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高中数学人教a版高二选修4-4_第一章_坐标系_学业分层测评3 有答案

高中数学人教 a 版高二选修 4-4_第一章_坐标系_学业分层测评 3 有答案 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.极坐标方程 ρ=1 表示( A.直线 C.圆 ) B.射线 D.椭圆 【解析】 由 ρ=1,得 ρ2=1,即 x2+y2=1,故选 C. 【答案】 C π 2.过极点且倾斜角为3的直线的极坐标方程可以为( π A.θ=3 4π C.θ= 3 ,ρ≥0 π B.θ=3,ρ≥0 π 4π D.θ=3和 θ= 3 ,ρ≥0 ) 【解析】 以极点 O 为端点,所求直线上的点的极坐标分成两条射线. π 4 ∵两条射线的极坐标方程为 θ=3和 θ=3π, π 4 ∴直线的极坐标方程为 θ=3和 θ=3π(ρ≥0). 【答案】 D 3.在极坐标系中,圆 ρ=-2sin θ 的圆心的极坐标是( π? ? A.?1,2? ? ? C.(1,0) π? ? B.?1,-2? ? ? D.(1,π) ) 【解析】 由 ρ=-2sin θ 得 ρ2=-2ρsin θ,化成直角坐标方程为 x2+y2=-2y,化成标准 π? ? 方程为 x2+(y+1)2=1,圆心坐标为(0,-1),其对应的极坐标为?1,-2?. ? ? 【答案】 B 4.在极坐标系中,圆 ρ=2cos θ 的垂直于极轴的两条切线方程分别为( A.θ=0(ρ∈R)和 ρcos θ=2 π B.θ=2(ρ∈R)和 ρcos θ=2 第- 1 -页 共 6 页 ) π C.θ=2(ρ∈R)和 ρcos θ=1 D.θ=0(ρ∈R)和 ρcos θ=1 【解析】 由 ρ=2cos θ,得 ρ2=2ρcos θ,化为直角坐标方程为 x2+y2-2x=0,即(x-1)2 π +y2=1, 其垂直于极轴的两条切线方程为 x=0 和 x=2, 相应的极坐标方程为 θ=2(ρ∈R)和 ρcos θ=2. 【答案】 B 5.在极坐标系中与圆 ρ=4sin θ 相切的一条直线的方程为( ) 【导学号:91060008】 1 A.ρcos θ=2 ? π? C.ρ=4sin?θ+3? ? ? B.ρcos θ=2 ? π? D.ρ=4sin?θ-3? ? ? 【解析】 极坐标方程 ρ=4sin θ 化为 ρ2=4ρsin θ,即 x2+y2=4y,即 x2+(y-2)2=4. 由所给的选项中 ρcos θ=2 知,x=2 为其对应的直角坐标方程,该直线与圆相切. 【答案】 B 二、填空题 π 6.在极坐标系中,圆 ρ=4 被直线 θ=4分成两部分的面积之比是________. π 【解析】 ∵直线 θ=4过圆 ρ=4 的圆心, ∴直线把圆分成两部分的面积之比是 1∶1. 【答案】 1∶1 π 7.(2016· 惠州模拟)若直线 l 的极坐标方程为 ρcosθ- =3 2,曲线 C:ρ=1 上的点到直 4 线 l 的距离为 d,则 d 的最大值为________. 【解析】 直线的直角坐标方程为 x+y-6=0,曲线 C 的方程为 x2+y2=1,为圆;d 的 最大值为圆心到直线的距离加半径,即为 dmax= 【答案】 3 2+1 |0+0-6| 2 +1=3 2+1. 第- 2 -页 共 6 页 π 8.在极坐标系中,圆 ρ=4sin θ 的圆心到直线 θ=6(ρ∈R)的距离是________. 【解析】 极坐标系中的圆 ρ=4sin θ 转化为平面直角坐标系中的一般方程为: x2+y2=4y, π 3 即 x2+(y-2)2=4,其圆心为(0,2),直线 θ=6转化为平面直角坐标系中的方程为 y= 3 x,即 3 x-3y=0, |0-3×2| ∴圆心(0,2)到直线 3x-3y=0 的距离为 = 3. 3+9 【答案】 三、解答题 9.(2016· 银川月考)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 正半轴为极轴建立极坐标系, ? π? 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos?θ-3?=1,M,N 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点. ? ? (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程. ? π? 【解】 (1)由 ρcos?θ-3?=1, ? ? ?1 ? 3 得 ρ? cos θ+ sin θ?=1. 2 ?2 ? 又 x=ρcos θ,y=ρsin θ, x 3 ∴曲线 C 的直角坐标方程为2+ 2 y=1, 即 x+ 3y-2=0. 当 θ=0 时,ρ=2,∴点 M(2,0). π? π 2 ?2 当 θ=2时,ρ=3 3,∴点 N?3 3,2?. ? ? 2 ? ? (2)由(1)知,M 点的坐标(2,0),点 N 的坐标?0,3 3?. ? ? 又 P 为 MN 的中点, ? ?2 3 π? 3? ∴点 P?1, ?,则点 P 的极坐标为? ,6?. 3 ? ? ? 3 ? 第- 3 -页 共 6 页 3 π 所以直线 OP 的极坐标方程为 θ=6(ρ∈R). 2 ? π? 10.(2016· 南通期中)在极坐标系下,已知圆 O:ρ=cos θ+sin θ 和直线 l:ρsin?θ-4?= 2 , ? ? (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 θ∈(0,π)时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标. 【解】 (1)由 ρ=cos θ+sin θ,可得 ρ2=ρcos θ+ρsin θ, ρ =x +y , ? ? 又?ρcos θ=x, ? ?ρsin θ=y, 2 2 2 代入得⊙O:x2+y2-x-y=0, 2 2 2 2 ? π? 由 l:ρsin?θ-4?= 2 ,得: 2 ρsin θ- 2 ρcos θ= 2 ,ρsin θ-ρcos θ=1, ? ? ? ?ρcos θ=x, 又? 代入得:x-y+1=0. ?ρsin θ=y, ? ? ? ?x-y+1=0, ?x=0, (2)由? 解得? 2 2

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