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2013年高考文科数学试题分类汇编--圆锥曲线

2013 高考文科试题解析分类汇编:圆锥曲线

一、选择题
1.【2012 高考新课标文 4】设 F1 F2 是椭圆 E : 线x?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直 a 2 b2


3a 上一点, ?F2 PF1 是底角为 30? 的等腰三角形,则 E 的离心率为( 2 1 2 ? ? ( A) ( B) (C ) ( D) 2 3 ? ?

【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思 想,是简单题. 【解析】∵△ F2 PF1 是底角为 300 的等腰三角形, ∴ ?PF2 A ? 60 , | PF2 |?| F1 F2 |? 2c ,∴ | AF2 | = c ,
0

∴ 2c ?

3 3 a ,∴ e = ,故选 C. 2 4


2. 【 2012 高考新课标文 10 】等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线

y 2 ? 16 x 的准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为(
( A)

2

( B) 2 2

(C ) ?

( D) ?

【答案】C 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系,是简单题. 【解析】 由题设知抛物线的准线为:x ? 4 , 设等轴双曲线方程为:x ? y ? a , 将x?4
2 2 2

6 ?a =4 3, 代入等轴双曲线方程解得 y = ? 16 ? a , ∵ | AB | = 4 3 , ∴2 1 解得 a =2,
2 2

∴ C 的实轴长为 4,故选 C. 3.【2012 高考山东文 11】已知双曲线 C1 :
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2.若抛物线 a 2 b2

C2 : x 2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为

(A) x2 ? 【答案】D

8 3 y 3

(B) x 2 ?

16 3 y 3

(C) x2 ? 8 y

(D) x 2 ? 16 y

考点:圆锥曲线的性质 解析:由双曲线离心率为 2 且双曲线中 a,b,c 的关系可知 b ? 点在 y 轴上,即(0,p/2)到直线 y ? 角三角形求解。 4.【2012 高考全国文 5】椭圆的中心在原点,焦距为 4 ,一条准线为 x ? ?4 ,则该椭圆的方 程为

3a ,此题应注意 C2 的焦

3 x 的距离为 2,可知 p=8 或数形结合,利用直

(A)

x2 y 2 ? ?1 16 12 x2 y 2 ? ?1 8 4

(B)

x2 y 2 ? ?1 12 8 x2 y 2 ? ?1 12 4

(C)

(D)

【答案】C 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置, 然后借助于焦距和准线求解参数 a, b, c ,从而得到椭圆的方程。 【解析】因为 2c ? 4 ? c ? 2 ,由一条准线方程为 x ? ?4 可得该椭圆的焦点在 x 轴上县

a2 ? 4 ? a 2 ? 4c ? 8 ,所以 b2 ? a2 ? c2 ? 8 ? 4 ? 4 。故选答案 C c
5.【2012 高考全国文 10】已知 F1 、 F2 为双曲线 C : x ? y ? 2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,
2 2

| PF1 |? 2 | PF2 | ,则 cos ?F1 PF2 ?
(A)

1 4

(B)

3 5

(C)

3 4

(D)

4 5

【答案】C 【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用,以及余弦定理的运用。 首先运用定义得到两个焦半径的值,然后结合三角形中的余弦定理求解即可。 【解析】解:由题意可知, a ?

2 ? b,? c ? 2 ,设 | PF1 |? 2 x,| PF2 |? x ,则

| PF1 | ? | PF2 |? x ? 2a ? 2 2 ,故 | PF1 |? 4 2,| PF2 |? 2 2 , F1 F2 ? 4 ,利用余弦定理可
PF12 ? PF2 2 ? F1 F2 2 (4 2) 2 ? (2 2) 2 ? 4 2 3 ? ? 。 得 cos ?F1 PF2 ? 2 PF1 ? PF2 4 2? 2 2 ? 4 2
6.【2012 高考浙江文 8】 如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双 曲线的两顶点。若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是

A.3

B.2

C.

3

D.

2

【答案】B 【命题意图】 本题主要考查了椭圆和双曲线的方程和性质, 通过对两者公交点求解离心率的

关系. 【解析】设椭圆的长轴为 2a,双曲线的长轴为 2a? ,由 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则 2a ? 2 ? 2a? ,即 a ? 2a? ,又因为双曲线与椭圆有公共焦点,设焦距均为 c,则双曲线的离 心率为 e? ?

c c e? a ,e ? , ? ? 2. a? a e a?

7.【2012 高考四川文 9】已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点

M (2, y0 ) 。若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? (
A、 2 2 【答案】B [解析]设抛物线方程为 y2=2px(p>0),则焦点坐标为( B、 2 3 C、 4

) D、 2 5

p p ,0 ),准线方程为 x= ? , 2 2

? M在抛物线上, ? M到焦点的距离等于到准线的距离,即 p 2 p 2 2 ? (2 - ) ? y0 ? (2 ? ) ?3 2 2 解得:p ? 1, y 0 ? 2 2 ? 点M(2,2 2),根据两点距离公式有: ?| OM |? 2 2 ? (2 2 ) 2 ? 2 3
[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点,F 为抛物线的焦点,d 为点 M 到准线的距离). 8. 【2012 高考四川文 11】 方程 ay ? b x ? c 中的 a, b, c ?{?2,0,1, 2,3} , 且 a, b, c 互不相同,
2 2

在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( A、28 条 B、32 条 C、36 条 【答案】B
2 [解析]方程 ay ? b x ? c 变形得 x ?
2 2

) D、48 条

a c y ? 2 ,若表示抛物线,则 a ? 0, b ? 0 2 b b
?a ? ?2, c ? 0, 或1, 或3 ? ?a ? 1, c ? ?2, 或0, 或3 ?a ? 3,c ? ?2, 或0, 或1 ?

所以,分 b=-2,1,2,3 四种情况:

?a ? 1, c ? 0, 或2, 或3 ? (1)若 b=-2, ?a ? 2, c ? 0, 或1, 或3 ; (2)若 b=2, ?a ? 3,c ? 0, 或1, 或2 ?

以上两种情况下有 4 条重复,故共有 9+5=14 条; 同理 若 b=1,共有 9 条; 若 b=3 时,共有 9 条. 综上,共有 14+9+9=32 种 [点评]此题难度很大,若采用排列组合公式计算,很容易忽视重复的 4 条抛物线. 列举法是 解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用. 9.【2012 高考上海文 16】对于常数 m 、 n ,“ mn ? 0 ”是“方程 mx ? ny ? 1 的曲线是
2 2

椭圆”的(



A、充分不必要条件 充分也不必要条件 【答案】B.

B、必要不充分条件

C、充分必要条件

D、既不

? m ? 0, ? 【解析】方程 mx ? ny ? 1 的曲线表示椭圆,常数常数 m, n 的取值为 ? n ? 0, 所以,由 ? m ? n, ?
2 2

mn ? 0 得不到程 mx 2 ? ny 2 ? 1 的曲线表示椭圆,因而不充分;反过来,根据该曲线表示
椭圆,能推出 mn ? 0 ,因而必要.所以答案选择 B. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程 的组成特征,可以知道常数 m, n 的取值情况.属于中档题. 10.【2012 高考江西文 8】椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A,B,左、右 a 2 b2

焦点分别是 F1,F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 A.

