 ABB1A1.
94. 已知 E,F 分别是正方形 ABCD 边 AD,AB 的中点,EF 交 AC 于 M,GC 垂直于 ABCD 所在平面.

(1)求证:EF⊥平面 GMC. (2)若 AB=4,GC=2,求点 B 到平面 EFG 的距离. 解析:第 1 小题,证明直线与平面垂直,常用的方法是判定定理;第 2 小题,如果用定义来求点到平 面的距离,因为体现距离的垂线段无法直观地画出,因此,常常将这样的问题转化为直线到平面的距 离问题. 解: (1)连结 BD 交 AC 于 O, ∵E,F 是正方形 ABCD 边 AD,AB 的中点,AC⊥BD, ∴EF⊥AC.
∵AC∩GC=C, ∴EF⊥平面 GMC. (2)可证 BD∥平面 EFG,由例题 2,正方形中心 O 到平面 EFG
95. 已知:ABCD 是矩形,SA⊥平面 ABCD,E 是 SC 上一点.

求证:BE 不可能垂直于平面 SCD. 解析:用到反证法,假设 BE⊥平面 SCD, ∵ AB∥CD;∴AB⊥BE.
∴ AB⊥SB,这与 Rt△SAB 中∠SBA 为锐角矛盾. ∴ BE 不可能垂直于平面 SCD. 96. 已知 PA,PB,PC 与平面α 所成的角分别为 60°,45°,30°,PO⊥平面α ,O 为垂足,又斜足 A, B,C 三点在同一直线上,且 AB=BC=10cm,求 PO 的长.
解析:
97. 已知:如图,AS⊥平面 SBC,SO⊥平面 ABC 于 O,

求证:AO⊥BC. 解析:连结 AO,证明 BC⊥平面 ASO. 98. 已知 ABCD 是矩形,SA⊥平面 ABCD,M、N 分别是 SC、 求证:MN⊥AB. 解析:连结 MB、MA,证明 MB=MA.

AB 的中点.

99. 已知:如图,平面??∩平面??=直线 l,A∈? ,AB⊥??,B∈??,BC⊥??,C∈?,求证:AC⊥l. 证明:∵ AB⊥??,l ? ? ∴ l⊥AB ∵ BC⊥??,l ? ? ∴ l⊥BC ∵ AB∩BC=B ∴ l⊥平面 ABC ∵ AC ? 平面 ABC ∴ l⊥AC 100. 已知:如图,P 是∠BAC 所在平面外一点,PD⊥AB,D 为垂足,PE⊥AC,E 为垂足,在平面 BAC 内过 D 作 DF⊥AB,过 E 作 EF⊥AC,使得 EF∩DF=F.连结 PF,求证:PF⊥平面 BAC. 证明:∵PD⊥AB,DF⊥AB,PD ? DF=D ∴AB⊥平面 PDF ∵PF ? 平面 PDF ∴ AB⊥PF 同理,AC⊥PF ∵ PF⊥AB,PF⊥AC,BA ? AC=A ∴ PF⊥平面 BAC 101. ?A?B?C? 是△ABC 在平面 α 上的射影,那么 ?A?B?C? 和∠ABC 的大小关系是 ( )

(A) ?A?B?C? <∠ABC

(B) ?A?B?C? >∠ABC

(C) ?A?B?C? ≥∠ABC

(D) 不能确定

解析:D

一个直角,当有一条直角边平行于平面时,则射影角可以等于原角大小,但一般情况不等.

102. 已知: 如图, △ABC 中, ?ACB = 90?, CD?平面? , AD, BD 和平面? 所成的角分别为 30?和 45?, CD = h, 求: D 点到直线 AB 的距离。

解析:1、先找出点 D 到直线 AB 的距离, 即过 D 点作 DE?AB, 从图形以及条件可知, 若把 DE 放在 △ABD 中不易求解。

2、由于 CD?平面? , 把 DE 转化到直角三角形中求解, 从而转化为先求 DE 在平面 ? 内的射影长。

解: 连 AC, BC, 过 D 作 DE?AB, 连 CE, 则 DE 为 D 到直线 AB 的距离。 ∵CD? ? ∴AC, BC 分别是 AD, BD 在 ? 内的射影。 ∴?DAC, ?DBC 分别是 AD 和 BD 与平面? 所成的角 ∴?DAC = 30?, ?DBC = 45? 在 Rt△ACD 中, ∵CD = h, ?DAC = 30? ∴AC = 3h 在 Rt△BCD 中

∵CD = h, ?DBC = 45?
∴BC = h ∵CD?? , DE?AB

∴CE?AB 在 Rt△ACB 中

AB ? AC 2 ? BC 2 ? 2h

S ? 1 AC ? BC ? 1 AB·CE

2

2

∴ CE ? AC ? BC ?

3h·h ?

3 h

AB

2h

2

∴在 Rt△DCE 中,

DE ?

DC 2 ? CE 2 ?

h2 ? ( 3 h)2 ?

7 h

2

2

∴点 D 到直线 AB 的距离为 7 h 。 2
103. 已知 a、b、c 是平面 α 内相交于一点 O 的三条直线,而直线 l 和 α 相交,并且和 a、b、c 三条直 线成等角. 求证:l⊥α 证法一:分别在 a、b、c 上取点 A、B、C 并使 AO = BO = CO.设 l 经过 O,在 l 上取一点 P,在△POA、 △POB、△POC 中, ∵ PO 公用,AO = BO = CO,∠POA =∠POB=∠POC, ∴ △POA≌△POB≌△POC ∴ PA = PB = PC.取 AB 中点 D.连结 OD、PD,则 OD⊥AB,PD⊥AB, ∵ PD ? OD ? D ∴ AB⊥平面 POD ∵ PO ? 平面 POD. ∴ PO⊥AB. 同理可证 PO⊥BC
∵ AB ?? , BC ?? , AB ? BC ? B
∴ PO⊥α,即 l⊥α

若 l 不经过 O 时,可经过 O 作 l? ∥l.用上述方法证明 l? ⊥α, ∴ l⊥α. 证法二:采用反证法 假设 l 不和 α 垂直,则 l 和 α 斜交于 O. 同证法一,得到 PA = PB = PC. 过 P 作 PO? ?? 于 O? ,则 AO? ? BO? ? CO? ,O 是△ABC 的外心.因为 O 也是△ABC 的外心,这样, △ABC 有两个外心,这是不可能的. ∴ 假设 l 不和 α 垂直是不成立的. ∴ l⊥α 若 l 不经过 O 点时,过 O 作 l? ∥l,用上述同样的方法可证 l? ⊥α, ∴ l⊥α 评述:(1)证明线面垂直时,一般都采用直接证法(如证法一),有时也采用反证法(如证法二)或同 一法. 104. P 是△ABC 所在平面外一点,O 是点 P 在平面 α 上的射影. (1)若 PA = PB = PC,则 O 是△ABC 的____________心. (2)若点 P 到△ABC 的三边的距离相等,则 O 是△ABC_________心. (3)若 PA 、PB、PC 两两垂直,则 O 是△ABC_________心. (4)若△ABC 是直角三角形,且 PA = PB = PC 则 O 是△ABC 的____________心. (5)若△ABC 是等腰三角形,且 PA = PB = PC,则 O 是△ABC 的____________心. (6)若 PA、PB、PC 与平面 ABC 所成的角相等,则 O 是△ABC 的________心; 解析:(1)外心.∵ PA=PB=PC,∴ OA=OB=OC,∴ O 是△ABC 的外心.
(2)内心(或旁心).作 OD⊥AB 于 D,OE⊥BC 于 E,OF⊥AC 于 F,连结 PD、PE、PF.∵ PO ⊥平面 ABC,∴ OD、OE、OF 分别为 PD、PE、PF 在平面 ABC 内的射影,由三垂线定理可知,PD ⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC.由已知 PD=PE=PF,得 OD=OE=OF,∴ O 是△ABC 的内心.(如图答 9-23) (3)垂心. (4)外心.(5)外心 (6)外心.PA 与平面 ABC 所成的角为∠PAO,在△PAO、△PBO、△PCO 中,PO 是公共边,∠POA=

∠POB=∠POC=90°,∠PAO=∠PBO=∠PCO,∴ △PAO≌△PBO≌△PCO,∴ OA=OB=OC,∴ O 为△ABC 的外心.

(此外心又在等腰三角形的底边高线上).

105. 将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折起来,使点 C 的新位置 C? 在面 ABC 上的射影 E 恰在 AB 上.

求证: AC? ? BC?

分析:欲证 AC? ? BC?,只须证 BC? 与 AC? 所在平面 AC?D 垂直;而要证 BC? ⊥平面 AC?D ,只须证 BC? ⊥ C?D 且 BC? ⊥AD.因此,如何利用三垂线定理证明线线垂直就成为关键步骤了.

证明:由题意, BC? ⊥ C?D ,又斜线 BC? 在平面 ABCD 上的射影是 BA,

∵ BA⊥AD,由三垂线定理,得 C?B ? AD , C?D ? DA ? D .

∴ BC? ⊥平面 C?AD ,而 C?A ? 平面 C?AD

∴ BC? ⊥ AC?

106. 已知异面直线 l1 和 l2,l1⊥l2,MN 是 l1 和 l2 的公垂线,MN = 4,A∈l1,B∈l2,AM = BN = 2,O 是 MN 中点.① 求 l1 与 OB 的成角.②求 A 点到 OB 距离.
分析:本题若将条件放入立方体的“原型”中,抓住“一个平面四条线”的图形特征及“直线平面垂 直”的关键性条件,问题就显得简单明了.

解析:(1)如图,画两个相连的正方体,将题目条件一一标

在图中.

OB 在底面上射影 NB⊥CD,由三垂线定理,OB⊥CD,又

CD∥MA,

∴ OB⊥MA 即 OB 与 l1 成 90° (2)连结 BO 并延长交上底面于 E 点.

ME = BN∥, ∴ ME = 2,又 ON = 2
∴ OB ? OE ? 2 2 . 作 AQ⊥BE,连结 MQ. 对于平面 EMO 而言,AM、AQ、MQ 分别为垂线、斜线、斜线在平面内的射影,由三垂线逆定理得 MQ⊥EO. 在 Rt△MEO 中, MQ ? ME ? MO ? 2 ? 2 ? 2 .
EO 2 2

评述:又在 Rt△AMQ 中, AQ ? AM 2 ? MQ2 ? 4 ? 2 ? 6 ,本题通过补形法使较困难的问题变得

明显易解;求点到直线的距离,仍然是利用直线与平面

垂直的

关键条件,抓住“一个面四条线”的图形特征来解决的.

107. 已知各棱长均为 a 的正四面体 ABCD,E 是 AD 边 点,连结 CE.求 CE 与底面 BCD 所成角的正弦值.

的中

解析:作 AH⊥底面 BCD,垂足 H 是正△BCD 中心,

连 DH 延长交 BC 于 F,则平面 AHD⊥平面 BCD,

作 EO⊥HD 于 O,连结 EC,

则∠ECO 是 EC 与底面 BCD 所成的角

则 EO⊥底面 BCD.

HD ? 2 DF ? 2 ? 3 a ? 3 a

3

32 3

AH ? AD 2 ? HD 2 ? a 2 ? a 2 ? 6 a 33

EO ? 1 AH ? 1 ? 6 a ? 6 a , CE ? 3 a

2

23 6

2



sin ?ECO ? EO ?

6a 6

?2

EC

3a 3

2

108. 已知四面体 S-ABC 中,SA⊥底面 ABC,△ABC 是锐角三角形,H 是点 A 在面 SBC 上的射影.求 证:H 不可能是△SBC 的垂心.

分析:本题因不易直接证明,故采用反证法.

证明:假设 H 是△SBC 的垂心,连结 BH,并延长交 SC 于 D 点,则 BH⊥SC

∵ AH⊥平面 SBC, ∴ BH 是 AB 在平面 SBC 内的射影

S D

∴ SC⊥AB(三垂线定理) 又∵ SA⊥底面 ABC,AC 是 SC 在面内的射影 ∴ AB⊥AC(三垂线定理的逆定理)

H

A

C

B

∴ △ABC 是 Rt△与已知△ABC 是锐角三角形相矛盾,于是假设不成立.

故 H 不可能是△SBC 的垂心.

109. 已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且 GC=2.求点B到平面EFG的距离.

解析:如图,连结EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O. 因为ABCD是正方形,E、 F分别为AB和AD的中点,故EF∥BD,H为AO的中点.

BD不在平面EFG上.否则,平面EFG和平面ABCD重合,从而点G在平面的ABCD上,与题设矛盾.

由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG,所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距

离.

——4分

∵ BD⊥AC,

∴ EF⊥HC.

∵ GC⊥平面ABCD,

∴ EF⊥GC,

∴ EF⊥平面HCG.

∴ 平面EFG⊥平面HCG,HG是这两个垂直平面的交线.

——6分

作OK⊥HG交HG于点K,由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG,所以线段OK的长就是点B到平

面EFG的距离.

——8分

∵ 正方形ABCD的边长为4,GC=2,

∴ AC=4 2 ,HO= 2 ,HC=3 2 .

? ? ∴ 在Rt△HCG中,HG= 3 2 2 ? 22 ? 22 .

由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的,故Rt△HKO∽△HCG.

∴ OK= HO ? GC ? 2 ? 2 ? 2 11 .

HG

22 11

即点B到平面EFG的距离为 2 11 . 11

——10分

注:未证明“BD 不在平面 EFG 上”不扣分.

110. 已知:AB 与 CD 为异面直线,AC=BC,AD=BD.

求证:AB⊥CD.

说明:(1)应用判定定理,掌握线线垂直的一般思路.

(2)思路:欲证线线垂直,只需证线面垂直,再证线线垂直,而由已知构造线线垂直是关键.

(3)教学方法,引导学生分析等腰三角形三线合一的性质构造图形,找到证明方法.

证明:如图,取 AB 中点 E,连结 CE、DE

∵AC=BC,E 为 AB 中点.

∴CE⊥AB

同理 DE⊥AB,又 CE∩DE=E,

且 CE ? 平面 CDE,DE ? 平面 CDE.

∴AB⊥平面 CDE

又 CD ? 平面 CDE

∴AB⊥CD.

111. 两个相交平面?、??都垂直于第三个平面??,那么它们的交线 a 一定和第三个平面垂直.

证明:在??内取一点 P,过 P 作 PA 垂直??与?? P 作 PB 垂直??与??的交线.

的交线;过

∵ ?⊥???且?⊥?

∴ PA⊥?且 PB⊥? ∴ PA⊥a 且 PB⊥a ∴ a⊥?

112. 在立体图形 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA⊥底面 ABCD,PA=AB,Q 是 PC 中点. AC,BD 交于 O 点. (Ⅰ)求二面角 Q-BD-C 的大小: (Ⅱ)求二面角 B-QD-C 的大小.

解析:(Ⅰ)解:连 QO,则 QO∥PA 且 QO= 1 PA 2
∵ PA⊥面 ABCD ∴ QO⊥面 ABCD 面 QBD 过 QO, ∴ 面 QBD⊥面 ABCD 故二面角 Q-BD-C 等于 90°. (Ⅱ)解:过 O 作 OH⊥QD,垂足为 H,连 CH. ∵ 面 QBD⊥面 BCD,
B
又∵ CO⊥BD CO⊥面 QBD CH 在面 QBD 内的射影是 OH ∵ OH⊥QD ∴ CH⊥QD 于是∠OHC 是二面角的平面角. 设正方形 ABCD 边长 2,

= 1 AB 2

Q H

O

D

C

则 OQ=1,OD= 2 ,QD= 3 .

∵ OH·QD=OQ·OD

∴ OH= 2 . 3

又 OC= 2

在 Rt△COH 中:tan∠OHC= OC = 2 · 2 = 3

OH

3

∴ ∠OHC=60°

故二面角 B-QD-C 等于 60°.

113. 如图在Δ ABC 中,AD⊥BC,ED=2AE,过 E 作 FG∥BC, 且将Δ AFG 沿 FG 折起,使∠A'ED=60°, 求证:A'E⊥平面 A'BC

解析:弄清折叠前后,图形中各元素之间的数量关系和位置关系。

A'

解: ∵FG∥BC,AD⊥BC ∴A'E⊥FG ∴A'E⊥BC

G

A

E

F

C D
B

设 A'E=a,则 ED=2a

由余弦定理得:

A'D2=A'E2+ED2-2?A'E?EDcos60° =3a2

∴ED2=A'D2+A'E2

∴A'D⊥A'E

∴A'E⊥平面 A'BC

114. α、β 是两个不同的平面,m,n 是平面 α 及 β 之外的两条不同直线,给出四个论断:①m⊥n,②α ⊥β,③n⊥β,④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个 命题,并证明它.

解析:m⊥α,n⊥β,α⊥β ?m⊥n(或 m⊥n,m⊥α,n⊥β ?α⊥β)

证明如下:过不在 α、β 内的任一点 P,作 PM∥m,PN∥n

过 PM、PN 作平面 r 交 α 于 MQ,交 β 于 NQ.

m?? ? PM // m??

?

PM

??

?

PM

?

MQ,

同理 PN⊥NQ.

因此∠MPN+∠MQN = 180°,

故∠MQN = 90° ? ∠MPN = 90°

即 α⊥β ? m⊥n.

115. 已知:? ? ? ? a ,α⊥γ ,β⊥γ ,b∥α,b∥β.

求证:a⊥γ 且 b⊥γ .

解析:在 a 上任取一点 P,过 P 作 PQ⊥r.

∵ β⊥r,

∴ PQ ? ? ,

∵ α⊥r,

∴ PQ ? ? ,

∴ PQ 与 a 重合,故 a⊥r. 过 b 和点 P 作平面 S, 则 S 和 α 交于 PQ1,S 和 β 交于 PQ2, ∵ b∥α,b∥β ∴ b∥PQ1,且 b∥PQ2. 于是 PQ1 和 PQ2 与 a 重合, 故 b∥a, 而 a⊥r, ∴ b⊥r. 116. 已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,且 AB=3,BC=4,PA=3, CD 和 BD 的距离.
解析:∵ PA⊥平面 ABCD,AD⊥CD,且 CD ? 平面 ABCD.

∴ PD⊥CD(三垂线定理).在 Rt△PAD 中,PD= PA2 ? AD 2

求点 P 到 =

32 ? 42 =5.
又作 PH⊥BD 于 H,连结 AH,由三垂线定理的逆定理, 有 AH⊥BD.这里,PH 为点 P 到 BD 的距离.

在 Rt△ABD 中,AH= AB ? AD = 12 BD 5

在 Rt△PAH 中,PH= PA2 ? AH 2 = 32 ? ??12 ??2 = 369

?5?

5

117. 点 P 在平面 ABC 的射影为 O,且 PA、PB、PC 两两垂直,那么 O 是△ABC 的( )

(A) 内心

(B) 外心

(C) 垂心

(D) 重心

解析:由于 PC⊥PA,PC⊥PB,所以 PC⊥平面 PAB,

∴ PC⊥AB.

又 P 在平面 ABC 的射影为 O,连 CO,则 CO 是 PC 在平面 ABC 据三垂线定理的逆定理,得:CO⊥AB,

的射影,根

同理可证 AO⊥BC,O 是△ABC 的垂心,答案选 C.

118. 如图 02,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P、Q、R 分别是棱 AA1、BB1、BC 上的点,PQ∥AB, C1Q⊥PR,求证:∠D1QR=90°. 证明:∵ PQ∥AB,AB⊥平面 BC1, ∴ PQ⊥平面 BC1,QR 是 PR 在平面 BC1 的射影. 根据三垂线定理的逆定理,由 C1Q⊥PR 得 C1Q⊥QR. 又因 D1C1⊥平面 BC1,则 C1Q 是 D1Q 在平面 B1C 的射影,根据三垂线定理,由 C1Q⊥QR 得 QR⊥D1Q. ∴ ∠D1QR=90° 119. 在空间四边形 ABCD 中, 已知 AC?BD, AD?BC, 求证: AB?CD。

解析: 1、条件 AC?BD, AD?BC, 可以看作斜线 AD, AC 与平面 BCD 内的直线的位置关系, 从而联想 到用三垂线定理或其逆定理证明命题。

2、如何找斜线在平面内的射影, 显然是过 A 点作直线垂直于平面 BCD, 这样斜线与直线的位置关 系, 通过射影与直线的位置关系判定。

证明: 过 A 点作 AO 垂直于平面 BCD 于 O 连 BO, CO, DO ∵AO?平面 BCD, AC?BD ∴CO?BD
∵AO?平面 BCD, AD?BC
∴DO?BC ∴O 为△BCD 的垂心 ∴BO?CD ∴AB?CD 120. 如图, 在空间四边形 SABC 中, SA?平面 ABC, ?ABC = 90?, AN?SB 于 N, AM?SC 于 M。求证: ① AN?BC; ②SC?平面 ANM 解析: ①要证 AN?BC, 转证, BC?平面 SAB。 ②要证 SC?平面 ANM, 转证, SC 垂直于平面 ANM 内的两条相交直线, 即证 SC?AM, SC?AN。要证 SC?AN, 转证 AN?平面 SBC, 就可以了。 证明: ①∵SA?平面 ABC
∴SA?BC
又∵BC?AB, 且 AB ? SA = A

∴BC?平面 SAB

∵AN ? 平面 SAB

∴AN?BC

②∵AN?BC, AN?SB, 且 SB ? BC = B

∴AN?平面 SBC

∵SCC 平面 SBC

∴AN?SC

又∵AM?SC, 且 AM ? AN = A

∴SC?平面 ANM

121. 已知如图,P?平面 ABC,PA=PB=PC,∠APB=∠APC=60°,∠BPC=90 °求证:平面 ABC⊥平面 PBC

解析:要证明面面垂直,只要在其呈平面内找一条线,然后证 与另一平面垂直即可。显然 BC 中点 D,证明 AD 垂直平 PBC

明直线 即可

证明: 取 BC 中点 D 连结 AD、PD

∵PA=PB;∠APB=60°

∴Δ PAB 为正三角形

同理Δ PAC 为正三角形

设 PA=a

在 RTΔ BPC 中,PB=PC=a

BC= 2 a

∴PD= 2 a 2
在Δ ABC 中

AD= AB 2 ? BD 2

= 2a 2

2

2

∵AD2+PD2= ??? ?

