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数列的综合应用(第二课时)


数列的综合应用
考纲要求: 1.掌握数列问题的综合应用 2.掌握数列与其它知识的交汇点 考点回顾 1.数列的概念,数列的通项公式与递推关系式;等差等比数列的有关公式和性质。 2.判断和证明数列是等差(等比)数列常用三种方法: (1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证 an ? an ?1 (

(2) 通项公式法: ①若 an = a1 + ( n ? 1) d = am + ( n ? m) d ,则 {an } 为等差数列; ②若 an = a1q
n ?1

an ) 为同一常数。 an ?1

= am q n? m ,则 {an } 为等比数列。

(3)中项公式法:验证 2an +1 = an + an + 2 an +1 = an an + 2 n ∈ N 都成立。
2

(

)

+

3.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法、累加累 乘法、归纳猜想证明法等。 4.数列的综合应用: ⑴函数思想、方程思想、分类讨论等思想在解决数列综合问题时常常用到。 ⑵数列与函数、数列与不等式的综合、数列与解析几何的综合等内容。 典题解 典题解析 考点二:数列与函数、方程、 考点二:数列与函数、方程、向量等的联系 例题 3.在平面直角坐标系中, 已知三个点列{An}, n}, n}, {B {C 其中 An ( n, a n ), Bn ( n, bn ) , C n (n ? 1,0) , 满足向量 An An+1 与向量 BnCn 共线,且点(B,n)在方向向量为(1,6)的线上 a1 = a, b1 = ? a. (1)试用 a 与 n 表示 a n ( n ≥ 2) ; (2)若 a6 与 a7 两项中至少有一项是 an 的最小值,试求 a 的取值范围。 分析:第(1)问实际上是求数列的通项;第(2)问利用二次函数中求最小值的方式来解决。 解: (1) An An +1 = (1, a n +1 ? a n ), Bn C n = ( ?1,?bn ),Q An An +1与Bn C n 共线, a n +1 ? a n = n, ∴ 又∵{Bn}在方向向量为(1,6)的直线上,∴

bn +1 ? bn = 6, 即bn +1 ? bn = 6 n +1? n

∴ bn = ? a + 6(n ? 1) a n = a1 + (a 2 ? a1 ) + (a3 ? a 2 ) + ... + (a n ? a n ?1 ) = a + b1 + b2 + ... + bn ?1

= a + (? a )(n ? 1) +

(n ? 1)(n ? 2) ×6 2 = a ? a (n ? 1) + 3(n ? 1)(n ? 2) = 3n 2 ? (9 + a )n + 6 + 2a (n ≥ 2)

(2)∵二次函数 f ( x ) = 3 x 2 ? ( a + 9) x + 6 + 2a 是开口向上,对称轴为 x =

a+9 的抛物线 6

又因为在 a6 与 a7 两项中至少有一项是数列{an}的最小项, ∴对称轴 x =

11 15 11 a + 9 15 a+9 ≤ ,∴ 24 ≤ a ≤ 36 应该在[ , ]内,即 ≤ 6 2 2 2 6 2

点评:本题是向量、二次函数、不等式知识和交汇题,要解决好这类题是要有一定的数学素养的。 例题 4.已知 f ( x) = log a x(0 < a < 1), {a n } ,若数列{an}

使得2, f (a1 ), f (a 2 ), f (a 3 ), KK , f (a n ),2n + 4(n ∈ N *) 成等差数列.
(1)求{an}的通项 an; (2)设 bn = a n ? f ( a n ), 若{bn}的前 n 项和是 Sn,且

2a 4 2na 2 n+ 4 < 1, 求证 : S n + < 3. 1? a2 1? a2

分析:观察数列特征,利用等差数列基本条件,得出通项公式,进而求解. 解:解:设 2,f(a1), f(a2), f(a3),……,f(an),2n+4 的公差为 d,则 2n+4=2+(n+2-1)d ? d=2,

∴ f (a n ) = 2 + (n + 1 ? 1)d = 2 + nd = 2n + 2 ? log a a n = 2n + 2 , ∴ a n = a 2 n + 2 .
(2)Q bn = a n ? f ( a n ) = a
2n+2