1 4

B.

5 5

C.

1 2

D.

5-2

【答案】B 【解析】本题着重考查等比中项的性质,以及椭圆的离心率等几何性质,同时考查了函数与 方程,转化与化归思想. 利 用 椭 圆 及 等 比 数 列 的 性 质 解 题 . 由 椭 圆 的 性 质 可 知 : AF1 ? a ? c , F1 F2 ? 2c ,

F1 B ? a ? c . 又 已 知 AF1 , F1 F2 , F1 B 成 等 比 数 列 , 故 (a ? c)(a ? c) ? (2c)2 , 即

a 2 ? c2 ? 4 c2,则 a 2 ? 5c 2 .故 e ?

c 5 5 ? .即椭圆的离心率为 . a 5 5

【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关 a, c 的方程,然后化为有关 a, c 的 齐次式方程,进而转化为只含有离心率 e 的方程,从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握 椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴,短轴长及其标准方程的求解等. 11.【2012 高考湖南文 6】已知双曲线 C : 渐近线上,则 C 的方程为

x2 y2 =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的 a 2 b2

x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. =1 B. =1 C. =1 20 5 5 20 80 20
【答案】A

x2 y2 D. =1 20 80

[

【解析】设双曲线 C :

x2 y2 =1 的半焦距为 c ,则 2c ? 10, c ? 5 . a 2 b2

又?C 的渐近线为 y ? ?

b b x ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,?1 ? ?2 ,即 a ? 2b . a a
x2 y2 =1. 20 5

又 c 2 ? a 2 ? b2 ,? a ? 2 5,b ? 5 ,?C 的方程为

【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思想 和基本运算能力,是近年来常考题型. 12.【2102 高考福建文 5】已知双曲线 等于 A

x2 y2 =1 的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率 a2 5

3 14 14

B

3 2 4

C

3 2

D

4 3

【答案】C. 考点:双曲线的离心率。 难度:易。 分析:本题考查的知识点为圆锥曲线的性质,利用离心率 e ?

c 即可。 a
2

解答:根据焦点坐标 (3,0) 知 c ? 3 ,由双曲线的简单几何性质知 a ? 5 ? 9 ,所以 a ? 2 , 因此 e ?

3 .故选 C. 2

二 、填空题
13.【2012 高考四川文 15】椭圆

x2 y2 ? ? 1(a 为定值,且 a ? 5) 的的左焦点为 F ,直线 a2 5 x ? m 与椭圆相交于点 A 、B ,?FAB 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是______。 2 【答案】 , 3
2 2

[解析]根据椭圆定义知:4a=12, 得 a=3 , 又? a ? c ? 5

? c ? 2,? e ?

c 2 ? a 3
2

[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念. 14.【2012 高考辽宁文 15】已知双曲线 x

?

y =1,点 F1,F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线

2

上一点,若 P F1⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________. 【答案】 2 3 【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力,难度适

中。 【解析】由双曲线的方程可知 a ? 1, c ?

2,? PF1 ? PF2 ? 2a ? 2,

? PF1 ? 2 PF1 PF2 ? PF2 ? 4

2

2

? PF1 ? PF2 ,? PF1 ? PF2 ? (2c)2 ? 8,? 2 PF1 PF2 ? 4, ? ( PF1 ? PF2 )2 ? 8 ? 4 ? 12,? PF1 ? PF2 ? 2 3
【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理,实现差—积—和的转化。 15.【2012 高考江苏 8】(5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 心率为 5 ,则 m 的值为 ▲ . 【答案】2。 【考点】双曲线的性质。 【解析】由

2

2

x2 y2 ? 2 ? 1 的离 m m ?4

x2 y2 ? 2 ? 1 得 a = m,b= m2 ? 4,c= m ? m2 ? 4 。 m m ?4

c m ? m2 ? 4 = 5 ,即 m2 ? 4m ? 4=0 ,解得 m=2 。 ∴ e= = a m
16.【2012 高考陕西文 14】右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽 米.

【答案】 2 6 . 【解析】建立如图所示的直角坐标系,使拱桥的顶点 O 的坐标为(0,0), 设 l 与抛物线的交点为 A、B ,根据题意,知 A (-2,-2),

B (2,-2).
设抛物线的解析式为 y ? ax ,
2

则有 ? 2 ? a ? ?? 2? ,∴ a ? ? .
2

1 2

∴抛物线的解析式为 y ? ? 1 x 2 . 2 水位下降 1 米,则 y ? -3,此时有 x ? 6 或 x ? ? 6 .

∴此时水面宽为 2 6 米. 17.【2012 高考重庆文 14】设 P 为直线 y ?

x2 y 2 b x 与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 左支的 a b 3a

交点, F1 是左焦点, PF1 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率 e ?

18.【2012 高考安徽文 14】过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点,若
2

| AF |? 3 ,则 | BF | =______。
【答案】

3 2

【解析】设 ?AFx ? ? (0 ? ? ? ? ) 及 BF ? m ;则点 A 到准线 l : x ? ?1 的距离为 3 得: 3 ? 2 ? 3cos ? ? cos ? ?

1 2 3 又 m ? 2 ? m cos(? ? ? ) ? m ? ? 3 1 ? cos ? 2
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 与 双 曲 线 a2 b2

19. 【 2012 高 考 天 津 文 科 11 】 已 知 双 曲 线 C1 :

C2 :

x2 y2 ? ? 1 有相同的渐近线,且 C1 的右焦点为 F ( 5, 0) ,则 a ? 4 16

b?

【答案】1,2 【解析】双曲线的

x2 y2 x2 y2 b ? ? 1 渐近线为 y ? ?2 x ,而 2 ? 2 ? 1 的渐近线为 y ? ? x , 4 16 a a b

所以有

x2 y2 b ? 2 , b ? 2a ,又双曲线 2 ? 2 ? 1 的右焦点为 ( 5 ,0) ,所以 c ? 5 ,又 a a b

c 2 ? a 2 ? b 2 ,即 5 ? a 2 ? 4a 2 ? 5a 2 ,所以 a 2 ? 1, a ? 1, b ? 2 。

三、解答题

20. 【2012 高考天津 19】(本小题满分 14 分) 已知椭圆错误!未找到引用源。(a>b>0),点 P(错误!未找到引用源。,错误!未找到引 用源。)在椭圆上。 (I)求椭圆的离心率。 (II)设 A 为椭圆的右顶点,O 为坐标原点,若 Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线 OQ 的 斜率的值。 【解析】(Ⅰ) 点 P (

5 2 a, a) 在椭圆上 5 2

1 2 1 2 a a b2 5 b2 3 6 5 2 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? ? e2 ? 1 ? 2 ? ? e ? a b a 8 a 8 4
(Ⅱ) 设 Q(a cos ? , b sin ? )(0 ? ? ? 2? ) ;则 A(a,0)

AQ ? AO ? a 2 (1 ? cos ? ) 2 ? b 2 sin 2 ? ? a 2 ? 3cos 2 ? ? 16 cos ? ? 5 ? 0 ? cos ? ?
直线 OQ 的斜率 kOQ ?

