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湖北省武汉二中2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试卷


武汉二中 2015-2016 学年度上学期期末考试

高二理科数学试卷
考试时间: 2016 年 1 月 27 日上午 8: 00——10: 00 试卷满分: 150 分 一、选择题: (本大题共 12 小题; 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一个选项是符合题目要求的, 把正确选项的代号填在答题卡上. ) 1.两个事件对立是两个事件互斥的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系, 根据一组样本数 据(xi, yi) ^ (i=1,2, …, n), 用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x-85.71, 则下列结论中不 正确 . 的是( ) B.回归直线过样本点的中心( x , y )

A.y 与 x 具有正的线性相关关系

C.若该大学某女生身高增加 1 cm, 则其体重约增加 0.85 kg D.若该大学某女生身高为 170 cm, 则可断定其体重必为 58.79 kg 3.下列命题正确的是( ) A.若 p , q 为两个命题, 则“ p 且 q 为真”是“ p 或 q 为真”的必要不充分条件; B.若 p 为: ?x ? R, x ? 2 x ? 0 , 则
2

? p 为: ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 0 ;
?

C.命题 p 为真命题, 命题 q 为假命题。则命题 p ? ( q ) , (?p ) ? q 都是真命题; D.命题“若

? p , 则 ”的逆否命题是“若 , 则 ?q ”. q p

4.从 2003 件产品中选取 50 件, 若采用下面的方法选取: 先用简单随机抽样从 2003 件产品中 剔除 3 件, 剩下的 2000 件再按系统抽样的方法抽取, 则每件产品被选中的概率 ( ) A.不都相等 B.都不相等 C.都相等, 且为

50 2003

D.都相等, 且为

1 40

5.在下列命题中:

b 共线, 则向量 a、 b 所在的直线平行; ①若向量 a、 b 所在的直线为异面直线, 则向量 a、 b 不共面; ②若向量 a、 b、 c 两两共面, 则向量 a、 b、 c 共面; ③若三个向量 a、 ??? ??? ?? ??

??

??

b、 c , 则对于空间的任意一个向量 p , 总存在实数 ④已知空间不共面的三个向量 a、
? ? ? ? ? x, y, z , 使得 p ? xa ? yb ? zc ;其中正确的命题的个数是(
A.0 B. 1 C. 2 ) D. 3

???

? ?

6. 一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为 a, b, c , 当且仅当其中有两个数字的和 等于第三 个数字时称为“有缘数”(如 213, 341 等). 若 a, b, c ? ?1, 2,3, 4? , 且 a, b, c 互不相同, 任取 一个三位 自然数, 则它是“有缘数”的概率是( A. ) C.

1 2
? ? ?? ??

B.

1 3

2 3
)

D.

3 4

7. 如果 ξ~B ? ??, ? , 则使 P(ξ=k)取最大值时的 k 值为( A.5 或 6 C.7 或 8 B.6 或 7 D.以上均错

8. 已知实数 x ? ?1,9? , 执行如图所示的程序框图, 则输出的 x 不 小于 55 的概率为( ) B.
2

5 A. 8
9. 若 ax ? x ? y

3 8

C.

2 3
5 2

D.

1 3
)

?

?

5

的展开式的各项系数和为 243,则 x y 的系数为(

A.10 B.20 C.30 D.60 10. 若某同学连续三次考试的名次(第一名为 1,第二名为 2,依次类推且可以有名次并列情况) 均不超过 3,则称该同学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续三次考 试的名次数据, 推断一定不是尖子生的是( ) A.甲同学:均值为 2, 中位数为 2 B.乙同学:均值为 2, 方差小于 1 C.丙同学:中位数为 2, 众数为 2 D.丁同学:众数为 2, 方差大于 1 11. 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为

3 4 和 , 且各次射击相互独立, 若按甲、 4 5

乙、甲、乙……的次序轮流射击, 直到有一人击中目标就停止射击, 则停止射击时, 甲 射击了两次的概率是( ) A.

3 80

B.