2 2

a ????

? ????

2 2

a ????

=a2=AP2

∴Δ APD 为直角三角形

即 AD⊥DP

又∵AD⊥BC

∴AD⊥平面 PBC

∴平面 ABC⊥平面 PBC

122. 如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线也垂直于这个平面。

已知:β⊥α ,γ ⊥α ,β ? γ =a

求证:a⊥α 解析:利用线面垂直的性质定理
证明:设α ? β =AB,α ? γ =CD
在平面β 内作 L1⊥AB, 在平面γ 内作 L1⊥CD,

?? aL2L1??

D A ??

B C

∵α ⊥β ∴L1⊥α

同理 L2⊥α

∴L1//L2

∴L1//β

∴L1//a

∴a⊥α

113. 已知 SA、SB、SC 是共点于 S 的且不共面的三条射线,∠ BSA=∠ASC=45°,∠BSC=60°,求证:平面 BSA⊥平面 SAC

解析:先作二面角 B-SA-C 的平面角,根据给定的条件,在棱 S 上取一点 P,分别是在两个平面内作直 线与棱垂直 证明:在 SA 上取一点 P 过 P 作 PR⊥SA 交 SC 于 R 过 P 作 PQ⊥SA 交 SB 于 Q ∴∠QPR 为二面角 B-SA-C 的平面角设 PS=a ∵∠PSQ=45°,∠SPQ=90°

∴PQ=a,SQ= 2 a

同理 PR= a,SR= 2 a

∵∠PSQ=60°,SR=SQ= 2 a

∴Δ RSQ 为正三角形则 RQ= 2 a
∵PR2+PQ2=2a2=QR2

∴∠QPQ=90°

∴二面角 B-SA-C 为 90°

∴平面 BSA⊥平面 SAC

114. 设 S 为 ?ABC平面外的一点,SA=SB=SC, ?ASB ? 2?, ?BSC ? 2? , ?ASC ? 2? ,若 sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ,求证:平面 ASC ? 平面 ABC。

解析:(1)把角的关系转化为边的关系 (2)利用棱锥的性质(三棱锥的侧棱相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心) 证明:设 D 为 AB 的中点

?SA ? SB ??A S D? ? sin? ? AD ? AB SA 2SA

同理 sin ? ? BC , sin ? ? AC

2SB

2SC

?SA ? SB ? SC 且 sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ?

? AB2 ? BC2 ? AC2 即 ?ABC为 Rt?ABC 且 S 在平面上的射影 O 为 ?ABC的外心
则 O 在斜边 AC 的中点。
?SO ? 平面 ABC ?SO ? 平面 SAC ?平面 ASC ? 平面 ABC
115. 两个正方形 ABCD 和 ABEF 所在的平面互相垂直,求异面直线 AC 和 BF 所成角的大小. 解析:作 BP∥AC 交 DC 延长线于 P,则∠FBP(或补角)就是异面直线 BF 和 AC 所成的角,设正方形边
长为 a, PF ? 6a 在△BPF 中,由余弦定理得 cos?FBP ? 1 ,异面直线 AC 和 BF 成 60°角. 2
116. 二面角α -a-β 的值为θ (0°<θ <180°),直线 l⊥α ,判断直线 l 与平面β 的位置关系,并证明你 的结论. 解析: 分两种情况,θ =90°,θ ≠90°.
当θ =90°时,l∥β 或 l ? β ,这个结论可用反证法证明;
当θ ≠90°时,l 必与β 相交,也可用反证法证明.
117. 已知平面α ⊥平面β ,交线为 AB,C∈? ,D∈ ? , AB ? AC ? BC ? 4 3 ,E 为 BC 的中点,
AC⊥BD,BD=8.
①求证:BD⊥平面? ;
②求证:平面 AED⊥平面 BCD; ③求二面角 B-AC-D 的正切值. 解析:①AB 是 AC 在平面β 上的射影,由 AC⊥BD 得 AB⊥BD.∵ α ⊥β .∴ DB⊥α . ②由 AB=AC,且 E 是 BC 中点,得 AE⊥BC,又 AE⊥DB,故 AE⊥平面 BCD,因此可证得平面 AED ⊥平面 BCD. ③设 F 是 AC 中点,连 BF,DF.由于△ABC 是正三角形,故 BF⊥AC.又由 DB⊥平面α ,则 DF⊥ AC,∠BFD 是二面角 B-AC-D 的平面角,
在 Rt△BFD 中, tg?BFD ? BD ? 4 . BF 3
118. 如图,△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直,且 AB=BC=BD,∠ABC=

∠DBC=120°,求

A

(1) A、D 连线和直线 BC 所成角的大小;

(2) 二面角 A-BD-C 的大小

B

C

D
解析:在平面 ADC 内作 AH⊥BC,H 是垂足,连 HD.因为平面 ABC⊥平面 BDC.所以 AH⊥平面 BDC.HD 是 AD 在平面 BDC 的射影.依题设条件可证得 HD⊥BC,由三垂线定理得 AD⊥BC,即异面直线 AD 和 BC 形成的角为 90°.

在平面 BDC 内作 HR⊥BD,R 是垂足,连 AR.HR 是 AR 在平面 BDC 的射影,∴ AR⊥BD,∠ARH 是二面角 A-BD-C 的平面角的补角,设 AB=a,可得,

AH ? 3 a , HR ? 3 BH ? 3 a ,

2

2

4

∴ tg?ARH ? AH ? 2. HR

∴ 二面角 A-BD-C 的大小为π -arctg2.

119. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1,CC1 的中点,求异面直线 AE 和 BF 所成 角的大小.

解析:取 DD1 的中点 G,可证四边形 ABFG 是平行四边形,得出 BF∥AG, 则∠GAE 是异面直线 AE 与 BF 所成的角.连 GF,设正方体棱长为 a,

GE ? B1D1 ?

2a , AE ? AG ? 5 a . 2

在△AEG 中,由余弦定理得

55

cos?GAE ? AG2 ? AE2 ? GE 2 ?

? ?2 44

?1

2? AG? AE

2? 5 ? 5 5

22

D1 A1 G
D A

C1
B1 F
E C
B

∴ ?GAE ? arccos1 . 5

120. 矩形 ABCD,AB=3,BC=4,沿对角线 BD 把△ABD 折起,使点 A 在平面 BCD 上的射影 A′落在 BC 上, 求二面角 A-BD-C 的大小的余弦值.

在 Rt△AA′O 中,∠AA′O=90°,
121. 已知:如图 12,P 是正方形 ABCD 所在平面外一点,PA=PB=PC=PD=a,AB=a. 求:平面 APB 与平面 CPD 相交所成较大的二面角的余弦值.
分析:为了找到二面角及其平面角,必须依据题目的条件,找出两个平面的交线. 解:因为 AB∥CD,CD 平面 CPD,AB 平面 CPD. 所以 AB∥平面 CPD.

又 P∈平面 APB,且 P∈平面 CPD, 因此 平面 APB∩平面 CPD=l,且 P∈l. 所以 二面角 B-l-C 就是平面 APB 和平面 CPD 相交所得到的一个二面角. 因为 AB∥平面 CPD,AB 平面 APB,平面 CPD∩平面 APB=l, 所以 AB∥l. 过 P 作 PE⊥AB,PE⊥CD. 因为 l∥AB∥CD, 因此 PE⊥l,PF⊥l, 所以 ∠EPF 是二面角 B-l-C 的平面角. 因为 PE 是正三角形 APB 的一条高线,且 AB=a,
因为 E,F 分别是 AB,CD 的中点, 所以 EF=BC=a. 在△EFP 中,
122. 在四面体 ABCD 中,AB=AD=BD=2,BC=DC=4,二面角 A-BD-C 的大小为 60°,求 AC 的长. 解析:作出二面角 A-BD-C 的平面角
在棱 BD 上选取恰当的点

AB=AD,BC=DC 解:取 BD 中点 E,连结 AE,EC ∵ AB=AD,BC=DC ∴ AE⊥BD,EC⊥BD ∴ ∠AEC 为二面角 A-BD-C 的平面角 ∴ ∠AEC=60° ∵ AD=2,DC=4
∴ AE= 3 ,EC= 15

∴ 据余弦定理得:AC= 18 ? 3 5 .

123. 河堤斜面与水平面所成角为 60°,堤面上有一条直道 CD,它与堤角的水平线 AB 的夹角为 30°, 沿着这条直道从堤角向上行走到 10 米时,人升高了多少(精确到 0.1 米)?

解析:

已知

所求

河堤斜面与水平面所成角为 60°

E 到地面的距离

利用 E 或 G 构造棱上一点 F

以 EG 为边构造三角形

解:取 CD 上一点 E,设 CE=10 m,过点 E 作直线 AB 所在的水平面的垂线 EG,垂足为 G,则线段 EG 的长就是所求的高度.

在河堤斜面内,作 EF⊥AB.垂足为 F,连接 FG,由三垂线定理的逆定理,知 FG⊥AB.因此,∠EFG 就是河堤斜面与水平面 ABG 所成的二面角的平面角,∠EFG=60°.

由此得:

EG=EFsin60°

=CE sin30°sin60°

=10× 1 × 3 ≈4.3(m) 22
答:沿着直道向上行走到 10 米时,人升高了约 4.3 米.

124. 二面角 α—a—β 是 120°的二面角,P 是该角内的一点.P 到 α、β 的距离分别为 a,b.求:P 到 棱 a 的距离. 解析:设 PA⊥α 于 A,PB⊥β 于 B.过 PA 与 PB 作平面 r 与 α 交于 AO,与 β 交于 OB, ∵ PA⊥α,PB⊥β,∴ a⊥PA,且 a⊥PB ∴ a⊥面 r,∴ a⊥PO,PO 的长为 P 到棱 a 的距离. 且∠AOB 是二面角之平面角,∠AOB =120° ∴ ∠APB = 60°,PA = a,PB = b.
AB ? a2 ? b2 ? 2abcos60? ? a2 ? ab ? b2

AB



? PO ,

sin ?APB

∴ PO ? 2 3 ? a 2 ? ab ? b2 . 3

125. 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 AB、CC1 的中点,则异面直线 A1C 与 EF 所成

角的余弦值是

()

3

2

1

1

(A)

(B)

(C)

(D)

3

3

3

6

解析:选哪一点,如何作平行线是解决本题的关键,显然在 EF 点作 AC 的平行线要简单易行,观察图形,看出 F 与 A1C 确定 A1CC1 恰是正方体的对角面,在这个面内,只要找出 A1C1 的中 连结 OF,这条平行线就作出了,这样,∠EFO 即为异面直线
EF 所成的角.容易算出这个角的余弦值是 2 ,答案选 B. 3

上选一 的平面 点 O, A1C 与

126.在 60°的二面角 M-a-N 内有一点 P,P 到平面 M、平 距离分别为 1 和 2,求 P 点到直线 a 的距离.

面N的

解析:本题涉及点到平面的距离,点到直线的距离,二面角的

平面角

等概念,图中都没有表示,按怎样的顺序先后作出相应的图形

是解决

本题的关键.可以有不同的作法,下面仅以一个作法为例,说

明这些

概念的特点,分别作 PA⊥M,M 是垂足,PB⊥N,N 是垂足,

先作了

两条垂线,找出 P 点到两个平面的距离,其余概念要通过推

理得

出:于是 PA、PB 确定平面α ,设α ∩M=AC,α ∩N=BC,c

∈a.由

于 PA⊥M,则 PA⊥a,同理 PB⊥a,因此 a⊥平面α ,得 a⊥PC.这样,∠ACB 是二面角的平面角,

PC 是 P 点到直线 a 的距离,下面只要在四边形 ACBP 内,利用平面几何的知识在△PAB 中求出 AB,

再在△ABC 中利用正弦定理求外接圆直径 2R= 2 21 ,即为 P 点到直线 a 的距离,为 2 21 .

3

3

127. 已知空间四边形 ABCD 中,AB = BC =CD= AD = BD = AC, E、F 分别为 AB、CD 的中点,

(1)求证:EF 为 AB 和 CD 的公垂线

(2)求异面直线 AB 和 CD 的距离

解析:构造等腰三角形证明 EF 与 AB、CD 垂直,然后在等腰三角形中求 EF

解;①连接 BD 和 AC,AF 和 BF,DE 和 CE

设四边形的边长为 a

∵ AD = CD = AC = a

∴ △ABC 为正三角形

∵ DF = FC

∴ AF ? DC 且 AF =

3 a

2

同理 BF =

3
A

2

?BF ? FA
即△ AFB 为等腰三角形

在△ AFB 中,

∵ AE = BE

∴ FE ? AB

同理在 △ DEC 中

EF ? DC

∴ EF 为异面直线 AB 和 CD 的公垂线

②在 △ AFB 中

∵ EF ? AB 且 AF ? 3 a, AE ? 1 AB ? 1 a

a

2

2

∴ EF ? AF 2 ? AE 2 ? 2 a 2

∵ EF ? DC,EF ? AB
∴ EF 为异面直线 AB 和 CD 的距离



AB 和 CD 的距离为

2 a
2

128. 正方形 ABCD 中,以对角线 BD 为折线,把Δ ABD 折起,使二面角 Aˊ-BD-C 为 60°,求二面角 B-A ˊC-D 的余弦值

解析:要求二面角 B-AˊC-D 的余弦值,先作出二面角的 角,抓住图形中 AˊB=BC,AˊD=DC 的关系,采用定义法 面角∠BED(E 为 AC 的中点)然后利用余弦定理求解

平面 作出平

解:连 BD、AC 交于 O 点

则 AˊO⊥BD,CO⊥BD

∴∠AˊOC 为二面角 Aˊ-BD-C 的平面角

∴∠AˊOC=60°

设正方形 ABCD 的边长为 a

∵A′O=OC=1/2AC= 2 a 2
∠A′OC=60°

∴Δ A′OC 为正三角形则 A′C= 2 a 2

取 A′C 的中点,连 DE、BE ∵A′B=BC ∴BE⊥A′C 同理 DE⊥A′C ∴∠DEB 为二面角 B-A′C-D 的平面角在Δ BA′C 中

BE= BA2 ? AE2 ? a2 ? ( 2 a)2 ? 14 a

4

4

同理 DE= 14 a 4

在Δ BED 中,BD= 2a

∴ cos∠BED= BE 2 ? DE 2 ? BD 2 2BE ? DE

2

2

? ? = ????

14 4

a

????

? ????

14 4

a

????

?

2
2a

2 ? 14 a ? 14 a

4

4

=-- 1 7

∴二面角 B-A′C-D 的余弦值为- 1 7

129. 如图平面 SAC⊥平面 ACB,Δ SAC 是边长为 4 的等边三角形,

Δ

ACB 为直角三角形,∠ACB=90°,BC= 4 2 ,求二面角 S-AB-C

的余

弦值。

解析:先作出二面角的平面角。由面面垂直可得线面垂直,作 平面 ACB,然后利用三垂线定理作出二面角的平面角

SD⊥

解:过 S 点作 SD⊥AC 于 D,过 D 作 DM⊥AB 于 M,连 SM ∵平面 SAC⊥平面 ACB

∴SD⊥平面 ACB

∴SM⊥AB 又∵DM⊥AB ∴∠DMS 为二面角 S-AB-C 的平面角

在Δ SAC 中 SD=4× 3 ? 2 3 2
在Δ ACB 中过 C 作 CH⊥AB 于 H

∵AC=4,BC= 4 2

∴AB= 4 3
∵S=1/2AB·CH=1/2AC·BC

∴CH= AC ? BC ? 4 ? 4 2 ? 4 2

AB

43

3

∵DM∥CH 且 AD=DC

∴DM=1/2CH= 2 2 3
∵SD⊥平面 ACB DM?平面 ACB
∴SD⊥DM
在 RTΔ SDM 中

SM= SD2 ? DM 2

? ? =

2

3

2

? ???? 2

2 3

?2 ???

= 2 11 3
∴cos∠DMS= DM SM

22 =3
2 11 3
22
=
11 130. 已知等腰?ABC 中,AC = BC = 2, ? ACB = 120?,?ABC 所在平面外的一点 P 到三角形三顶点的
距离都等于 4,求直线 PC 与平面 ABC 所成的角。 解析:解:设点 P 在底面上的射影为 O,连 OB、OC,
则 OC 是 PC 在平面 ABC 内的射影,
∴ ? PCO 是 PC 与面 ABC 所成的角。
∵ PA = PB = PC, ∴点 P 在底面的射影是?ABC 的外心, 注意到?ABC 为钝角三角形, ∴点 O 在?ABC 的外部, ∵AC = BC,O 是?ABC 的外心, ∴OC⊥AB
在?OBC 中,OC = OB, ? OCB = 60?,
∴?OBC 为等边三角形,∴OC = 2
在 Rt?POC 中, cos?PCO ? OC ? 1 PC 2
∴ ? PCO = 60? 。

131. 如图在二面角α - l-β 中,A、B∈α ,C、D∈l,ABCD P∈β ,PA⊥α ,且 PA=AD,MN 依次是 AB、PC 的中点 ⑴ 求二面角α - l-β 的大小 ⑵ 求证明:MN⊥AB ⑶ 求异面直线 PA 与 MN 所成角的大小 解析:⑴ 用垂线法作二面角的平面角 ⑵ 只要证明 AB 垂直于过 MN 的一个平面即可 ⑶ 过点 A 作 MN 的平行线,转化为平面角求解 解: ⑴ 连 PD
∵PA⊥α ,AD⊥l ∴PD⊥l ∴∠PDA 为二面角α - l-β 的平面角 在 RTΔ PAD 中 ∵PA=PD ∴∠PDA=45° ∴二面角α - l-β 为 45° ⑵ 设 E 是 DC 的中点,连 ME、NE ∵M、N、E 分别为 AB、PC、D 的中点 ∴ME∥AD,NE∥PD ∴ME⊥l,NE⊥l ∴l⊥平面 MEN ∵AB∥l ∴AB⊥平面 MEN ∵MN?平面 MNE

为矩形,

∴MN?AB ⑶ 设 Q 是 DP 听中点,连 NQ、AQ
则 NQ∥DC,且 NQ=1/2DC ∵AM∥DC,且 AM=1/2AB=1/2DC ∴QN∥AM,QN=AM ∴QNMQ 为平行四边形 ∴AQ∥MN ∴∠PAQ 为 PA 与 MN 所成的角 ∵Δ PAQ 为等腰直角三角形,AQ 为斜边上的中线 ∴∠PAQ=45° 即 PA 与 MN 所成角的大小为 45° 132. 如图: △ABC 的?ABC= 90?, V 是平面 ABC 外的一点, VA = VB = VC = AC, 求 VB 与平面 ABC 所成 的角。 解析:1、要求 VB 与平面 ABC 所成的角, 应作出它们所成的角。 2、要作出 VB 与平面 ABC 所成的角, 只要找出 VB 在平 面 ABC 内的射影就可以了。 3、作斜线在平面内的射影, 只要在斜线上找一点作直线 垂直于平面, 即找此点在平面内的射影, 显然 找 V 点, V 点在平面内的射影在何处?由条件可知, 射影为△ABC 的外心。 解: 作 VO?平面 ABC 于 O, 则 OB 为 VB 在平面 ABC 内的射影, ∴?VBO 为 VB 与平面 ABC 所成的角。 连 OA、OB、OC, 则 OA、OB、OC 分别为斜线段 VA、VB、VC 在平面 ABC 内的射影。 ∵VA = VB = VC ∴OA = OB = OC ∴O 为△ABC 为外心 ∵△ABC 为直角三角形, 且 AC 为斜边 ∴O 为 AC 的中点

设 VA = a, 则 VA = VC = AC = a, VO ? 3 a 2

在 Rt△VOB 中, sin ?VBO ? VO ?

3a 2?

3

VB a 2

∴?VBO = 60?

∴VB 与平面 ABC 所成的角为 60?。

133. 已知:平面α ∩平面β =直线 a.

α ,β 同垂直于平面γ ,又同平行于直线 b.

求证:(Ⅰ)a⊥γ ;

(Ⅱ)b⊥γ .

证明:

证法一(Ⅰ)设α ∩γ =AB,β ∩γ =AC.在γ 内任取一点 P 并于γ 内作直线 PM⊥AB,PN⊥

AC.

——1 分

∵ γ ⊥α ,

∴ PM⊥α .

而 a?α ,

∴ PM⊥a.

同理 PN⊥a.

——4 分

又 PM ? γ ,PN ? γ ,

∴ a⊥γ .

——6 分

(Ⅱ)于 a 上任取点 Q,过 b 与 Q 作一平面交α 于直线 a1,交β 于直线 a2. ——7 分

∵ b∥α ,∴ b∥a1. 同理 b∥a2.

——8 分

∵ a1,a2 同过 Q 且平行于 b, ∵ a1,a2 重合.

又 a1 ? α ,a2 ? β ,

∴ a1,a2 都是α 、β 的交线,即都重合于 a. ∵ b∥a1,∴ b∥a.

——10 分

而 a⊥γ ,

∴ b⊥γ .

——12 分

注:在第Ⅱ部分未证明 b∥a 而直接断定 b⊥γ 的,该部分不给分.

证法二(Ⅰ)在 a 上任取一点 P,过 P 作直线 a′⊥γ .

