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福建省龙岩市2014届高三上学期期末教学质量检查数学理试题


龙岩市 2013 一 2014 学年第一学期高三教学质量检查 数学试题(理科)
考生注意: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 B 卷(非选择题)两部分,共 150 分.考试时间 120 分钟. 2.请将各题答案填在试卷后面的答题卡上. 3.本试卷主要考试内容:除“统计与统计案例,计数原理、概率,算法初步,数系的扩充与复 数的引入”外的高考内容.

第工卷(选择题共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|x2+x-2<0} ,集合 B= {x|(x+2) (3-x)>0} ,则 A. {x|1≤x<3} C. {x|-2<x<1} B. {x|2≤x<3} D. {x|-2<x≤-1 或 2≤x<3}
x

等于

2.已知命题 p: ? x ? R, log 2 (3 ? 1) ≤0,则 A. p 是假命题; ? p: ? x ? R, log 2 (3 ? 1) ≤0
x

B. p 是假命题; ? p: ? x ? R, log 2 (3 ? 1) >0
x

C. p 是真命题; ? p: ? x ? R, log 2 (3 ? 1) ≤0
x

D. p 是真命题; ? p: ? x ? R, log 2 (3 ? 1) >0
x

3、设 f (x) = A. 8 B. 7

,则 f(6)的值 C. 6 D. 5

4.设等比数列{ an }, Sn 是数列{ an }的前 n 项和,S3=14,且 al+8, 3a2 , a3+6 依次成等差数列, 则 al·a3 等于 A. 4 B. 9 C. 16 D. 25

·1 ·

5.已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,右顶点为 A,其长轴长是焦距的 4 倍,且抛 a 2 b2

物线 y2=6x 的焦点平分线段 AF,则椭圆 C 的方程为

6 一艘船上午 9:30 在 A 处,测得灯塔 S 在它的北偏东 300 处,之后它继续沿正北方向匀速航 行,上午 10:00 到达 B 处,此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 750,且与它相距 8 2 海里,则此 船的航速是 A. 24 海里/小时 C. 32 海里/小时 B. 30 海里/小时 D. 40 海里/小时

7 一个侧棱与底面垂直的棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视 图如图所示,则截去那一部分的体积为. A、1 C、11 B、

3 2

D、12

8.将函数 f(x)= 3 sin 2 x ? cos2 x 的图象向左平移 m 个单位(m>一 直线 x=

? 对称,则 m 的最小值为 6 ? ? A.一 B.一 3 6

? ) ,若所得的图象关于 2

C. 0

D.

? 12

9.设 F 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,双曲线两渐近线分另。为 l1,l2 过 F 作直线 l1 的垂线,分 a 2 b2
同向,则双曲线的离心

别交 l1,l2 于 A,B 两点.若 OA, AB, OB 成等差数列,且向量 率 e 的大小为 A.

3 2

B. 2

C. 2

D.

5 2

10.设函数 f(x)的定义域为 D,若存在非零实数 l 使得对于任意 x∈M(M?D)有 x+l∈D,且 f(x+l)≥f(x),则称 f(x)为 M 上的 l 高调函数,如果定义域为 R 的函数 f(x)是奇函数, 当 x≥0 时,f(x)=|x-a2|-a2,且 f(x)为 R 上的 8 高调函数,那么实数 a 的取值范围是
·2 ·

A.[一 2 , 2 ]

B.(-2,2)

C.[-1, 2 ]

D.(一 2 ,1]

第 II 卷(非选择题共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 11.已知向量|a|=l,|b|= 2 ,且 b·(2a+b) =1,则向量 a,b 的夹角的余弦值为____.

12.设变量 x,y 满足约束条件

则目标函数 z=2y-3x 的最大值为___.

13.若 m>l,则函数 f(m)= 14.设函数 f(x)=

?

m

1

(1 ?

4 ) dx 的最小值为___· x2

,观察: ,

根据以上事实,由归纳推理可得:当 15.定义在 R 上的函数 f (x),满足 f (m+n2) = f (m)+2[ f (n) ]2,m, n ? R,且 f (1):≠0,则 f(2014)的值为____

___.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16.(本小题满分 13 分) 已知△ABC 中的内角 A,B,C 对边分别为 a,b,c, 3 sin 2C+2cos2C+1=3,c= 3 .