9 20

C.

9 25

D.

19 400

12. 已知双曲线的左、右焦点分别是 F1、F2 ,过 F2 的直线交双曲线的右支于 P、Q 两点,若

PF1 ? F1 F2 ,且 3 PF2 ? 2 QF2 ,则该双曲线的离心率为(
A.

) D.

4 3

B.

10 3

C.2

7 5

二、 填空题: (本大题共有 4 个小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 把正确答案填在答题卡的相应位 置. ) 13. 有 5 名数学实习老师,现将他们分配到高二年级的三个班实习,每班至少 1 名,最多 2 名,则 不同的分配方案有 种(用数字作答) . 14.甲、乙两个小组各 10 名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示.现从这 20 名学生

中随机抽取一人, 将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件 A ;“抽出的学生英语口语测 试 成 绩 不 低 于 85 分 ” 记 为 事 件 B . 则 P A B 的 值 是 ________.

?

?

第 14 题 第 15 题 15. 在一个正方体错误!未找到引用源。中, 错误!未找到引用源。为正方形错误!未找到 引用源。四边上的动点, 错误!未找到引用源。为底面正方形错误!未找到引用源。的 中心, 错误!未找到引用源。分别为错误!未找到引用源。的中点, 点错误!未找到引 用源。为平面错误!未找到引用源。内一点, 线段错误!未找到引用源。与错误!未找 到引用源。互相平分, 则满足错误!未找到引用源。的实数错误!未找到引用源。的值 有_____个 16. 已知圆 P:x ? y ? 4 y 及抛物线 S:x ? 8 y ,过圆心 P 作直线 l ,此直线与上述两曲线
2 2 2

的四个交点自左向右顺次记为 A、B、C、D ,如果线段 AB、BC、CD 的长度按此顺 序构成一个等差数列,则直线 l 的斜率为____________ 三、解答题: (本大题共 6 个小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. ) 17. (本小题满分 10 分)已知命题 p:方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆;命题 q: 2m m ? 1

双曲线

y2 x2 ? ? 1 的离心率 e ? (1,2) , 若 p、q 有且只有一个为真, 求 m 的取值范围. 5 m
2

18. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? x ? bx ? c , 其中 b, c 是某范围内的随机数, 分别在下 列条件下, 求事件 A “ f (1) ? 5 且 f (0) ? 3 ”发生的概率. (1) 若随机数 b, c ? {1, 2,3, 4} ; (2) 已 知 随 机 函 数 Rand() 产 生 的 随 机 数 的 范 围 为 x 0 ? x ? 1 , b, c 是 算 法 语 句

?

?

b ? 4 ? Rand() 和 c ? 4 ? Rand() 的执行结果.(注: 符号“ ? ”表示“乘号”)
19. (本小题满分 12 分) 如图, 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC ,顶点 A1 在底面 ABC 上 的射影恰为点 B , 且 AB ? AC ? A1B ? 2. (1) 证明:平面 A1 AC ? 平面 AB1B; (2) 求棱 AA1 与 BC 所成的角的大小; (3) 若点 P 为 B1C1 的中点, 并求出二面角 P ? AB ? A1 的平面角的余弦值.

20.(本小题满分 12 分)某市一高中经过层层上报, 被国家教育部认定为 2015 年全国青少年足球特色学校.该校成立了特色足球队, 队员来自高中三个年级, 人数为 50

人.视力对踢足球有一定的影响, 因而对这 50 人的视力作一调查.测量这 50 人的视力(非 矫正视力)后发现他们的视力全部介于 4.75 和 5.35 之间, 将测量结果按如下方式分成 6 组:第一组 ? 4.75, 4.85 ? , 第二组 ? 4.85, 4.95 ? , …,第 6 组 ?5.25,5.35? ,下图是按上述分组 方法得到的频率分布直方图.又知:该校所在的省中, 全省喜爱足球的高中生视力统计调 查数据显示:全省 100000 名喜爱足球的高中生的视力服从正态分布 N ? 5.01, 0.0064 ? . ⑴试评估该校特色足球队人员在全省喜爱足球的高中生中 的平均视力状况; ⑵求这 50 名队员视力在 5.15 以上(含 5.15)的人数; ⑶在这 50 名队员视力在 5.15 以上(含 5.15)的人中任意抽取 2 人, 该 2 人中视力排名(从高到低)在全省喜爱足球的高中生中前 130 名的 人数记为 ? ,求 ? 的数学期望. 参考数据:若 ? ~N( ? ,

