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7-2 定积分的基本性质


第七 章 定积分
? ? ? ? §1 定积分的概念和可积条件 §2 定积分的基本性质 §3 微积分基本定理 §4 定积分的应用

教学内容:

本章内容、要求及重点

1、给出了定积分的概念和可积条件。
2、给出了定积分的基本性质。 3、给出了微积分基本定理及求定积分的常用方法。

4、给出了定积分的应用。

教学重点: 要求:

变限函数与定积分的概念;求定积分的方法。

1、理解变限函数与定积分的定义。

2、熟练掌握求定积分的方法,并会应用微积分知识解决 实际问题。
3、了解达布(Darboux)和及可积条件。

第二节
● ●

定积分的基本性质

一、基本性质 二、小结

一、基本内容
对定积分的补充规定:
( 1) 当 a ? b 时 , ? f ( x ) dx ? 0 ;
a b

( 2) 当 a ? b 时 , ? f ( x ) dx ? ? ?
a

b

a

b

f ( x ) dx .

说明 在下面的性质中,假定定积分都存 在,且不考虑积分上下限的大小.

性质1 ? [ f ( x ) ? g ( x )] dx ? ? f ( x ) dx ? ? g ( x ) dx a a a 证

b

b

b

.

?a [ f ( x ) ?
n

b

g ( x )] dx

? lim ? lim
?

? [ f (? i ) ? ??0 ? ??0
b

g (? i )] ? x i

i ?1 n

f (? i ) ? x i ? lim
b

i ?1

? ??0

n

g (? i ) ? x i

i ?1

?a

f ( x ) dx ?

?a g ( x ) dx .

(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)

性质2 证
b

?a kf
?a kf
??0

b

( x ) dx ? k ? f ( x ) dx
a

b

k ( 为 常 数 ).

( x ) dx ? lim
n

? kf ??0
i ?1

n

(? i ) ? x i

? lim k ? f (? i ) ? x i ? k lim
i ?1

? ??0

n

f (? i ) ? x i

i ?1

? k ? f ( x ) dx .
a

b

性质3

假设a ? c ? b

?a

b

f ( x ) dx ?

?a

c

f ( x ) dx ?

?c

b

f ( x ) dx .

补充:不论 a , b , c 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 a ? b ? c,

?a

c

f ( x ) dx ?
b

?a

b

f ( x ) dx ?
c

?b

c

f ( x ) dx
c

则 ?a f ( x ) dx ? ?a f ( x ) dx ? ?b f ( x ) dx
?

?a

c

f ( x ) dx ?

?c

b

f ( x ) dx .

(定积分对于积分区间具有可加性)

性质4 ? 1 ? dx ? ? dx ? b ? a . a a 性质5
如 果 在 区 间[a , b ]上 f ( x ) ? 0 ,
则 ? f ( x )dx ? 0 .
a b

b

b

(a ? b )



? f ( x ) ? 0, ? f (? i ) ? 0,

( i ? 1,2 ,? , n )

? ? xi ? 0,

?

?

n

f (? i )? x i ? 0,

i ?1

? ? max{ ? x 1 , ? x 2 , ? , ? x n }
? lim

? ??0

n

f (? i ) ? x i ?

i ?1

?a

b

f ( x ) dx ? 0 .

例 1

比较积分值 ?

?2

0

e dx 和 ?
x

?2

0

x dx 的 大 小 .



令 f (x) ? e x ? x,
? f ( x ) ? 0,

x ? [?2, 0]

?
0

?? 2

0

( e ? x ) dx ? 0 ,
x

?

?? 2 e

0

x

dx ?
x

?? 2x dx , ?0
?2

于是 ? e dx ? 0

?2

x dx .

性质5的推论:

(1)如 果 在 区 间 [ a , b ] 上 f ( x ) ? g ( x ) ,
则 ? f ( x )dx ?
a b

?a g ( x )dx .
f ( x )]dx ? 0 , ?

b

(a ? b )



? f ( x ) ? g ( x ),

? g ( x ) ? f ( x ) ? 0,

?

?a [ g ( x ) ? ?a g ( x ) dx
b

b

?a

b

f ( x ) dx ? 0 ,
b

于是

?a

b

f ( x )dx ?