? log a a 2 n + 2 = (2n + 2)a 2 n + 2 ,

∴ S n = 4 a 4 + 6 a 6 + K + 2 n ? a 2 n + ( 2 n + 2) a 2 n + 2

∴ a 2 S n = 4a 6 + 6a 8 + K + (2n ? 2) ? a 2 n + 2n ? a 2 n + 2 + (2n + 2)a 2 n + 4 (1 ? a 2 ) S n = 4a 4 + 2[a 6 + K + a 2 n + 2 ] ? (2n + 2)a 2 n + 4 ,Q a ≠ 1, ∴ Sn = Q 2a 4 (1 ? a 2 n ) 2a 4 ? (2n + 2)a 2 n + 4 2a 4 1 ? a 2 n + = [ + 1 ? (n + 1)a 2 n (1 ? a 2 ) 2 1 ? a2 1 ? a2 1 ? a2

2a 4 < 1, 又0 < a < 1 ? 2a 4 + a 2 ? 1 = (2a 2 ? 1)(a 2 + 1) < 0, 1? a2 2 2

故2a 2 ? 1 < 0, 解得, 0 < a < Q

2a 4 < 1, 又a 2 n > 0, 2 1? a 2na 2 n + 4 2a 4 1 ? a 2 n 1 ? a2n 1 1 2n ∴ Sn + = ( +1? a ) < + 1 ? a2n < +1 < +1 = 3 2 2 2 2 2 1 1? a 1? a 1? a 1+ a 1? a 1? 2
考点三 考点三:数列与解析几何的联系

点评:本题考查等差、等比数列的性质,数列的求和,不等式的放缩,有一定的综合性。

例题 5. 过曲线 C : y = x 3 上的点 P1 ( x1 , y1 ) 作曲线 C 的切线 l1 与曲线 C 交于 P2 ( x 2 , y 2 ) , 过点 P2 作 曲线 C 的切线 l2 与曲线 C 交于点 P3 ( x3 , y 3 ) ,依此类推,可得到点列: P1 ( x1 , y1 ) ,

P2 ( x2 , y2 ), P3 ( x3 , y3 ), L , Pn ( xn , yn ), L , 已知x1 = 1

(1)求点 P2、P3 的坐标; (2)求数列 {x n } 的通项公式. (3)记点 Pn 到直线 l n +1 (即直线Pn +1 Pn + 2 ) 的距离为 d n ,求证: 1 + 1 + L + 1 > 4 . d1 d 2 dn 9 解: (1) P2 ( ?2,?8), P3 ( 4,64) (2)曲线 C 上点 Pn ( x n , y n ) 处的切线 l n 的斜率为 k n = y ′ = xn = 3 x n , x
2

故得到的方程为 y ? y n = 3 x n ? ( x ? x n )
2

? y = x3 ? 2 3 2 3 联立方程 ? y ? yn = 3 xn ? ( x ? xn ) 消去 y 得: x ? 3 x n ? x + 2 x n = 0 ? 3 ? yn = xn
化简得: ( x ? x n ) ? ( x + 2 x n ) = 0
2

所以: x = x n 或x = ?2 x n
3

由 x = x n 得到点 Pn 的坐标 ( x n , y n ), 由 x = ?2 x n 就得到点 Pn +1 的坐标 (?2 x n , ( ?2 x n ) ) 所以:

x n +1 = ?2 x n

故数列 {x n } 为首项为 1,公比为-2 的等比数列所以: x n = ( ?2)
n n n +1

n ?1

(3)由(2)知: Pn +1 (( ?2) , ( ?8) ), Pn + 2 (( ?2) 所以直线 l n 的方程为: y ? ( ?8) =
n

, (?8) n +1 ),

(?8) n ? (?8) n +1 ( x ? ( ? 2) n ) n n +1 (?2) ? (?2)

化简得: 3 ? 4 n x ? y ? 2 ? ( ?8) n = 0

dn =

| 3 ? 4 n ? (?2) n ?1 ? (?8) n ?1 ? 2 ? (?8) n | (3 ? 4 n ) 2 + (?1) 2


=

27 ? 8 n ?1 9 ? 4n + 1

<

27 ? 8 n?1 = 9 .2 n ? 3 3 ? 2 2n

所以 强化训练

1 1 1 n ?3 > ?( ) dn 9 2

1 1 1 8 1 8 1 4 + +L+ > (1 ? n ) ≥ (1 ? ) = d1 d 2 dn 9 9 2 9 2
2

1.在等比数列 {a n } 中, a3 和 a5 是二次方程 x + kx + 5 = 0 的两个根,则 a 2 a 4 a 6 的值为 (A) ± 5 5 (B) 5 5 (C) ? 5 5
2