1 3

b sin ? ?? 5 a cos ?
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

21.【2012 高考江苏 19】 (16 分)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆

? 3? 的左、右焦点分别为 F1 (?c , 0) .已知 (1, e) 和 ? 0) , F2 (c , ?e, 2 ? ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆 ? ?
的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于 点 P.

6 ,求直线 AF1 的斜率; 2 (ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.
(i)若 AF1 ? BF2 ?

【答案】解:(1)由题设知, a 2 =b2 ? c2,e=

c ,由点 (1, e) 在椭圆上,得 a


12 a
∴ c 2 =a 2 ? 1 。
2

?

e2 b
2

?1?

1 a
2

?

c2 a b
2 2

=1 ? b2 ? c 2 =a 2b2 ? a 2 =a 2b2 ? b 2 =1

? 3? e , 由点 ? ? 在椭圆上,得 ? 2 ? ? ?

? 3? ? 3? ? ? ? ? 2 2 2 ? 2 ? e c a2 ? 1 3 ? ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? a 4 ? 4a 2 ? 4=0 ? a 2 =2 1 4 a2 b2 a4 a4
∴椭圆的方程为

2

2

x2 ? y2 ? 1 。 2

(2)由(1)得 F1 (?1 , 0) ,又∵ AF1 ∥ BF2 , 0) , F2 (1, ∴ 设

AF1 、 BF2 的 方 程 分 别 为 my =x ? 1,my =x ? 1 ,

A ? x1,y1 ?,B ? x2,y2 ?,y1 > 0,y2 > 0 。

? x12 m ? 2m 2 ? 2 ? y12 ? 1 ? ? m 2 ? 2 y12 ? 2my1 ? 1=0 ? y1 = ∴? 2 。 m2 ? 2 ?my =x ? 1 ? 1 1

?

?

∴ AF1 =

? x1 ? 1? ? ? y1 ? 0 ?
2

2

= ? my1 ? ? y12 = m 2 ? 1 ?
2

2 ? m2 ? 1? ? m m2 ? 1 m ? 2m 2 ? 2 ? 。① m2 ? 2 m2 ? 2
。②

同理, BF2 =

2 ? m 2 ? 1? ? m m 2 ? 1 m2 ? 2

(i)由①②得, AF1 ? BF2 ? ∵注意到 m > 0 ,∴ m= 2 。 ∴直线 AF1 的斜率为

2m m 2 ? 1 2m m 2 ? 1 6 。解 得 m2 =2。 = 2 2 m ?2 m ?2 2

1 2 。 = m 2
AF1 ∥ BF2
, ∴

( ii ) 证 明 : ∵

PB BF2 ? PF1 AF1

, 即

BF PB ? PF1 BF2 ? AF1 PB 。 ?1 ? 2 ?1? ? PF1 AF1 PF1 AF1
∴ PF1 =

AF1 BF1 。 AF1 ? BF2 AF1 2 2 ? BF2 。 AF1 ? BF2

由点 B 在椭圆上知, BF1 ? BF2 ? 2 2 ,∴ PF1 =

?

?

同理。 PF2 =

BF2 2 2 ? AF1 。 AF1 ? BF2

?

?

∴ PF1 +PF2 =

AF1 BF2 2 AF ?BF2 2 2 ? BF2 ? 2 2 ? AF1 ? 2 2 ? AF1 ? BF2 AF1 ? BF2 AF1 ? BF2
由①②得, AF1 ? BF = ∴ PF1 +PF2 =2 2 ?

?

?

?

?

2 2 m2 ? 1 m ?2
2

?

? , AF ?BF = m

2

?1

m ?2

2



2 3 = 2。 2 2

∴ PF1 ? PF2 是定值。 【考点】椭圆的性质,直线方程,两点间的距离公式。

? 3? e , 【解析】(1)根据椭圆的性质和已知 (1, e) 和 ? ? ? ? 都在椭圆上列式求解。 2 ? ?

6 ,用待定系数法求解。 2 22.【2012 高考安徽文 20】(本小题满分 13 分)
(2)根据已知条件 AF1 ? BF2 ? 如图, F1 , F2 分别是椭圆 C :

x2 y2 + =1( a ? b ? 0 ) a2 b2

的左、右焦点, A 是椭圆 C 的顶点, B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另 一个交点, ?F1 A F2 =60°. (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)已知△ A F1 B 的面积为 40 3 ,求 a, b 的值. 【解析】(I) ?F1 AF2 ? 60 ? a ? 2c ? e ? (Ⅱ)设 BF2 ? m ;则 BF1 ? 2a ? m
?

c 1 ? a 2

在 ?BF1 F2 中, BF1 ? BF2 ? F1 F2 ? 2 BF2 ? F1 F2 ? cos120

2

2

2

?

3 ? (2a ? m)2 ? m2 ? a 2 ? am ? m ? a 5
1 1 3 3 S ? ? F2 F1 ? AB ? sin 60? ? ? a ? (a ? a ) ? ? 40 3 ?AF1B 面积 2 2 5 2 ? a ? 10, c ? 5, b ? 5 3
23.【2012 高考广东文 20】(本小题满分 14 分)

x2 y 2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点为 a b
F1 (? 1, 0),且点 P(0,1) 在 C1 上.
(1)求椭圆 C1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2 : y ? 4 x 相切,求直线 l 的方程.
2

【答案】 【解析】(1)因为椭圆 C1 的左焦点为 F1 (?1, 0) ,所以 c ? 1 , 点 P(0,1) 代入椭圆
2 2 2

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 ,得 2 ? 1 ,即 b ? 1, 2 a b b

所以 a ? b ? c ? 2 , 所以椭圆 C1 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(2)直线 l 的斜率显然存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,

? x2 2 ? ? y ?1 2 2 2 ,消去 y 并整理得 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 , ?2 ? y ? kx ? m ?
因为直线 l 与椭圆 C1 相切,所以 ? ? 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 2) ? 0 ,
2 2 2 2

整理得 2k ? m ? 1 ? 0
2 2



? y2 ? 4x 2 2 2 ,消去 y 并整理得 k x ? (2km ? 4) x ? m ? 0 。 ? ? y ? kx ? m
因为直线 l 与抛物线 C2 相切,所以 ? ? (2km ? 4) ? 4k m ? 0 ,
2 2 2

整理得 km ? 1



? 2 ? 2 ?k ? ?k ? ? 综合①②,解得 ? 2 或? 2 。 ?m ? 2 ?m ? ? 2 ? ?
所以直线 l 的方程为 y ?