? 2), 则 P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0.6826,

P ? ? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ? ? 0.9544 , P ? ? ? 3? ? ? ? ? ? 3? ? ? 0.9974
21. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y2 6 , 以原点 O 为圆 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 3

心, 椭圆 C 的长半轴这半径的圆与直线 2 x ? 2 y ? 6 ? 0 相切. (1)求椭圆 C 标准方程; (2)已知点 A, B 为动直线 y ? k ( x ? 2)( k ? 0) 与椭圆 C 的两个交点, 问: 在 x 轴上是否存 在点 E , 使 EA ? EA ? AB 为定值?若存在, 试求出点 E 的坐标和定值, 若不存在, 说明理由.

??? ?2

??? ? ??? ?

22. (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 Q (1, 2), P 是动点, 且三角形 POQ 的三边所在直线的斜率满足

1 1 1 ? ? . (1)求点 P 的轨迹 C 的方程;(2)过 kOP kOQ k PQ

点 D(1,0) 任作两条互相垂直的直线 l1 , l2 , 分别交轨迹 C 于点 A, B 和 M, N, 设线段

AB, MN 的中点分别为 E , F ,
求证:直线 EF 恒过一定点.

武汉二中 2015-2016 学年度上学期期末考试

高二理科数学参考答案
一、选择题: 1-5 ADBCB 二、填空题 13. 90 14. 6-10 ABBCD 11-12 DD

5 9

15.2

16. ?

2 2

三、解答题: 17. 解:将方程

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 改写为 ? ? 1, 2m m ? 1 2m 1 ? m
1 时, 方程表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆, 所以命题 3

只有当 1 ? m ? 2m ? 0, 即 0 ? m ? p 等价于 0 ? m ?

1 ;………………………………………………………………………4 分 3

y2 x2 因为双曲线 ? ? 1 的离心率 e ? (1,2) , 5 m
所以 m ? 0 ,且 1 ?

5?m ? 4 ,解得 0 ? m ? 15 ,…………………………………6 分 5
……………………………………………………8 分

所以命题 q 等价于 0 ? m ? 15 ;

若 p 真 q 假,则 m ? ? ;若 p 假 q 真,则 综上: m 的取值范围为
2

1 ? m ? 15 3

1 ? m ? 15 ………………………………………………………10 分 3

18.解:由 f ( x) ? x ? bx ? c 知,事件 A “ f (1) ? 5 且 f (0) ? 3 ”,即 ?

?b ? c ? 4 · · · · · 1分 .· ? c?3

(1) 因为随机数 b, c ? {1, 2,3, 4} ,所以共等可能地产生 16 个数对 (b, c) ,列举如下:

(1,1), (1, 2), (1,3), (1, 4), (2,1), (2, 2), (2,3), (2, 4), (3,1), (3, 2), (3,3), (3, 4) , (4,1), (4, 2), (4,3), (4, 4).
事件 A : ? 4分

?b ? c ? 4 包含了其中 6 个数对 (b, c) ,即: (1,1), (1, 2), (1,3), (2,1), (2, 2), (3,1). ? c?3
6 3 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ? ,即事件 A 发生的概率为 . · 16 8 8

所以 P ( A) ?

(2) 由题意, b, c 均是区间 [0, 4] 中的随机数,产生的点 (b, c) 均匀地分布在边长为 4 的正方

形区域 ? 中(如图) ,其面积 S (?) ? 16 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分

事件 A : ?