( (D) 25



【答案】A 解析:根据韦达定理,有 a 3 a 5 = 5 ,又因为 a 4 = a 2 a 6 = a 3 a 5 = 5 ,则 a 4 = ± 5 ,所以

a 2 a 4 a 6 = ±5 5 。

2. 设函数 f(x)满足 f(n+1)= A.95 【答案】B

2 f (n) + n (n∈N*)且 f(1)=2,则 f(20)为( 2 B.97 C.105 D.192



1 ? ? f (2) ? f (1) = 2 × 1 ? ? f (3) ? f (2) = 1 × 2 n ? f(n+1)-f(n)= ? ? 2 2 ? M M ? ? f (20) ? f (19) = 1 × 19 ? 2 ?
相加得 f(20)-f(1)=

1 (1+2+…+19) ? f(20)=95+f(1)=97. 2


3. 已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为 q ,则 q 的取值范围是(

A. (0,

1+ 5 ) 2

B. (

1? 5 ,1] 2

C. [1,

1+ 5 ) 2

D. (

?1+ 5 1+ 5 , ) 2 2

【答案】D

?a + aq > aq 2 ?q 2 ? q ? 1 < 0 ? ? 2 2 设三边为 a, aq, aq 2 , 则 ?a + aq > aq ,即 ?q ? q + 1 > 0 ?aq + aq 2 > a ?q 2 + q ? 1 > 0 ? ?

?1 ? 5 1+ 5 <q< ? 2 ? 2 ?1 + 5 1+ 5 ? 得 ?q ∈ R ,即 <q< 2 2 ? ?1 + 5 ?1 ? 5 ?q > , 或q < ? 2 2 ?
4. 在 ?ABC 中, tan A 是以 ?4 为第三项, 4 为第七项的等差数列的公差,

1 tan B 是以 为第三项, 9 为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是( 3
A.钝角三角形 C.等腰直角三角形 【答案】B B.锐角三角形 D.以上都不对



1 a3 = ?4, a7 = 4, d = 2, tan A = 2, b3 = , b6 = 9, q = 3, tan B = 3 3

tan C = ? tan( A + B ) = 1 , A, B, C 都是锐角
5.弹子跳棋共有 60 颗大小相同球形弹子,现在棋盘上将它们叠成正四面体形球垛,使剩下的弹子 尽可能的少,那么剩余的弹子共有 ( )

(A) 0 颗

(B)4 颗

(C) 5 颗

(D) 11 颗

【答案】B 解析:最上面一层放 1 个,设最上一层是第一层,由上而下共有 n 层,第 k 层弹子数为

1 1 1 1 k (k + 1) ,总弹子数为 (12 + 2 2 + L + n 2 ) + (1 + 2 + L + n) = n(n + 1)(n + 2) , 2 2 2 6


1 n(n + 1)(n + 2) ≤ 60 得 n ≤ 6 ,故 n = 6 时剩余最小,且剩余 4 颗。 6


6.三个数 a, b, c 成等比数列,且 a + b + c = m( m > 0) ,则 b 的取值范围是 ( (A) [0,

m ] 3

(B) [ ? m,?

m ] 3

(C) (0,

m ) 3

(D) [ ? m,0) ∪ (0,

m ] 3

【答案】D 解析:设 a =

b b 1 m , c = bq ,则有 + b + bq = m,Q b ≠ 0,∴ + q + 1 = 。当 q > 0 时, q q q b

m 1 m m 1 m = + q + 1 ≥ 3 ,而 b > 0 ,∴ 0 < b ≤ ;当 q < 0 时, = + q + 1 ≤ ?1 ,即 ≤ ?1 ,而 3 b b q b q m > 0 ∴b < 0 ,则 ? m ≤ b < 0 ,故 b ∈ [? m,0) ∪ (0,
n ?1

m ]。 3
1 2n?1


7.设点 An ( xn ,0), Pn ( xn , 2

) 和抛物线 Cn :y=x +an x+bn(n∈N*),其中 an=-2-4n-
2

2

xn 由以下方法得到:x1=1,点 P2(x2,2)在抛物线 C1:y=x +a1x+b1 上,点 A1(x1,0)到 P2 的距离
是 A1 到 C1 上点的最短距离,…,点 Pn +1 ( xn +1 , 2 ) 在抛物线 Cn :y=x +anx+bn 上,点 An ( xn ,0) 到 Pn +1 的距离是 An 到 Cn 上点的最短距离. (Ⅰ)求 x2 及 C1 的方程. (Ⅱ)证明{ xn }是等差数列.
n 2

8.解:(Ⅰ)由题意,得 A(1,0),C1:y=x2-7x+b1. 设点 P(x,y)是 C1 上任意一点,则|A1P|= ( x ? 1) + y =
2 2 2

( x ? 1) 2 + ( x 2 ? 7 x + b1 ) 2 .