?a g ( x )dx .

性质5的推论: (2) ?a f ( x )dx ? ?a f ( x ) dx 证
b b

.

(a ? b )

? ? f (x) ? f (x) ? f (x),

? ?


?a

b

f ( x ) dx ?

?a

b

f ( x ) dx ?

?a

b

f ( x ) dx ,

?a

b

f ( x )dx ?

?a

b

f ( x ) dx .

说明: | f ( x ) |在 区 间 [ a , b ] 上 的 可积性是显然的.

性质6

设 M 及m 分别是函数

f ( x ) 在 区 间[a , b ]上 的 最 大 值 及 最 小 值 ,


m (b ? a ) ?

?a
b

b

f ( x )dx ? M ( b ? a ) .



? m ? f (x) ? M ,

?

?a m dx

b

?

?a

f ( x ) dx ?

?a

b

Mdx ,

m (b ? a ) ?

?a

b

f ( x )dx ? M ( b ? a ).

(此性质可用于估计积分值的大致范围)

例 2

估计积分?

? 0

1 3 ? sin
3

dx 的 值 . x



f (x) ?
0 ? sin
3

1 3 ? sin
x ? 1,
3

, x 1 4 ?

? x ? [ 0 , ? ],

1 3 ? sin
3

? x

1 3

,

?0
?

?

1 4

dx ?
?

?0

?

1 3 ? sin 1
3

dx ? x ? 3 .

?0

?

1 3

dx ,

? 4

?

?0

3 ? sin

3

dx ? x

?

例 3

估计积分?

2 ? 4

sin x x

dx 的 值 .



f (x) ? f ?( x ) ?

sin x x

,

? ? x?[ , ] 4 2

x cos x ? sin x x
2

?

cos x ( x ? tan x ) x
2

? 0,

? ? f ( x ) 在 [ , ]上 单 调 下 降 , 4 2
故x ?
? 4

为极大点,x ?

? 2

为极小点,

M ? f( )? 4

?

2 2 ?

,

m ? f( )? , 2 ? ? 4 ,

?

2

? b?a ?
2 ? ? ? ? ? 4 ? 1 2
?

? 2
?

?

? 4

?

?

2 ? 4

sin x

2 2 ? dx ? ? , x ? 4 2 2 .

?

?

2 ? 4

sin x x

dx ?

性质7(定积分中值定理)
如 果 函 数 f ( x ) 在 闭 区 间[ a , b ] 上 连 续 ,
则 在 积 分 区 间 [ a , b ] 上 至 少 存 在 一 个 点? ,

使 ? f ( x )dx ? f ( ? )( b ? a ) .
a

b

(a ? ? ? b )

积分中值公式



? m (b ? a ) ?

?a
b

b

f ( x )dx ? M ( b ? a )

? m ?

? b?a a

1

f ( x ) dx ? M

由闭区间上连续函数的介值定理知

? 在 区 间[a , b ]上 至 少 存 在 一 个 点 ,

使

f (? ) ?
b

? b?a a

1

b

f ( x ) dx ,

即 ? f ( x )dx ? f (? )( b ? a ) . ( a ? ? ? b ) a 积分中值公式的几何解释:
y
f (? )

在 区 间 [a , b ]上 至 少 存 在 一 个 点 ? ,使 得 以 区 间 [ a , b ] 为
底边,
以曲线 y ? f (x)

为曲边的曲边梯形的面积

o

a

?

等 于 同 一 底 边 而 高 为 f (? )

b

x

的一个矩形的面积。

例 4 设 f ( x ) 可 导 , 且 lim 求 lim

x ? ??

f ( x ) ? 1,

? x ? ?? x

x?2

t sin

3 t

f ( t )dt .

解 由积分中值定理知有 ? ? [ x , x ? 2 ], 使 ?x
lim
x?2

t sin
x?2

3 t

f ( t )dt ? ? sin 3 t

3 ?

f ( ? )( x ? 2 ? x ), 3 f (? )

? x ? ?? x

t sin

f ( t )dt ? 2 lim ? sin
? ? ??

?

? 2 lim 3 f ( ? ) ? 6 .
? ? ??

