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方程的根与函数的零点学


方程的根与函数的零点学
一、新课引入 考察几个一元二次方程及其相应的二次函数的关系 方程 x2-2x-3=0 与函数 y=x2-2x-3;方程 x2-2x+1=0 与函数 y= x2-2x +1 方程 x2-2x+3=0 与函数 y=x2-2x+3,函数图象如上图,你能发现什么? 二、新课 (1)当△>0 时,一元二次方程有两个不相等的实数根,相应的二次函数的图 象与 x 轴有两个交点。 (2)当△=0 时,一元二次方程有两个相等的实数根,相应的二次函数的图象 与x轴 有唯一的一个个交点。 (3)当△<0 时,一元二次方程没有实数根,相应的二次函数的图象与y x 轴无 交点。 3 对于函数 y=f(x) ,我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫函数 y=f(x)的零点。 2 方程 f(x)=0 有实数根 1 ? 函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点 -2 -1 0 1 2 3 ? 函数 y=f(x)有零点 -1 观察二次函数 f(x)=x2-2x-3 的图象,发现这个 -2 二次函数在区间(-2,1)上有零点 x=-1 -3 而 f(-2)>0,f(1)<0,即 f(-2)·f(1)<0 二次函数在区间(2,4)上有零点 x=3 而 f(2)<0,f(4)>0,即 f(2)·f(4)<0 一般地,函数 f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并 且有 f(a)·f(b)<0,那么函数 f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a, b) , 使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根。 例 1、求函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点的个数。 分析:用计算机辅助作图象,可得函数在区间(2,3)内有零点,再观察图象在 (0,+∞)上是增函数,因此,该函数只有一个零点。 练习:填写下列表格
ax2 ? bx ? c ? 0 的根
y ? ax 2 ? bx ? c 与 X 轴 的交点

x

△>0 △=0 △<0

1

用二分法求方程的近似解 学习过程 一、复习提问 什么是函数的零点?函数在区间(a,b)内有零点,则有什么性质? 二、新课 1、新课引入 中央电视台由李咏主持的节目《幸运 52》中有一项猜商品价格的游戏,首 先给出 了商品价格的范围, 如果是你, 你将用什么方法快速猜中商品的真实价格呢?现 实中 还有这种方法运用的实例吗? 一元二次方程可以用公式求根,但没有公式可用来求方程 lnx+2x-6=0 的 根, 联系函数的零点与相应方程的关系,能否利用函数有关知识求出它的根呢? 2、取中点法求方程 lnx+2x-6=0 的根 1 方程 lnx+2x-6=0 在区间(2,3)内有零点, (2+3)=2.5 2 1 f(2.5)·f(3)<0,所以零点在区间(2.5,3)内, (2.5+3)=2.75 2 f(2.5)·f(2.75)<0,所以零点在区间(2.5,2.75)内。 如此下去,零点范围越来越小,当区间的端点的差的绝对值小于 0.01 时,可以 将端点 作为零点的近似值。P105 表 3-2。 对于在区间[a,b]上连续不断,且 f(a)·f(b)<0 的函数 y=f(x) , 通过 不断把函数 f (x) 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫二分法 (bisection) 。 给定精确度 ε ,用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤: 1、确定区间[a,b] ,验证 f(a)·f(b)<0, 给定精确度 ε ; 2、求区间(a,b)的中点 x1; 3、计算 f(x1) ; (1)若 f(x1)=0,则 x1 就是函数的零点; (2)若 f(a)·f(x1)<0,则令 b=x1(此时零点 x0∈(a,x1) ) (3)若 f(x1)·f(b)<0,则令 a=x1(此时零点 x0∈(x1,b) ) 4、判断是否达到精确度 ε , :即若∣a-b∣<ε ,则达到零点近似值 a(或 b) ; 否则重复 2――4。 一般用计算机设计一定的程序来完成求零点。 例 2、 借助计算机或计算器用二分法求方程 2x+3x=7 的近似解 (精确到 0.1) 。 作业:P108 1、2、3、4、5