——1 分

∵ α ⊥γ ,P∈α ,

∴ a′ ? α .

同理 a′ ? β .

——3 分

可见 a′是α ,β 的交线.

因而 a′重合于 a.

——5 分

又 a′⊥γ ,

∴ a⊥γ .

——6 分

(Ⅱ)于α 内任取不在 a 上的一点,过 b 和该点作平面与α 交于直线 c.同法过 b 作平面与β 交于直线

d.

——7 分

∵ b∥α ,b∥β .

∴ b∥c,b∥d.

——8 分

又 c ? β ,d ? β ,可见 c 与 d 不重合.因而 c∥d.

于是 c∥β .

——9 分

∵ c∥β ,c ? α ,α ∩β =a,

∴ c∥a.

——10 分

∵ b∥c,a∥c,b 与 a 不重合(b ? α ,a ? α ),

∴ b∥a.

——11 分

而 a⊥γ , ∴ b⊥γ .

——12 分

注:在第Ⅱ部分未证明 b∥a 而直接断定 b⊥γ 的,该部分不给分.

134. 设 S 为 ?ABC平面外的一点,SA=SB=SC, ?ASB ? 2?, ?BSC ? 2? , ?ASC ? 2? ,若 sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ,求证:平面 ASC ? 平面 ABC。

解析:(1)把角的关系转化为边的关系

(2)利用棱锥的性质(三棱锥的侧棱相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心)

证明:设 D 为 AB 的中点

?SA ? SB ??A S D? ? sin? ? AD ? AB SA 2SA

同理 sin ? ? BC , sin ? ? AC

2SB

2SC

?SA ? SB ? SC 且 sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ?
? AB2 ? BC2 ? AC2 即 ?ABC为 Rt?ABC 且 S 在平面上的射影 O 为 ?ABC的外心
则 O 在斜边 AC 的中点。
?SO ? 平面 ABC ?SO ? 平面 SAC ?平面 ASC ? 平面 ABC 135. 已知如图,P?平面 ABC,PA=PB=PC,∠APB=∠APC=60°,
BPC=90 °求证:平面 ABC⊥平面 PBC 解析:要证明面面垂直,只要在其呈平面内找一条线,然后证

∠ 明直线

与另一平面垂直即可。显然 BC 中点 D,证明 AD 垂直平 PBC 即可 证明: 取 BC 中点 D 连结 AD、PD
∵PA=PB;∠APB=60° ∴Δ PAB 为正三角形 同理Δ PAC 为正三角形 设 PA=a 在 RTΔ BPC 中,PB=PC=a

BC= 2 a

∴PD= 2 a 2
在Δ ABC 中

AD= AB 2 ? BD 2

= 2a 2

∵AD2+PD2= ??? ?

2 2

a ???2 ?

?

????

2 2

a

??? 2 ?

=a2=AP2

∴Δ APD 为直角三角形

即 AD⊥DP

又∵AD⊥BC

∴AD⊥平面 PBC

∴平面 ABC⊥平面 PBC

136. 如图,正方形 ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平



成 60°的二面角,则异面直线 AD 与 BF 所成角的余弦值





解析:

?DAF为二面角60 ,可设AD长为a,则DF长为a又 AB ? 平面CDF ?CD ? 平面CDF,CD ? DF,?CF ? 2a,又在 BCF中, BC ? a, BF ? 2a 根据余弦定理可得.

137. 如图,M、N、P 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的三个侧面 ABCD、CC1D1D、BCC1B1 的中心, 则 A1M 与 NP 所成的角是( )

(A) 30°

(B) 45°

(C) 60°

(D) 90°

解析:D 如图所示

138. 相交成 90°的两条直线和一个平面所成的角分别是 30°和 45°,则这两条直线在该平面内的射 影所成的锐角是( )

(A)

arccos???? ?

3 3

????

(C) ? ? arcsin 6 3

(B) ? ? arcsin 6

2

3

(D) arcsin 6 3

? ? ? ? 解析:分析:设直角顶点到平面的距离是 1,所求的角为 θ,则 cos? ? 12 ?

2
3?

2
6.

2? 3

139. 在三棱锥 P-ABC 中, ?

APB= ? BPC= ? CPA=600,求二面角 A-PB-C 的余弦

P

解析:在二面角的棱 PB 上任取一点 Q,在半平面 PBA
面 PBC 上作 QM ? PB,QN ? PB,则由定义可知 ? MQN
面角的平面角。

Q N

设 PM=a,则在 Rt ? PQM 和 Rt ? PQN 中可求得

B

QM=QN= 3 a; 2

又由 ? PQN ? ? PQM 得 PN=a,故在正 ? PMN 中 MN=a, ? MQN 中由余弦定理得 cos ? MQN= 1 ,即二面角的余弦 ?
3

140. 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ? BAC=900,AB=BB1=1,
与平面 ABC 成 300 角,求二面角 B-B1C-A 的正弦值。
?

解析:可以知道,平面 ABC 与平面 BCC1B1 垂直,故可由 的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线。

B1

C A
G
H

值。

和半平

M

即为二

A


值为 1 。 3
直线 B1C
面面垂直 C1

解:由直三棱柱性质得平面 ABC ? 平面 BCC1B1,过 A 作 BCC1B1,垂足为 N,则 AN ? 平面 BCC1B1,(AN 即为我 线)在平面 BCB1 内过 N 作 NQ ? 棱 B1C,垂足为 Q,连 ? NQA 即为二面角的平面角。
B
∵AB1 在平面 ABC 内的射影为 AB,CA ? AB,∴
AB=BB1=1,得 AB1= 2 。∵直线 B1C 与平面 ABC 成 300 ? B1CB=300,B1C=2,Rt△B1AC 中,由勾股定理得
AQ=1。在 Rt△BAC 中,AB=1,AC= 2 ,得 AN= 6 。 3

A1

Q

N

C

A

AN ? 平面
们要找的垂 QA,则
CA ? B1A,
角,∴
AC= 2 ,∴

sin ? AQN= AN AQ =

6 3

。即二面角

B-B1C-A

的正弦值为

6。 3

141. 已知菱形 ABCD 边长为 a,且其一条对角线 BD=a,沿对角线 BD 将 ?ABD 折起 与?BCD 所在
平面成直二面角,点 E、F 分别是 BC、CD 的中点。

(1)求 AC 与平面 AEF 所成的角的余弦值

(2)求二面角 A-EF-B 的正切值。

(1) 解析::菱形 ABCD 的对角线 AC?BD,因此BD?AO , BD?OC ? BD?面AOC

,中位线 EF//BD,可知 EF? 面 AOC, EF ? 面AEF ,故面 AEF?面AOC ,这样 AC 在面 AEF 内 的射影就是 AG, ?CAG 就是 AC 与平面 AEF 的成角,解三角形 AOC 可得

AC ? 6 a,CG ? 3 a,AG ? 15 a 。

2

4

4

? c o s?C A G? 3 10 10
(2)分析:由前一小问的分析可知 EF?平面AOC ,? EF?AG,EF?OG,故?AGO

就是二面角 A-EF-B 的平面角,在 Rt?AOG 中, ?AOG ? 90?, AO ? 3 a , OG ? 3 a 。

2

4

? tg?AGO ? AO ?

3a 2 ?2

OG 3 a

4

142. 如图,ABCD-A1B1C1D1 是正方体,E 是 CC1 的中点,求二面角 B-B1E-D 的余弦值。
解析:图中二面角的二个半平面分别为△DEB1 所在的半平面和△BEB1 所在的半平面,即正方体的右 侧面,它们的交线即二面角的棱 B1E。不难找到 DC 即为从其中的一个半平面出发,并且垂直于另一个 半平面的直线。

解: 由题意可得直线 DC ? 平面 BEB1,且垂足为 C,过 C
F(如图,F 在 B1E 的延长线上),连 DF,则由三垂线定理可

B1

面角的平面角。

B

C1
E F
C

作 CF ? B1E 于 得 ? DFC 即二

△B1C1E~△CFE,∴CF=

B1C1 ? CE B1E

?

5 a; 5

DF= a 2 ? 1 a 2 ? 30 a.

5

5

D1 A1
D

5a ∴cos ? DFC= 5

? 6。

A

30 a 6

5

C1

B1

E

F

C

B

即二面角的平面角的余弦值为 6 。 6

143. 如图,在平面角为 600 的二面角? -l- ? 内有一点 P,P 到? 、 ? 分别为 PC=2cm,PD=3cm,则垂足
的连线 CD 等于多少?(2)P 到棱 l 的距离为多少?

解析:对于本题若这么做:过 C 在平面 ? 内作棱 l 的垂线,

DE,则 ? CED 即为二面角的平面角。这么作辅助线看似

在证明 ? CED 为二面角的平面角时会有一个很麻烦的问

P

P、D、E、C 四点共面。这儿,可以通过作垂面的方法来

面角。

D

解:∵PC、PD 是两条相交直线,

?

?

垂足为 E,连

简单,实际上

C

题,需要证明

作二面角的平

E

l

∴PC、PD 确定一个平面? ,设? 交棱 l 于 E,连 CE、DE。

∵PC⊥ ? , ∴PC⊥l,

又∵PD⊥? ,∴PD⊥l。 ∴l⊥平面? ,则 l⊥CE、DE,故 ? CED 即为二面角的平面角,即 ? CED=600。

∴ ? CPD=1200,△PCD 中,PD=3,PC=2,由余弦定理得 CD= 19 cm。由 PD⊥DE,PC⊥CE 可得 P、

D、E、C

四点共圆,且

PE

为直径,由正弦定理得

PE=2R=

CD sin ?CED

=

19 sin 60 0

=

2 3

57 cm。

说明:三垂线定理及其逆定理是作二面角的平面角的最主要的方法,要引起重视。

144. 如图,梯形 ABCD 中,BA⊥AD,CD⊥AD,AB=2,CD=4,P 为平面 ABCD 外一点,平面 PAD⊥平面 ABCD, △PBC 是边长为 10 的正三角形,求平面 PAD 与面 PBC 所成的角.

解法一:如图,延长 DA、CB 交于 E, AB = 2 = 1 ,∴AB 是△ECD 的中位线,CB=BE=10.又△PCB CD 4 2
为正△,易证△PCE 为直角三角形,PE⊥PC.又平面 PDA⊥平面 ABCD,且 CD⊥交线 DA,∴CD⊥平面 PDE.PE
是 PC 在平面 PDE 内的射影,∴PE⊥PD(三垂线定理的逆定理).故∠CPD 是 D-PE-C 的平面角.在 Rt△CDP

中,sin∠DPC= 4 = 2 ,故二面角大小为 arcsin 2 .

10 5

5

解法二:利用 Scosθ =S′.如右图,

平面 PAD⊥平面 ABCD

?
CD⊥AD,BA⊥AD BA⊥平面 PAD
?
CD⊥平面 PAD △PAD 是△PBC 在平面 PDA 内的射影.设面 PDA 与面 PCB 所成的二面角为θ ,则 S△PDA=S△PCB·cosθ .Rt
△PAB 中,PA=4 6 =AD;Rt△PDC 中,PD=2 21 .

∴△PAD 为等腰三角形且 S△PAD= 1 PD·AH=15 7 . 2

cosθ = S?PAD = 15 7 = 21 ,

S?PBC 25 3

5

θ =arccos=

21
.

5

145. 如图,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 的底面为正方形,点

D1

底面的射影 O 在 AB 上,已知侧棱 A1A 与底面 ABCD 成 450 角,

A1A=a。求二面角 A1-AC-B 的平面角的正切值。(答案: 2 ) D

A
作OE ? AC,连接A1E,根据三垂线定理EO ? AC, A1E ? AC, ? ?A1EO为A1 -AC-B的平面角.

C

A1

1

A1 在

B1

C B
O
1

P

A

D

A

B

B

C

146. 如图,在梯形 ABCD 中,AD//BC,? ABC=900,AB=a,AD=3a,sin ? ADC= 5 ,又 PA⊥平面 ABCD, 5
5 PA=a,求二面角 P-CD-A 的大小。(答案:arctg 3 )

作AE ? CD,连接PE,则?PEA为P-CD-A的平面角,又

sin ?ADC= 5 ,在RT ADE中,sin ?ADC= AE ,可求AE.

5

AD

又PA ? a,可求出二面角?PEA的正切值来.

147. 已知 Rt△ ABC 的两直角边 AC=2,BC=3,P 为斜边上一 点,沿 CP 将此直角三角形折成直二面角 A—CP—B,当 AB=71/2 时,求二面角 P—AC—B 的大小。

作法一:∵A—CP—B 为直角二面角, ∴过 B 作 BD⊥CP 交 CP 的延长线于 D,则 BD⊥DM APC。 ∴过 D 作 DE ⊥AC,垂足为 E,连 BE。 ∴∠DEB 为二面角 A—CP—B 的平面角。 作法二:过 P 点作 PD′⊥PC 交 BC 于 D′,则 PD′⊥面 APC。 ∴过 D′作 D′E′⊥AC,垂足为 E′,边 PE′, ∴∠D′E′P 为二面角 P—AC—B 的平面角。

148. 矩形 ABCD,AB=3,BC=4,沿对角线 BD 把△ ABD 折起, 使点 A 在平面 BCD 上的射影 A′落在 BC 上,求二面角 A—BC-—C 的大小。

这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题,解决问题的关键在

于搞清折叠前后“变”与“不变”。结果在平面图形中过 A 作 AE⊥BD 交 BD 于 O、交 BC 于 E,则

折叠后 OA、OE 与 BD 的垂直关系不变。但 OA 与 OE 此时变成相交两线段并确定一平面,此平

面必与棱垂直。由特征Ⅱ可知,面 AOE 与面 ABD、面 CBD 的交线 OA 与 OE 所成的角,即为所

求二面角的平面角。另外,A 在面 BCD 上的射影必在 OE 所在的直线上,又题设射影落在 BC 上,

所以 E 点就是 A′,这样的定位给下面的定量提供了优质服务。事实上,AO=AB·AD/BD=3*4/5=12/5,

OA′=OE=BO·tgc∠CBD,而 BO=AB2/BD=9/5, tg∠CBD,故 OA′=27/20。在 Rt△ AA′O 中,

∠AA′O=90°所以 cos∠AOA′=A′O/AO=9/16,ty∠AOA′=arccos9/16 即所求的二面 arccos9/16。

149. 将边长为 a 的正方形 ABCD沿对角线 AC 折起,使得 BD ? a ,则三棱锥 D — ABC的体积



()

a3
A.
6
D

a3
B.
12

C. 3 a 3 12

D. 2 a3 12

解析:取

BD

的中点为

O,BD⊥平面 OAC, S?AOC

?

1? 2

2a ? 1 a ? 2

2 a2 ,则 4

VD? ABC

?

2VB? AOC =

2 12

a3 。选

D

150. 在矩形 ABCD 中,AB=a,AD=2b,a<b,E、F 分别是

AD、BC 的中点,以 EF 为折痕把四边形 EFCD 折起,

D

C

当 ?CEB ? 90? 时,二面角 C—EF—B 的平面角的余

b

弦值等于

E
()

a

F

A.0

B.

a b

2 2

C.

?

a2 b2

D. ? a b

B A

解析:由图可知 CE=BE= a2 ? b2 当 ?CEB ? 90? 时,CB= 2(a2 ? b2 ) 。 ?CFB 为所

求平面角,由余弦定理得 cos ?CFB

?

2b 2

? 2(a 2 2b 2

? b2)

? ? a2 b2



选(C)。

151. .已知 E、F 分别是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 BC,CC1 的中点,则截面 AEFD1 与底面

ABCD 所成二面角的正弦值是

A. 2 3

C. 5 D. 2 2

3

3

解析:C

B. 2 3

()

D

C

?

G
如图, ?D1GD 为所求的二面角的平面角。 A ?
用求 cos? 求出 DG 的长度,则所求函数值可求。

152. 与正方形各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面的个数是________.

解析:如图中,截面 ACD1 和截面 ACB1 均符合题意要求,这样的截面共有 8 个;

D1

C1

A1

B1

B
可利

D

C

A

B

153. 已知矩形 ABCD 的边 AB=1,BC=a,PA⊥平面 ABCD,PA=1,问
BC 边上是否存在点 Q,使得 PQ⊥QD,并说明理由.
P

A

D

B

QC

解析:连接 AQ,因 PA⊥平面 ABCD,所以 PQ⊥QD AQ⊥QD,即以 AD 为直经的圆与 BC 有交点.
当 AD=BC=a ? AB=1,即 a ? 1 时,在 BC 边上存在点 Q,使得 PQ⊥QD;.........5 分
当 0<a<1 时,在 BC 边上不存在点 Q,使得 PQ⊥QD...

154.

如图,正三棱柱

ABC—A1B1C1

的底面边长的

3,侧棱

AA1=

3

3 2

, D 是 CB 延长线上一点,且 BD=BC.

C1

(Ⅰ)求证:直线 BC1//平面 AB1D;

A1

B1

(Ⅱ)求二面角 B1—AD—B 的大小;

(Ⅲ)求三棱锥 C1—ABB1 的体积.

C

A

B

D

(Ⅰ)证明:CD//C1B1,又 BD=BC=B1C1, ∴ 四边形 BDB1C1 是平行四边形, ∴BC1//DB1.
又 DB1 ? 平面 AB1D,BC1 ? 平面 AB1D,∴直线 BC1//平面 AB1D....................5 分
(Ⅱ)解:过 B 作 BE⊥AD 于 E,连结 EB1, ∵B1B⊥平面 ABD,∴B1E⊥AD ,

∴∠B1EB 是二面角 B1—AD—B 的平面角, ∵BD=BC=AB, ∴E 是 AD 的中点, BE ? 1 AC ? 3 .

2

2



Rt△B1BE

中, tg?B1BE

?

B1B BE

?

33 2
3

?

2 60°…………10 分

3. ∴∠B1EB=60°。即二面角 B1—AD—B 的大小为

(Ⅲ)解法一:过 A 作 AF⊥BC 于 F,∵B1B⊥平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 BB1C1C,

∴AF⊥平面 BB1C1C,且 AF=

3 ?3? 3

2

2

3,? 1

V ? V ? 3 S ? AF C1?ABB1

A1 ?BB1C1

? B1B1C1

? 1 (1 ? 3 3 ? 3) ? 3 3 ? 27 . 即三棱锥 C1—ABB1 的体积为 27 .…………15 分

32 2

28

8

解法二:在三棱柱

ABC—A1B1C1

中,?

S ?ABB1

? S ?V ?AA1B1

C1? ABB1

? VC1?AA1B1

? VA?A1B1C1

1

1

?

3 S?A1B1C1

?

AA1

?

(4 ? 3

3 ? 32) ? 3 3 ? 27 . 即为三棱锥 C1—ABB1 的体积.

4

28

155. 已知空间四边形 ABCD 的边长都是 1,又 BD= 3 ,当三棱锥 A—BCD 的体积最大时,求二
面角 B—AC—D 的余弦值.

解析:如图,取 AC 中点 E,BD 中点 F,由题设条件知道

(1) ? BED 即二面角 B—AC—D 的平面角............................3 分

(2)当 AF ? 面 BCD 时,VA—BCD 达到最大.............................6 分

这时 ED2=AD2-AE2=1-AE2=1- ( AC ) 2 =1- AF 2 ? FC 2

2

4

AF 2
=1-

? 1 ? 1 ( AD 2

? FD 2 ) ? 1 ? 1 (1 ?

BD 2 ) ? 1 ? 1 (1 ? 3) ?

7,

2

2

24

2 48

又 BE2=ED2,

∴ cos ?BED ? 2ED 2 ? BD 2 ? ? 5 ..................................12 分 2ED ? BE 7

A

E

B

F

D

C

156. 有一矩形纸片 ABCD,AB=5,BC=2,E,F 分别是 AB,CD 上的点,且 BE=CF=1,把纸片沿 EF 折成直 二面角.

(1)求 BD 的距离; (2)求证 AC,BD 交于一点且被这点平分.

解析:将平面 BF 折起后所补形成长方体 AEFD-A1BCD1,则 BD 恰好是长方体的一条对角线. (1)解:因为 AE,EF,EB 两两垂直, 所以 BD 恰好是以 AE,EF,EB 为长、宽、高的长方体的对角线,

(2)证明:因为 AD EF,EF BC,所以 AD BC. 所以 ACBD 在同一平面内, 且四边形 ABCD 为平行四边形. 所以 AC、BD 交于一点且被这点平分

................6 分

157.已知△BCD 中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面 BCD, ∠ADB=60°,E、F 分别是 AC、AD 上的动点,且 AE ? AF ? ?(0 ? ? ? 1).
AC AD (Ⅰ)求证:不论λ 为何值,总有平面 BEF⊥平面 ABC; (Ⅱ)当λ 为何值时,平面 BEF⊥平面 ACD?