·3 ·

(1)若 cos A=

2 2 ,求 a; 3

(2)若 2sin A=sin B,求△ABC 的面积.

17.(本小题满分 13 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AD∥BC, AB⊥BC,AB=AD=1 BC=2,又 PB⊥平面 ABCD,且 PB=1,点 E 在棱 PD 上,且 DE=2PE. (1)求证:BE⊥平面 PCD; (2)求二面角 A 一 PD-B 的大小.

18.(本小题满分 13 分) 为了保障幼儿园儿童的人身安全,国家计划在甲、乙两省试行政府规范购置校车方案,计划 若干时间内(以月为单位)在两省共新购 1000 辆校车.其中甲省采取的新购方案是:本月新 购校车 10 辆,以后每月的新购量比上一月增加 50%;乙省采取的新购方案是:本月新购校 车 40 辆,计划以后每月比上一月多新购 m 辆. (1)求经过 n 个月,两省新购校车的总数 S(n); (2)若两省计划在 3 个月内完成新购目标,求 m 的最小值.

·4 ·

19.(本小题满分 13 分) 如图,正方形 CDEF 内接于椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,且它的四条边与坐标轴平行,正方形 a 2 b2
4 10 . 5

GHPQ 的顶点 G,H 在椭圆上,顶点 P,Q 在正方形的边 EF 上.且 CD=2PQ= (1)求椭圆的方程;

(2)已知点 M(2,1),平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m (m:≠ 0),l 交椭圆于 A,B 两 个不同点,求证:直线 MA,MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f (x) =x2, g(x) =2eln x(x>0) (e 为自然对数的底数) . (1)求 F(x) =f(x)-g(x) (x>0)的单调区间及最小值; (2)是否存在一次函数 y=kx+b(k,b ? R),使得 f (x) ≥kx 十 b 且 g (x)≤kx+b 对一切 x >0 恒成立?若存在,求出该一次函数的表达式;若不存在,请说明理由.

·5 ·

21.本题设有(1) 、 《2) 、(3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多做, 则 按所做的前两题计分. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 二阶矩阵 M 对应的变换将点(1,一 1)与(-2,1)分别变换成点(-1,一 1)与(0,一 2) . ①求矩阵 M; ②设直线 l 在变换 M 的作用下得到了直线 m:x-y=4,求 l 的方程.

(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 点,Q 为线段 OP 的中点. (1)求点 Q 的轨迹 C2 的方程; (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴(两坐标系取相同的长度单位)的极坐标系中,N 为曲线 p=2sinθ 上的动点,M 为 C2 与 x 轴的交点,求|MN|的最大值. (t 为参数) ,P 为 C1 上的动

(3)(本小题满分 7 分)选修 4 一 5:不等式选讲 设函数 f(x)=|x+a|-|x-4|,x ? R (1)当 a=1 时,解不等式 f(x)<2; (2)若关于 x 的不等式 f (x)≤5-|a+l|恒成立,求实数 a 的取值范围.

·6 ·

龙岩市 2013~2014 学年第一学期高三教学质量检查数学试题 参考答案(理科)
1.A ∵A={x|-2<x<1},B={x|-2<x<3},∴( RA)∩B={x|1≤x<3}. 2.B ∵3x>0,∴3x+1>1,则 log2(3x+1)>0,∴p 是假命题;綈 p:?x∈R,log2(3x+1)>0. 3. B f(6)=f[f(6+5)]=f[f(11)]=f(11-3)=f(8)=f[f(8+5)]=f[f(13)] =f[f(13-3)]=f(10)=10-3 =7. 4.C ∵S3=a1+a2+a3=14,a1+8+a3+6=6a2, ∴7a2=28,即 a2=4, ∴a1·a3=a2 2=16. 3 5.C F(-c,0),则 a=4c,又抛物线 y2=6x 的焦点平分线段 AF,∴2(c+ )=a+c,解得 a= 2 4,c=1,则椭圆 C 的方程为 x2 y2 + =1. 16 15