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几类不同增长的函数模型学案 学习过程 一、复习提问 写出指数函数、对数函数、幂函数的一般形式,你知道它们的变化规律吗? 二、新课 例 1、假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方 案的 回报如下: 方案一:每天回报 40 元; 方案二:第一天回报 10 元,以后每天比前一天多回报 10 元; y 方案三:第一天回报 0.4 元,以后每天的回报比前一天翻一番。 140 请问,你会选择哪种投资方案? y=0.4×2x-1 120 解:设第 x 天所得回报是 y 元,则各方案的函数模型为: · 100 方案一:y=40(x∈N+) ·y=10x + · 80 方案二:y=10x(x∈N ) · · + x ?1 60 方案三:y=0.4× 2 (x∈N ) · · · 40 · 方案一是常数函数,方案二是增函数,呈直线型 · · · · · · · · · · · y=40 · · 增长,方案三也是增函数,呈指数型增长,增长速度 20 ·

·

0

2

· ··
4 6

8

10 12 x

比其它 2 个方案快得多,称为“指数爆炸” 。 投资 5 天以下选方案一, 投资 5――8 天选方案二, 投资 8 天以上选方案三。 再看累计回报数表 P114。投资 8 天以下(不含 8 天) ,应选择第一种投资方 案, 投资 8--10 天,应选择第二种投资方案;投资 11 天(含 11 天)以上,则应选 择第 · · 三种方案。 例 2、某公司为了实现 1000 万元利润目标,准备制定一个激励销售部门的 · · 奖励方 案:在销售利润达到 10 万元时,按销售利润进行奖励,且奖金 y(单位:万元) 随销 售利润 x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过 5 万元,同时奖金不 超过 x 利润的 25%。现有三个奖励模型:y=0.25x,y= log 2 +1,y=1.002x。其中哪个 模型 能符合公司的要求? 分析:某个奖励模型符合公司要求,就是依据这个模型进行奖励时,奖金总 数 不超过 5 万元,同时奖金不超过利润的 25%,由于公司总的利润目标为 1000 万 元, 所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润,于是,只需在区间[10,1000]
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上,检验三个模型是否符合公司要求即可。 不妨先作函数图象,通过观察函数的图象,得到初步的结论,再通过具体计 算,确认结果。 x 探究函数 y= 2 x ,y= x 2 ,y= log 2 的增长速度。 x y=2x y=x2 y=log2x 0.2 1.149 0.040 0.6 1.516 0.360 1 2.000 1.000 0.000 1.4 2.639 1.960 0.485 1.8 3.482 3.240 0.848 2.2 4.595 4.840 1.138 2.6 6.063 6.760 1.379 3 8.000 9.000 1.585 3.4 10.556 11.560 1.766

-2.322 -0.737

14.000 12.000 10.000 8.000 6.000 4.000 2.000 0.000 -2.000 -4.000

y=x 2 y=2 x 系列1 系列2 系列3

y=log 2 x 0 1 2 3 4

在区间(2,4) ,有 log 2 < 2 x < x 2 在区间(0,2)和(4,+∞)有 log 2 < x 2 < 2 x 可以在更大范围内观察函数 y= 2 x ,y= x 2 的图象的增长情况。 一般地,对于指数函数 y= a x (a>1)和幂函数 y= x n (n>0) ,通过探索 可以发 现,在区间(0,+∞)上,无论 n 比 a 大多少,尽管 x 在一定范围内, a x 会小 于 xn 但由于 a x 的增长速度快于 x n , 因此总存在一个 x 0 , 当 x> x 0 时, 就会有 a x > x n 。 同样地,对于对数函数 y= log a (a>1)和幂函数 y= x n (n>0) ,在区间 (0,+∞)上,随着 x 的增大, log a 增长得越来越慢,图象就像是渐渐地与 x 轴平 x x log a 可能会大于 x n , 行一样。 尽管 x 在一定范围内, 但由于 log a 的增长慢于 x n , 因此总存在一个 x 0 ,当 x> x 0 时,就会有 log a < x n 。 综上所述,在区间(0,+∞)上,尽管函数 y= a x (a>1) 、y= log a (a >1) 和 y= x n (n>0)都是增函数。但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次” 上 随着 x 的增大,y= a x (a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于 y= x n (n>
4
x x x
x
x

x

0)的增长速度,而 y= log a (a>1)的增长速度越来越慢。因此总存在一个 x 0 , 当x x > x 0 时, log a < x n < a x 。 作业:P127 3、4