?b ? c ? 4 所对应的区域为如图所示的梯形(阴影部分) , ? c?3

c
4 3
(1,3)

1 15 其面积为: S ( A) ? ? (1 ? 4) ? 3 ? .10 分 2 2

15 S ( A) 2 15 15 所以 P ( A) ? ,即事件 A 的发生概率为 ? ? . 12 分 S (?) 16 32 32
? A1 B ? 面 ABC AB ? AC , AB ? A1 B ? B ,? AC ? 面AB1 B , 4分 ? AC ? 面A1 AC ,? 平面A1AC ? 平面AB1 B .
19. 解 : ⑴ 证 明 : ⑵以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系, 则 C ? 2, 0, 0 ? , B ? 0, 2, 0 ? , A1 ? 0, 2, 2 ? , B1 ? 0, 4, 2 ? , C1 ? 2, 2, 2 ? , ???? ??? ? ????? AA1 ? ? 0, 2, 2 ? , BC ? B1C1 ? ? 2, ?2, 0 ? , ???? ??? ? ????????? ??? ? AA1 ?BC ?4 1 cos AA1 , BC ? ???? ??? ?? , ? ? 2 8 8 AA1 ?BC ,

O

4

b

? A1 B ? AC

,



故 AA1 与棱 BC 所成的角是

?
3

.

8分

⑶因为 P 为棱 B1C1 的中点,故易求得 P ?1,3, 2 ? .设平面 PAB 的法向量为 n1 ? ? x, y, z ? ,

??

??? ? ?? ??? ? ? ?? ? AP ? ?1,3, 2 ? ? x ? 3 y ? 2 z ? 0 n ? AP ? 0, ? ? 1 则 ? ?? ??? ,由 ? ??? ,得 ? ,令 z ? 1 ,则 n1 ? ? ?2, 0,1? , ? ? 2y ? 0 ? ? ? n1 ?AB ? 0 ? AB ? ? 0, 2, 0 ? ? ?? ?? ? ?? ? ?? ?? ? n1 ?n2 2 2 5 而平面 ABA1 的法向量 n2 ? ?1, 0, 0 ? .则 cos n1 , n2 ? ?? ?? . ?? ? ?? 5 5 n1 ?n2

由图可知二面角 P ? AB ? A1 为锐角,故二面角 P ? AB ? A1 的平面角的余弦值是

2 5 . 12 5

分 20.解:⑴由频率分布直方图知, 该校特色足球队人员平均视力为 4.8 ? 0.1+4.9 ? 0.2+5.0 ? 0.3+5.1 ? 0.2+5.2 ? 0.1+5.3 ? 0.1=5.03 高于全省喜爱足球的高中生的平均值 5.01. 4分 ⑵由频率分布直方图知,后两组队员的视力在 5.15 以上(含 5.15),其频率为 0.2,人数为 0.2 ? 50=10,即这 50 名队员视力在 5.15 以上(含 5.15)的人数为 10 人. 6分 ⑶? P ? 5.01 ? 3 ? 0.08 ? ? ? 5.01 ? 3 ? 0.08 ? ? 0.9974 ,即 P ? 4.77 ? ? ? 5.25 ? ? 0.9974 ,

? P ?? ? 5.25 ? ?

1 ? 0.9974 ? 0.0013 , 0.0013 ?100000 ? 130 . 2

8分

所以全省喜爱足球的高中生中前 130 名的视力在 5.25 以上.这 50 人中视力在 5.25 以上的有 0.1 ? 50=5 人,这 50 名队员视力在 5.15 以上(含 5.15)的人分为两部分:5 人在 5.25 以上,5 人在 5.15 ? 5.25. 9分 ? 随机变量 ? 可取 0,1,2,于是

1 1 C52 10 2 C5 C5 25 5 C52 10 2 , , ? ? P ? ? 1 ? ? ? P ? ? 2 ? ? ? . ? ? ? ? 2 2 2 C10 45 9 C10 45 9 C10 45 9 2 5 2 12 分 ? E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 1 . 9 9 9

P ?? ? 0 ? ?

