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2018届高考文科数学二轮专题复习讲义 集合与常用逻辑用语

集合与常用逻辑用语 考情考向分析 1.集合是高考必考知识点,经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算, 近几年有时也会出现一些集合的新定义问题. 2.高考中考查命题的真假判断或命题的否定,考查充要条件的判断. 热点分类突破 热点一 集合的关系及运算 1.集合的运算性质及重要结论 (1)A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A. (2)A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A. (3)A∩(?UA)=?,A∪(?UA)=U. (4)A∩B=A?A?B,A∪B=A?B?A. 2.集合运算中的常用方法 (1)若已知的集合是不等式的解集,用数轴求解. (2)若已知的集合是点集,用数形结合法求解. (3)若已知的集合是抽象集合,用 Venn 图求解. 例1 (1)(2017· 全国Ⅰ)已知集合 A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则( ? ? ) ? 3 ? ? A.A∩B=?x? ?x<2 ? 3 ? x< ? C.A∪B=?x? 2 ? ? ? B.A∩B=? D.A∪B=R 答案 A ? 3 ? x< ?, 解析 因为 B={x|3-2x>0}=?x? ? 2 ? ? A={x|x<2}, ? 3 ? ? 所以 A∩B=?x? ?x<2 ,A∪B={x|x<2}. ? ? 故选 A. (2)(2017 届潍坊临朐县月考)已知集合 M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2, y2)∈M,使得 x1x2+y1y2=0 成立,则称集合 M 是“理想集合”.给出下列 4 个集合:①M ? 1 ? y= ? ;②M= {(x , y)|y = sin x} ;③M= {(x , y)|y = ex -2} ;④M= {(x , y)|y = lg = ??x,y?? x ? ? ? x}. 其中所有“理想集合”的序号是( ) A.①③ C.②④ 答案 B B.②③ D.③④ 1 → → 解析 由题意设 A(x1,y1),B(x2,y2),又由 x1x2+y1y2=0 可知,OA⊥OB.①项,y= 是以 x, x y 轴为渐近线的双曲线,渐近线的夹角为 90° ,所以当点 A,B 在同一支上时,∠AOB<90° , → → 当点 A,B 不在同一支上时,∠AOB>90° ,不存在OA⊥OB,故不正确;②项,通过对其图 → → 象的分析发现,对于任意的点 A 都能找到对应的点 B,使得OA⊥OB成立,故正确;③项, 由图象可得直角始终存在,故正确;④项,由图象可知,点(1,0)在曲线上,不存在另外一个 → → 点使得OA⊥OB成立,故错误.综合②③正确,故选 B. 思维升华 (1)关于集合的关系及运算问题,要先对集合进行化简,然后再借助 Venn 图或数 轴求解. (2)对集合的新定义问题,要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征,将问题转化为 熟悉的知识进行求解,也可利用特殊值法进行验证. 跟踪演练 1 (1)(2017 届云南曲靖一中月考)已知集合 A={x∈N|x2-5x+4≤0},B={x|x2-4 =0},下列结论成立的是( A.B?A C.A∩B=A B.A∪B=A D.A∩B={2} ) ?C?A?-C?B?,C?A?≥C?B?, ? (2)用 C(A)表示非空集合 A 中的元素个数,定义 A*B=? 若 A= ?C?B?-C?A?,C?A?<C?B?, ? {1,2},B={x|(x2+ax)(x2+ax+2)=0},且 A*B=1,设实数 a 的所有可能取值构成的集合是 S,则 C(S)等于( A. 4 C. 2 B. 3 D. 1 ) 答案 (1)D (2)B 解析 (1)A={x∈N|1≤x≤4}, B={x|x=± 2}?A∩B={2},故选 D. (2)由 A={1,2},得 C(A)=2, 由 A*B=1,得 C(B)=1 或 C(B)=3. 由(x2+ax)(x2+ax+2)=0, 得 x2+ax=0 或 x2+ax+2=0. 当 C(B)=1 时,方程(x2+ax)(x2+ax+2)=0 只有实根 x=0,这时 a=0; 当 C(B)=3 时,必有 a≠0,这时 x2+ax=0 有两个不相等的实根 x1=0,x2=-a,方程 x2+ ax+2=0 必有两个相等的实根,且异于 x1=0,x2=-a.由 Δ=a2-8=0,得 a=± 2 2,可验 证均满足题意,故 S={-2 2,0,2 2},故 C(S)=3. 热点二 四种命题与充要条件 1.四种命题中原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假. 2.若 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件;若 p?q,则 p,q 互为充要条件. 例 2 (1)(2017 届抚州七校联考)A,B,C 三个学生参加了一次考试,A,B 的得分均为 70 分, C 的得分为 65 分.已知命题 p:若及格分低于 70 分,则 A,B,C 都没有及格.在下列四个 命题中,为 p 的逆否命题的是( ) A.若及格分不低于 70 分,则 A,B,C 都及格 B.若 A,B,C 都及格,则及格分不低于 70 分 C.若 A,B,C 至少有一人及格,则及格分不低于 70 分 D.若 A,B,C 至少有一人及格,则及格分高于 70 分 答案 C 解析 根据原命题与它的逆否命题之间的关系知,命题 p:若及格分低于 70 分,则 A,B, C 都没有及格,p 的逆否命题是:若 A,B,C 至少有 1 人及格,则及格分不低于 70 分.故 选 C. (2)已知 α,β 均为第一象限角,那么 α>β 是 sin α>sin β 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 D π π 解析 由 α,β 均为第一象限角,可取 α=2π+ ,β= ,有 α>β,但 sin α=sin β,即 α>β 不 3 3 π π 是 sin α>sin β 的充分条件;又由 α,β

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