令 f(x)=(x-1)2+(x2-7x+b1)2,则 f ′( x ) = 2( x ? 1) + 2( x ? 7 x + b1 )(2 x ? 7). 由题意得, f ′( x2 ) = 0 , 即 2( x2 ? 1) + 2( x2 ? 7 x2 + b1 )(2 x2 ? 7) = 0. 又 P2(x2,0)在 C1 上,∴2=x22 -7x2+b1
2

解得 x2=3,b1=14.故 C1 方程为 y=x2-7x+14. (Ⅱ)设 P(x,y)是 C1 上任意一点,则|AnP|= ( x ? xn ) + y =
2 2 2

( x ? xn ) 2 + ( xn 2 + an x + bn ) 2 .

令 g(x)=(x-xn)2+(x2+anx+bn)2,则 g ′( x ) = 2( x ? xn ) + 2( x + an x + bn )(2 x + an ) , 由题意得, g ′( xn +1 ) = 0 , 即 2( xn +1 ? xn ) + 2( xn +1 + an xn +1 + bn )(2 xn +1 + an ) =0,
2

又∵ 2 = xn +1 + an xn +1 + bn ,∴(xn+1-xn)+2n(2xn+1+an)=0(n≥1),
n 2

即(1+2n+1)xn+1-xn+2nan=0,

(*)

下面用数学归纳法证明 xn=2n-1. ① 当 n=1 时,x1=1,等式成立. ② 假设当 n=k 时,等式成立,即 xk=2k-1. 则当 n=k+1 时,由(*)知(1+2
k+1

)xk+1-xk+2 ak=0,

k

xk ? 2 k ak 1 (*) 又 ak=-2-4k- k +1 ,∴ xk +1 = = 2k + 1 . 2 1 + 2k +1

即当 n=k+1,时等式成立. 由①②知,等式对 n∈N+成立,∴{xn}是等差数列. 9. 已知 f(x)=(x-1)2,g(x)=4(x-1),数列{an}满足 a1=2,(an+1-an)g(an)+f(an)=0。 (1) 用 an 表示 an+1; (2)求证: n-1}是等比数列; {a (3)若 bn=3f(an)-g(an+1),求{bn}的最大项 和最小项。 , 18.解: (1)∵(an+1-an)g(an)+f(an)=0,f(an)=(an-1)2,g(an)=4(an-1) ∴(an-1) n+1-3an-1)=0, 又 a1=2,∴ a n +1 = (4a

3 1 an + 。 4 4

(2)∵ a n +1 ? 1 =

3 3 (a n ? 1) ,∴{an-1}是以 a1-1=1 为首项, 为公比的等比数列。 4 4 3 4
n ?1

(3)由(2)可知:an-1= ( )

,∴an= ( )

3 4

n ?1

+1。

从而 bn= 3f(an)-g(an+1)= 3( )

3 4

2n?2

3 3 3 ? 4( ) n = 3 ? ( ) n ?1 [( ) n ?1 ? 1] 4 4 4 3 4
n ?1

因为 y= ( ) 为减函数,所以 bn 中的最大项为 b1 =0, 又 bn= 3[( )

3 4

n

1 3 3 ? ]? ≥ ? , 2 4 4

当 n 为整数时, ( )

3 4

n ?1



1 3 n ?1 1 ,所以只须考虑 ( ) 接近于 。 2 4 2

当 n=3 时, ( )

3 4

n ?1



9 1 1 3 n ?1 27 1 5 与 相差 ,当 n=4 时, ( ) = 与 相差 16 2 16 4 64 2 64



5 1 189 > ,所以 bn 中最小项为 b3 = ? . 64 16 256

19.已知抛物线 x 2 = 4 y ,过原点作斜率 1 的直线交抛物线于第一象限内一点 P ,又过点 P 作斜率 . 1 1

1 1 的直线交抛物线于点 P2 ,再过 P2 作斜率为 的直线交抛物线于点 P3 ,L ,如此继续,一般地, 2 4 1 过点 Pn 作斜率为 n 的直线交抛物线于点 Pn +1 ,设点 Pn ( xn , yn ) . 2 (Ⅰ)令 bn = x2 n +1 ? x2 n ?1 ,求证:数列 {bn } 是等比数列. 3 1 (Ⅱ)设数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,试比较 S n + 1 与 的大小. 4 3n + 10


