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高二数学《必修5》综合训练2


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新课标高二试卷( ) (必修 新课标高二试卷(1) 必修 3 与选修 2-1) ( )
一、填空题: (本大题共 14 题,每小题 5 分,共 70 分) 1、命题“ ?x ∈ R, x 2 + 1 < 0 ”的否定是_________________(要求用数学符号表示) . 2、已知 P:| 2x-3 |>1;q: 3、阅读下面的流程图: 则此流程图所表示的意义为: 算法. 1 ┐ ┐ >0,则 p 是 q 的__________条件. x2+x-6

4、为了了解某地区高三学生身体发育情况,抽查了该地区 100 名年龄为 17.5 岁~18岁的男生体重 (kg) ,得到频率分布直方图,如图.根据上图可得这 100 名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数 是 . 5、采用简单随机抽样从含 10 个个体的总体中抽取一个容量为 4 的样本,个体 a 前两次未被抽到, 第三次被抽到的概率为_____________________. 6、一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口,已知该港口每天涨潮的时间为早晨 5:00 至 7:00 和下 午 5:00 至 6:00,则该船在一昼夜内可以进港的概率是 . 7、已知 x、y 之间的一组数据如下: x y 0 8 1 2 2 6 3 4

? 则线性回归方程 y = a + bx 所表示的直线必经过点_____________.
8、 x←5 y←-20 IF x<0 THEN x←y-3 ELSE y←y+3 END IF

s← x? y PRINT s

运行后输出的结果为__



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9、椭圆的两个焦点和短轴两个顶点,是一个含 60°角的菱形的四个顶点,则椭圆的离心率为 ____________. 10、已知椭圆的长轴、短轴、焦距长度之和为 8,则长半轴的最小值是_________. 11、已知双曲线的两条准线将两焦点间的线段三等分,则双曲线的离心率是______________. 12、平面内,动点 P 到定点 A (1, 2 ) 的距离等于到定直线 l : x ? y + 1 = 0 的距离的轨迹是 __________________(只要填出轨迹的形状) . 13、已知 P 是抛物线 y 2 = 4 x 上的一点, A ( 2, 2 ) 是平面内的一定点, F 是抛物线的焦点,当 P 点 坐标是__________时, PA + PF 最小. 14、以下四个关于圆锥曲线的命题中: ①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数, | PA | ? | PB |= k ,则动点 P 的轨迹为双曲线; ②以定点 A 为焦点,定直线 l 为准线的椭圆(A 不在 l 上)有无数多个; ③方程 2 x 2 ? 5 x + 2 = 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; ④过原点 O 任做一直线,若与抛物线 y 2 = 3 x , y 2 = 7 x 分别交于 A、B 两点,则 其中真命题的序号为 ___________(写出所有真命题的序号) .

OA 为定值. OB

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分) 15、 (本小题 14 分,每问 7 分) 将下列问题的算法用伪代码中的“for”语句表示(写在下面的框中) ,并画出流程图.

I←1 S ←0 While i≤10 S←S+i I←I+1 End While Print S

16、 (本小题 14 分,每问 7 分) 等腰 Rt ?ABC 中, ∠C = 90° . (1)在线段 BC 上任取一点 M ,求使 ∠CAM < 30° 的概率; (2)在 ∠CAB 内任作射线 AM ,求使 ∠CAM < 30° 的概率.
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17、 (本小题 15 分,每问 5 分) 从数字1,2,3,4,5中任取2个数,组成没有重复数字的两位数,试求: (1)这个两位数是5的倍数的概率; (2)这个两位数是偶数的概率; (3)若题目改为“从1,2,3,4,5中任取3个数,组成没有重复数字的三位数” ,则这 个三位数大于 234 的概率. (要求写出必要的解题过程,只写答案得零分)

18、 (本小题 14 分,每问 7 分) 已知双曲线的中心在原点,焦点 F1 , F2 在坐标轴上,一条渐近线方程为 y = x ,且过点 4, ? 10 . (1) 求双曲线方程; (2) 若点 M ( 3, m ) 在此双曲线上,求 MF1 ? MF2 .