证明:(Ⅰ)∵AB⊥平面 BCD, ∴AB⊥CD, ∵CD⊥BC 且 AB∩BC=B, ∴CD⊥平面 ABC.………………………………3 分 又? AE ? AF ? ?(0 ? ? ? 1), AC AD ∴不论λ 为何值,恒有 EF∥CD,∴EF⊥平面 ABC,EF ? 平面 BEF, ∴不论λ 为何值恒有平面 BEF⊥平面 ABC
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,BE⊥EF,又平面 BEF⊥平面 ACD, ∴BE⊥平面 ACD,∴BE⊥AC.………………8 分 ∵BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°,
∴ BD ? 2, AB ? 2 tan 60 ? ? 6,

? AC ? AB2 ? BC2 ? 7, 由 AB2=AE·AC 得 AE ? 6 ,?? ? AE ? 6 ,

7

AC 7

故当 ? ? 6 时,平面 BEF⊥平面 ACD.………………………………………………12 分 7

158. 设△ABC 内接于⊙O,其中 AB 为⊙O 的直径,PA⊥平面 ABC。

如图 cos?ABC ? 5 , PA: PB ? 4 : 3, 求直线 PB 和平面 PAC 所成角的大小 6

设PA ? 4x, AB ? 3x,则PB ? 5x, BC ? 3x cos?ABC ? 5 x 2
? AB是?O的直径 ? ?ACB ? 90?,即BC ? AC 又 ? PA ? 面ABC,? PA ? BC ? BC ? 面PAC ? ?BPC是PB和面PAC所成的角
5x 在Rt?BPC中,sin ?BPC ? 2 ? 1 ,? ?BPC ? 30?
5x 2 即直线PB和平面PAC所成的角为30?
159. 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 P,Q,R,S 分别为棱 A1D1,A1B1,AB,BB1 的中点,求证:平面 PQS⊥平面 B1RC.(12 分)
证明:连结 BC1 交 B1C 于 O,则 O 为 BC1 的中点
连结 RO,AC1,∵R 是 AB 的中点 ∴RO∥AC1
∵P,Q 分别为 A1D1,A1B1 的中点,易知 A1C1⊥PQ
∴AC1⊥PQ(三垂线定理)
同理证OS ? AC1 ? AC1 ? 面PQS ? RO ? 面PQS 又? RO ? 面B1RC ?面PQS ? 面B1RC
160. 把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角 B—AC—D,E、F 分别为 AD、BC 的中点,O 为正 方形的中心,求折起后∠EOF 的大小
证明:过 F 作 FM⊥AC 于 M,过 E 作 EN⊥AC 于 N,则 M,N 分别为 OC、AO 的中点
解析:

? AN ? 1 AC ? 2 a ? EN(设正方形的边长为a)

4

4

FM ? 2 a, MN ? 2 a, EF 2 ? EN 2 ? FM 2 ? MN 2 ? 3 a2

4

2

4

在?EOF中, EF 2 ? EO2 ? FO2 ? 2EO ? FOcos?EOF

? cos?EOF ? ? 1 , ?EOF ? 120? 2
另证 :? EO // CD,延长FO交AD?于G,OG // CD?

? ?EOG ? ?DCD?

? B ? AC ? D为直二面角, DO ? AC

? DO ? 平面ABC

? DC ? DD? ? CD? ? a

即?DCD?为正三角形,? ?DCD? ? 60?

? ?EOF ? 180? ? ?EDG ? 120?

161. 如图,正方体 AC1 中,已知 O 为 AC 与 BD 的交点,M 为 DD1 的中点。

(1)求异面直线 B1O 与 AM 所成角的大小。

(2)求二面角 B1—MA—C 的正切值。(14 分)

解析:

方法一: BO ? AC,? B1O ? AC, 设正方体的棱长为a, 则

6

3

3

B1O ? 2 a, MO ? 2 a, MB1 ? 2 a

MB12 ? B1D2 ? MO2,? MO ? B1O

? B1O ? 面MAO

? B1O ? AM

方法二:取 AD 中点 N,连结 A1N,则 A1N 是 B1O 在侧面 ADD1A1 上的射影.

易证 AM⊥A1N

∴AM⊥B1O(三垂线定理)

(2)连结 MB1,AB1,MC,过 O 作 OH⊥AM 于 H 点,连结 B1H,

∵B1O 平面 MAC,∴∠B1HO 就是所求二面角 B1—MA—C 的平面角.

? 2HO ? AM ? AC ? MO,? HO ? 30 10

在Rt?BHO中,? tan ?B1HO

?

B1O HO

?

5

162. 在正方体 AC1 中,E 为 BC 中点(1)求证:BD1∥平面 C1DE;

(2)在棱 CC1 上求一点 P,使平面 A1B1P⊥平面 C1DE;

(3)求二面角 B—C1D—E 的余弦值。(14 分) 解析:

(1)连C1D交CD1于F, 则EF // BD1, ? BD1 ? 面C1DE, EF ? 面C1DE, ? BD1 // 面C1DE. (2) ? A1B1 ? 面BCC1B1, C1E ? 平面BCC1B1,
? A1B1 ? C1E 故保要过B1作B1P ? C1E交C1C于P点即可 此时P为CC1的中点. 事实上,当P为CC1的中点时, B1P ? C1E

从而C1E ? 平面A1B1P, ?平面A1B1P ? 平面C1DE. (3)连结BD, BC1,则BD ? BC1, ED ? EC1, 连结BF,则BF ? DC1, EF ? DC1 ? ?EFB即为二面角B ? C1D ? E的平面角.

在?BEF中,? EF ? CE 2 ? CF 2 ? 3 , BF ? CF 2 ? BC2 ? 6

2

2

BE ? 1 2

由余弦定理: cos?EFB ? 2 2 即为所求 3

163.如图,立体图形 V-ABCD 中,底面是正方形 ABCD,其他四个侧面都是全等的正三角形,画出二 面角 V-AB-C 的平面角,并求它的度数.

解:设底面边长为 a,则侧面三角形的边长也为 a. 取 AB 的中点 E,DC 中点 F,连 VE、EF. ∵ 侧面△VAB 是正三角形, ∴ VE⊥AB. 又 EF∥BC,BC⊥AB,∴ EF⊥AB. ∠VEF 就是 V-AB-C 的平面角.

a2 ? ( 3 a)2 ? ( 3 a)2

2

2?

3

2a ? 3 a

3

cos∠VEF=

2



164. 已知二面角?-l-?是 45°角,点 P 在半平面?内,点 P 到半平面?的距离是 h,求点 P 到棱 l 的距离.

解:经 P 作 PB⊥?于 B, 经 P 在平面?内作 PA⊥l 于 A. 连 AB,则 AB⊥l. ∠PAB 就是二面角的平面角,∠PAB=45°. 那么在 Rt△PAB 中,PB=h,PA= 2 h. 165. 自二面角内一点分别向这个二面角的两个面引垂线,求证:它们所成的角与这个二面角的平面角 互补.
证明:如图 PQ⊥?,PQ⊥AB, PR⊥?,PR⊥AB, 则 AB⊥面 PQR. 经 PQR 的平面交?、?于 SR、SQ, 那么 AB⊥SR,AB⊥SQ. ∠QSR 就是二面角的平面角. 因四边形 SRPQ 中,∠PQS=∠PRS=90°,

因此∠P+∠QSR=180°. 166. 一张菱形硬纸板 ABCD 的中心是点 O,沿它的一条对角线 AC 对折,使 BO⊥DO,这时二面角 B-AC-D 是多少度?要使二面角 B-AC-D 为 60°,点 B 和 D 间的距离应是线段 BO 的几倍?
解:因 ABCD 是菱形,故 AC⊥BD. 沿对角线 AC 折为空间图形后 BO⊥AC,DO⊥AC. ∠BOD 就是二面角 B-AC-D 的平面角. 因 BO⊥OD,故∠BOD=90°, 即二面角 B-AC-D 是 90°. 要使二面角 B-AC-D 为 60°. 因 BO=OD,故△BOD 是等边三角形, 此时 BD=BO. 167.四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 a 的正方形,PB 垂直面 ABCD,证明无论四棱锥的高怎样变化, 面 PAD 与面 PCD 所成的二面角恒大于 90°. 解析::注意到题目中所给的二面角,面 PAD 与面 PCD 的棱为 PD,围绕 PD 而考虑问题解决途径.
证法一:利用定义法 经 A 在 PDA 平面内作 AE⊥PD 于 E,连 CE. 因底是正方形,故 CD=DA.

△CED≌△AED,AE=EC,∠CED=∠AED=90°, 则 CE⊥PD. 故∠CEA 是面 PAD 与面 PCD 所成二面角的平面角. 设 AC 与 BD 交于 O,连 EO,则 EO⊥AC.

2 因 2 OA= 2 × 2 =a,AE<AD<a.

AE 2 ? EC 2 ? (2OA)2 ( AE ? 2OA)( AE ? 2OA)

cos∠AEC=

2AE ? EC



AE 2

<0.

所以面 PAD 与面 PCD 所成的二面角恒大于 90°.

证法二:运用三垂线法

∵ PB⊥面 ABCD,则 PB⊥AD,又 AD⊥AB,

∴ AD⊥面 PAB,即面 PAB⊥面 PAD.

过 B 作 BE⊥PA,则 BE⊥面 PAD.

在面 PBC 内作 PG BC,连 GD.

经 C 作 CF⊥面 PAD 于 F, 那么连结 EF,有 EF AD. 经 F 作 FH⊥PD 于 H,连 CH, 则∠FHC 是所求二面角平面角的补角. 因 CF⊥FH,故∠FHC 是锐角. 则面 PAD 与面 PCD 所成二面角大于 90°. 此结论证明过程中与棱锥高无关.

证法三:利用垂面法找平面角. 在证法一所给图形中 连 AC、BD,因 AC⊥BD,PB⊥面 ABCD, ∴ AC⊥PD. 经 A 作 AE⊥PD 于 E,那么有 PD⊥面 AEC,连 CE, 即 PD⊥CE. 故 PD 与平面 AEC 垂直后,面 AEC 与面 ADC 及面 ADP 的交线 EA、EC 构成角∠CEA 就是二面 角的平面角. 以下同证法一. 168. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为棱 AA1 的中点,求平面 EB1C 和平面 ABCD 所成二面角的大小. 解:△EB1C 在底面 ABCD 内的射影三角形为 Rt△ABC. 因 E 点射影为 A,B1 点射影为 B.

设正方体棱长为 a,

1 则 S△ABC= 2 a2.
又在△EB1C 中,

5

3

B1E= 2 a,B1C= 2 a,EC= 2 a,

5 a2 ? 9 a2 ? 2a2

44

?

5

2? 5 a? 3a

5

故 cos∠B1EC=

22



25 ∴ sin∠B1EC= 5 .

1 5 3 25 3 ∴ S ?B1EC = 2 × 2 a·2 a· 5 = 4 a2.

设面EB1C 和面 ABCD 所成的二面角为?,

a2

S?ABC ? 2

S ?B1EC

3 a2

2

则 cos?=

4 =3.

2 那么所求二面角的大小为 arccos 3 .
评述:此题属无棱二面角问题,图中没有二面角的棱,我们也可以去找到棱来解决,但这里通过
射影而直接求角更方便.S′=S△ABC,S= S ?B1EC .
169. 一个平面将空间分成几部分?二个平面将空间分成几部分?三个平面将空间分成几部分?
解析:2 部分,3或4部分,4或6或7或8部分

170. 如图:已知直线 l 与平行直线 a、b、c 都相交,

求证:l 与 a、b、c 共面。

α

设 L∩a=A,

a b c l

l∩b=A,L∩c=C,∵a∥b,∴a、b可确定一个平面α ,∵A∈a,B∈b,∴A∈α ,B∈α ,
∴AB ? α ,即 L ? α .∵b∥c,∴b、c可确定一个平面β ,

同理l ? β .∵α 、β 均过相交直线b、l,∴α 、β 重合,∴a、b、c、l共面;

7.提示:只需证明 P、Q、R 为平面 ABC 与α 的公共点;

171. 如图:已知△ABC 在平面α 外,AB∩α =P,AC∩α =R,BC∩α =Q。

求证:P、Q、R 三点共线。

A B

解析:点在线上,线在面内,可得点在面内,证明 P,Q,R 三个点是平C面

? 与平面 ABC 的公共点,即可。

α

P

Q

R

172. 如图:已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 各边 AB、AD、CB、CD 上的点,且直线 EF 和 HG
交于点 P,求证:点 B、D、P 在同一条直线上。 A

解析:∵直线EF∩直线,HG=P,∴P∈直线 EF,又 EF ? 平面 ABD,

E

F

∴P∈平面 ABD,同理 P∈平面 CBD,由公理2,点 B、D、P

P

D

在同一条直线上。

H

B

C

G

173. 如果把两条异面直线称作“一对”,则在正方体十二条棱中,共有异面直线( )对

A.12

B.24

C.36

D.48

解析:B

D' A'

C' B'

D

C

A
B 如图,棱 AA' 有 4 条与之异面,所有所有棱能组成 4? 12=48 对,但每一对都重
复计算一次,所以有 48 对? 1 =24 对。 2

174. 已知正方形 ABCD 所在的平面和正方形 ABEF 所在的平面相交于 AB,M、N 分别是对角线 AC、BF 上 的点,且 AM=FN,求证:MN∥平面 BCE.

解析:作 NP∥AB 交 BE 于点 P,作 MQ∥AB 交 BC 于点 Q,

证 MNPQ 是平行四边形,再证 MN∥面 BCE.

F A
D

E N
B M
C

175. 棱长为1的的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,求证:平面 A1BD∥平面 CB1D1.

解析:过a和直线b上任意一点 P 作一平面γ 和平面β 交于 a ' ,∵α ∥β ,∴a∥ a ' ,∵ a ' ? ? , a' ? ? , a ? ? ,∴ a ' ? ? ,∵ a' ? b ? P , b ? ? ,b∥β ,

∴α ∥β ;8.∵A1B∥D1C,∴A1B∥平面 CD1B1,同理 BD∥平面 CD1B1,

∵A1B ? 面 A1BD,BD ? 面 A1BD,∴面 A1BD∥面 CD1B1.

176. 已知(如图):平面α ∥平面β , A、C∈α ,B、D∈β ,AB 与 CD 是异面直线,E、F 分别是线段 AB、

CD 的中点,求证:EF∥β .

αA C

α αE



βB D

解析:

D 如图作辅助线,可得中线平行。
A

177. 如图:在△ABC 中,∠ACB=900,M 是 AB 的中点,PM⊥平面 ABC, D1

求证:PA=PB=PC.

A1

解析:连结 MC,由∠ACB= 900 ,M 为 AB 的中点,MB=MC=MA,

C B
C1 B1

∴PM⊥面 ABC,∴∠PMA=∠PMB=∠PMC= 900 ,又 PM 公用,∴△PMA≌△PMB≌△PMC,∴PA=PB=PC;

178. 四边形 ABCD 是距形,AB=2,BC=1,PC⊥平面 AC,PC=2,求点 P 到 BD 的距离.

解析:作 CE⊥BD 于 E,连结 PE, 2 30 5
179. 如图:在斜边为 AB 的 Rt△ABC 中,过点 A 作 PA⊥平面 ABC,AE⊥PB 于 E,AF⊥PC 于 F,(1)求 证:BC⊥平面 PAC;(2)求证:PB⊥平面 AEF.

P E

F

A

B

C

解析: (1)PA⊥面 ACB,∴PA⊥BC,BC⊥AC,∴BC⊥面 PAC.(2)(1)知 BC⊥AF,

又 AF⊥PC,∴AF⊥面 PBC,∴AF⊥PB,又 PB⊥AE,∴PB⊥面 AEF.

180. 如图:ABCD—A1B1C1D1 是正方体.求证:(1)A1C⊥D1B1;(2)A1C⊥BC1

解析:(1)连 A1C1,则 A1C1⊥B1D1, 又 CC1⊥面 A1C1,由三垂线定理可知 A1C⊥B1D1,(2)连 B1C, 仿(1)可证;

D1 A1
D A

C1 B1
C B

181. 如图:PA⊥平面 PBC,AB=AC,M 是 BC 的中点,求证:BC⊥PM.
解析:由 AB=AC 得AAM⊥BC,又 PA⊥面 PBC,BC ? 面 PBC,∴BC⊥AP,
A ∴BC⊥面 AMP,∴BC⊥PM

P
C M B

182. 如图:Rt△ABC 中,∠B=900,P 为三角形所在平面外一点,PA⊥平面 ABC,指出四面体 P—ABC

中有哪些三角形是直角三角形,说明理由.

P

由 PA⊥面 ABC 得 PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC;又 BC⊥AB,

∴BC⊥面 PBA,∴△PAB,△PBC,△PAC,△ABC 都是直角三角形 A

C B

183. 已知直线 a∥直线 b,a⊥平面α ,求证 b⊥α .
解析:过a与α 的交点作两相交直线m、n,由a⊥α ,则a⊥m,a⊥n,又b∥a,∴b⊥m, b⊥n,
∴b⊥α

184. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 为 CC1 中点,F 为 AC 和 BD 的交点. 求证:A1F⊥平面 BED. 解析:∵AA1⊥面 ABCD,AF 是 A1F 在 ABCD 上的射影,由 AC⊥BD 得 A1F⊥BD,取 BC 的中点 G,连 FG,B1G,由 AB⊥BC1,∴FG⊥面 BC1, ∴B1G 是 A1F 在面 BC1 上的射影,又 B1G⊥BE,∴BE⊥A1F,∴A1F⊥面 BED;

185. P 是 ?ABC 所在平面外一点,若 ?PBC 和 ?ABC 都是边长为 2 的正三角形,PA= 6 ,求二面角
P-BC-A 的大小。

900 解析:取BC的中点D,连结 PD、AD,易证∠PDA 为二面角的平面角

186. 如图, ?ABC 是等腰直角三角形,AC=BC=a,P 是 ?ABC 所在平面外一点,PA=PB=PC= 求证:平面 PAB ? 平面 ABC;(2)求 PC 与 ?ABC 所在平面所成的角。

A
A

2a 。(1)

A A A 解析:
(1)取 AB 的中点O,连 PO,证明 PO⊥面 ABC,(2) 600

B A A C A A

187. 如图,A 是直二面角? ? EF ? ? 的棱 EF 上的点,AB、CD 分别是? 、 ? 内的射线,

?EAB ? ?EAC ? 45 ,求 ?BAC 的大小.

B

α

解析: 600



A



A

A

βA

C

A

A

A

作 BO ? DF,可得 BO ? 平面 ? ,解三角形 ABC,根据余弦定理可得。
188. (如图)已知正方形 ABCD 的边长为 1,过 D 作 PD ? 平面 ABCD,且 PD=1,E、F 分别是 AB 和 CD 的
中点。(1)求 D 点到平面 PEF 的距离;(2)求直线 AC 到平面 PEF 的距离。

P

D

A

E

C F
B

解析: ?1? 3 17 , ?2? 17

17

17

1.作 DG ? 直线 PF,则可得 AC ? 平面 PDB,所以 EF ? 平面 PDB?EF ? DG ?DG ? 平面 PEF。DG 为 D
点到平面 PEF 的距离

2.过点 O 作平行于 DG 的直线,则为所求。

189. 在三棱锥 S—ABC 中,SA⊥底面 ABC,AB⊥BC,DE 垂直平分 SC,且分别交 AC 和 SC 于 D 和 E,又 SA=AB,SB=BC.求以 BD 为棱,以 BDE 与 BDC 为面的二面角度数.

∵E 为 SC 的中点 ∴BE⊥SC ∴SC⊥面 BDE SC⊥BD 面 SA⊥BD ∴BD⊥面 SAC 即 BD⊥AC BD⊥DE ∴∠EDC 为所求.

设 SA=a 则 AB=a SB=BC= 2 a SC=2a ∠ASC=60° ∠SCA=30° ∠EDC=60°

190. P 是△ABC 所在平面外一点,PA、PB、PC 两两垂直,G 为△PAB 的重
心,E、F 分别是 BC、PB 上的点,且 BE∶EC=PF∶FB= 1 ,求证:平面 GEF 2
⊥平面 PBC
解析:∵G 为△PAB 的重心,∴ GB ? 2 ? BF ∴GF∥PA. GN 1 PF
∵PA⊥PB PA⊥PC,∴PA⊥面 PBC.∴GF⊥面 PBC,∴面 GFE⊥面 PBC.
191. 如图 1 所示,边长 AC=3,BC=4,AB=5 的三角形简易遮阳棚,其 A、B 是地面上南北方向两个 定点,正西方向射出的太阳光线与地面成 30°角,试问:遮阳棚 ABC 与地面成多大角度时,才能保证

所遮影面 ABD 面积最大?
解析: 易知,Δ ABC 为直角三角形,由 C 点引 AB 的垂线,垂足为 Q,则应有 DQ 为 CQ 在地面上的斜射 影,且 AB 垂直于平面 CQD,如图 2 所示.
因太阳光与地面成 30°角,所以∠CDQ=30°,又知在Δ CQD 中,CQ= 12 ,由正弦定理,有 5
CQ = QD , sin 30? sin ?QCD 即 QD= 6 sin∠QCD.
5
为使面 ABD 的面积最大,需 QD 最大,这只有当∠QCD=90°时才可达到,从而∠CQD= 60°. 故当遮阳棚 ABC 与地面成 60°角时,才能保证所遮影面 ABD 面积最大. 192. 如图所示,已知三棱锥 S—ABC 中,SA=SB=SC,且 AC2+BC2=AB2,由此可推出怎样的结论? 解析: 引 SO⊥平面 ABC(O 为垂足),连结 OC. ∵SA=SB=SC,∴OA=OB=OC, ∴O 是Δ ABC 的外心,(结论 1) 又∵AC2+BC2=AB2,
∴Δ ABC 是直角三角形,且 AB 是斜边,故 O 是斜边 AB 的中点.因而
SO ? 平面 SAB(结论 2)
∴平面 SAB⊥平面 ABC(结论 3) 193. 正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,各棱长均为 2,M 为 AA1 中点,N 为 BC 的中点,则在棱柱的表面上从点

M 到点 N 的最短距离是多少?并求之.

解析:(1)从侧面到 N,如图 1,沿棱柱的侧棱 AA1 剪开,并展开,则 MN= AM 2 ? AN2 = 12 ? (2 ?1)2 = 10
(2)从底面到 N 点,沿棱柱的 AC、BC 剪开、展开,如图 2.
则 MN= AM2 ? AN2 ? 2AM ? ANcos120?
= 12 ? ( 3)2 ? 2 ?1? 3 ? 1 = 4 ? 3 2

∵ 4 ? 3 < 10

∴ MNmin = 4 ? 3 .
194. 已知二面角 A—BC—D 为 150°,Δ ABC 是边长为 a 的等边三角形,Δ BCD 是斜边为 BC 的等腰直角 三角形.求两个顶点 A 和 D 间的距离.