2 2 x? 2或 y ?? x? 2 。 2 2

24.【2102 高考北京文 19】(本小题共 14 分)

x2 y2 2 已知椭圆 C: 2 + 2 =1 (a>b>0) 的一个顶点为 A (2,0) , 离心率为 , 直线 y=k(x-1) 2 a b
与椭圆 C 交与不同的两点 M,N (Ⅰ)求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)当△AMN 的面积为

10 时,求 k 的值 3

【考点定位】此题难度集中在运算,但是整体题目难度确实不大,从形式到条件的设计都是 非常熟悉的,相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的。

? a?2 ? x2 y 2 2 ? c ? ? 1. 解:(1)由题意得 ? 解得 b ? 2 .所以椭圆 C 的方程为 ? 4 2 ? 2a 2 2 2 ?a ? b ? c ? ? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 (2)由 ? x 2 y 2 得 (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2k ? 4 ? 0 . ?1 ? ? ?4 2 设 点 M,N 的 坐 标 分 别 为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , 则 y1 ? k ( x1 ? 1) , y2 ? k ( x2 ? 1) ,
x1 ? x2 ? 4k 2 2k 2 ? 4 x x ? , . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2 2 2 2

所以|MN|= ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) = (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] = 由因为点 A(2,0)到直线 y ? k ( x ? 1 的距离 d ? )

2 (1 ? k 2 )(4 ? 6k 2 ) . 1 ? 2k 2

|k| 1 ? 2k 2



1 | k | 4 ? 6k 2 | k | 4 ? 6k 2 10 ? 所 以 △ AMN 的 面 积 为 S ? | MN | ?d ? . 由 ,解得 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 3 k ? ?1 .
25.【2012 高考山东文 21】 (本小题满分 13 分) 如图,椭圆 M :
3 x2 y 2 ,直线 x ? ?a 和 y ? ?b 所围成的矩 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a 2 b2

形 ABCD 的面积为 8.

(Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程; (Ⅱ) 设直线 l : y ? x ? m(m ? R) 与椭圆 M 有两个不同的交点 P, Q, l 与矩形 ABCD 有两个 不同的交点 S , T .求 【答案】(21)(I) e ?
| PQ | 的最大值及取得最大值时 m 的值. | ST |

c 3 a 2 ? b2 3 ? ? ? ??① a 2 a2 4

矩形 ABCD 面积为 8,即 2a ? 2b ? 8 ??② 由①②解得: a ? 2, b ? 1 , ∴椭圆 M 的标准方程是

x2 ? y2 ? 1 . 4

? x 2 ? 4 y 2 ? 4, (II) ? ? 5 x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 4 ? 0 , ? y ? x ? m,

8 4m2 ? 4 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? m, x1 x2 ? , 5 5
由 ? ? 64m2 ? 20(4m2 ? 4) ? 0 得 ? 5 ? m ? 5 .
4m 2 ? 4 4 2 ? 8 ? | PQ |? 2 ? ? m ? ? 4 ? 5 ? m2 . 5 5 5 ? ?
2

当 l 过 A 点时, m ? 1,当 l 过 C 点时, m ? ?1 . ①当 ? 5 ? m ? ?1 时,有 S (?m ? 1, ?1), T (2, 2 ? m),| ST |? 2(3 ? m) ,
| PQ | 4 5 ? m 2 4 4 6 ? ? ? 2 ? ?1 , 2 | ST | 5 (3 ? m) 5 t t

| PQ | 1 3 4 5 2 其中 t ? m ? 3 ,由此知当 ? ,即 t ? , m ? ? ? (? 5, ?1) 时, 取得最大值 5. | ST | t 4 3 3 5

②由对称性,可知若 1 ? m ? 5 ,则当 m ? ③当 ?1 ? m ? 1 时, | ST |? 2 2 , 由此知,当 m ? 0 时,

| PQ | 5 2 时, 取得最大值 5. | ST | 3 5

| PQ | 2 ? 5 ? m2 , | ST | 5

| PQ | 2 取得最大值 5. | ST | 5

| PQ | 5 2 综上可知,当 m ? ? 和 0 时, 取得最大值 5. | ST | 3 5

26.【2102 高考福建文 21】(本小题满分 12 分) 如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 3 ,且其三个顶点均在抛物线 E:x2=2py(p>0)上。

(1) 求抛物线 E 的方程; (2) 设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P,与直线 y=-1 相较于点 Q。证明以 PQ 为直径的 圆恒过 y 轴上某定点。 考点:圆锥曲线的定义,直线和圆锥曲线的位置关系,定值的证明。 难度:难。 分析:本题考查的知识点为抛物线方程的求解,直线和圆锥曲线的联立,定值的表示及计 算。 解答: (I)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ;则 x1 ? 2 py1 , x2 ? 2 py2
2 2

2 2 2 OA ? OB ? x12 ? y 12 ? x 2 ?y 2 ? 2 py ?1 y ? y 1 2 py ? 2

2 2

? ( y1 ? y 2)(2 p ? y 1 ? y )2? 0 ? y ? ? 1 y ( 2 2 p, y , y 1 ? 0) 2
得:点 A, B 关于 y 轴对称(lfxlby)

OA ? OB ? AB ? 8 3 ? A(?4 3,12), B(4 3,12)
代入抛物线 E 的方程得: p ?

x2 ? 2 ? 抛物线 E 的方程为 x 2 ? 4 y 2y

(II)设 P( x0 ,

2 x0 1 1 ) ;则 y ? x 2 ? y? ? x 4 4 2

过点 P 的切线方程为 y ? 令 y ? ?1 ? Q (

1 2 1 1 1 2 x0 ? x0 ( x ? x0 ) 即 y ? x0 x ? x0 4 2 2 4

2 x0 ?4 , ?1) 2 x0

设 M (0, t ) 满足: MP?MQ ? 0 及 MP ? ( x0 , y0 ? t ), MQ ? ( 得: 4(t ? t ? 2) ? (1 ? t ) x0 ? 0 对 x0 ? 0 均成立
2 2

???? ???? ?

????

???? ?

2 x0 ?4 , ?1 ? t ) 2 x0

? t 2 ? t ? 2 ? 0,1 ? t ? 0 ? t ? 1
以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上定点 M (0,1)

27.【2012 高考上海文 22】(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 6 分 在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C : 2 x ? y ? 1
2 2

(1)设 F 是 C 的左焦点, M 是 C 右支上一点,若 MF ? 2 2 ,求点 M 的坐标; (2) 过 C 的左焦点作 C 的两条渐近线的平行线, 求这两组平行线围成的平行四边形的面积; (3)设斜率为 k ( k ? 证: OP ⊥ OQ [解](1)双曲线 C :
x2
1 2

2 )的直线 l 交 C 于 P 、 Q 两点,若 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切,求

? y 2 ? 1 ,左焦点 F ( ?
2 6 2 2

6 2

, 0) .
2 2 , 2

设 M ( x, y ) ,则 | MF | ? ( x ? 由 M 是右支上一点,知 x ? 所以 M (
6 2 2 2

) ? y 2 ? ( 3x ?

)

……2 分
6 2

,所以 | MF |?

3x ?

2 2

? 2 2 ,得 x ?

.

, ? 2) .
2 2

……5 分

(2)左顶点 A(?

, 0) ,渐近线方程: y ? ? 2 x .
2 x 平行的直线方程为: y ? 2 ( x ?
,得 ?
2 2

过 A 与渐近线 y ? 解方程组 ?

) ,即 y ? 2 x ? 1 .
……8 分

?y ? ? 2 x ?y ? 2 x ?1

? ?x ? ? 1 ? ?y ? 2

2 4

.
2 4

所求平行四边形的面积为 S ?| OA || y |?