(

)

19、 (本小题 15 分,第一问 7 分,第二问 8 分) 已知抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) , (1)若 p = 1 ,设 A 点坐标为 ?

?2 ? , 0 ? ,求抛物线上距点 A 最近的点 B 的坐标及相应的距离 BA ; ?3 ?

(2)若 A ( 5, 0 ) 到抛物线上点的最小距离为 4,求抛物线的方程.

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20、 (本小题 18 分,每问 6 分) 已知直线 l : x ? y + 9 = 0 ,椭圆 E : (1)过点 M (

x2 y 2 + =1, 12 3

1 1 , )且被 M 点平分的弦所在直线的方程; 2 2

(2) P 是椭圆 E 上的一点, F1 , F2 是椭圆 E 的两个焦点,当 P 在何位置时, ∠F1 PF2 最大,并说明 理由; (3)求与椭圆 E 有公共焦点,与直线 l 有公共点,且长轴长最小的椭圆方程.

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参考答案及评分标准
一、填空题: 1、 ?x ∈ R, x 2 + 1 ≥ 0 7、 (1.5,5 ) 11、 3 2、充分不必要 3、求三个数中最小数 4、40 5、

1 10

6、

1 8

8、22

9、

1 3 或 (注:只答一个得 3 分) 2 2
14、②③④

10、 4( 2 ? 1)

12、直线

13、 (1, 2 )

二、解答题: 15、解:

开始 S←0 I←1

S←0 For I from 1 to 10 S←S+i End For Print S
(第 19 题) (伪代码)

S ← S+I I ← I+1 I>10
Y N

7分

输出 S 结束

14 分 16、解: (1)设 CM = x ,则 0 < x < a (不妨设 BC = a ) .若 ∠CAM < 30° , 则0 < x <

3 a ,故 ∠CAM < 30° 的概率, 3

? 3 ? 区间 ? 0, a ?的长度 3 ? 3 ? P ( A) = = 区间 ( 0, a )的长度 3
(2)设 ∠CAM = θ ,则 0° < θ < 45° .若 ∠CAM < 30° , 则 0° < θ < 30° ,故 ∠CAM < 30° 的概率 P ( B ) = 17、解: (1)设“两位数是5的倍数”为事件 A ,

7分

( 0°,30° )的长度 = 2 45 ( 0°, ° )的长度 3

14 分

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则 P ( A) =

4 1 = 5× 4 5 1 . 5

4分 5分

答:这个两位数是5的倍数的概率为 (2)设“两位数是偶数”为事件 B , 则 P( B ) =

2× 4 2 = 5× 4 5 2 . 5

9分 10 分

答:这个两位数是偶数的概率为 (3)设“三位数大于234”为事件 C , 则 P (C ) =

3 × 4 × 3 + 2 × 3 + 1 43 = 5× 4 × 3 60 43 答:三位数大于234的概率为 . 60

14 分 15 分 2分

18、解: (1)由题意,设双曲线方程为 x 2 ? y 2 = λ (λ ≠ 0) 将点 4, ? 10 代入双曲线方程,得 4 ? ? 10
2

(

)

(

)

2

=λ,
5分 7分

即λ = 6 所以,所求的双曲线方程为 x 2 ? y 2 = 6 (2)由(1)知 F1 ?2 3, 0 , F2 2 3, 0

(

) (

) ) ( )
9分 11 分 14 分
2

因为 M ( 3, m ) ,所以 MF1 = ?2 3 ? 3, m , MF2 = 2 3 ? 3, m 又 M ( 3, m ) 在双曲线 x 2 ? y 2 = 6 上,则 m = 3

(

MF1 ? MF2 = ?2 3 ? 3 2 3 ? 3 + m 2 = ?12 + 9 + 3 = 0
19、解:设 y 2 = 2 px 上任一点 M ( x, y ), A( a, 0) ,则