解析:.取 BC 的中点 E,连 DE 和 AE,利用余弦定理 AD=

7
a

2

195. .如图,ABCDEF 为正六边形,将此正六边形沿对角线 AD 折叠.

(1)求证:AD⊥EC,且与二面角 F—AD—C 的大小无关; (2)FC 与 FE 所成的角为 30°时,求二面角 F—AD—C 的余弦值. 解析:(1)正六边形 ABCDEF,在折叠前有 AD⊥EC,设 AD 与 EC 交于 M,折叠后即有 AD⊥ME,AD⊥MC.则

AD⊥平面 EMC,无论∠EMC 的大小如何,总有 AD⊥EC.(2)利用余弦定理,有 cos∠EMC= 7 9
196. 在直角 BVC 的角顶点 V,作直角所在平面的斜线 VA,使二面角 A—VB—C 与二面角 A—VC— B 都等于 45°,求二面角 B—VA—C 的度数.
解析:在 VA 上取 A′作平面 VCB 的垂线,垂足为 O,作 OC′⊥VC,OB′⊥VB,连 A′C′、A′ B′,则∠A′C′O 和∠A′B′O 分别为二面角 A-VC—B 与二面角 A—VB—C 的平面角.易证 VB′
OC′为正方形.设 VB′=a,可求得 A′B′= 2 a.VA′= 3 a.过 B′作 B′D⊥VA,
连结 C′D.则∠B′DC′为二面角 B—VA—C 的平面角.在 RtΔ B′VA′中,可求 B′D= 6 a,又 DE⊥B′ 3
C′,B′E= 2 a,则在 RtΔ B′DE 中可求得∠B′DE=60°.二面角 B—VA—C 为 120°. 2

197. 已知直线 l 与平面α 内交于一点 O 的三条直线 OA、OB、OC 成等角,求证:l⊥α
解析:若 l 过 O 点,在 l 上任取一点 P,作 PH⊥α ,垂足 H,则 H 即在∠AOB 的平分线上,又在∠BOC 的平分线上,∴H 是它们的公共点,故 H 与 O 重合;若 l 不过 O 点,可作过 O 的直线 l′,使 l′∥l 即可证明.

198. 空间四边形 ABCD 的各边与两条对角线的长都为 1,点 P 在 AD 上移动,点 Q 在 CB 上移动,求点 P

与点 Q 的最短距离。

A

2



2





Q C

解析: 可求得。

如图作辅助线,可得 PQ 为 AD,BC 的公垂线。在直角三角形 BQP 中

199. 若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是( )

A.三棱锥

B.四棱锥

C.五棱锥

D.六棱锥

解析:D

A

B

O

C

ABC 是正三角形,所以 OC=AC,而 AOC 是直角三角形,OC 为直角边,AC
为斜边,矛盾,所以正棱锥不是六棱锥。

200. A、B 为球面上相异的两点,则通过 A、B 可作大圆( )

A.一个

B.无穷多个

C.零个

D.一个或无穷多个

解析:D

当 A,B 点在球直径上,,这样的大圆有无数个,当不在球直径上,与球心 O 三个点唯一确定一个平面。

201. .已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且 AB=BC=AC=2,求球的体 积。

解析:过 A、B、C 三点截面的小圆的半径就是正△ABC 的外接圆的半径 2 3 , 3

它是Rt△中 600 所对的边,其斜边为 4 ,即球的半径为 4 ,∴V ? 256 ? ;

3

3

81

202. 正四面体棱长为 a,求其内切球与外接球的表面积。

解析:设正四面体的面 BCD 和面 ACD 的中心分别为 O1, O2 ,连结 AO2 与 BO1 并延长,必交于 CD 的中

点 E,又 BE ?

3 2

a

,O2 E

?

3 6

a ,连接 BO2 ,在

Rt△ BO2 E 中, BO2

?

6 3

,

连结

AO1



BO2



于 O3 ,由 Rt△ AO2O3 ? Rt△ BO1O2 ,∴ O2O3 ? O3O1,O3 A ? O3B ,同理可证 O3C ? O3D ? O3 A,O3 到 另二面的距离也等 O3O1 ,

∴ O3 为四面体外接球与内接球的球心,由△ BO1O3 ∽△ BO2 E ,∴ O1O3

?

6 12

a,

∴ R外 ?

6 4

a, S外

?

3 2

?a

2

,

r内

?

6 12

a, S内

?

1 ?a 2 6

203. 在 RtΔ ABC 中,AB=BC,E、F 分别是 AC 和 AB 的中点,以 EF 为棱把它折成大小为β 的二面角 A —EF—B 后,设∠AEC=α ,

求证:2cosα -cosβ =-1.

解析:∠AFB=β .可证:BC⊥AB,然后利用 AC2=BC2+AB2 即可证得.

204. 如图:D、E 是是等腰直角三角形 ABC 中斜边 BC 的两个三等分点,沿 AD 和 AE 将△ABD 和△ACE 折 起,使 AB 和 AC 重合,求证:平面 ABD⊥平面 ABE.





BD

EC







解析:过 D 作 DF⊥AB 交 AB 于 F,连结 EF,计算 DF、EF 的长,又 DE 为已知,三边长满足勾股定理,
∴∠DFE= 900 ;

205. 已知正三棱柱 ABC— A1B1C1 的底面边长为8,侧棱长为6,D 为 AC 中点,
(1)求证:AB1∥平面 C1DB;(2)求异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值.

(1) 解析:连B1C交 BC1于 E,连结 ED,则 AB1∥DE,由线面平行定理得 AB1∥平面 BDC1;(2) ∵AB1∥DE,∴DE 与 BC1所成锐角就是异面直线 AB1与 BC1所成的角,又 BD⊥DC,在 Rt△BDC 1中,

易知 BE= 1 BC1=5,DE=5,BD= 4 3 ,在△BDE 中,cos ∠BED= 1 ,∴异面直线 AB1与 BC1所成

2

25

角的余弦值为 1 25

206. 已知(如图):三棱锥 P—ABC 中,异面直线 PA 与 BC 所成的角为 900 ,二面角 P—BC—A 为 600 ,
△PBC 和△ABC 的面积分别为 16 和 10,BC=4.

求:(1)PA 的长;(2)三棱柱 P—ABC 的体积VP?ABC







解析:
(1)作 AD⊥BC 于 D,连 PD,由已知 PA⊥BC,∴BC⊥面 PAD,∴BC⊥PD,∴∠PDA 为二面角的平面角,∴
∠PDF= 600 ,

可算出 PD=8,AD=5,∴PA=7;(2)V= 40 3 3

207. 如图 2-33:线段 PQ 分别交两个平行平面α 、β 于 A、B 两点,线段 PD 分别交α 、β 于 C、D 两
点,线段 QF 分别交α 、β 于 F、E 两点,若 PA=9,AB=12,BQ=12, ? ACF 的面积为 72,求 ? BDE 的
面积。

解析: 求 ? BDE 的面积,看起来似乎与本节内容无关,事实上,已知 ? ACF 的面积,若 ? BDE 与 ? ACF 的对应边有联系的话,可以利用 ? ACF 的面积求出 ? BDE 的面积。
(提示:① ? ABC 的两条邻边分别长为 a、b,夹角为θ ,则 ? ABC 的面积 S= 1 absinθ ,②sinα 2
=sin(180°-α )

解答:∵平面 QAF∩α =AF,平面 QAF∩β =BE,又∵α ∥β ,∴AF∥BE 同理可证:AC//BD,∴∠FAC 与∠EBD 相等或互补,即 sin∠FAC= sin∠EBD.

由 AF∥BE,得 BE ? QB ? 12 ? 1 ,∴BE= 1 AF

P

AF QA 24 2

2

由 BD//AC,得: AC ? PA ? 9 ? 3 ,∴BD= 7 AC

BD PB 21 7

3

F

C

α

A

又∵ ? ACF 的面积为 72,即 1 AF·AC·sin∠FAC=72, 2



S?DBE



1 2

BE·BD·sin∠EBD

= 1 · 1 AF· 7 AC·sin∠FAC

22

3

= 7 · 1 AF·AC·sin∠FAC= 7 ×72=84

62

6

∴ ? BDE 的面积为 84 平方单位。

E B
Q
图 2-33



208. a、b、c 为三条不重合的直线,α 、β 、γ 为三个不重合平面,现给出六个命题,



a b

// c? // c??

?

a

//

b



a // b //

?? ???

?

a

//

b



? // c?

?

//

c

? ?

?

?

//

?



? // ??

?

//

?

? ?

?

?

//

?



? // c?

a

//

c

? ?

?

?

//

a

其中正确的命题是( )



a // ? ? ? // ???

?

?

//

a

A. ①②③

B. ①④⑤ C. ①④ D. ①④⑤⑥

解析: 首先要判断每个命题的真假,错误的命题只需给出一个反例。

解答: ①三线平行公理, ②两直线同时平行于一平面,这二直线可相交,平行或异面 ③二平面同时平行于一直线这两个平面相交或平行

④面面平行传递性,

⑤一直线和一平面同时平行于另一直线,这条直线和平面可平行或直线在平面内,

⑥一直线和一平面同时平行于另一平面,这直线和平面可平行也可能直线在平面内,

故①④正确 ∴应选 C。

209. 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB1 与 A1D 所成的角为α ,AC 与 BC1 所成的角为β ,A1C1 与 CD1 所成的角为γ 。 求证:α +β +γ =π

解析:作如图的辅助线 则∠AB1C 为 AB1 与 A1D 所成的角∠AB1C=α

∵AB ?// A1B1 ?// C1D1
∴BC1//AD1,故∠D1AC 为 AC 与 BC1 所成的角∠D1AC=β
∵AA1 ?// DD1 ?// CC1,∴A1C1//AC
∴∠D1CA 即为 A1C1 与 CD1 所成的角∠D1CA=γ 在△ACD1 和△ACB1 中,AB1=CD1,B1C=D1A,AC=CA ∴△ACD1≌△CAB1,故∠AB1C=∠AD1C,故∠AD1C=α 在△AD1C 中,∠AD1C+∠D1CA+∠D1AC=π 即:α +β +γ =π

B1 A1
B

C1 D1
C

210. 如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行A 。

D

(已知α ∥β ,γ ∥β ,求证:α ∥γ 。) 析:如图 2- ,作两个相交平面分别与α 、β 、γ 交于 a、c、e

图 2-

a

b

解 和

b、d、f

α

? ?

// //

? ?

? ?

?a // c ??b // d ?c // e ??d // f

? ? ? ? ? ??

?

?a ??b

// //

e f

? a //? ? b //?

? ? ?

?

?

//

?

c

β

d

e

γ

f

211. 下列说法中正确的是( ):

A.

直线 l 平行于平面α 内的无数条直线,则 l//α

B. 若直线 a 在平面α 外,则 a//α

C. 若直线 a//b,直线 b ? α ,则 a//α

D. 若直线 a//b,b ? α ,那么 a 就平行于平面α 内的无数条直线

解析:画出图形,根据直线与平面平行的定义和判定定理进行分析。

解答: 由直线 l 虽与平面α 内无数条直线平行,但 l 有可能在平面α 内,知 l 不一定平行于α ,从 而排除 A 直线 a 在平面α 外,包括两种情况:a//α 或 a 与α 相交,故 a 与α 不一定平行,从而排除 B
直线 a//b ,b ? α 只能说明 a 和 b 无公共点,但 a 可能在平面α 内,故 a 不一定平行于α ,从而排
除C
a//b,b ? α ,那么 a ? α 或 a//α ,故 a 可能与平面α 内的无数条直线平行,从而选择 D

点评: 判定直线与平面平行时,要注意直线与平面平行的判定定理中的三

个条件,缺一不可。



212.如图 2-20,两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB, M∈AC,N∈FB,且 AM=FN,求证:MN//平面 BCE。

解析: 要证 MN//平面 BCE,就是要在平面 BCE 上找一条直线,证明它与 MN 平行即可。

AF DM N
BE G
C 图 2-20

证明: 连结 AN 并延长,交 BE 延长张于 G,连结 CG。
由 AF//BG,知 AN ? FN ? AM ,故 MN//CG,MN ? 平面 BCE,CG ? 平面 BCE,于是 MN//平面 NG NB MC
BCE。

点评:证线面平行,通常转化为证线线平行,关键是在平面内找到所需的线。
213. 如图 2-21,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,E 为 DD1 的中点, (1)判断 BD1 和过 A、C、E 三点的平面的位置关系,
并证明你的结论。
(2)求 ? ACE 的面积。
证明(1):连结 BD,令 BD∩AC=F。 ∵BD1 和过 A、C、E 三点的平面平行, 则 F 是 DB 的中点,又 E 是 DD1 的中点, ∴EF∥BD1
又 EF ? 平面 ACE,BD1 ? 平面 ACE,
∴BD1∥平面 ACE
(2)在正方形 ABCD 中,AB=2,AC=2 2 ,∴AF= 2

D1

C1

A1 E D
A C

B1 C
B

在直角△ADE 中,AD=2,DE=1,∴AE= 5

D1

C1

在 Rt△EAF 中,EF= EA2 ? AF 2 = 5 ? 2 = 3

∴ s?ACE

?

1?2 2

2?

3?

6

A1 E

B1

D

C

A

F B

214. 直线 a//直线 b,直线 a 与平面α 相交,判定直线 b 与平面α 的位置关系,图并2-证明你的结论

证明:假设直线 b 与α 不相交,则 b ? α 或 b//α (1)若 b ? α ,由 a//b,b ? α ,a ? α ?a//α ,与 a 与平面α 相交矛盾,故 b ? α 不可能。 (2)若 b//α ,又 a// b,a,b 可以确定平面β ,设α ∩β =c,由 c ? α ,知 b 与 c 没有公共点,又 b、c 同 在平面β 内,故 b//c,又 a//b,故 a//c,c ? α ,a ? α ?a//α ,这与 a 与平面α 相交矛盾。故 b 不平行
α。

综上所述,b 与α 必相交。

215. 如图 2-22:在长方体 AC1 中, (1)求证:BC1//平行平面 AB1D1 (2)若 E、F 分别是 D1C,BD 的中点,则 EF//ADD1A1
解析:(1)∵D1C1 ?// DC ?// AB
∴ABC1D1 是平行四边形 BC1//AD1
又 BC1 ? 平面 AB1D1,又 AD1 ? 平面 AB1D1
BC1//平面 AB1D1 (2)证明:连结 AF、CF、AD1, ∵ABCD 是正方形,且 F 是 BD 的中点,知 A、F、C 三点共线, 且 F 是 AC 的中点,又 E 是 CD1 的中点
∴EF//AD,又 EF ? 平面 ADD1A1,AD ? 平面 ADD1A1,
∴EF//平面 ADD1A1

D1

C1

A1

E B1

D

F

C

A

B

图 2-22

216.在正方体木块 ABCD-A1B1C1D1 的表面上有一动点 P 由顶点 A 出发按下列规则向点 C1 移动; ⑴点 P 只能沿着正方体木块的棱或表面对角线移动; ⑵点 P 每一变化位置,都使 P 点到 C1 点的距离缩短。 动点 P 共有_________种不同的运行路线。 解析:通过画图逐一计数,共得 12 种不同路线(从 B 到 C1,就有 3 种不同路线)

经过一条边,一条对角线的情况有 6 种,
A ? B ? C1 , A ? A1 ? C1 , A ? D ? C1

A ? B1 ? C1 , A ? C ? C1 , A ? D1 ? C1
经过三条边的情况有 6 种:

A ? B ? B1 ? C1 , A ? B ? C ? C1 , A ? D ? C ? C1

A ? D ? D1 ? C1 , A ? A1 ? B1 ? C1 , A ? A1 ? D1 ? C1
217. 判定下列命题的真假 (1)两个平面垂直,过其中一个平面内一点作与它们的交线垂直的直线,必垂直于另一个平面;

(2)两个平面垂直,分别在这两个平面内且互相垂直的两直线,一定分别与另一平面垂直; (3)两平面垂直,分别在这两个平面内的两直线互相垂直。

解析:(1)若该点在两个平面的交线上,则命题是错误的, 如图 2-55,正方体 AC1 中,平面 AC⊥平面 AD1,平面 AC∩平面 AD1=AD, 在 AD 上取点 A,连结 AB1,则 AB1⊥AD,即过棱上一点 A 的直线 AB1 与棱垂直,但 AB1 与平面 ABCD 不垂直,其错误的原因是 AB1 没有保证在平面 ADD1A1 内,可以看出:线在面内这一条件的重要性; (2)该命题注意了直线在平面内,但不能保证这两条直线都与棱垂直,如
图 2-56,在正方体 AC1 中,平面 AD1⊥平面 AC,AD1 ? 平面 ADD1A1,AB ? 平
面 ABCD,且 AB⊥AD1,即 AB 与 AD1 相互垂直,但 AD1 与平面 ABCD 不垂直;

D1

C1

A1

B1

D

C

A

B

图 2-55

(3)如图 2-56:正方体 AC1 中,平面 ADD1A1⊥平面 ABCD,AD1 ? 平面 ADD1A1,

D1

C1

AC ? 平面 ABCD,AD1 与 AC 所成的角为 60,即 AD1 与 AC 不垂直

A1

B1

解:由上面的分析知,命题⑴、⑵、⑶都是假命题。

D

C

A

B

点评:在利用两个平面垂直的性质定理时,要注意下列的三个条件缺一不 可:①两个平面垂直;②直线必须在其中一个面内;③直线必须垂直它们

图 2-56

的交线。

218.已知平面α ⊥平面β ,平面α ⊥平面γ ,且β ∩γ =a,求证:a⊥α 。

解析: 此题需要作出辅助线,可有多种证明方法。

证法 1:如图 2-57:在α 内取一点 P,作 PA⊥β 于 A,PB⊥γ 于 B,
则 PA⊥a,PB⊥a,又 PA ? α ,PB ? α ,PA∩PB=P,∴ a⊥α 。
证法 2:如图 2-58,在 a 上任取一点 Q,作 QC ⊥α 于 C,∵β ∩γ =a,∴Q∈β ,
又β ⊥α ,∴QC ? β ,同理可证 QC ? γ ,∴QC 为β 与γ 的交线 a,∴ a⊥α 。 证法 3:如图 2-59,在 a 上取点 R,在β 内作 RD 垂直于α 、β 的交线 l 于 D,

∴RD⊥α ,同法在γ 内,作 RE 垂直于α ,交α 与γ 的交线 m 于 E,则 RE⊥α ,过平面外一点,作 这个平面的垂线是惟一的,∴RD、RE 重合,则它既包含于β ,又包含于γ ,

∴ a⊥α 。 证法 4:如图 2-60,在β 、γ 内分别取 M、N 分别作α 、β 的交线 l 和α 、γ 的交线 m 的垂线 c, d,则 c⊥α ,d⊥α ,c//d,c//a,∴ a⊥α 。

点评: 此题是线线,线面,面面垂直转化典型题,多解题,对沟通知识和方法,开拓解题思路是 有益的。

β aγ

A

B

α

P

图 2-57

a βQ

γ

α

C

图 2-58

β a Rγ lm
DE α
图 2-59

a β M Nγ

c

d

αl

m

图 2-60

219. 下列四个平面图形中,每个小四边形皆为正方形,其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个

立方体的图形是

()

解析:C

220. 如图,将锐角 A 为 60°,边长为 a 的菱形 ABCD 沿 BD 折成 60°的二面角,则 A 与 C 之间的距 离为___________。

解析:

3
a

2

A

A

C

B

B

D

E

D

221. 如图 2-63,已知平面α ⊥平面γ ,平面β ⊥平面γ 。α ∩γ =a,β ∩γ =b 且 a∥b,求证α ∥

β。 证明:在平面γ 内作直线 c⊥a,

C

α

β

∵a∥b,∴c⊥b。

∵α ⊥γ ,∴c⊥α , 又∵β ⊥γ ,∴c⊥β ,
∴α ∥β

γ c

a

b

222. 求证:一条直线与两个相交平面都平行,则这条直线与图这2两-个63相交平面的交线平行。 已知:如图:a//α ,a//β ,α ∩β =b,求证:a//b

解析: 本题可利用线面平行的性质定理来证明线线平行。

证明: 如图 2-28,过 a 作平面γ 、δ ,使得γ ∩α =c,δ ∩β =d,那么有

? ???

? d ? ?? c ?? ?

?

a

//?

? ?

?

a

// c

? ?

?

c

//

d

? ?

?

c

//

?

? ?

?

c

//

b

? ?

?

a

//

b

a ? ? ?? 同理a // d ?? c ? ? ?? ? ? ? ? b?? 同理a // c??