.
|b | k 2 ?1

……10 分

(3)设直线 PQ 的方程是 y ? kx ? b .因直线与已知圆相切,故 即 b ? k ? 1 (*).
2 2

? 1,

由?

? y ? kx? b 2 2 2 ,得 (2 ? k ) x ? 2kbx ? b ? 1 ? 0 . 2 2 2 x ? y ? 1 ?

设 P(x1, y1)、Q(x2, y2),则 ?

2 kb ? ? x1 ? x2 ? 2 ? k 2 . ?1? b 2 x x ? ? 2 1 2 2?k ?

y1 y2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ,所以
OP ? OQ ? x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b 2
(1? k 2 )( ?1? b 2 ) 2?k 2

?

2k 2b 2 2?k 2

?

?1? b 2 ? k 2 2?k 2

. ……16 分

由(*)知 OP ? OQ ? 0 ,所以 OP⊥OQ.

【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系.特别 要注意直线与双曲线的关系问题,在双曲线当中,最特殊的为等轴双曲线,它的离心率为

2 ,它的渐近线为 y ? ? x ,并且相互垂直,这些性质的运用可以大大节省解题时间,本
题属于中档题 . 28.【2012 高考新课标文 20】(本小题满分 12 分) 设抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心,FA 为半 径的圆 F 交 l 于 B,D 两点. (I)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的值及圆 F 的方程; (II)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求 坐标原点到 m,n 距离的比值. 【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛 物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识,考查 数形结合思想和运算求解能力. 【解析】设准线 l 于 y 轴的焦点为 E,圆 F 的半径为 r , 则|FE|= p , | FA |?| FB|= | FD | = r ,E 是 BD 的中点,
0 (Ⅰ) ∵ ?BFD ? 90 ,∴ | FA | ? | FB|=| FD | = 2 p ,|BD|= 2 p ,

p ? y0 , 2 1 p 1 ∵ ?ABD 的面积为 4 2 , ∴ S ?ABD = | BD | ( y0 ? ) = ? 2 p ? 2 p = 4 2 , 解得 p =2, 2 2 2 2 2 ∴F(0,1), FA|= 2 2 , ∴圆 F 的方程为: x ? ( y ? 1) ? 8 ;
设 A( x0 , y0 ),根据抛物线定义得,|FA|= (Ⅱ) 【解析 1】 ∵ A, ?ADB ? 90 , B, F 三点在同一条直线 m 上, ∴ AB 是圆 F 的直径,
0

3 1 3 或- , | AB | ,∴ ?ABD ? 300 ,∴ m 的斜率为 3 3 2 3 p 3 x ? ,∴原点到直线 m 的距离 d1 = p, ∴直线 m 的方程为: y ? ? 3 2 4 2 3 3 x ? 2 pb ? 0 , 设直线 n 的方程为: y ? ? x ? b ,代入 x 2 ? 2 py 得, x 2 ? 3 3 4 2 p ∵ n 与 C 只有一个公共点, ∴ ? = p ? 8 pb ? 0 ,∴ b ? ? , 6 3 3 3 p p, ∴直线 n 的方程为: y ? ? x ? ,∴原点到直线 n 的距离 d 2 = 12 3 6
由抛物线定义知 | AD |?| FA |? ∴坐标原点到 m , n 距离的比值为 3.

【解析 2】由对称性设 A( x0 ,

2 x0 p )( x0 ? 0) ,则 F (0, ) 2p 2 2 x0 x2 p 2 ) ? p ? 0 ? ? ? x0 ? 3 p2 2p 2p 2

点 A, B 关于点 F 对称得: B(? x0 , p ?

3p p ? p 3p 3p 得: A( 3 p, ?0 ) ,直线 m : y ? 2 2 x ? ? x ? 3 y ? 2 2 2 3p
x 2 ? 2 py ? y ? x2 x 3 3 3p p ? y? ? ? ?x? p ? 切点 P( , ) 2p p 3 3 3 6

直线 n : y ?

p 3 3p 3 ? (x ? ) ? x ? 3y ? p?0 6 3 3 6
3p 3p : ?3。 2 6
1 )到 2

坐标原点到 m, n 距离的比值为

29.【2012 高考浙江文 22】本题满分 14 分)如图,在直角坐标系 xOy 中,点 P(1, 抛物线 C: y =2px(P>0)的准线的距离为 上的两动点,且线段 AB 被直线 OM 平分。
2

5 。点 M(t,1)是 C 上的定点,A,B 是 C 4

(1)求 p,t 的值。 (2)求△ABP 面积的最大值。 【命题意图】本题主要考查了抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系,同时考查解 析几何的基本思想方法和运算求解能力. 【解析】

1 ? 2 pt ? 1 ? ? ?p ? (1)由题意得 ? 2. p 5 ,得 ? 1 ? ? ? ? ? 2 4 ?t ? 1
(2)设 A( x1 , y1 ), B ? x2 , y2 ? ,线段 AB 的中点坐标为 Q(m, m) 由题意得,设直线 AB 的斜率为 k(k ? 0 ).

? y12 ? 2px1 ? 由? 2 ,得 ( y2 ? y1 )( y1 ? y2 ) ? k ( x2 ? x1 ) ,得 k ? 2m ? 1 ? ? y2 ? 2px 2
所以直线的方程为 y ? m ?

1 ( x ? m) ,即 x ? 2my ? 2m2 ? m ? 0 . 2m

2 ? ? x ? 2my ? 2m ? m ? 0 2 2 由? 2 ,整理得 y ? 2my ? 2m ? m ? 0 , ? ?y ? x

所以 ? ? 4m ? 4m2 , y1 ? y2 ? 2m , y1 y2 ? 2m2 ? m .从而得

AB ? 1 ?

1 y1 ? y2 ? 1 ? 4m 2 4m ? 4m 2 , 2 k

设点 P 到直线 AB 的距离为 d,则

d?

1 ? 2m ? 2m 2 1 ? 4m 2

,设 ? ABP 的面积为 S,则 S ?

1 AB ? d ? 1 ? 2(m ? m2 ) ? m ? m2 . 2

由 ? ? 4m ? 4m2 ? 0 ,得 0 ? m ? 1 .

1 2 ,则 S ? t (1 ? 2t ) . 2 1 2 设 S ? t (1 ? 2t ) , 0 ? t ? ,则 S ? ? 1 ? 6t 2 . 2
令t ?

m ? m2 , 0 ? t ?

由 S ? ? 1 ? 6t 2 ? 0 , 得t ?