x

函数模型的应用实例学案 学习过程 一、复习提问 我们学过的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的一般形式是什 么? 二、新课 例 3、一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示。 (1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义; (2) 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2004km, 试建立汽 车行 驶这段路程时汽车里程表读数 skm 与时间 th 的函数解析式, 并作出檅应的图象。 解:(1)阴影部分面积为: 50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=36 阴影部分面积表示汽车在 5 小时内行驶的路程为 360km。 (2)根据图有: 0 ? t ?1 ?50t ? 2004      ?80(t ? 1) ? 2054    1? t ? 2 ? ? s ? ?90(t ? 2) ? 2134    2?t?3 ?75(t ? 3) ? 2224    3?t ? 4 ? ? 4?t?5 ?65(t ? 4) ? 2299    画出它的函数图象 P121。在解决实际问题过程中,函数图象能够发挥很好的作 用,因 此, 我们应当注意提高读图的能力。本例题是分段函数是刻画现实问题的重要模 型。

例 4、 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题, 认识人口数量的变化规律, 可 以为有效控制人口增长依据。早在 1798 年,英国经济学家马尔萨斯就提出了自 然状 态下的人口增长模型:y= y 0 e rt ,其中 t 表示经过的时间,y0 表示 t=0 时的人口 数,
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r 表示人口的年平均增长率。 表 3-8 是 1950――1959 年我国的人口数据资料 (1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到 0.0001) 用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型, 并检验所得 模型 与实际人口数据是否相符; (2)如果按表 3-8 的增长趋势,大约在哪一年我国的人口达到 13 亿? 分析:分别求出 1950 到 1959 年的每一年的增长率,再算出平均增长率,得 到从 口增长模型 y=55196e0.0221t,作出原数据的散点图,作出模型的函数图象,可以 看出 这个模型与数据是否吻合, 用 Excel 电子表格作出图象展示给学生看。 第二问中, 13 亿是 130000 万人,将 y=130000 代入所求出的函数模型,即可用计算器算出大 约要在 39 年后达到 13 亿人口。 例 5、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元,每桶水的进 价是 5 元,销售单价与日均销售量的关系如下表所示: 销售单价/ 元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上根据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润? 解:由表中可知,销售单价每增加 1 元,日均销售量就减少 40 桶,设在进 价的 基础上增加 x 元后,日均销售利润为 y 元,在此情况下的日均销售量为: 480-40(x-1)=520-40x(桶) 由于 x>0,所且 520-40x>0,即 0<x<13 y=(520-40x)x-200=-40x2+520x-200, 0<x<13 由二次函数的性质,易知,当 x=6.5 时,y 有最大值。 所以只需将销售单价定为 11.5 元,就可获得最大的利润。 例 6、某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表所示: 身高 /cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 体重/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 (1)根据表提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个 地区未 成年男性体重 ykg 与身高 xcm 的函数关系?试写出这个函数模型的解析式。 (2)若体重超过相同身高男性体重平均值的 1.2 倍为偏胖,低于 0.8 倍为偏瘦, 那么 这个地区一名身高为 175cm,体重为 78kg 的在我校男生的体重是否正常? 解: (1)以身高为横坐标,体重为纵坐标,画出散点图,根据点的分布特征, 可 考虑用 y=a·bx 作为刻画这个地区未成年男性体重 ykg 与身高 xcm 关系的函数
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模型。 不妨取其中的两组数据(70,7.90) , (160,47.25)代入 y=a·bx 得: ?7.9 ? a ? b 70 ?a ? 2 ? ,用计算器解得: ? ? 160 ? ?b ? 1.02 ?47 .25 ? a ? b 这样,我们就得到一函数模型: y ? 2 ? 1.02 x 将已知数据代入上述函数解析式,或作出函数的图象,可以发现,这个函数 模型 与已知数据的拟合程度较好, 这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与 身高 的关系。 (2)将 x=175 代入 y ? 2 ? 1.02 x ,得: y ? 2 ? 1.02 175 ≈63.98 由于 78÷63.98≈1.22>1.2,所以这个男生偏胖。 练习:P126 作业:P127 7、8、9

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