点评: 本题证明过程,实际上就是不断交替使用线面平行的判 理、性质定理及公理 4 的过程。这是证明线线平行的一种典型的 路。
223. 如图 2-29:四面体 A-BCD 被一平面所截,截面 EFGH 是一 形, 求证:CD//平面 EFGH; (2)求异面直线 AB、CD 所成的角。
证明:(1)∵截面 EFGH 是一个矩形,
EF//GH,又 GH ? 平面 BCD 面 BCD,而 EF ? 平面 ACD,面 ACD∩面 BCD=CD
CD,∴CD//平面 EFGH 则(1)知 EF// CD,同理 AB//FG, 直线所成角的定义知∠EFG 即为所求的角。 CD 所成的角为 90°

β d αb
α

γ δa

α

c α

α α

定定 思
个矩 (1)

A
E
BH FD G C 图 2-29

∴ ∴EF//平 ∴EF// 解:(2) 由异面 ∴AB、

224. 如图 2-31:设 a、b 是异面直线,A∈a,B∈b,AB⊥a,AB⊥b,过 AB 的中点 O 作平面α 与 a、

b 分别平行,M、N 分别是 a、b 上任意两点,MN 与α 交于点 P,

求证:P 是 MN 的中点。 证明:连结 AN,交平面α 于点 Q,连结 PQ,OQ。

A Ma

∵ b//α ,b ? 平面 ABN,平面 ABN∩α =OQ,

∴b// OQ,又 O 为 AB 有中点,∴Q 为 AN 的中点。

∵a//α ,a ? 平面 AMN,平面 AMN∩α =PQ,
∴a// PQ,

O α

∴P 是 MN 的中点。

BN

b

225.如图 2-32:平面 EFGH 分别平行于 CD、AB,E、F、G、H 分别在图B2D-、3B1 C、AC、AD 上,且

CD=a,AB=b,CD⊥AB

(1)求证:EFGH 是矩形

D

(2)点 E 在什么位置时,EFGH 的面积最大

H
G A

E C
F B

图 2-32

(1)证明:∵CD//平面 EFGH,而平面 EFGH∩平面 BCD=EF ∴CD//EF,同理 HG//CD,∴EF// HG,同理 HE//GF, ∴四边形 EFGH 为平行四边形,由 CD//EF,HE// AB, ∴∠HEF 为 CD 和 AB 所成的角 又∵CD⊥AB,∴HE⊥EF ∴四边形 EFGH 为矩形
(2)解:由(1)可知在 ? BCD 中 EF//CD,设 DE=m,EB=n

? EF ? BE , 又CD ? a , ?EF ? n a,

CD DB

m?n

由HE/ / AB, ? HE ? DE, 又AB ? b , HE ? m b

AB DB

m?n

又?四边形EFGH为矩形

D

H

E

C

G

F

A

B

图2

? S矩形EFGH

?

HE

?

EF

?

m m?

n

b

?

n m?

n

a

?

mn (m ? n)2

ab

?m ? n ? 2 mn, ?(m ? n)2 ? 4mn

?

mn (m ? n

)

2

?

1 ,当且仅当m 4

?

n时取等号,

即E为BD的中点时,即S矩形EFGH

?

mn (m ? n)2

ab

?

1 4

ab,

矩形EFGH的面积最大为1 ab 4
226. 如图 2-23:已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,求证:平面 AB1D1//平面 BDC1。 解析:要证明两个平面平行,由面面平行的判定定理知,须在某一平面内寻找

D1

C1

A1 D

B1 C

A

B

图 2-23

两条相交且与另一平面平行的直线

证明:∵AB ?// C1D1,C1D1 ?// A1B1,∴AD1//BC1∴AB ?// A1B1, ∴四边形 ABC1D1 为平行四边形,又 AD1 ? 平面 AB1D1,BC1 ? 平面 AB1D1,∴BC1//平面 AB1D1,同理,
BD//平面 AB1D1,又 BD∩BC1=B, ∴平面 AB1D1//平面 BDC1。
点评:证面面平行,通常转化为证线面平行,而证线面平行又转化为证线线平行,所以关键是证线 线平行。

227.如图 2-24:B 为 ? ACD 所在平面外一点,M、N、G 分别为 ? ABC、 ? ABD、 ? BCD 的重心,
(1)求证:平面 MNG//平面 ACD;
(2)求 S?MNG : S?ADC
B

解析:(1)要证明平面 MNG//平面 ACD,由于 M、N、G 分别 为△ABC、△ABD、△BCD 的重心,因此可想到利用重心的性 质找出与平面平行的直线。
证明:连结 BM、BN、BG 并延长交 AC、AD、CD 分别于 P、F、H。 ∵M、N、G 分别为△ABC、△ABD、△BCD 的重心,
则有: BM ? BN ? BG ? 2 MP NF GH
连结 PF、FH、PH 有 MN∥PF,又 PF ? 平面 ACD,∴MN∥平面 ACD。
同理:MG∥平面 ACD,MG∩MN=M, ∴平面 MNG∥平面 ACD

M A
P

N
G FD
H

C 图 2-24

(2)分析:因为△MNG 所在的平面与△ACD 所在的平面相互平行,因此,求两三角形的面积之比,

实则求这两个三角形的对应边之比。

解:由(1)可知 MG ? BG ? 2 , PH BH 3

∴MG= 2 PH,又 PH= 1 AD,∴MG= 1 AD

3

2

3

同理:NG= 1 AC,MN= 1 CD,

3

3

∴ ? MNG∽ ? ACD,其相似比为 1:3,

∴ S?MNG : S?ADC =1:9

点评:立体几何问题,一般都是化成平面几何问题,所以要重视平面几何。比如重心定理,三角形的三 边中线交点叫做三角形有重心,到顶点的距离等于它到对边中点距离的 2 倍。

228. 如图:在正方体 ABCD-EFGH 中,求证:平面 AFH//平面 BDG。

析:易证 BD//平面 AHF,BG//平面 AHF,

E

平面 BDG//平面 AHF。

H

G

F

229.如图:在正方体 ABCD-EFGH 中,M、N、P、Q、R、S 分别是 EH、EF、CG、BC、CD 的中点,求证:平面 MNP//平面 QRS。

NH E AP

DF G C BQ

析:先证明 SR//BD,BD//HF,HF//NP,

M

S

D

C R

A

B

图 2-26

解 ∴
AE、 解 ∴

SR//平面 MNP,再证 RO//平面 MNP, 从而证明平面 MNP//平面 QRS

230. 判断题:正确的在括号内打“√”号,不正确的打“×”号

1.一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线平行

()

2.如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直

()

3.垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边

()

4.过点 A 垂直于直线 a 的所有直线都在过点 A 垂直于 a 的平面内

()

5.如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面 ( )

解析: 本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题。

解答: 1.直线与平面平行,则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行,②异面,因 此应打×

2.该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系,若为平行,则该命题应打“√”号;若为 相交,则该命题应打“×”号,正是因为这两种可能同时具备,因此,不说明面内这无数条线的 位置关系,则该命题应打“×”号

3.垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面,由线面垂直定义的逆用,则该直线必垂 直于三角形的第三边,∴该命题应打“√”

4.前面介绍了两个命题,①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直,②过一点有且只有一条直 线与已知平面垂直,根据第一个命题知:过点 A 垂直于直线 a 的平面惟一,因此,过点 A 且与直 线 a 垂直的直线都在过点 A 且与直线 a 垂直的平面内,∴该命题应打“√”

5.三条共点直线两两垂直,设为 a,b,c 且 a,b,c 共点于 O, ∵a⊥b,a⊥c,b∩c=0,且 c 确定一平面,设为α ,则 a⊥α , 同理可知 b 垂直于由 a,c 确定的平面,c 垂直于由 a,b 确定的平面 ∴该命题应打“√”

点评:此类问题必须做到:概念清楚、问题理解透彻、相关知道能灵活运用。

231.如图 2-35:在空间四边形 ABCD 中,已知 BC=AC,AD=BD,引 BE⊥CD,E 为垂足,作 AH⊥BE
于 H,求证:AH⊥平面 BCD。 A

解析: 要证 AH⊥平面 BCD,只须利用直线和平面垂直的判定定理,
证 AH 垂直于平面 BCD 中两条相交直线即可。 F

证明:取 AB 中点 F,连结 CF、DF, ∵AC=BC,∴CF⊥AB, 又∵AD=BD,∴DF⊥AB,∴AB⊥平面 CDF,
又 CD ? 平面 CDF,∴CD⊥AB
又 CD⊥BE,∴CD⊥平面 ABE,CD⊥AH

B

C

H

E

D

图 2-35

又 AH⊥BE,∴AH⊥平面 BCD。

点评:证明线面垂直,需转化为线线垂直,而线线垂直,又可通过证线面垂直来实现。在这里,定

义可以双向使用,即直线 a 垂直于平面α 内的任何直线,则 a⊥α ,反之,若 a⊥α ,则 a 垂直于 平面α 内的任何直线。
P

232.如图:已知 PA⊥⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径, C 是异于 A、B 的⊙O 上任意一点,过 A 作 AE⊥PC 于 E , 求证:AE⊥平面 PBC。
证明:∵PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC, 又∵AB 是⊙O 的直径,∴BC⊥AC 而 PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC
又∵AE ? 平面 PAC,∴BC⊥AE
∵PC⊥AE 且 PC∩BC=C,∴AE⊥平面 PBC。

E

O

B

A C

图 2-36

233. 如图:BC 是 Rt△ABC 的斜边,AP⊥平面 ABC,连结 PB、PC,作 PD⊥BC 于 D,连结 AD,则 图中共有直角三角形_________个。
P

8

解析:Rt△

PAB、Rt△PAC、Rt△ABC、Rt△ADP。

可证 BC⊥

平面 APD,由 BC⊥AD,BC⊥PD PBD、Rt△PDC、Rt△ADB、Rt△ADC 234. 如图:已知 ABCD 是空间四边形,AB=AD,CB=CD
AC 的中点为 K,连结 AK、CK,

可得 Rt△

A

D C 共 8 个。

B

求证:BD⊥

证明:设 BD

A

∵AB=AD,K 为 BD 中点

∴AK⊥BD

同理 CK⊥BD,且 AK∩KC=K ∴BD⊥平面 AKC

B

D

∴BD 垂直于平面 AKC 内的所有直线

C

235. 如图 2-40:P 是△ABC 所在平面外的一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面 ABC,H

是垂足。

求证:H 是 ABC 的垂心。

证明:∵PA⊥PB,PB⊥PC,
∴PA⊥平面 PBC,BC ? 平面 PBC
∴BC⊥PA
∵PH⊥平面 ABC,BC ? 平面 ABC
∴BC⊥PH
∴BC⊥平面 PAH,AH ? 平面 PAH
∴AH⊥BC,同理 BH⊥AC,CH⊥AB, 因此 H 是△ABC 的垂心。
A1
236. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为 DD1 中点,O ABCD 中心, B1O⊥平面 PAC。

证明:如图:连结 AB1,CB1,设 AB=1

A

P

A

C

HD

D1

C1 B

B1 P

D

C

O

B

为底面 求证:
∵AB1

=CB1= 2 ,AO=CO,∴B1O⊥AC,

连结 PB1,∵ OB12

?

OB 2

?

BB12

?

3 2

PB12

?

PD12

?

B1D12

?

9 4

OP2 ? PD2 ? DO2 ? 3 4

∴ OB12 ? OP 2 ? PB12
∴B1O⊥PO, ∴B1O⊥平面 PAC。

237. 正方体各个面所在的平面能将空间分成 m 个部分,m 应等于

A. 27 B. 21

C. 18 D.9

解析:A

()

D' A'

C' B'

D A

C B

如果将正方体各个面延展,可视为将空间分成三个层
面,上面如图标出直角的层面,中间一层,下面一层,而上面一个层面中,又分成九个部分,共 9? 3=27
个部分。
238. 三棱锥 P—ABC 的三条侧棱 PA、PB、PC 两两垂直,底面 ABC 上一点 Q 到侧面 PAB、侧面 PBC、侧 面 PAC 的距离依次为 2,3,6。
求:P、Q 两点间的距离。
解析:如图,作 QE⊥面 PAB,
QM⊥面 PBC,QH⊥面 PAC,E、M、N 为垂足。
由 PA、PB、PC 两两垂直,所以 PC⊥面 PAB,PB⊥面 PAC,
PA⊥面 PBC,可得三个侧面两两垂直。
设平面 QEM 与 PB 交于 F,平面 QEH 与 PA 交于 G,平面 MQH 与 PC 交于 N,连接 EF、MF、GH、GQ、NH、 NM,可证明 QMNH-EFPG 是长方体。

∴PQ=

=

=7。

239.已知:如图,ABCD 是边长为 2 的正方形, PC⊥面 ABCD,PC=2,E、F 是 AB、AD 中点。 求:点 B 到平面 PEF 的距离。 解析:由 BD∥EF 可证 DB∥平面 PEF,则点 B 到平面 PEF 的距离转化为直线与平面 PEF 的距离。又由平 面 PCA 垂直平面 PEF,故 DB 与 AC 的交点到两垂直平面的交线的距离为所求距离。 方法一:连接 DB,AC 交于 O 点,设 AC 交 EF 于 G,连 PG, 作 OH⊥PG,H 为垂足。 ∵E、F 是 AB、AD 中点,∴EF∥DB,∴DB∥面 PEF, ∵ABCD 是正方形,∴AC⊥BD,∴EF⊥AC, ∵PC⊥面 ABCD,∴EF⊥PC,∴EF⊥面 PCG, ∵EF? 面 PEF,∴面 PEF⊥面 PCG, ∵OH⊥PG,∴OH⊥面 PEF,即 OH 为所求点 B 到平面 PEF 的距离。

由 ABCD 边长为 2,∴AC=2 ,GO= ,GC= , ∵PC⊥面 ABCD,∴PC⊥AC,

∴△OHG∽△PCG,∴

,

由 PC=2,PG=

∴OH=

=

即点 B 到平面 PEF 的距离为 。 方法二:如图,连接 BF、PB,设点 B 到平面 PEF 的距离为 d,

由 V = P-BEF S△BEF·PC = × ×BE×AF×PC = ×1×1×2= 连 AC 交 EF 于 G,连 PG,由方法一知

PG= ,EF= ,S△PEF= × × = ∴VB-PEF= ·S△PEF·d=VP-BEF= ,

∴ d=1 d=

即点 B 到平面 PEF 的距离为 。

240. 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、G、H、L、M、N 分别是 A1D1、A1B1、BC、CD、
DA、DE、CL 的中点,(1)求证:EF ? GF;(2)求证:MN//平面 EFGH;(3)若 AB=2,求 MN 到平
面 EFGH 的距离。

解:(1)证:取 B1C1 中点 Q,则 GQ ? 面 A1B1C1D1,且 EF ? FQ,由三垂线定理得 EF ? GF;
(2)在三角形 DEG 中,MN//EG,由此可证 MN//平面 EFGH;

(3)设所求距离为

h,由

VE-NGH=VN-HEG,得

1 3

?

EL

?

S ?NHG

EL=2,故 h ? 3 。 6

?

1 3

?

h

?

S ?HEG

,又 S ?NHG

?

1 4

,S?EHG

?

3,

241. 已知点 P 是正方形 ABCD 所在的平面外一点,PD ? 面 AC,PD=AD= l ,设点 C 到面 PAB 的距离

为 d1,点 B 到平面 PAC 的距离为 d2,则(



(A) l <d1 <d2(B)d1< d2< l (C)d1< l < d2(D)d2<d1< l

解析: d1 ?

2 2

l

,d2

?

3 3

l

,故

d2<d1<

l

,选

D。

C

D
242.如图,正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD、

P

ABEF 互相垂直。点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动,若

M

CM=BN= a (0 ? a ? 2). (1)求 MN 的长;

B

Q

E

(2)当 a 为何值时,MN 的长最小; (3)当 MN 长最小时,

求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角? 的大小。

A

N F

解析:(1)作 MP∥AB 交 BC 于点 P,NQ∥AB 交 BE 于点 Q,连接 PQ,依题意可得 MP∥NQ,且 MP=NQ,即 MNQP 是平行四边形。∴MN=PQ,由已知,CM=BN=a,CB=AB=BE=1,

∴ AC ? BF ?

2

CP
,

?

a

, BQ ?

a

,即

CP ? BQ ? a ,

1 21 2

2

∴ MN ? PQ ? (1 ? CP)2 ? BQ2 ? (1 ? a )2 ? ( a )2 ? (a ? 2 )2 ? 1 (0 ? a ? 2)

2

2

22

(2)由(1)知: 当a ? 2 时,MN ? 2 ,即M , N分别移动到 AC, BF的中点时,

2

2

MN的长最小,最小值为 2 2
(3)取 MN 的中点 G,连接 AG、BG,∵AM=AN,BM=BN,∴AG⊥MN,BG⊥MN,

∴∠AGB 即为二面角α 的平面角。又 AG ? BG ? 6 ,所以由余弦定理有 4

cos?

?

(

6 )2 4 2?

? ( 6)2 4
6? 6

?1 ? ? 1 。故所求二面角?
3

?

arccos(? 1) 。 3

44

243. 如图,边长均为 a 的正方形 ABCD、ABEF 所在的平面所
成的角为? (0 ? ? ? ? ) 。点 M 在 AC 上,点 N 在 BF 上,若 2
AM=FN ,(1)求证:MN//面 BCE ; (2)求证:MN ? AB;

C
G B H E

(3)求 MN 的最小值.

D M
PA N
F

解析:(1)如图,作 MG//AB 交 BC 于 G, NH//AB 交 BE 于 H, MP//BC 交 AB 于 P, 连 PN, GH , 易证 MG//NH, 且 MG=NH, 故 MGNH 为平行四边形,所以 MN//GH , 故 MN//面 BCE ;
(2)易证 AB ? 面 MNP, 故 MN ? AB ;
(3) ?MPN即为面 ABCD 与 ABEF 所成二面角的平面角,即 ?MPN ? ? ,设 AP=x , 则 BP=a-x , N P=a-x , 所以: MN ? x2 ? (a ? x)2 ? 2x(a ? x) cos?

? 2(1 ? cos? )( x ? a )2 ? 1 (1 ? cos? )a 2 ,

22

C

故当 x ? a 时,MN有最小值 1 (1 ? cos? )a .

DM B

2

2

E

244.如图,正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,而且平面

A

P

ABCD、ABEF 互相垂直。点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF

N F

上移

动,若 CM=x ,BN=y, (0 ? x, y ? 2). (1)求 MN 的长(用 x,y 表示);(2)求 MN 长的最小值,该最

小值是否是异面直线 AC,BF 之间的距离。

解析:在面 ABCD 中作 MP ? AB 于 P,连 PN,则 MP ? 面 ABEF,所以 MP ? PN,PB=1-AP= 2 x 在 2
? PBN 中,由余弦定理得:PN2= ( 2 x)2 ? y 2 ? ? 2xy cos 45 0 2

? 1 x 2 ? y 2 ? xy ,在 Rt?PMN 中,MN= MP2 ? PN 2 ? (1? 2 x)2 ? 1 x2 ? y2 ? xy

2

2

2

? x2 ? y 2 ? xy ? 2x ?1 (0 ? x, y ? 2). ;

(2)MN ? x2 ? y 2 ? xy ? 2x ?1 ( y ? x )2 ? 3 (x ? 2 2 )2 ? 1 ,故当 x ? 2 2 , y ? 2 时,

24

3

3

3

3

MN 有最小值 3 。且该最小值是异面直线 AC,BF 之间的距离。 3

245.已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,点 P 是 DD1 的中点,且截面 EAC 与底面 ABCD 成 450 角,

AA1=2a,AB=a,(1)设 Q 是 BB1 上一点,且 BQ ? 2 a,求证:
面 EAC;(2)判断 BP 与面 EAC 是否平行,并说明理由?(3)

D

M 在侧面 BB1C1C 及其边界上运动,并且总保持 AM ? BP,试确 A

1

点 M 所在的位置。

1

解析:(1)证:首先易证 AC ? DQ,再证 EO ? DQ(O 为 AC 与 交点)在矩形 BDD1B1 中,可证 ? EDO 与 ? BDQ 都是直角三角

P E

DQ ?

C 若点

B

1

定动

1

Q

N

BD 的

形,由

D

C

A

O
B

此易证 EO ? DQ,故 DQ ? 面 EAC 得证;

(2)若 BP 与面 EAC 平行,则可得 BP//EO,在三角形 BPD 中,O 是 BD 中点,则 E 也应是 PD 中点,



PD=

1 2

DD1=a,而

ED=DO=

1 2

BD=

1 2

2 a,故 E 不是 PD 中点,因此 BP 与面 EAC 不平行;

(3)易知,BP ? AC,要使 AM ? BP,则 M 一定在与 BP 垂直的平面上,取 BB1 中点 N,易证 BP ? 面
NAC,故 M 应在线段 NC 上。

246.如图,已知平行六面体 ABCD ? A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形,



?C1CB ? ?C1CD ? ?BCD ? 60 0 ,(1)证明: C1C ? BD ;

(II)假定

CD=2,CC1

?

3 2

,记面 C1BD

为α

,面

CBD



β,求二面

角α

-BD -β 的平面角的余弦值;

(III)当

CD CC1

的值为多少时,能使

A1C

?

平面C1BD

?请给出证明.

解析:

(I)证明:连结 A1C1 、AC,AC 和 BD 交于.,连结 C1O , ∵四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD,

BC=CD, ? ?BCC1 ? ?DCC1, 可证 ?C1BC ? ?C1DC ,?C1B ? C1D ,

故 C1O ? BD ,但 AC⊥BD,所以 BD ? 面AC1 ,从而 CC1 ? BD ;

(II)解:由(I)知 AC⊥BD,C1O ? BD , ?C1OC 是二面角α —BD—β 的平面角,在 ?C1BC 中,

BC=2, C1C

?

3 2

, ?BCC1

?

60 0



∵∠OCB=60°,

? OB

?

1 2

BC

? 1,?C1O2

?

C1B 2

?

OB 2

?

13 4

?1 ?

9 4

,故

C1O=

3 2





C1O=C1C,作 C1H ? OC ,垂足为 H,∴点 H 是.C 的中点,且 OH ?

3, 2

所以

cos?C1OC

?

OH C1O

?

3
;
3

(III)当 CD CC1

? 1时,能使 A1C

? 平面C1BD

证明一:∵ CD CC1

? 1,所以 BC

? CD

? C1C ,又 ?BCD

? ?C1CB

? ?C1CD ,由此可得

BD ? C1B ? C1D ,∴三棱锥 C ? C1BD 是正三棱锥.,

247.设 A1C与C1O 相交于 G.,? A1C1 // AC ,且 A1C1:OC ? 2:1 ,所以 C1O :如图,已知正方体 ABCD

—A1B1C1D1 的棱长为 a,求异面直线 A1C1 与 BD1 的距离.

