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高考文科数学知识点复习


学案2 空间几何体的表面 积与体积

考纲解读 考向预测

填填知学情
课内考点突破 规律探究

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考点1 考点2 考点3

考 纲 解 读 空间几何体 的表面积与 体积 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和 体积的计算公式(不要求记忆公式).

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考 向 预 测
简单的组合体的面积与体积的计算,以及平面图形的 折叠问题是常考的内容,尤其是在解答题中,多涉及位 置关系的证明,面积或体积的计算,着重考查学生识图, 用图及空间想象能力,有时也与三视图结合考查.

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1.设直棱柱高为h,底面多边形的周长为c,则直棱 ch 柱侧面面积计算公式:S直棱柱侧= .即直棱柱 底面周长和高的乘积 . 的侧面积等于它的 2.设正n棱锥的底面边长为a,底面周长为c,斜高 为h′,则正n棱锥的侧面积的计算公式 :S正棱锥侧 1 1 ch′ = 2 nah′= 2 ,即正棱锥的侧面积等于它 底面的周长和斜高乘积的一半 的 . 返回目录

3.设棱台下底面边长为a,周长为c,上底面边长

为a′,周长为c′,斜高为h′,则正n棱台的侧面积公
式:S正棱台侧=
1 2

n(a+a′)h′=

1 (c+c′)h′ 2

.



4.棱柱、棱锥、棱台的表面积或全面积等 侧面积与底面积的和 . ,

2 5.半径为R的球的表面积公式:S球= 4πR 大圆面积的四倍 . 即球面面积等于它的

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6.柱、锥、台的侧面积公式的内在联系.

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7.柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它 Sh .底面半径是 的 底面积S和高h的乘积 ,即V柱体= r,高是h的圆柱体的体积的计算公式是V圆柱= πr2h .

8.如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积是S,高是 1 h,那么它的体积是V锥体= . 3 Sh
= 如果圆锥的底面半径是 r,高是h,则它的体积V圆锥 1 2h πr . 3

9.如果一个台体(棱台、圆台)的上、下底面的面积 1 分别是S′,S,高是h,那么它的体积V台体= h(S+ +S′). SS′
3

如果圆台的上、下底面的半径分别是r′,r,高是h,则 它的体积是V圆台= πh(r′2+r′r+r2).
1 3

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10.如果球的半径为R,则它的体积V球= 4 πR3. 3 11.柱、锥、台的体积公式的内在联系.

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考点1

几何体的表面积问题

[2009年高考海南· 宁夏卷]一个棱锥的三视图如图所 示,则该棱锥的全面积(单位:cm2)为( )

A.48+122
C.36+12 2

B.48+24 2
D.36+24 2

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【分析】由三视图还原几何体,根据各面的特征分别 求面积,再求表面积.
【解析】该几何体是一个底面为直角三角形的三棱锥,

如图,SE=5,SD=4,AC=6 2 ,AB=BC=6,
∴S全=S△ABC+2S△SAB+S△ASC 1 1 = ×6×6+2× ×5×6+ 2 2
1 ×6 2 ×4=48+12 2 . 2

故应选A. 返回目录

(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.
圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时 需要将这个曲面展为平面图形,其表面积为侧面积与 底面积之和. (2)组合体的表面积要注意重合部分的处理.

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[2010年高考安徽卷]一个几何体的三视图如图,该 几何体的表面积为( )

A.280
C.360

B.292
D.372

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【解析】由三视图可知该几何是由下面一个长方体,

上面一个长方体组合而成的几何体.
∵下面长方体的表面积为 8×10×2+2×8×2+10×2×2=232,上面长方体的表 面积为8×6×2+2×8×2+2×6×2=152, 又∵长方体表面积重叠一部分,

∴几何体的表面积为232+152-2×6×2=360.
故应选C. 返回目录

考点2

几何体的体积

[ 2010 年高考天津卷]一个几何体的三视图如图 所示,则这个几何体的体积为 .

【分析】由三视图判断几何体的构成,根据所给 数据求出有关量,并求体积. 返回目录

【解析】该几何体是上面是底面边长为2的正四棱锥,

下面是底面边长为1,高为2的正四棱柱的组合体,其体积为
1 10 2 V=1×1×2+ ×2 ×1= . 3 3

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(1)三棱锥体积的计算与等体积法 对于三棱锥的体积计算时,三棱锥的顶点和底面 是相对的,可以变换顶点和底面,使体积容易计算. (2)求空间几何体的体积除利用公式法外,还常 用分割法、补体法、转化法等,它们是解决一些不规 则几何体体积计算问题的常用方法.

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[2010年高考陕西卷]若某空间几何
体的三视图如图所示,则该几何体的 体积是( A. 1 3 )
2 B. 3

C. 1

D.2

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【解析】由三视图可知,该空间几何体是底面为直角 三角形的直三棱柱,三棱柱的底面直角三角形的直角 边长分别为1和 2 ,三棱柱的高为 2 ,所以该几何体的 1 体积V= ×1× 2 × 2 =1.
2

故应选C.

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考点3

球的表面积、体积

[2010年高考辽宁卷]已知S,A,B,C是球O表面上的

点,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,SA=AB=1,BC=
则球O的表面积等于( A.4π B.3π ) C.2π D.π

2



【分析】根据条件,确定球O的位置,并求出球半径.

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【解析】如图所示,A,B,C三点在一小圆面上,

∵AB⊥BC,AC为斜边,
∴小圆的圆心为AC的中点D. ∵SA=AB=1,BC=2, ∴AC= 3 ,AD= 3 .
2

∵S,A,B,C都在球面上,取SC的中点O,则OD∥SA.

∵SA⊥平面ABC,∴OD⊥平面ABC,
∴O为球心,SO为半径. ∵SC= 1 ? 3 2 =2,∴SO=1, ∴球O的表面积为4π. 返回目录

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本题考查球的几何性质及表面积公式,考查运算求 解能力,考查数形结合、转化与化归思想,难度较大.

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在球心同侧有相距9 cm的两个平行截面,它们的面积 分别为49π cm2和400π cm2.求球的表面积. 【解析】如图为球的轴截面,

由球的截面性质知,AO1∥BO2,
且O1,O2分别为两截面圆的圆心, 则OO1⊥AO1,OO2⊥BO2,设球

的半径为R.

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∵π·O2B2=49π,∴O2B=7(cm). ∵π·O1A2=400π,∴O1A=20(cm). 设OO1=x cm,则OO2=(x+9) cm. 在Rt△OO1A中,R2=x2+202. 在Rt△OO2B中,R2=(x+9)2+72, ∴x2+202=72+(x+9)2, 解得x=15,

∴R2=x2+202=252,∴R=25.
∴S球=4πR2=2 500π(cm2). ∴球的表面积为2 500π cm2. 返回目录

1.对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、 棱台与球的表面积的问题,要结合它们的结构特点与 平面几何知识来解决,这种题目难度不大. 2.要注意将空间问题转化为平面问题. 3.当给出的几何体比较复杂,有关的计算公式无 法运用,或者虽然几何体并不复杂,但条件中的已知 元素彼此离散时,我们可采用“割”、“补”的技巧, 化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台),或化离 散为集中,给解题提供便利. 返回目录

4.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是 外接.解题时要认真分析图形 , 明确切点和接点的位 置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面 图 ,如球内切于正方体 ,切点为正方体各个面 的 中 心,正方体的棱长等于球的直 径;球外接于正方体, 正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线等于球 的直径.球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面进行 解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和 球心,或“切点”“接点”作出截面图.

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