(

)(

)

AM = ( x ? a ) 2 + y 2 = ? x + ( p ? a ) ? + 2ap ? p 2 ( x ≥ 0) ? ?
2 2

2 1? 1 2 ? (1)当 p = 1, a = 时, AM = ? x + ? + ( x ≥ 0) 3 3? 3 ?
所以当 x = 0 时, AM 所以 AB =
2 min

2

3分

=

4 9

5分 7分
2

2 ,此时 B ( 0, 0 ) 3
2

(2)当 a = 5 时, AM

= ? x + ( p ? 5 ) ? + 10 p ? p 2 ( x ≥ 0) ? ?
2

9分 11 分

当 p ≥ 5 时, x = 0 时,取得最小值为 25 ≠ 4

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当 0 < p < 5 时, x = 5 ? p 时取得最小值为 10 p ? p = 16
2

13 分 15 分

解得 p = 2 或 p = 8 (舍) ,所以抛物线方程为 y = 4 x .
2

20、解:(1)设以 M 为中点的弦的端点为 A( x1 , y1 ),B( x2 , y 2 ),

y12 =1 1 y ?y x +x 3 ? k AB = 2 1 = ? 2 1 = ? 2 x2 ? x1 4( y2 + y1 ) 4 y2 =1 3 1 1 1 所以直线 AB 的方程为 y ? = ? ( x ? ) 即 2 x + 8 y ? 5 = 0 2 4 2

? x12 ? + ?12 ? 2 ? x2 + ?12 ?

4分

6分

r12 + r22 ? 4c 2 (r1 + r2 ) 2 ? 4c 2 (2)设 PF1 = r1 , PF2 = r2 ,则 cos ∠F1 PF2 = = ?1 2r1r2 2r1r2 = 4b 2 2b 2 ?1 = ?1 2r1r2 r1r2
9分

又 r1r2 ≤ ?

? r1 + r2 ? 2 ? = a (当且仅当 r1 = r2 时取等号) ? 2 ?
2

所以当 r1 = r2 = a 即 P (0, ± 3) 时, cos ∠F1 PF2 最小 又 ∠F1 PF2 ∈ ( 0, π ) ,所以当 P 为短轴端点时, ∠F1 PF2 最大 (3)因为 a1 = 12, b1 = 3 ,所以 c1 = 9 .
2 2 2

11 分 12 分 13 分

x2 y2 则由题意,设所求的椭圆方程为 2 + 2 = 1(a 2 > 9) , a a ?9
将 y = x + 9 代入上述椭圆方程,消去 y ,得 (2a 2 ? 9) x 2 + 18a 2 x + 90a 2 ? a 4 = 0 , 依题意 ? = (18a 2 ) 2 ? 4(2a 2 ? 9)(90a 2 ? a 4 ) ≥ 0 , 化简得 ( a 2 ? 45)( a 2 ? 9) ≥ 0 , 15 分 17 分

x2 y 2 因为 a ? 9 > 0 ,所以 a ≥ 45 ,故所求的椭圆方程为 + =1 45 36
2 2

18 分

[ 另 解 ] 由 题 意 , 得 所 求 椭 圆 的 两 焦 点 分 别 为 F1 ( ?3, 0), F2 (3, 0) , 则 F1 ( ?3, 0) 关 于 直 线

l : x ? y + 9 = 0 的对称点 F1/ (?9, 6) ,设所求椭圆与直线 l 的交点为 N ,则
/ 2a = NF1 + NF2 = NF1/ + NF2 ≥ F1/ F2 = 6 5 , (当且仅当 F1 , N , F2 共线时取等号)

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所以 amin = 3 5 ,又 c = 3,∴ b = 36 ,
2

故所求的椭圆方程为

x2 y 2 + =1 45 36

(若有不同解法,请相应给分) 若有不同解法,请相应给分 若有不同解法

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