6.C 经计算∠A=30°,∠S=45°,AB= sin S BS=16 海里,速度为 32 海里/小时. sin A 1 1 7.A 由三视图可知,该几何体为一个长方体截去一个三棱锥,三棱锥的体积为 V= × × 1× 2× 3 3 2 =1.故选 A. π 8.A 将 f(x)= 3sin 2x-cos 2x=2sin(2x- )的图象向左平移 m 个单位,得函数 g(x)=2sin(2x 6 π π π π kπ π π +2m- )的图象, 则由题意得 2× +2m- =kπ + (k∈Z), 即有 m= + (k∈Z), ∵m>- , 6 6 6 2 2 6 2 ∴当 k=-1 时,mmin=- π . 3

?OA2+AB2=OB2 ? 9.D 由条件知,OA⊥AB,所以? ,则 OA∶AB∶OB=3∶4∶5,于是 tan∠AOB ? ?2AB=OA+OB

4 x2 y2 → → = .因为向量BF与FA同向,故过 F 作直线 l1 的垂线与双曲线相交于同一支.而双曲线 2- 2=1 的渐 3 a b b 2· a x y 4 c 5 近线方程分别为 ± =0,故 = ,解得 a=2b,故双曲线的离心率 e= = . a b b 2 3 a 2 1-( ) a 10.A 当 a=0 时,f(x)=x,则 f(x+8)>f(x),即 f(x)为 R 上的 8 高调函 数;当 a≠0 时,函数 y=f(x)的图象如图所示,若 f(x)为 R 上的 8 高调函数, 则 3a2-(-a2)≤8,解得- 2≤a≤ 2且 a≠0.综上- 2≤a≤ 2.
·7 ·

11. ? 2 4

1 ∵ b ? (2a ? b) ? 1, ∴ a ? b ? ? , 则 cos? a,b? ? a ? b ? ? 2 . 2 a b 4

12.4 满足约束条件的可行域如图所示. 因为函数 z=2y-3x,所以 zA=-3,zB=2,zC=4, 即目标函数 z=2y-3x 的最大值为 4. 13.-1 f(m)=

?

m

1

(1 ?

4 4 4 ) dx=(x+ )? ? =m+ -5≥4-5=-1,当且仅 2 x m x ?1

m

当 m=2 时等号成立. 14.
x (2n ? 1) x ? 2n

观察知:四个等式等号右边的分母为 x+2,3x+4,7x+8,15x+16,即(2-1)x

+2,(4-1)x+4,(8-1)x+8,(16-1)x+16,所以归纳出分母为 fn(x)=f(fn-1(x))的分母为(2n-1)x+ 2n,故当 n∈N*且 n≥2 时,fn(x)=f(fn-1(x))=
x . (2n ? 1) x ? 2n

15. 1007 令 m=n=0 得 f(0+02)=f(0)+2[f(0)]2,所以 f(0)=0;令 m=0,n=1 得 f(0+12)=f(0) 1 +2[f(1)]2.由于 f(1)≠0,所以 f(1)= ;令 m=x,n=1 得 f(x+12)=f(x)+2[f(1)]2,所以 f(x+1)=f(x)+ 2 1 1 1 1 1 2×( )2,f(x+1)=f(x)+ ,这说明数列{f(x)}(x∈Z)是首项为 ,公差为 的等差数列,所以 f(2014)= 2 2 2 2 2 1 +(2014-1)× =1007. 2 π 16.解:∵ 3sin 2C+2cos2C+1=3,∴2sin(2C+ )+2=3. 6 π π π 13 π 5π π 1 即 sin(2C+ )= ,又∵0<C<π ,∴ <2C+ < π ,即有 2C+ = ,解得 C= .5 6 2 6 6 6 6 6 3 分 2 2 1 a 3 2 (1)∵cos A= ,∴sin A= .由正弦定理得 = ,解得 a= .(8 分) 3 3 1 3 3 3 2 (2)∵2sin A=sin B,∴2a=b, ① π ∵c2=a2+b2-2abcos ,∴a2+b2-ab=3. ② 3 1 3 3 由①②解得 a=1,b=2,∴S△ABC= ×1×2× = .(13 分) 2 2 2 17.解:如图,以 B 为原点,分别以 BC、BA、BP 为 x、y、z 轴,建立空间直角坐标系,则 B(0, 0,0),C(2,0,0),A(0,1,0),D(1,1,0),P(0,0,1),又 DE=2PE, 1 1 2 ∴E( , , ).(2 分) 3 3 3

