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判别一元二次方程根的情况


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课题:22.2.2 判别一元二次方程根的情况 用 b2-4ac>0、b2-4ac=0、b2-4ac<0 判别 ax2 ? bx ? c ? 0 (a≠0)的根的情况及其运 用。

知识与能力:掌握 b2-4ac>0 时, ax2 ? bx ? c ? 0 (a≠0)有两个不相等的实根,反 之也成立;b2-4ac=0 时, ax2 ? bx ? c ? 0 (a≠0)有两个相等的实数根,反之也成 立;b2-4ac<0 时, ax2 ? bx ? c ? 0 (a≠0)没有实数根,反之也成立;及其它们关 系的运用。 过程与方法:通过复习用配方法解一元二次方程的 b2-4ac>0、b2-4ac=0、b2-4ac<0 各一题,分析它们根的情况,从具体到一般,给出三个结论并应用它们解决一些具 体题目。 情感态度价值观:领会降次──转化的数学思想。

重、 难 教学重点 b2-4ac>0 ? 一元二次方程有两个不相等的实根;b2-4ac=0 ? 一元二次方 点 分 程有两个相等的实数;b2-4ac<0 ? 一元二次方程没有实根. 析 教学难点与关键 从具体题目来推出一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a≠0)的

b2-4ac 的情况与根的情况的关系。 教 与 多媒体演示、小黑板 学 的 准备 教学过程 一、复习引入 (学生活动)用公式法解下列方程。 (1)2 x 2-3 x =0 (2)3 x 2-2 3 x +1=0 (3)4 x 2+ x +1=0

老师点评, (三位同学到黑板上作)老师只要点评( 1)b2-4ac=9>0,?有两个不相等的 实数根; (2)b2-4ac=12-12=0,有两个相等的实根; (3)b2-4ac=1-4×4×1<0,?方程没有 实数根。 二、探索新知 方程 b2-4ac 值 2 x 2-3 x =0 的 b2-4ac 的符 号

x 1、 x 2 的关系(填相等、不等或不
存在)

3 x 2-2 3 x +1=0 4 x 2+ x +1=0 请观察上表,结合 b2-4ac 的符号,归纳出一元二次方程的根的情况。证明你的猜想。 从前面的具体问题,我们已经知道 b2-4ac>0(<0,=0)与根的情况,现在我们从求 根公式的角度来分析: 求根公式: x =

?b ? b2 ? 4ac ,当 b2-4ac>0 时,根据平方根的意义, b2 ? 4ac 等于一 2a ?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac ≠ x 1= ,即有两个不相等 2a 2a
?b ,即有两个 2a

个具体数,所以一元一次方程的 x 1=

的实数根。当 b2-4ac=0 时,?根据平方根的意义 b2 ? 4ac =0,所以 x 1= x 2=

相等的实根;当 b2-4ac<0 时,根据平方根的意义,负数没有平方根,所以没有实数解。 因此, (结论) (1)当 b2-4ac>0 时,一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a≠0)?有两个不 相等实数根即 x1=

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac ,x2= 。 2a 2a

( 2 )当 b-4ac=0 时,一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ≠ 0 )有两个相等实数根即

x 1 = x 2=

?b 。 2a

(3)当 b2-4ac<0 时,一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a≠0)没有实数根。 例 1、不解方程,判定方程根的情况 (1)16 x 2+8 x =-3 (3)2 x 2-9 x +8=0 (2)9 x 2+6 x +1=0 (4) x 2-7 x -18=0

分析:不解方程,判定根的情况,只需用 b2-4ac 的值大于 0、小于 0、等于 0?的情况 进行分析即可。 解: (1)化为 16 x 2+8 x +3=0 这里 a=16,b=8,c=3,b2-4ac=64-4×16×3=-128<0 所以,方程没有实数根。 三、巩固练习 不解方程判定下列方程根的情况: (1) x 2+10 x +26=0 (2) x 2- x 3 =0 4

(3)3 x 2+6 x -5=0

(4)4 x 2- x +

1 =0 16

(5) x 2- 3 x 四、应用拓展

1 =0 4

(6)4 x 2-6 x =0

(7) x (2 x -4)=5-8 x

例 2.若关于 x 的一元二次方程(a-2) x 2-2a x +a+1=0 没有实数解,求 a x +3>0 的解集 (用含 a 的式子表示) 。 分析:要求 a x +3>0 的解集,就是求 a x >-3 的解集,那么就转化为要判定 a 的值是 正、负或 0.因为一元二次方程(a-2)x 2-2a x +a+1=0 没有实数根,即(-2a)2-4(a-2) (a+1) <0 就可求出 a 的取值范围。 解:∵关于 x 的一元二次方程(a-2) x 2-2a x +a+1=0 没有实数根。 ∴(-2a)2-4(a-2) (a+1)=4a2-4a2+4a+8<0 a<-2 ∵a x +3>0 即 a x >-3 ∴ x <-
3 a 3 a

∴所求不等式的解集为 x <- 五、归纳小结 本节课应掌握:

b2 - 4ac>0 ? 一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ≠ 0 )有两个不相等的实数根; b2 - 4ac=0 ? 一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a≠0)有两个相等的实根; b2-4ac<0 ? 一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a≠0)没有实数根及其它的运用。 六、布置作业 1、教科书 P42 复习巩固第 4 题 2、选用课时作业设计。 第 7 课时作业设计 一、选择题 1、以下是方程 3 x 2-2 x =-1 的解的情况,其中正确的有?????( A ∵b2-4ac=-8,∴方程有解 ) 。 拓广探索 13、14。

B ∵b2-4ac=-8,∴方程无解 C ∵b2-4ac=8,∴方程有解 D ∵b2-4ac=8,∴方程无解 ) 。

2、一元二次方程 x x2-a x x+1=0 的两实数根相等,则 a 的值为???(

A a=0

B a=2 或 a=-2

C a=2

D

a=2 或 a=0

3 、 已 知 k ≠ 1 , 一 元 二 次 方 程 ( k-1 ) x 2+k x +1=0 有 根 , 则 k 的 取 值 范 围 是??????????????????????????????( A k≠2 二、填空题 1、已知方程 x 2+p x +q=0 有两个相等的实数,则 p 与 q 的关系是______。 2、不解方程,判定 2 x 2-3=4 x 的根的情况是______(?填“二个不等实根”或“二个相 等实根或没有实根” ) 。 3、已知 b≠0,不解方程,试判定关于 x x 的一元二次方程 x 2-(2a+b)x +(a+ab-2b2?=0 的根的情况是________。 三、综合提高题 1、不解方程,试判定下列方程根的情况。 (1)2+5 x =3 x 2 (2) x 2-(1+2 3 ) x + 3 x +4=0 B k>2 C k<2 且 k≠1 D k 为一切实数 ) 。

2、当 c<0 时,判别方程 x 2+ x +c=0 的根的情况。 3、不解方程,判别关于 x 的方程 x 2-2k x +(2k-1)=0 的根的情况。 4、某集团公司为适应市场竞争,赶超世界先进水平,每年将销售总额的 8%作为新产 品开发研究资金,该集团 2000 年投入新产品开发研究资金为 4000 万元,2002 年销售总额 为 7.2 亿元,求该集团 2000 年到 2002 年的年销售总额的平均增长率。 板书设计

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