解析:本题的关键是画出 A1C1 与 BD1 的公垂线,连 B1D1 交 A1C1 于 O,在平面 BB1D1 内作 OM⊥BD1,则 OM 就 是 A1C1 与 BD1 的公垂线,问题得到解决. 解 连 B1D1 交 A1C1 于 O,作 OM⊥BD1 于 M. ∴ A1C1⊥B1D1,BB1⊥A1C1,BB1∩B1D1=B1. ∴ A1C1⊥平面 BB1D1. ∴ A1C1⊥OM,又 OM⊥BD1. ∴ OM 是异面直线 A1C1 与 BD1 的公垂线. 在直角Δ BB1D1 中作 B1N⊥BD1 于 N.
∵ BB1·B1D1=B1N·BD1,a· 2 a=B1N· 3 a,

∴ B1N= 6 a,OM= 1 B1N= 6 a.

3

2

6

故异面直线 A1C1 与 BD1 的距离为 6 a. 6
评析:作异面直线的公垂线一般是比较困难的,只有熟练地掌握线、线垂直,线、面垂直的关系后才 能根据题目所给条件灵活作出.本题在求 OM 的长度时,主要运用中位线和面积的等量关系.
248. 已知:A1、B1、C1 和 A2、B2、C2 分别是两条异面直线 l1 和 l2 上的任意三点,M、N、R、T 分别是 A1A2、B1A2、B1B2、C1C2 的中点.求证:M、N、R、T 四点共面.

证明 如图,连结 MN、NR,则 MN∥l1,NR∥l2,且 M、N、R 不在同一直线上(否则,根据三线平行公理, 知 l1∥l2 与条件矛盾).∴ MN、NR 可确定平面β ,连结 B1C2,取其中点 S.连 RS、ST,则 RS∥l2,又 RN
∥l2,∴ N、R、S 三点共线.即有 S∈β ,又 ST∥l1,MN∥l1,∴MN∥ST,又 S∈β ,∴ ST ? β .

∴ M、N、R、T 四点共面. GO =2:1

又 C1O 是正三角形 C1BD 的 BD 边上的高和中线,∴点 G 是正三角形 C1BD 的中心.故 CG ? 面C1BD , 即 A1C ? 面C1BD 。
证明二:由(I)知, BD ? 面AC1 ,? BD ? A1C ,

当 CD CC1

? 1时,平行六面体的六个面是全等的菱形.同 BD

?

A1C 的证法可得 BC1

?

A1C ,



BD ? BC1 ,所以 A1C ? 面C1BD 。

249. 如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的 12 条直线中,异面直线共有( )

A.12 对

B.24 对

C.36 对

D.48 对

解析:本题以六棱锥为依托,考查异面直线的概念及判断,以及空间想象能力.

解法一:如图,任何两条侧棱不成异面直线,任何两条底面上的棱也不成异面直线,所以,每对异面 直线必然其中一条是侧棱而另一条为底面的棱,每条侧棱,可以且只有与 4 条底面上的棱组成 4 对异 面直线,又由共 6 条侧棱,所以异面直线共 6×4=24 对.

解法二:六棱锥的棱所在 12 条直线中,能成异面直线对的两条直线,必定一条在底面的平面内,另一 条是侧棱所在直线.底面棱所在直线共 6 条,侧棱所在直线也有 6 条,各取一条配成一对,共 6×6=36 对,因为,每条侧棱所在的直线,与底面内的 6 条直线有公共点的都是 2 条,所以,在 36 对中不成异 面直线的共有 6×2=12 对.所以,六棱锥棱所在的 12 条直线中,异面直线共有 36-12=24 对.

250. 分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( )

A.平行

B.异面

C.平行或异面

D.相交或异面

解析:本题考查两条直线的位置关系,异面直线的概念,以及空间想象能力.

解法一:设两条异面直线分别为 l1,l2,则与它们分别相交的两条直线有可能相交,如图 1,也可能异 面,如图 2,它们不可能平行,这是由于:假设这两条直线平行,则它们确定一个平面α ,两条平行线 与两条异面直线 l1 与 l2 的四个交点均在α 内,则两异面直线 l1 与 l2 也在α 内,这是不可能的.∴应选 D. 解法二:利用排除法,容易发现,分别和两条异面直线都相交的两条直线可以是相交的位置关系,由 于这点可以排除选择选 A、B、C.故选 D. 251. 已知两平面α ,β 相交于直线 a,直线 b 在β 内与直线 a 相交于 A 点,直线 c 在平面α 内与直线 a 平行,请用反证法论证 b,c 为异面直线. 解析:这题规定用反证法,提出与结论相反的假定后,要注意分可能的几种情况讨论. 证:用反证法. 假设 b,c 共面,则 b∥c 或 b,c 相交. (1)若 b∥c,∵ c∥a, ∴ a∥b 这与 b∩a=A 的已知条件矛盾;
(2)若 b∩c=P,∵ b ? β ,∴ P∈β . 又∵ c ? α ,∴ P∈α . ∴ P∈α ∩β 而α ∩β =a.
∴ P∈a,这样 c,a 有了公共点 P,这与 a∥c 的已知条件矛盾. 综上所述,假设不成立,所以 b、c 为异面直线. 说明 本题如不指明用反证法,也可以考虑用平面直线的判定定理来证明.
252. 如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,异面直线 AA1 和 BD1 的中点分别是 E、F.
(1)证明 EF 是 AA1 与 BD1 的公垂线段; (2)求异面直线 AA1 和 BD1 间的距离.
解析:(1)连接 ED1、EB,
则显然 ED1=EB= 5 a 2
又 F 为 BD1 之中点.

∴ EF⊥BD1; 连接 FA1,FA. ∵ F 为正方体的中心, ∴ FA=FA1,又 E 为 AA1 之中点, ∴ EF⊥A1A. 故 EF 为 AA1 与 BD1 的公垂线段. (2)在 RtΔ EFD1 中

EF=

ED12 ? FD12 =

5 a2 ? 3 a2 ? 2 a.

44

2

故 AA1 到 BD1 间的距离是 2 a . 2
评析:今后学习了线面的位置关系之后,可以利用“转化”的思想求距离.
253. 如图所示,正三棱锥 S—ABC 的侧棱与底面的边长相等,如果 E、F 分别为 SC、AB 的中点,求异 面直线 EF 与 SA 所成的角.

解析:计算 EF、SA 所成的角,可把 SA 平移,使其角的顶点在 EF 上.为此取 SB 之中点 G,连 GE、GF、

BE、AE,由三角形中位线定理:GE= 1 BC,GF= 1 SA,且 GF∥SA,所以∠GFE 就是 EF 与 SA 所成的角.

2

2

若设此正三棱锥棱长为 a,那么 GF=GE= 1 a,EA=EB= 3 a,EF= EA2 ? ( 1 AB)2 = 2 a,因为Δ

2

2

2

2

EGF 为等腰直角三角形.∠EFG=45°,所以 EF 与 SA 所成的角为 45°.

说明 异面直线所成角的求法:

利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上, 通过证明所作的角就是所求的角或者补角,解三角形,可求.

254. 在空间四边形 ABCD 中,M、N、P、Q 分别是四边上的点,且满足 AM = CN = AQ = CP =k. MB NB QD PD

(1)求证:M、N、P、Q 共面. (2)当对角线 AC=a,BD=b,且 MNPQ 是正方形时,求 AC、BD 所成的角及 k 的值(用 a,b 表示)

解析:(1)∵ AM = AQ =k MB QD

∴ MQ∥BD,且 AM = k AM ? MB k ?1

∴ MQ = AM = k BD AB k ?1

∴ MQ= k BD k ?1

又 CN = CP =k NB PD

∴ PN∥BD,且 CN = k CN ? NB k ?1

∴ NP = CN = k 从而 NP= k BD

BD CB k ?1

k ?1

∴ MQ∥NP,MQ,NP 共面,从而 M、N、P、Q 四点共面.

(2)∵ BM = 1 , BN = 1 MA k NC k

∴ BM = BN = 1 , BM = 1 MA NC k BM ? MA k ? 1
∴ MN∥AC,又 NP∥BD. ∴ MN 与 NP 所成的角等于 AC 与 BD 所成的角.

∵ MNPQ 是正方形,∴ ∠MNP=90° ∴ AC 与 BD 所成的角为 90°,

又 AC=a,BD=b, MN = BM = 1 AC BA k ?1

∴ MN= 1 a k ?1

又 MQ= 1 b,且 MQ=MN, k ?1

k b= 1 a,即 k= a .

k ?1 k ?1

b

说明:公理 4 是证明空间两直线平行的基本出发点.

255.已知:直线 a 和直线 b 是异面直线,直线 c∥a,直线 b 与 c 不相交,求证:b、c 是异面直线.

证:因为 b,c 不相交,b、c 的位置关系有 b∥c 或 b、c 异面两种可能.

假设 b∥c,∵ c∥a,∴ a∥b,这与已知 a,b 是异面直线矛盾.

所以 b 与 c 不能平行,又 b、c 不相交

所以 b,c 是异面直线.

256.分别和两条异面直线 AB、CD 同时相交的两条直线 AC、BD 一定是异面直线,为什么?

证明:假设 AC、BD 不异面,则它们都在某个平面α 内,这时 A、B、C、D 四点都在α 上,由公理 1 知 A、
B、C、D ? α ,这与已知 AB 与 CD 异面矛盾,所以 AC、BD 一定是异面直线.

257. 如图,ABCD—A1B1C1D1 是正方体,B1E1=D1F1= A1B1 ,则 BE1 与 DF1 所成角的余弦值是(

)

4

A. 15 17

B. 1

C. 8

D. 3

2

17

2

解析:过 A 点在平面 ABB1A1 内作 AF,使 A1F=D1F1,则 ADF1F 是平行四边形,∴FA∥DF1,再过 E1 在平面
ABB1A1 内作 E1E∥FA,则∠BE1E 即是 BE1 与 DF1 所成的角,由已知 BE1=DF1= A1B1 ,ABCD—A1B1C1D1 是正 4

方体,∴ E1E= 17 A1B1, 4
又 DF1=AF=E1E,DF1=BE1.

∴ E1E= 17 A1B1,EB= 1 A1B1

4

2

在Δ BE1E 中,cos∠BE1E= E1E 2 ? BE12 ? BE2 = 15 .

2? E1E ? BE1

17

∴ 应选 A.

258. 在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 和 N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点,那么直线 AM 与 CN 所成 角的余弦值是( )

A. 3

B. 10

C. 3

D. 2

2

10

5

5

解析:由图所示,AM 与 CN 是异面直线,过 N 作平行于 AM 的平行线 NP,交 AB 于 P,由定义可知∠PNC

就是 AM 与 CN 所成的角.因Δ PBC,Δ PBN,Δ CBN 皆为直角三角形,且 BP= 1 ,BN= 1 ,BC=1,故 PN2

4

2

=( 1 )2+( 1 )2= 5 ,CN2=( 1 )2+12= 5 ,PC2=( 1 )2+12= 17 ,在Δ PCN 中 cos∠PNC=

4 2 16

2

4

4

16

PN 2 ? CN 2 ? PC 2 ,所以 cos∠PNC= 2 ,因此应选 D.

2PN ?CN

5

259. 已知异面直线 a 与 b 所成的角为 50°,P 为空间一定点,则过点 P 且与 a、b 所成的角都是 30° 的直线有且仅有( )

A.1 条

B.2 条

C.3 条

D.4 条

解析: 过 P 点分别作直线 a′∥a,b′∥b,则 a′与 b′的夹角为 50°,由异面直线所成的角的定义可 知,过 P 点与 a′,b′成 30°角的条数,就是所求的条数.

画图可知,过 P 点与 a′、b′成 30°角的直线只有两条.

∴ 应选 B.

260. .若 a、b 为异面直线,P 为空间一点,过 P 且与 a、b 所成角均为 ? 的直线有( ) 3

A.二条

B.二条或三条

C.二条或四条

D.二条、三条或四条

解析:D

261. 已知空间四边形 ABCD,E、H 分别是 AB、AD 的中点,F、G 分别是边 BC、DC 的三等分点.

求证:①对角线 AC、BD 是异面直线,

②EF 和 HG 必交于一点,且交点在 AC 上.

解析:①提示:用反证法,或者用判定定理.

②提示:先证 EH∥FG,EH<FG,设 FE∩GH=0

又 0∈GH.GH ? 平面 ADC.∴O∈平面 ADC.同理 O∈平面 ABC.

∴O 在平面 ADC 和平面 ABC 的交线 AC 上.

262.如果直线 a 垂直于直线 b,那么直线 a 与平行于直线 b 的任意一条直线 b′互相垂直

解析:在 a 上任取一点 A,过 A 作 b1∥b,则 a 与 b1 垂直.

∵b∥b′,b∥b1 ∴b1∥b′

∴直线 a 与 b1 和 a 与 b′所成的角相等.

∴a⊥b′

263. 在一块长方形木块的面上有一点 P,木匠师傅要用锯子从 P 和 CD 将木块分成两块,问怎样画线.

解析:过 P 作 C1D1 的平行线 EF,连 DE、CF.

264.异面直线 l1、l2,它们之间的距离为 1,所成角是 ? ,它们的公垂线是 AB,A∈l1,B∈l2.E∈l1,F 3

∈l2,AE=BF=1,求 EF 的长.
解析:如图,用异面直线 l1、l2 作为长方体的上、下底面的对角线,公垂线 AB 为高.
①EF 的长即是正方形 PEE′F 的对角线长,为 2 . ②侧面 EE' F'G 的对角线 F' E ,用勾股定理得 F' E =2,即为所求.
265.试证:两两相交且不全过同一点的四条直线共面. 解析:(1)设 a、b、c、d 四条直线两两相交,且不过同一点,并且无三线共点. 记 a∩b=A,a∩c=C,c∩b=B, ∵ a∩b=A,∴ a、b 确定平面α . ∴ B∈b,C∈a. ∴ B、C∈α .
∴ BC ? α ,即 c ? α ,同理 d ? α
从而 a、b、c、d 共面 (2)若有三线共点,不妨设 b、c、d 相交于 A, a∩b=B,a∩c=C,a∩d=D. ∴ a 与 A 可确定平面α .
∵ B∈a. ∴B∈α ,于是 b ? α . 同理,c ? α ,d ? α .
从而 a、b、c、d 共面. 266. 正方体的两条体对角线所夹角的正弦值为______________。
22 3 解析:易知 A1D1 / / BC, 故 A1C与BD1 两条体对角线相交,设交点为 O(如图),则 ?BOC或?AOB
即为所成的角。

设正方体棱长为 1,则 A1B ? 2,A1C ? 3,

BC ? 1,所以 tg?BA1C ?

2 2

,而

?BOC

?

2?BA1C

,故

2

2?

tg?BOC ?

2 ? 2 2 ,即 cos2 ?BOC ?

1

? 1,

1? ( 2 )2

1 ? tg 2?BOC 9

2

s i 2n?B O C? 8 ? s i ?nB O C? 2 2

9

3

267.长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, BC ?

2 ,CD ? 2

14 2

,DD1

?

5, 则 A1C和B1D1 所成角的

大小为______________。

60? 解析:如图所示,将 B1D1 平移到 A1F ,则在 ?A1FC 中

A1F ? 2;A1C ? 3;CF ? 7,故

22 ? 32 ? ( 7)2 1

cos?FA1C ?

2?2?3

? 2

? ?FA1C ? 60?

268. 根据叙述作图,指出二面角??-l-??的平面角,并证明.

(1)已知??∩??=l,A∈l(图 9-39).在??内作 PA⊥l 于 A,在??内作 QA⊥l 于 A.

图 9-39
(2)已知??∩??=l,A∈??, A?l (图 9-40).作 AP⊥??于 P,在??内作 AQ⊥l 于 Q,连结 PQ.
图 9-40
(3)已知??∩??=l, A?? , A? ? ?(图 9-41).作 AP⊥??于 P,AQ⊥??于 Q,l∩平面 PAQ=H,
连结 PH、QH.

解析:(1)PA ??,QA ??,PA⊥l,QA⊥l,∴ ∠PAQ 为二面角的平面角. (2)∵ AP⊥??,∴ PQ 为 AQ 在平面??内的射影,∵ AQ⊥l,根据三垂线定理,有 PQ⊥l,

∴ ∠AQP 为二面角的平面角(如图答 9-35).
(3)∵ AP⊥??,∴ AP⊥l,∵ AQ⊥??,∴ AQ⊥l,∴ l⊥平面 PAQ,∵ PH·QH 平面 PAQ,∴ l⊥PH,l⊥QH,∴ ∠PHQ 为二面角的平面角(如图答 9-36).
269. 如图 9-42,立体图形 A-BCD 中,AC=AD,BC=BD.求作二面角 A-CD-B 的平面角,并说明理由.

解析:取 CD 中点 E,连结 AE、BE,∵ AC=AD,∴ AE⊥CD.∵ BC=BD,∴ BE⊥CD,∴ ∠ AEB 为二面角 A-CD-B 的平面角.
270. 若二面角??-l-??的一个半平面??上有一个点 A,点 A 到棱 l 的距离是它到另一个平面??的距离的 2 倍,则这个二面角的大小为( ).

A.90°

B.60°

C.45°

D.30°

解析:D.作 AH⊥??交??于 H,作 HB⊥l 于 B,连结 AB,由三垂线定理,HB⊥l,∴ ∠ABH 为二面 角??-l-??的平面角,由已知在 Rt△ABH 中,AB=2AH,∴ ∠ABH=30°.

271. 下列命题中正确的是( ).

A.平面??和??分别过两条互相垂直的直线,则??⊥?? B.若平面??内的一条直线垂直于平面??内的两条平行直线,则??⊥?? C.若平面??内的一条直线垂直于平面??内的两条相交直线,则??⊥?? D.若平面??内的一条直线垂直于平面??内的无数条直线,则??⊥??

解析:C.??内的直线 l 垂直??内的相交直线 a、b,则 l⊥??.∵ l ??,∴ ??⊥??.

272. 设两个平面互相垂直,则( ). A.一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面 B.过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面上 C.过交线上一点垂直于交线的直线,必垂直于另一个平面 D.分别在两个平面内的两条直线互相垂直
解析:B.如图答 9-38,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,平面 AA1D1D ⊥平面 ABCD,其中 A1D 平 面 AA1D1D ,但 A1D 不垂直平面 ABCD,故 A 不正确.点 D 在交线 AD 上,C1D ? AD ,但 C1D 不垂直 平面 ABCD,故 C 不正确. AD1 平面 AA1D1D ,AC 平面 ABCD,但 AD1 与 AC 不垂直,故 D 不正确. 273. 如图 9-43,∠AOB 是二面角??-CD-??的平面角,AE 是△AOB 的 OB 边上的高,回答下列问题,
并说明理由: (1)CD 与平面 AOB 垂直吗? (2)平面 AOB 与??、??垂直吗? (3)AE 与平面??垂直吗?
解析:(1)∵ ∠AOB 是二面角??-CD-??的平面角,∴ OB⊥CD,OA⊥CD,∴ CD⊥平面 AOB.

(2)∵ CD⊥平面 AOB,CD ??,∴ ??⊥平面 AOB.同理??⊥平面 AOB. (3)∵ CD⊥平面 AOB,∵ AE ? 平面 AOB,∴ CO⊥AE,又∵ AE⊥OB,CD∩OB=O,∴ AE ⊥平面 BCD,即 AE⊥??. 274. 如图 9-44,以等腰直角三角形的斜边 BC 上的高 AD 为折痕,使△ABD 和△ACD 折成相垂直的两 个面.求证:BD⊥CD,∠BAC=60°.
图 9-44 解析:∵ AD 是等腰△ABC 底边 BC 上的高线,∴ AD⊥BD,AD⊥DC,∴ ∠BDC 是二面角 B-AD-C 的平面角,∵ 平面 ABD⊥平面 ACD,∴ ∠BDC=90°,即 BD⊥DC.连结 BC,设 AD=a,则
BD=DC=AD=a, AB ? 2a , AC ? 2a , BC ? 2a ,∴ △ABC 是正三角形,∴ ∠BAC=60°
275. 直线 a、b 是异面直线,a⊥平面α ,b⊥平面β ,a⊥b,求证:α ⊥β . 证明 过 b 上任意一点作直线 a′,使 a∥a′.∵a⊥b,∴a⊥b.
设相交直线 a′、b 确定一个平面? ,? ∩β =c.∵b⊥β ,c ? β ,∴b⊥c. 在平面? 内,b⊥c,b⊥a′,∴a′∥c.∴a∥a′∥c.又∵a⊥α ,∴c⊥α ,c ? β ,∴β ⊥α
276. 在三棱锥 S—ABC 中,∠ASB=∠BSC=60°,∠ASC=90°,且 SA=SB=SC,求证:平面 ASC⊥平 面 ABC. 证明 取 AC 的中点 O,连 SO、BO,由已知,得Δ SAB、Δ SBC 都是正三角形.∴BC=AB=a,SA=SC=a, 又 SO⊥AC,BO⊥AC,∴∠SOB 就是二面角 S—AC—B 的平面角.又∵SA=AB=a,SC=BC=a,AC=AC,∴Δ ACS≌Δ ACB.
∴SO=BO= 2 a.在Δ SOB 中,∵SB=a,∴∠SOB=90°. 2
即平面 SAC⊥平面 ABC. 另证:过 S 作 SO⊥平面 ABC,垂足是 O.∵SA=SB=SC,∴S 在平面内的射影是 Δ ABC 的外心,同前面的证明,可知Δ ABC 是直角三角形,∴O 在斜边 AC 上.又∵平面 SAC 经过 SO,∴ 平面 SAC⊥平面 ABC

说明 证明“面面垂直”的常用方法是根据定义证明平面角是 90°,或利用判定定理证明一个平面经 过另一个平面的垂线.