6 ? 1? 6 6 ? ? 0, ? , 所以 S max ? , 故 ? ABP 的面积的最大值为 . 6 ? 2? 9 9

30.【2012 高考湖南文 21】(本小题满分 13 分) 在直角坐标系 xOy 中,已知中心在原点,离心率为 x2+y2-4x+2=0 的圆心. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程;
[

1 的椭圆 E 的一个焦点为圆 C : 2

(Ⅱ)设 P 是椭圆 E 上一点,过 P 作两条斜率之积为 相切时,求 P 的坐标. 【答案】

1 的直线 l1,l2.当直线 l1,l2 都与圆 C 2

【解析】(Ⅰ)由 x ? y ? 4 x ? 2 ? 0 ,得 ( x ? 2) ? y ? 2 .故圆C的圆心为点
2 2 2 2

x2 y 2 (2,0), 从而可设椭圆E的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 其焦距为 2c ,由题设知 a b

c ? 2, e ?

c 1 ? ,? a ? 2c ? 4, b2 ? a 2 ? c 2 ? 12. 故椭圆E的方程为: a 2

x2 y 2 ? ? 1. 16 12
( Ⅱ ) 设 点 p 的 坐 标 为 ( x0 , y0 ) , l1 , l2 的 斜 分 率 分 别 为 k1 , k2 . 则 l1 , l2 的 方 程 分 别 为

1 l1 : y ? y0 ? k1 ( x ? x0 ), l2 : y ? y0 ? k2 ( x ? x0 ), 且 k1k2 ? . 由 l1 与圆 c : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 2 相 2
切,得

2k1 ? y0? k ?1
2 1

k1 x0 ? 2,

即 同理可得

2 2 2 ? ?(2 ? x0 ) ? 2 ? ? k1 ? 2(2 ? x0 ) y0 k2 ? y0 ? 2 ? 0. 2 ? ? x0 2 ) ? ? k2 ? ?( 2 ?2 0 2 2 ? 2 ( x2 y0 ?k )2 ? y? . 0 0 2

2

0

从而 k1 , k 2 是方程 ? ?(2 ? x0 ) ? 2 ? ? k ? 2(2 ? x0 ) y0 k ? y0 ? 2 ? 0 的两个实根,于是

? (2 ? x0 )2 ? 2 ? 0, ? ? 2 2 ?? ? 8 ? ?(2 ? x0 ) ? y0 ? 2? ? ? 0, ?
且 k1k 2 ?
2 y0 ?2 ? 2. (2 ? x2 ) 2 ? 2



2 2 ? x0 y0 ? ? 1, ? 10 ? 16 12 2 由? 得 5 x0 ? 8 x0 ? 36 ? 0. 解得 x0 ? 2, 或 x0 ? . 2 1 5 ? y0 ? 2 ? 2 ? ? (2 ? x0 ) ? 2 2

由 x0 ? ?2 得 y0 ? ?3; 由 x0 ?

57 18 , 它们满足①式,故点P的坐标为 得 y0 ? ? 5 5

(?2,3) ,或 (?2, ?3) ,或 (

18 57 18 57 , ) ,或 ( , ? ). 5 5 5 5

【点评】 本题考查曲线与方程、 直线与曲线的位置关系, 考查运算能力, 考查数形结合思想、 函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程,求出 c, a, b 即得椭圆 E 的 方程,第二问设出点 P 坐标,利用过 P 点的两条直线斜率之积为

1 ,得出关于点 P 坐标的 2

一个方程,利用点 P 在椭圆上得出另一方程,联立两个方程得点 P 坐标. 31.【2012 高考湖北文 21】(本小题满分 14 分) 设 A 是单位圆 x2+y2=1 上任意一点,l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线,D 是直线 l 与 x 轴的交 点,点 M 在直线 l 上,且满足 当点 A 在圆上运动时,记点 M 的

轨迹为曲线 C。 (1)求曲线 C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标。 (2)过原点斜率为 K 的直线交曲线 C 于 P,Q 两点,其中 P 在第一象限,且它在 y 轴上的 射影为点 N, 直线 QN 交曲线 C 于另一点 H, 是否存在 m,使得对任意的 K>0, 都有 PQ⊥PH? 若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由。 21. 【答案】 解:(Ⅰ)如图 1,设 M ( x, y ) , A( x0 , y0 ) ,则由 | DM |? m | DA | (m ? 0, 且m ? 1) , 可得 x ? x0 , | y |? m | y0 | ,所以 x0 ? x , | y0 |? 因为 A 点在单位圆上运动,所以 x0 2 ? y0 2 ? 1 . 将①式代入②式即得所求曲线 C 的方程为 x2 ? 因为 m ? (0, 1) ? (1, ? ?) ,所以 当 0 ? m ? 1 时,曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆, 两焦点坐标分别为 (? 1 ? m2 , 0) , ( 1 ? m 2 , 0) ; 当 m ? 1时,曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆, 两焦点坐标分别为 (0, ? m2 ? 1) , (0,
m2 ? 1) .

1 | y |. m

① ②

y2 ? 1 (m ? 0, 且m ? 1) . m2

(Ⅱ) 解法 1: 如图 2、 3, 设 P( x1 , kx1 ) , 则 Q(? x1 , ? kx1 ) , H ( x2 , y2 ) , N (0, kx1 ) , ?k ? 0 , 直线 QN 的方程为 y ? 2kx ? kx1 ,将其代入椭圆 C 的方程并整理可得
(m2 ? 4k 2 ) x2 ? 4k 2 x1 x ? k 2 x12 ? m2 ? 0 .

依题意可知此方程的两根为 ? x1 , x2 ,于是由韦达定理可得
? x1 ? x2 ? ? 4k 2 x1 m2 x1 ,即 . x ? 2 m2 ? 4k 2 m2 ? 4k 2 2km2 x1 . m 2 ? 4k 2

因为点 H 在直线 QN 上,所以 y2 ? kx1 ? 2kx2 ?

??? ? ???? 4k 2 x 2km2 x1 于是 PQ ? (?2 x1 , ? 2kx1 ) , PH ? ( x2 ? x1 , y2 ? kx1 ) ? (? 2 1 2 , 2 ). m ? 4k m ? 4k 2

??? ? ???? 4(2 ? m2 )k 2 x12 而 PQ ? PH 等价于 PQ ? PH ? ? 0, m 2 ? 4k 2 即 2 ? m2 ? 0 ,又 m ? 0 ,得 m ? 2 , y2 故存在 m ? 2 ,使得在其对应的椭圆 x2 ? ? 1 上,对任意的 k ? 0 , 2 都有 PQ ? PH . y y y H A H N P N P M

O

D

x
Q

O

x
Q

O

x

图1

图 2 (0 ? m ? 1) 第 21 题解答图

图 3 (m ? 1)

解法 2:如图 2、3, ?x1 ? (0, 1) ,设 P( x1 , y1 ) , H ( x2 , y2 ) ,则 Q(? x1 , ? y1 ) ,
N (0, y1 ) ,
? m 2 x12 ? y12 ? m 2 , ? 因为 P , H 两点在椭圆 C 上,所以 ? 2 2 两式相减可得 2 2 ? ? m x2 ? y2 ? m ,

m2 ( x12 ? x22 ) ? ( y12 ? y22 ) ? 0 .



依题意,由点 P 在第一象限可知,点 H 也在第一象限,且 P , H 不重合, 故 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 0 . 于是由③式可得
( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?m2 . ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 )


2 y1 y1 ? y2 . ? x1 x1 ? x2

又 Q , N , H 三点共线,所以 kQN ? kQH ,即 于是由④式可得 kPQ ? kPH ?

y1 y1 ? y2 1 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) m2 . ? ? ? ?? x1 x1 ? x2 2 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) 2

而 PQ ? PH 等价于 kPQ ? kPH ? ?1 ,即 ?

m2 ? ?1 ,又 m ? 0 ,得 m ? 2 , 2 y2 ? 1 上,对任意的 k ? 0 ,都有 2

故存在 m ? 2 ,使得在其对应的椭圆 x2 ?
PQ ? PH .