→ 1 1 2 → → (1)∵BE=( , , ),PD=(1,1,-1),PC=(2,0,-1), 3 3 3
1 2 → → 1 ∴BE· PD= ×1+ ×1+ ×(-1)=0, 3 3 3
·8 ·

1 2 → → 1 BE· PC= ×2+ ×0+ ×(-1)=0. 3 3 3 ∴BE⊥PD,BE⊥PC,又 PD∩PC=P, ∴BE⊥平面 PCD.(8 分) (2)设平面 PAD 的一个法向量为 n0=(x,y,z), → ? ?n0·PA=0, ? ?y-z=0, 则由? 得? ?x+y-z=0. → ?n0·PD =0, ? ? 令 z=1,则 n0=(0,1,1). → 又BP=(0,0,1),设平面 PBD 的法向量为 n1=(x1,y1,z1), → ? ?z1=0, ?n1·BP=0, ? 则由? 得? ?x +y -z =0, → ? ?n1·PD=0, ? 1 1 1 令 x1=1,则 n1=(1,-1,0), n0·n1 1×(-1) 1 ∴cos〈n0,n1〉= = =- , 2 |n0|·|n1| 2× 2 ∴〈n0,n1〉=120°. 又二面角 A—PD—B 为锐二面角,故二面角 A—PD—B 的大小为 60°.(13 分) 18.解:(1)设 an,bn 分别为甲省,乙省在第 n 月新购校车的数量.依题意,{an}是首项为 10, 3 公比为 1+50%= 的等比数列;{bn}是首项为 40,公差为 m 的等差数列.{an}的前 n 项和 An= 2 3 10[1-( )n] 2 n[40+40+(n-1)m] n(n-1)m ,{bn}的前 n 项和 Bn= =40n+ .所以经过 n 个月,两 3 2 2 1- 2 3 10[1-( )n] 2 n(n-1)m 3 省 新 购 校 车 的 总 数 为 S(n) = An + Bn = + 40n + = 20[( )n - 1] + 40n + 3 2 2 1- 2 n(n-1)m 3 m m =20· ( )n+ n2+(40- )n-20. (8 分) 2 2 2 2 3 m m (2)若计划在 3 个月内完成新购目标, 则 S(3)≥1000, 所以 S(3)=20( )3+ ×32+(40- )×3-20 2 2 2 ≥1000,解得 m≥277.5. 又 m∈N*,所以 m 的最小值为 278.(13 分) 4 10 2 10 2 10 19.解:(1)∵CD= ,∴点 E( , ), 5 5 5 2 10 4 10 10 又∵PQ= ,∴点 G( , ), 5 5 5