277. 如图,四面体 ABCD 的棱 BD 长为 2,其余各棱的长均是 2 ,求:二面角 A
—BD—C、A—BC—D、B—AC—D 的大小.

解析:(1)取 BD 的中点 O,连 AO、OC.在Δ ABD 中,∵AB=AD= 2 ,BD=2,
∴Δ ABD 是等腰直角三角形,AO⊥BD,同理 OC⊥BD. ∴∠AOC 是二面角 A—BD—C 的平面角

又 AO=OC=1,AC= 2 ,∴∠AOC=90°.即二面角 A—BD—C 为直二面角.
(2)∵二面角 A—BD—C 是直二面角,AO⊥BD,∴AO⊥平面 BCD. ∴Δ ABC 在平面 BCD 内的射影是Δ BOC.

1 ∵SΔ = OCB ,SΔ = ABC 3 ,∴cosθ = 3 .即二面角 A—BC—D 的大小是 arccos 3 .

2

2

3

3

(3)取 AC 的中点 E,连 BE、DE.∵AB=BC,AD=DC,

∴BD⊥AC,DE⊥AC,∴∠BED 就是二面角的平面角.

在Δ BDE 中,BE=DE= 6 ,由余弦定理,得 cosα =- 1

2

3

∴二面角 B—AC—D 的大小是π -arccos 1 . 3

评析 本例提供了求二面角大小的方法:先作出二面角的平面角,再利用其所在的三角形算出角的三 角函数值,或利用面积的射影公式 S′=S·cosθ 求得.

278. 如图所示,在三棱锥 S—ABC 中,SA⊥底面 ABC,AB⊥BC,DE 垂直平分 SC,且分别交 AC、SC 于 D、E.又 SA=AB,SB=SC.求以 BD 为棱,以 BDE 与 BDC 为面的二面角的度数.
解法一:由于 SB=BC,且 E 是 SC 中点,因此 BE 是等腰三角形 SBC 的底边 SC 的中线,所以 SC⊥BE.又已知 SC⊥DE,BE∩DE=E,
∴SC⊥平面 BDE,∴SC⊥BD,
又∵SA⊥底面 ABC,BD 在底面 ABC 上,∴SA⊥BD.

而 SA∩SC=S,所以 BD⊥平面 SAC. ∵DE=平面 SAC∩平面 BDE,DC=平面 SAC∩平面 BDC, ∴BD⊥DE,BD⊥DC.∴∠EDC 是所求二面角的平面角. ∵SA⊥底面 ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.

设 SA=a,则 AB=a,BC=SB= 2 a.
又 AB⊥BC,所以 AC= 3 a.在 RtΔ SAC 中 tg∠ACS= SA = 1 ,所以∠ACS=30°. AC 3
又已知 DE⊥SC,所以∠EDC=60°,即所求的二面角等于 60°.
解法二:由于 SB=BC,且 E 是 SC 的中点,因此 BE 是等腰Δ SBC 的底边 SC 的中线,所以 SC⊥BE.又已 知 SC⊥DE,BE∩DE=E.∴SC⊥平面 BDE,SC⊥BD.
由于 SA⊥底面 ABC,且 A 是垂足,所以,AC 是 SC 在平面 ABC 上的射影,由三垂线定理的逆定理得 BD ⊥AC;又 E∈SC,AC 是 SC 在平面内的射影,所以 E 在平面 ABC 内的射影在 AC 上,由于 D∈AC,所以 DE 在平面 ABC 内的射影在 AC 上,根据三垂线定理得 BD⊥DE.
∵DE ? 平面 BDE,DC ? 平面 BDC.∴∠EDC 是所求二面角的平面角.以下解法同解法一.
279. 在直三棱柱 ABC—A′B′C′中,∠BAC=90°,AB=BB′=1,直线 B′C 与平面 ABC 成 30°的 角.(如图所示)
(1)求点 C′到平面 AB′C 的距离;(2)求二面角 B-B′C—A 的余弦值.
解析:(1)∵ABC—A′B′C′是直三棱柱,∴A′C′∥AC,AC ? 平面 AB′C,∴A′C′
∥平面 AB′C,于是 C′到平面 AB′C 的距离等于点 A′到平面 AB′C 的距离,作 A′ M⊥AB′于 M.由 AC⊥平面 AB′A′得平面 AB′C⊥平面 AB′A′,∴A′M⊥平面 AB′C, A′M 的长是 A′到平面 AB′C 的距离.

∵AB=B′B=1,⊥B′CB=30°,∴B′C=2,BC= 3 ,AB′= 2 ,A′M= A?B?? A?A = 2 .即 C′

A?A

2

到平面 AB′C 的距离为 2 ; 2

(2)作 AN⊥BC 于 N,则 AN⊥平面 B′BCC′,作 NQ⊥B′C 于 Q,则 AQ⊥B′C,∴∠AQN 是所求二面角的

平面角,AN= AB? AC = 6 ,AQ= AC ? AB? =1.∴sin∠AQN= AN = 6 ,cos∠AQN= 3 .

BC

3

B?C

AQ 3

3

说明 利用异面直线上两点间的距离公式,也可以求二面角的大小,如图,AB=BB′=1,∴AB′= 2 ,
又∠B′CB=30°,

∴BC= 3 ,B′C=2,AC= 2 .作 AM⊥B′C 于 M,BN⊥B′C 于 N,则 AM=1,BN= 3 , 2

CN= 3 ,CM=1,∴MN= 1 .∵BN⊥B′C,AM⊥B′C,∴BN 与 AM 所成的角等于二面

2

2

角 B—B′C—A 的平面角.设为θ .由 AB2=AM2+BN2+MN2-2AM×BN×cosθ 得 cosθ =

1 = 3. 33

280 如图所示,四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 a 的菱形,∠A=60°,PC⊥平面 ABCD,PC=a,E 是 PA 的中点.

(1)求证平面 BDE⊥平面 ABCD.(2)求点 E 到平面 PBC 的距离.(3)求二面角 A—EB— D 的平面角大小.

解析:(1)设 O 是 AC,BD 的交点,连结 EO.

∵ABCD 是菱形,∴O 是 AC、BD 的中点,

∵E 是 PA 的中点,∴EO∥PC,又 PC⊥平面 ABCD,

∴EO⊥平面 ABCD,EO ? 平面 BDE,∴平面 BDE⊥平面 ABCD.

(2)EO∥PC,PC ? 平面 PBC,

∴EO∥平面 PBC,于是点 O 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离.

作 OF⊥BC 于 F,

∵EO⊥平面 ABCD,EO∥PC,PC ? 平面 PBC,∴平面 PBC⊥平面 ABCD,于是 OF⊥平面 PBC,OF 的长等于
O 到平面 PBC 的距离.

由条件可知,OB= a ,OF= a × 3 = 3 a,则点 E 到平面 PBC 的距离为 3 a.

2

22 4

4

(3)过 O 作 OG⊥EB 于 G,连接 AG ∵OE⊥AC,BD⊥AC ∴AC⊥平面 BDE

∴AG⊥EB(三垂线定理) ∴∠AGO 是二面角 A—EB—D 的平面角

∵OE= 1 PC= 1 a,OB= 3 a

22

2

∴EB=a.∴OG= OE ? OB = 3 a 又 AO= 1 a.

EB

4

2

∴tan∠AGO= AO = 2 3 ∴∠AGO=arctan 2 3 .

OG 3

3

评析 本题考查了面面垂直判定与性质,以及利用其性质求点到面距离,及二面角的求法,三垂线定

理及逆定理的应用.
281. 如图,矩形 ABCD 中,AB=2,BC=2 3 ,以 AC 为轴翻折半平面,使二平面角 B—AC—D 为 120°,
求:(1)翻折后,D 到平面 ABC 的距离;(2)BD 和 AC 所成的角.

解析:研究翻折问题,通常要画出翻折前的平面图形和翻折后的空间图形,对应点的字母要相同.
解 分别过 B、D 作 AC 的垂线,垂足是 E、F,过 F 作 FB′∥BE,过 B 作 BB′∥AC,交点 B′,则四边 形 EFB′B 是矩形.
∵AC⊥DF,AC⊥B′F,∴AC⊥平面 B′FD,即∠DF′B 就是二面角 B—AC—D 的平面角,亦即∠DFB′= 120°.
过 D 作 DO⊥B′F,垂足为 O.∵DO ? 平面 DFB′,AC⊥平面 DFB′.∴DO⊥AF,DO⊥平面 ABC.
在 RtΔ ADC 中,CD=2,AD=2 3 ,∴DF= 3 ,OD=DF·sin60°= 3 . 2

(2)在Δ DFB′中,DB′= DF 2 ? B?F ? 2? DF ? B?F ?cos120? =3.

又由(1)可知,AC∥BB′,AC⊥平面 DFB′⊥平面 DFB′.∴BB′⊥平面 DFB′,∴Δ DB
三角形,又 BB′=EF=2.∴tan∠DBB′= 3 . 2

B′是直角

∵AC∥BB′,∴AC 与 BD 所成的角就是∠DBB′,即为 arctan 3 . 2

说明 处理翻折问题,只要过不在棱上的点作棱的垂直相交的线段,就可以化成基本题型处理,本题 也可以这样考虑,即利用异面直线 DF、BE 上两点 B、D 间的距离,先求出 BD2=
EF2+DF2+BE2-2DF·BE·cos120°=13,从而得出∠DBB′=arccos 2 . 13

282. 判断下列命题是否正确,并说明理由.

(1)若两个平面有无数个公共点,则这两个平面重合;

(2)在一个平面内有三条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行;

(3)若两个平面相交,那么分别在这两个平面内的两条直线也相交;

(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线也平行; (5)一条直线与两个平行平面所成的角相等;

(6)一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么一定平行于另一个平面. 解析:(1)不正确.两个平面还可能相交于一条直线;
(2)不正确.两个平面可能相交,这三条直线均与交线平行; (3)不正确.分别在两个相交平面内的两条直线也可能平行,它们都平行于交线; (4)不正确.两条直线还可能异面; (5)正确.无论直线与两个平面相对位置如何,直线与两个平面所成的角都相等; (6)不正确.直线可能在另一个平面上.

283. 平面??∥平面? ,a ??,b ? ,则 a、b 一定是( ).

A.两条平行直线

B.异面直线

C.相交直线

D.无公共点的两条直线

解析:D.??∥??,则平面??与??无公共点,a、b 一定无公共点.

284. 下列命题中,不正确的是( ).

A.一直线和两个平面? 、??所成的角相等,那么??∥?
B.平面??∥平面??,则??内的任意直线平行于平面?
C.一个三角形有两条边所在直线平行一个平面,那么三角形所在平面与这个平面平行
D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线
解析:A.直线与两平面所成的角相等,这两个平面可能相交,故 A 命题不正确.三角形两边必相交, 这两条相交直线平行于一个平面,那么三角形所在平面与这个平面平行,所以 C 命题正确,分别在两 个平行平面内的两条直线一定没有公共点,它们的位置关系是平行或异面.

285. 若 a∥b,a⊥??,b⊥??,则??、??这两个平面的位置关系是________.

平行. 解析:

a a

?? // b

? ? ?

?

b b

? ?

? ?

? ? ?

?

?

//

?



286. 夹在两平行平面??、??间的线段 AB=8,AB 与??所成的角为 45°,那么??、??间的距离等于________.

解析: 4 2 .如图答 9-27,过 A 作 AH⊥??,交??于 H,AH 为平面??与??间的距离.连结 BH,则 BH 是 AB 在平面??内的射影,∴ ∠ABH=45°.∵ AB=8,∴ AH ? AB?sin 45?
? 8? 2 ? 4 2. 2
287. .三个不同平面??,??,??满足??∥??,??∩??=l,则??与??的位置关系是________;若三个平面满 足??∥??,??∥??,则??与??的位置关系是________.
解析:相交;平行.作直线 l⊥??,∵ ??∥??,∴ l⊥??,∵ ??∥??,∴ l⊥??.∴ ??∥??.当?? ∥??,??∩??=l,假设??与??不相交,则??∥??,∵ ??∥??,由前面证明可知??∥??,这与??、??相交矛

盾.∴ ??与??相交.

288. 已知直线 a 平面??,直线 b 平面??,?? b,a∥??,b∥??.求证:??∥??.
解析:如图答 9-29,在 b 上任取一点 P,由点 P 和直线 a 确定的平面??与平面??交于直线 c,则 c 与 b 相交于点 P.

a // ? ?

a ?? ?

? ?

?

a

//

c

? ? ? ? c?? a ???

?

? ?

?

c

//?

c ?? ? ?? b //?

?

? ?

?

a

//

?



b ? c ? P??

图答 9-29
289. .B.A 不正确是因为直线 b 可以在平面??内,也可能与??平行,还可能与??相交但不成直角,C 中的直线 b 只与??内的直线 a 垂直,不能得出垂直??的结论.D 中??、??可能相交,??内的两条直线均

与交线平行
290. 给出以下命题:
①平行于同一条直线的两条直线平行;
②垂直于同一条直线的两条直线平行;
③平行于同一个平面的两条直线平行;
④垂直于同一个平面的两条直线平行;
⑤平行于同一条直线的两个平面平行;
⑥垂直于同一条直线的两个平面平行;
⑦平行于同一个平面的两个平面平行.
其中正确的命题是________(把你认为正确的命题的序号都写上).
解析:①、④、⑥、⑦.由公理 4 知①正确.由直线与平面垂直的性质定理知④正确.由两个平面平 行判定定理可以推导出⑥、⑦正确.垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交、或异面; 平行于同一个平面的两条直线的位置关系是平行、相交、或异面;平行于同一条直线的两个平面的位 置关系是平行或相交.
291. 给出下列命题,错误的命题是( ).
A.若直线 a 平面??,且??∥平面??,则直线 a 与平面??的距离等于平面??、??间的距离
B.若平面??∥平面??,点 A∈??,则点 A 到平面??的距离等于平面??、??间的距离
C.两条平行直线分别在两个平行平面内,则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离
D.两条异面直线分别在两个平行平面内,则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离
解析:C.以下按顺序说明,对 A 中,在 a 上任取一点 P,作 PH⊥??,PH 为直线 a 与平面??的距离.∵ ??∥??,PH⊥??,∴ PH 又为??、??间的距离.对于 B,作 AH⊥??,AH 的长为点 A 到??的距离.又 ∵ ??∥??,∴ AH⊥??,于是 AH 的长是??、??两个平行平面间的距离.
对于 C,设 a∥b,a ??,b ??,过 a 上任一点 P 作 PQ⊥b 于 Q,则 PQ 的长为 a、b 两平行直 线间的距离.因为 PQ 与??、??不一定垂直,所以 PQ 的长一般不是??、??间的距离,一般地说,a、b 间的距离不小于??、??间的距离.
对于 D.设 AA1 是异面直线 a、b 的公垂线段,A∈a, A??b ,a ??,b ??,过 A 和 b 的平面 与??相交于 b? ,则 b? // b,于是 AA? ? b? .∴ AA? ?? .同理 AA? ? ? ?.故 AA? 的长又是??、??两
个平面间的距离(如图答 9-30).

292. 设??、??是两个平面,l 和 m 是两条直线,那么??∥??的一个充分条件是( ).

A.l ??,m ??,且 l∥??,m∥?? C.l⊥??,m⊥??,且 l∥m 解析:C.可参看图答 9-31.

B.l ??,m ??,且 l∥m D.l∥??,m∥??,且 l∥m

图答 9-31

293. 平面??∥平面??,过平面??、??外一点 P 引直线 PAB 分别交??、??于 A、B 两点,PA=6,AB=2, 引直线 PCD 分别交??、??于 C、D 两点.已知 BD=12,则 AC 的长等于( ).

A.10

B.9

C.8

D.7

解析:B.如图答 9-32,平面 PBD∩??=AC,平面 PBD∩??=BD,∵ ??∥??,∴ AC∥BD.由平面

几何知识知, PA ? PC ? AC .∵ PA=6,AB=2,BD=12,∴ 6 ? AC ,∴ AC=9.

PB PD BD

6 ? 2 12

294. 已知 AC,BD 是夹在两平行平面??、??间的线段,A∈??,B∈??,C∈??,D∈??,且 AC=25cm, BD=30cm,AC、BD 在平面??内的射影的和为 25cm,则 AC、BD 在平面??内的射影长分别为________, AC 与平面??所成的角的正切值为________,BD 与平面??所成的角的正切值为________.
解析:设??、??间的距离为 h,AC 在平面??内的射影 A?C ? x ,BD 在平面??内的射影 B?D ? y ,根据

已知条件可得

②-①得 y2 ? x2 ? 30 2 ? 252 ,即

(x ? y)( y ? x) ? 30 2 ? 252 ,把③代入得 y-x=11,∴

?x

? ?

y

? ?

y x

? ?

25,解得 11.

?x ?? y

? ?

7,即 18.

A?C

?

7cm,

B?D ?18cm.又 h=24cm,AC 与平面??所成的角为 ?ACA? , tan?ACA? ?

h ? 24 ,同理 tan ?BDD? ? h ? 24 ? 4.

A?C 7

B?D 18 3

295. 已知空间不共面的四个点,与此四个点距离都相等的平面有________个.

解析:与不共面的四个点距离相等的平面分为两类,一类是四个点中一个点位于平面的一侧,另外三 个点在平面的另一侧,这样的平面有 4 个;另一类是四个点中的两个点位于平面一侧,另外两个点在 平面的另一侧,这样的平面有 3 个,故一共 7 个平面到这四个点距离相等.

296. 如图 9-35,平面??∥平面??,△ABC、△ A?B?C? 的分别在??、??内,线段 AA? 、 BB? 、CC? 相交 于点 O,O 在??、??之间.若 AB=2,AC=1,∠ABC=60°,OA∶ OA? =3∶2,则△ A?B?C? 的面积为________.

解析:图 9-35

∵ AA? ? BB? ? O ,∴ AA? 、 BB? 确定平面 ABA?B? ,平面 ABA?B? ∩??=AB,平面 ABA?B? ? ? ? A?B? ,∵ ? ∥??,∴ AB// A?B?,同理 BC // B?C?, CA// C?A? .由于方向相反,

∴ △ABC 与△ A?B?C? 的三内角相等,∴ △ABC∽△ A?B?C? .且 A?B? ? OA? ? 2 . ∵ AB OA 3

S?ABC

?

1 2

?

2?1? sin

60?

?

3 ,∴ 2

S ?A?B?C?

?

?? ?

2 3

2
? ? ?

?

3?2 29

3.

297. 如图 9-37,两条异面直线 AB、CD 与三个平行平面??、??、??分别相交于 A、E、B,及 C、F、D, 又 AD、BC 与平面??的交点为 H、G.求证:EHFG 为平行四边形.

解析:

平面ABC ? ? ? AC ?

平面ABC

?

?

?

? EG ?

?

AC //

EG.同理AC

//

HF.

?//? ??

AC AC

// //

FG? HF ??

?

EG

//

HF.同理EH

//

FG.故EHFG是平行四边形.

298. 如图 9-38,已知平面??∥平面??,A、C∈??,B、D∈??,E、F 分别为 AB、CD 的中点.求证: EF∥??,EF∥??.

解析:当 AB、CD 共面时,平面 ABCD∩??=AC,平面 ABCD∩??=BD.∵ ??∥??,∴ AC∥BD.∵ E、F 分别为 AB、CD 的中点,∴ EF∥AC.∵ AC ??,EF ??,∴ EF∥??,同理 EF∥??.当 AB、CD 异面时,∵ E ?CD ,∴ 可在平面 ECD 内过点 E 作 C?D? // CD ,与??,??分别交于 C? ,
D? .平面 AC?BD? ?? ? AC? ,平面 AC?BD? ? ? ? BD? ,∵ ??∥??,∴ AC? // BD? .∵ E 是 AB 中点,∴ E 也是 C?D? 的中点.平面 CC?D?D ?? ? CC? ,平面 CC?D?D ? ? ? DD? ,∵ ??∥??, ∴ CC? // DD? ,∵ E、F 分别为 C?D? 、CD 中点,∴ EF // CC? , EF // DD?.∵ CC? ??,
EF ??,∴ EF∥??,同理 EF∥??.
299. 已知矩形 ABCD,过 A 作 SA⊥平面 AC,再过 A 作 AE⊥SB 交 SB 于 E,过 E 作 EF⊥SC 交 SC 于 F (1)求证:AF⊥SC (2)若平面 AEF 交 SD 于 G,求证:AG⊥SD
解析: 如图,欲证 AF⊥SC,只需证 SC 垂直于 AF 所在平面,即 SC⊥平面 AEF,由已知,欲证 SC⊥平 面 AEF,只需证 AE 垂直于 SC 所在平面,即 AE⊥平面 ABC,再由已知只需证 AE⊥BC,而要证 AE⊥BC, 只需证 BC⊥平面 SAB,而这可由已知得证
证明 (1)∵SA⊥平面 AC,BC ? 平面 AC,∴SA⊥BC

∵矩形 ABCD,∴AB⊥BC ∴BC⊥平面 SAB ∴BC⊥AE 又 SB⊥AE ∴AE⊥平面 SBC ∴SC⊥平面 AEF ∴AF⊥SC (2)∵SA⊥平面 AC ∴SA⊥DC,又 AD⊥DC ∴DC⊥平面 SAD ∴DC⊥AG
又由(1)有 SC⊥平面 AEF,AG ? 平面 AEF
∴SC⊥AG ∴AG⊥平面 SDC ∴AG⊥SD 300. 已知四面体 A—BCD,AO1⊥平面 BCD,且 O1 为Δ BCD 的

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