【解析】本题考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系;考查分类讨论的数学思想 以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型,求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论, 不要漏解;对于探讨性问题一直是高考考查的热点,一般先假设结论成立,再逆推所需要求 解的条件,对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求. 32.【2012 高考全国文 22】(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) 已知抛物线 C : y ? ( x ? 1) 与圆 M : ( x ? 1) ? ( y ? ) ? r (r ? 0) 有一个公共点 A ,
2

2

1 2

2

2

且在点 A 处两曲线的切线为同一直线 l . (Ⅰ)求 r ; (Ⅱ)设 m 、 n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线, m 、 n 的交点为 D ,求 D 到 l 的 距离。 【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程,以及两个曲线的公共点处的切线的运用,并 在此基础上求解点到直线的距离。 解:(1)设 A( x0 , ( x0 ? 1) ) ,对 y ? x ? ( x ? 1) 求导得 y? ? 2( x ? 1) ,故直线 l 的斜率
2

2

k ? 2( x0 ? 1) ,当 x0 ? 1 时,不合题意,所心 x0 ? 1

圆心为 M (1, ) , MA 的斜率 k ? ?

1 2

( x0 ? 1) 2 ? x0 ? 1

1 2

由 l ? MA 知 kk ? ? ?1 ,即 2( x0 ? 1) ?

( x0 ? 1) 2 ? x0 ? 1

1 2 ? ?1 ,解得 x ? 0 ,故 A(0,1) 0

所以 r ?| MA |?

1 5 (1 ? 0) 2 ? ( ? 1) 2 ? 2 2
2 2

(2)设 (a,( a ? 1 ) ) 为 C 上一点,则在该点处的切线方程为 y ? (a ? 1) ? 2(a ? 1)( x ? a) 即

y ? 2(a ? 1) x ? a 2 ? 1
若该直线与圆 M 相切,则圆心 M 到该切线的距离为

5 ,即 2

1 | 2(a ? 1) ?1 ? ? a 2 ? 1| 5 2 2 2 ? ,化简可得 a (a ? 4a ? 6) ? 0 2 2 2 [2(a ? 1)] ? (?1)
求解可得 a0 ? 0, a1 ? 2 ? 10, a2 ? 2 ? 10 抛物线 C 在点 (ai , (ai ? 1) )(i ? 0,1, 2) 处的切线分别为 l , m, n ,其方程分别为
2

y ? 2 x ? 1 ① y ? 2(a1 ? 1) x ? a12 ? 1 ②
②-③得 x ?

y ? 2(a2 ? 1) x ? a2 2 ? 1 ③

a1 ? a2 ? 2 ,将 x ? 2 代入②得 y ? ?1 ,故 D(2, ?1) 2
| 2 ? 2 ? ( ?1) ? 1| 2 ? ( ?1)
2 2

所以 D 到直线 l 的距离为 d ?

?

6 5 。 5

【点评】该试题出题的角度不同于平常,因为涉及的是两个二次曲线的交点问题,并且要研 究两曲线在公共点出的切线,把解析几何和导数的工具性结合起来,是该试题的创新处。另 外对于在第二问中更是难度加大了, 出现了另外的两条公共的切线, 这样的问题对于我们以 后的学习也是一个需要练习的方向。 33.【2012 高考辽宁文 20】(本小题满分 12 分)
2 2 2 如图,动圆 C1 : x ? y ? t ,1<t<3,

与椭圆 C2 :

x2 ? y 2 ? 1 相交于 A, B, C, D 四点, 点 A1 , A2 9

分别为 C2 的左,右顶点。 (Ⅰ)当 t 为何值时,矩形 ABCD 的面积取得最大值?并求出其最大面积; (Ⅱ)求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程。 【命题意图】本题主要考查直线、圆、椭圆的方程,椭圆的几何性质,轨迹方程的求法,考 查函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力,难度较大。 【解析】(Ⅰ)设 A( x0 , y0 ),则矩形 ABCD 的面积 S= 4 | x0 | y0 | ,
2 x0 x2 2 2 ? y0 ? 1 得, y0 ? 1? 0 , 9 9
2 1 2 9 2 9 x0 ? ) ? , ) = ? ( x0 9 9 2 4



2 ∴ x0 y0 = x0 (1 ?

2

2

当 x0 ?
2

9 1 2 , y0 ? 时, S max =6, 2 2
??6 分

∴ t = 5 时,矩形 ABCD 的面积最大,最大面积为 6. (Ⅱ) 设 A ? x1 ,y1 ? ,B ? x1 ,-y1 ? ,又知 A1 ? -3,0 ? ,A2 ? 3,0 ? ,则 直线 A1 A 的方程为 直线 A2 B 的方程为 由①②得

y1 ? x +3? x1 +3 -y y = 1 ? x-3? x1 -3 y=
y2 = - y12 x 2 -32 ? 2 2 ? x1 -3

① ② ③

由点 A ? x1 ,y1 ? 在椭圆 C0 上,故可得

x12 ? x12 2 ? y = 1+ y =1 ,从而有 ,代入③得 ? 1 1 2 ? 32 ? 3 ?

x2 2 -y =1? x <-3,y <0 ? 9 x2 2 -y =1? x <-3,y <0 ? ∴直线 AA1 与直线 A2 B 交点 M 的轨迹方程为 9
??12 分

【解析】本题主要考查直线、圆、椭圆的方程,椭圆的几何性质,轨迹方程的求法,考查函 数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力,难度较大。 34.【2012 高考江西文 20】(本小题满分 13 分) 已 知 三 点 O ( 0,0 ) , A ( -2,1 ) , B ( 2,1 ) , 曲 线 C 上 任 意 一 点 M ( x,y ) 满 足

(1)求曲线 C 的方程;

(2)点 Q(x0,y0)(-2<x0<2)是曲线 C 上动点,曲线 C 在点 Q 处的切线为 l,点 P 的坐标是 (0,-1),l 与 PA,PB 分别交于点 D,E,求△QAB 与△PDE 的面积之比。 【解析】 (1)MA ? (?2 ? x,1 ? y ) ,MB ? (2 ? x,1 ? y ) ,OM ? ( x, y ) , OA ? OB ? (0, 2)
2 2 2 代入式子可得 4 x ? 4(1 ? y ) ? 2 y ? 2 整理得 x ? 4 y

????

????

???? ?

? ??? ? ???