(1) 故 解: 因为 P ( xn , yn ) 、P +1 ( xn +1 , yn +1 ) 在抛物线上, xn n n 的斜率为

2

= 4 yn , ① xn +1 = 4 yn +1 ②,又因为直线 Pn Pn +1
2

1 2n

,即

yn +1 ? yn 1 = ,①②代入可得 xn +1 ? xn 2

1 x 2 n +1 ? x 2 n 1 1 = n ? xn +1 + xn = n ? 2 ∴ bn = x2 n +1 ? x2 n ?1 = ( x2 n +1 + x2 n ) ? ( x2 n + x2 n ?1 ) 4 xn +1 ? xn 2 2 b 1 1 1 1 1 = 2n?2 ? 2n?3 = ? 2n?2 ,故 n +1 = ? {bn } 是以 为公比的等比数列; bn 4 4 2 2 2 4 1 3 1 n (2) S n = ? (1 ? n ) ? S n + 1 = n ,故只要比较 4 与 3n + 10 的大小. 3 4 4 4 n(n ?1) 2 n n 1 2 2 方法(一) 4 = (1+ 3) = 1+ Cn ? 3 + Cn ? 3 +L > 1+ 3n + 3 > 1+ 3n + 9 = 3n +10(n ≥ 3) , 2 3 1 3 1 当 n = 1 时, S n + 1 > ; 当 n = 2 时 Sn + 1 = ; 4 3n + 10 4 3n + 10 3 1 * 当 n ≥ 3, n ∈ N 时, S n + 1 < . 4 3n + 10 k 方法(二)用数学归纳法证明,其中假设 n = k ( k ≥ 3, k ∈ N ) 时有 4 > 3k + 10 ,
则当 n

= k + 1 时, 4k +1 = 4 ? 4 k > 4(3k + 10) = [3(k + 1) + 10] + 9k + 27 > 3(k + 1) + 10 .

温馨提示 1. “巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要,但用“基本量法”并树立“目 标意识”“需要什么,就求什么” , ,既要充分合理地运用条件,又要时刻注意题的目标,往往能 取得与“巧用性质”解题相同的效果 2.归纳——猜想——证明体现由具体到抽象,由特殊到一般,由有限到无限的辩证思想.学习这部 分知识,对培养学生的逻辑思维能力,计算能力,熟悉归纳、演绎的论证方法,提高分析、综合、 抽象、概括等思维能力,都有重大意义. 3.解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分 析法,一般递推法,数列求和及求通项等方法来分析、解决问题. 4.数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分,先利用解析几何的知识 以及数形结合得到数列的通项公式,然后再利用数列知识和方法求解. 方法总结 1. 求数列的通项通常有两种题型:一是根据所给的一列数,通过观察求通项;一是根据递推关系式 求通项。
新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王新王新 王 王

2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题,对不等式的证明有比较法、放缩,放缩通常有化归 等比数列和可裂项的形式;数学归纳法;有的还要用到条件不等式。 3. 数列是特殊的函数,而函数又是高中数学的一条主线,所以数列这一部分是容易命制多个知识点 交融的题,这应是命题的一个方向。 热点分析: 1. 数列中 S n 与 a n 的关系一直是高考的热点,求数列的通项公式是最为常见的题目,要切实注意 S n 与 a n 的关系。关于递推公式,在《考试说明》中的考试要求是: “了解递推公式是给出数列的一 种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项” 。但实际上,从近两年各地高考试题来看,是加大 了对“递推公式”的考查。

2. 探索性问题在数列中考查较多,试题没有给出结论,需要考生猜出或自己找出结论,然后给以证 明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求. 3. 等差、等比数列的基本知识必考。这类考题既有选择题,填空题,又有解答题;有容易题、中等 题,也有难题。 4. 求和问题也是常见的试题,等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握, 还应该掌握一些特殊数列的求和. 5.有关数列与函数、数列与不等式、数列与解析几何等问题既是考查的重点,也是考查的难点


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