21. 解答.(1)由 e ?

6 c 6 6 得 ? ,即 c ? a a 3 3 3


2 2 2

………1 分

又以原点 O 为圆心,椭圆 C 的长轴长为半径的圆为 x ? y ? a 且与直线 2 x ? 2 y ? 6 ? 0 相切, 所以 a ?

6 2 ? (? 2 )
2 2

? 6 代入①得 c=2,
x2 y 2 ? ?1 6 2

………2 分

所以 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 .所以椭圆 C 的标准方程为

………4 分

? x2 y 2 ? ? ? 1 得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12k 2 x ? 12k 2 ? 6 ? 0 (2)由 ? 6 2 ? ? y ? k ( x ? 2)
设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,所以 x1 ? x 2 ? 根据题意,假设 x 轴上存在定点 E(m,0), 使得 EA ? EA ? AB ? ( EA ? AB) ? EA ? EA ? EB 为定值.
2

………6 分

12k 2 12k 2 ? 6 , x x ? 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

………8 分

则 EA ? EB ? ? x1 ? m, y1 ? ? ? x 2 ? m, y 2 ? ? ( x1 ? m)? x 2 ? m ? ? y1 y 2 ………9 分 = k ? 1 x1 x 2 ? 2k ? m ? x1 ? x 2 ? ? 4k ? m
2 2 2

?

?

?

?

?

2

? ? ?3m

2

? 12m ? 10 k 2 ? m 2 ? 6 1 ? 3k 2

?

?

?

要使上式为定值,即与 k 无关, 3m ? 12m ? 10 ? 3 m ? 6 ,
2 2

?

?

………10 分

5 , 9 2 7 5 所以在 x 轴上存在定点 E( ,0) 使得 EA ? EA ? AB 为定值,且定值为 ? . 3 9
得m ? ……11 分 此时, EA ? EA ? AB ? m 2 ? 6 ? ?
2

7 . 3

……12

分 22.解:⑴设点 P 的坐标为 P ? x, y ? ,则 kOP ?

1 1 1 y y?2 ? ? . , kOQ ? 2 , k PQ ? ,由 kOP kOQ k PQ x x ?1



x 1 x ?1 2 .整理得点 P 的轨迹的方程为. y ? 4 x ? y ? 0, y ? 2 ? . ? ? y 2 y?2

4分

⑵设点 A, B 的坐标为 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则点 E 的坐标为 ? 由题意可设直线 l1 的方程为 y ? k ? x ? 1?? k ? 0 ? 由
2 ? ? y ? 4x ? ? ? y ? k ? x ? 1?

? x1 ? x2 y1 ? y2 ? , ?. 2 ? ? 2


2



y



k 2 x 2 ? ? 2k 2 ? 4 ? x ? k 2 ? 0 , ? ? ? 2k 2 ? 4 ? ? 4k 4 ? 16k 2 ? 16 ? 0
因为直线 l1 与抛物线交于 A,B 两点,所以 x1 ? x2 ? 2 ? 所以点 E 的坐标为 ? 1 ?

4 4 , y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? 2 ? ? , 2 k k

? ?

2 2? , ?. k2 k ?

1 ,同理可得 F 的坐标为 ?1 ? 2k 2 , ?2k ? . k 2 ? 2k k 2 k 当 k ? ?1 时,有 1 ? 2 ? 1 ? 2k 2 .此时直线 EF 的斜率为: k EF ? ? 2 2 k 1 ? 2 ? 1 ? 2k 2 1 ? k k k k 所以直线 EF 的方程为 y ? 2k ? x ? 1 ? 2k 2 ? ,整理得 y ? ? x ? 3? . 2 ? 1? k 1? k 2
由题知,直线 l2 的斜率为 ? 于是直线 EF 恒过定点 ? 3, 0 ? , 当 k ? ?1 时,直线 EF 的方程为 x ? 3 ,也过点 ? 3, 0 ? . 综上所述,直线 EF 恒过定点 ? 3, 0 ? . 12 分


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