(2)设 Q( x0 ,

2 x0 x2 ) ;则 S ?QAB ? 2(1 ? 0 ) , kl ? y? 4 4

x ? x0

?

x0 2

2 2 2 x0 x0 x0 x0 得: l : y ? ? ( x ? x0 ) 交 y 轴于点 M (0, ? ) ? PM ? 1 ? 4 2 4 4 2 x0 x ? 0 ( x ? x0 ) 联立: 4 2

lPA : x ? y ? 1 ? 0, lPB : x ? y ? 1 ? 0 与 l : y ?
可求 xD ?

x0 ? 2 x ?2 , xE ? 0 ? xD ? xE ? 2 2 2

x2 1 ? S?PDE ? ? xD ? xE ? PM ? 1 ? 0 2 4 ? SQAB : S?PDE ? 2
35.【2012 高考四川文 21】(本小题满分 12 分) 如图,动点 M 与两定点 A(?1, 0) 、 B(1,0) 构成 ?MAB ,且直线 MA、MB 的斜率之积

y

M

A
为 4,设动点 M 的轨迹为 C 。 (Ⅰ)求轨迹 C 的方程;

O B

x

(Ⅱ)设直线 y ? x? m ( m ? 0 )与 y 轴 交 于 点 P , 与 轨 迹 C 相 交 于 点 Q、R , 且

| P Q |? | P R,求 |

| PR | 的取值范围。 | PQ |

[解析](1)设 M 的坐标为(x,y),当 x=-1 时,直线 MA 的斜率不存在;当 x=1 时,直线 MB 的斜率不存在。 于是 x≠1 且 x≠-1.此时,MA 的斜率为 由题意,有

y y ,MB 的斜率为 . X ?1 x ?1

y y · =4 X ?1 x ?1

化简可得,4x2-y2-4=0 故动点 M 的轨迹 C 的方程为 4x2-y2-4=0(x≠1 且 x≠-1)…………………………4 分

18.由 ?

?y ? x ? m ?4 x ? y ? 4 ? 0
2 2

消去 y,可得 3x2-2mx-m2-4=0. (﹡)

对于方程(﹡),其判别式

?

=(-2m)2-4× 3(-m2-4)=16m2+48>0

而当 1 或-1 为方程(*)的根时,m 的值为-1 或 1. 结合题设(m>0)可知,m>0,且 m≠1 设 Q、R 的坐标分别为(XQ,YQ),(XR,YR),则为方程(*)的两根. 因为 PQ ? PR ,所以

X

Q

?

X
2

R



X

Q

?

m?2

m
3

2

?3

,XP?

m?2

m
3

2

?3

PR 所以 ? PQ

X X
2

2 1?
P R

3

?

m

?1 ? 1? 2 1?

2 3

3 2 1? 2 ?1 m
3
2


2

m

?1

此时 1 ?

3

m

? 1, 且 1 ?

m

?2

所以 1 ? 1 ?

2 2 1? 3

? 3, 且1 ?
2

2 2 1? 3

?
2

m
R P

?1
PR PQ

m
?

?1

5 3

所以 1 ?

PR PQ

?

X X

? 3, 且

?

X X

R P

5 3

综上所述,

5 5 的取值范围是( 1, ) ? ( , 3) …………………………12 分 PQ 3 3

PR

[点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识,考察思维能力、运算能 力,考察函数、分类与整合等思想,并考察思维的严谨性。 36.【2012 高考重庆文 21】本小题满分 12 分,(Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 7 分) 已知椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴 上,上顶点为 A ,左、右焦点分别为

F1 , F2 ,线段 OF1 , OF2

的中点分别为

B1 , B2 , 且△ AB1 B2 是面积为 4 的直角三
角形。(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方 程;(Ⅱ)过 B1 作直线交椭圆于 P, Q ,

PB2 ? QB2 ,求△ PB2Q 的面积

x2 y2 16 10 【答案】:(Ⅰ) + =1(Ⅱ) 9 20 4

, OA ? B1B2 |

(*) 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ),
?16 m2 ? 5 ? ? ? ? B1 ? P 2 ( B ? y1 ? y2 ?
? y1 y2

则 y1 , y2 是上面方程的两根,因此 y1 ? y2 ? 又
???? ???? ? B1 P ? ( x1 ? 2, y1 ), B2 P ? ( x2 ? 2, y2 ) ? ? 2 ? x 2 )
? (m 2 ? 1) y1 y2

4m , m2 ? 5







? ? ? P2 1? ) x (

? (my1 ? 4)(my2 ? 4) ? y1 y2

?4m( y1 ? y2 ) ? 16

?16(m2 ? 1) 16m2 ? ? 2 ? 16 m2 ? 5 m ?5 ?? 16m 2 ? 64 由 PB2 ? QB2 m2 ? 5

,知 B2 P ? B2Q ? 0 ,即 16m2 ? 64 ? 0

???? ? ???? ?

,解得

m ? ?2

当 m ? 2 时,方程(*)化为: 9 y 2 ? 8 y ? 16 ? 0 故 y1 ?
4 ? 4 10 4 ? 4 10 8 10 , y2 ? , | y1 ? y2 |? 9 9 9 1 16 10 | B1 B2 || y1 ? y2 |? 2 9

? PB2Q 的面积 S ?

当 m ? ?2

时,同理可得(或

由对称性可得)? PB2Q 的面积 S ?
16 10 。 9

16 10 综上所述,? PB2Q 的面积为 9

37.【2012 高考陕西文 20】(本小题满分 13 分)

x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率。 已知椭圆 C1 : 4
(1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程。

??? ?

??? ?

y 2 x2 ? 1? a ? 2 ? , 【解析】(Ⅰ)由已知可设椭圆 C2 的方程为 2 ? a 4
其离心率为 2 ,故 故椭圆
C2
3

a2 ? 4 3 a ? 4. ? a 2 ,则

y2 x2 . 的方程为 16 ? 4 ? 1

(Ⅱ)解法一: A,B 两点的坐标分别为 ? xA,y A ?, ? xB,yB ? , 由 AB ? 2OA 及(Ⅰ)知, O,A ,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上, 因此可设直线 AB 的方程为 y ? kx .

??? ?

??? ?

x2 4 2 ? y 2 ? 1 中,得 ?1 ? 4k 2 ?x 2 ? 4 ,所以 x A 将 y ? kx 代入 , ? 4 1 ? 4k 2

将 y ? kx 代入

y2 x2 16 2 , + ? 1 中,得 ? 4 ? k 2 ? x 2 ? 16 ,所以 xB ? 16 4 4 ? k2
2 2

又由 AB ? 2OA ,得 x B ? 4 x A ,即

??? ?

??? ?

16 16 . ? 2 4?k 1 ? 4k 2

解得 k ? ?1 ,故直线 AB 的方程为 y ? x 或 y ? ? x . 解法二: A,B 两点的坐标分别为 ?x A , y A ?, ?x B , y B ? , 由 AB ? 2OA 及(Ⅰ)知, O,A ,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上, 因此可设直线 AB 的方程为 y ? kx . 将 y ? kx 代入

x2 4 2 ? y 2 ? 1 中,得 ?1 ? 4k 2 ?x 2 ? 4 ,所以 x A , ? 4 1 ? 4k 2 16 k 2 16 2 y ? , , B 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

2 又由 AB ? 2OA ,得 x B ?

??? ?

??? ?

y2 x2 4? k2 将 x , y 代入 ? ?1 ? 1 ,即 4 ? k 2 ? 1 ? 4k 2 , 2 中,得 16 4 1 ? 4k
2 B 2 B

解得 k ? ?1 ,故直线 AB 的方程为 y ? x 或 y ? ? x


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