·9 ·

?5a +5b =1, ? ?a =8, 则? 解得? 32 2 ?b =2, ? ?5a +5b =1,
2 2 2 2 2 2

8

8

x2 y2 ∴椭圆方程 + =1.(4 分) 8 2 (2)设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k2,只需证明 k1+k2=0 即可,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1-1 y2-1 1 x2 y2 k1= ,k2= ,直线 l 方程为 y= x+m,代入椭圆方程 + =1 消去 y, 2 8 2 x1-2 x2-2 得 x2+2mx+2m2-4=0 可得 x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4.(9 分) y1-1 y2-1 (y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2) 而 k1+k2= + = x1-2 x2-2 (x1-2)(x2-2) 1 1 ( x1+m-1)(x2-2)+( x2+m-1)(x1-2) 2 2 = (x1-2)(x2-2) x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1) = (x1-2)(x2-2) 2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1) = (x1-2)(x2-2) 2m2-4-2m2+4m-4m+4 = =0,(12 分) (x1-2)(x2-2) ∴k1+k2=0,故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.(13 分) 2 e 2(x -e) 20.解:(1)F′(x)=f′(x)-g′(x)=2(x- )= (x>0), x x 令 F′(x)=0,得 x= e(x=- e舍), ∴当 0<x< e时,F′(x)<0,F(x)在(0, e)上单调递减; 当 x> e时,F′(x)>0,F(x)在( e,+∞)上单调递增. ∴当 x= e时,F(x)有极小值,也是最小值, 即 F(x)min=F( e)=e-2eln e=0. ∴F(x)的单调递增区间为( e,+∞),单调递减区间为(0, e),最小值为 0.(7 分) (2)由(1)知,f(x)与 g(x)的图象有且仅有一个公共点( e,e), ∴猜想:一次函数的图象就是 f(x)与 g(x)的图象在点( e,e)处的公切线, 其方程为 y=2 ex-e. 下面证明:当 x>0 时,f(x)≥2 ex-e,且 g(x)≤2 ex-e 恒成立. ∵f(x)-(2 ex-e)=(x- e)2≥0,∴f(x)≥2 ex-e 对 x>0 恒成立. 2e 2 e(x- e) 又令 G(x)=2 ex-e-g(x)=2 ex-e-2eln x,∴G′(x)=2 e- = , x x ∴当 0<x< e时,G′(x)<0,G(x)在(0, e)上单调递减; 当 x> e时,G′(x)>0,G(x)在( e,+∞)上单调递增. ∴当 x= e时,G(x)有极小值,也是最小值, 即 G(x)min=G( e)=2e-e-2eln e=0,∴G(x)≥0,即 g(x)≤2 ex-e 恒成立. 故存在一次函数 y=2 ex-e, 使得当 x>0 时, f(x)≥2 ex-e, 且 g(x)≤2 ex-e 恒成立. (14 分)
·10·

21.(1)解:①设 M=?

? a b ?,则有? a b ??1 ?=?-1?,? a b ??-2?=?0 ?, ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? c d ? ? c d ??-1? ?-1? ? c d ??1 ? ?-2?

a-b=-1, a=1, ? ? ?c-d=-1, ?b=2, 所以? 解得? -2a+b=0, c=3, ? ? ?-2c+d=-2. ?d=4, 所以 M=?

? 1 2 ? 3 4

?.(3 分) ? ?

②任取直线 l 上一点 P(x,y)经矩阵 M 变换后为点 P′(x′,y′).

?x′? ? 1 2 ??x?=?x+2y ?, 因为? ?=? ?? ? ? ? ?y′? ? 3 4 ??y? ?3x+4y?
? ?x′=x+2y, 所以? 又 m:x′-y′=4, ?y′=3x+4y, ?

所以直线 l 的方程为(x+2y)-(3x+4y)=4,即 x+y+2=0.(7 分) (2)解:①设 Q(x,y),则点 P(2x,2y),又 P 为 C1 上的动点, 3 ? ?2x=-3t+2, ?x=-2t+1, ? 所以? (t 为参数),即? (t 为参数). ?2y=4t ? ? ?y=2t 3 ? ?x=-2t+1, 所以 C2 的方程为? (t 为参数)(或 4x+3y-4=0).(4 分) ?y=2t ? ②由①可得点 M(1,0),且曲线 ρ=2sin θ 的直角坐标方程为 x2+(y-1)2=1, 所以|MN|的最大值为 12+12+1=1+ 2.(7 分) 5,x≥4, ? ? (3)①∵f(x)=|x+1|-|x-4|=?2x-3,-1<x<4, ? ?-5,x≤-1, 5 ∴由 f(x)<2 得 x< .(4 分) 2 ②因为 f(x)=|x+a|-|x-4|=|x+a|-|4-x|≤|(x+a)+(4-x)|=|a+4|, 要使 f(x)≤5-|a+1|恒成立,须使|a+4|≤5-|a+1|, 即|a+4|+|a+1|≤5,解得-5≤a≤0.(7 分)

·11·


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