二、小结
1.定积分的性质
(注意估值性质、积分中值定理的应用)

2.典型问题
(1)估计积分值; (2)不计算定积分比较积分大小.

作业:P293 1;3 ;5;9;12.

思考题
定 积 分 性 质 中 指 出 , 若 f ( x ), g ( x ) 在[ a , b ] 上 都 可 积 , 则 f ( x ) ? g ( x ) 或 f ( x ) g ( x ) 在[ a , b ] 上也可积。这一性质之逆成立吗?为什么?

思考题解答
由 f ( x ) ? g ( x ) 或 f ( x ) g ( x ) 在[ a , b ] 上 可 积 , 不 能 断 言 f ( x ), g ( x ) 在 [ a , b ] 上 都 可 积 。



? 1 , x 为有理数 f (x) ? ? ? 0, x 为无理数

? 0 , x 为有理数 g( x) ? ? ? 1, x 为无理数

显 然 f ( x ) ? g ( x ) 和 f ( x ) g ( x ) 在 [ 0 ,1 ] 上 可 积 , 但

f ( x ), g ( x ) 在 [ 0 ,1 ] 上 都 不 可 积 。

练习题
一、填空题: 1、 如 果 积 分 区 间? a , b
a

? 被 点c
b

分 成 ? a , c ?与 ? c , b ? , 则

2 、 如 果 f ( x ) 在 ?a , b ? 上 的 最 大 值 与 最 小 值 分 别 为
M 与 m ,则 ?
a

定 积 分 的 可 加 性 为 ? f ( x ) dx ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;

f ( x ) dx 有 如 下 估 计 式 : _ _ _ _ _ _ _ _ _
b

_______________________ ; 3 、 当 a ? b 时 , 我 们 规 定 ? f ( x ) dx 与 ?
a b a

f ( x ) dx 的 关
b

系 是 ______________________ ; 4、 积 分 中 值 公 式

?

b a

f ( x ) dx ? f ( ? )( b ? a ) , ( a ? ? ? b ) 的 几 何 意 义 是

_______________ ;

5、下 列 两 积 分 的 大 小 关 系 是 : ( 1 ) ? x dx _ _ _ __ ? x dx
2 3 1 1 0 2 0

( 2 ) ? ln xdx _ _ _ __ __ ? (ln x ) dx
2

2

( 3 ) ? e dx _ _ _ __ __ ? ( x ? 1 ) dx
x 0 0

1 1

1

1

二、证明:

?

b a

kf ( x ) dx ? k ?
3 3 3 2

b a

f ( x ) dx ( k 是常数 ) .

三、估计下列积分 ? 四、证明不等式: ?

xarc cot xdx 的 值 . x ? 1dx ? 2 .

1

六、用定积分定义和性质求极限: 1 1 1 ? ? ... ? ); 1 、 lim ( n? ? n ? 1 n? 2 2n
?

2 . 、 lim

七 、 设 f ( x ) 及 g ( x )在 ? a , b ?上 连 续 , 证 明 : 1 、 若 在 ?a , b ? 上 f ( x ) ? 0 , 且

n? ?

?

4 0

sin

n

xdx .

?

b a

f ( x ) dx ? 0 , 则 在

, b?上 f ( x ) ? 0 ; 2 、 若 在 ? a , b ? 上 , f ( x ) ? 0 , 且 f ( x ) 不 恒等于 0 , 则

?a
b

?

a

f ( x ) dx ? 0 ;
b a

3 、 若 在 ?a , b ? 上 f ( x ) ? g ( x ) , 且

?

b a

f ( x ) dx ?

?

g ( x ) dx , 则 在 ? a , b ?上 f ( x ) ? g ( x ) .

练习题答案
一 、 1 、 ? f ( x ) dx ?
a c

?
b a

b c

f ( x ) dx ;

2、 m (b ? a ) ? 3 、 ? f ( x ) dx
a b

?

f ( x ) dx ? M ( b ? a ) , a ? b ;
a b

? ??

f ( x ) dx ;

4、 曲 边 梯 形 各 部 分 面 积 的 代 数 和 等 于
f ( ? ) 与 b ? a 为邻 边 的 矩 形 面 积 ;

5、 (1)>; (2)>; (3)>. 3 ? 2 三 、 1 、 ? ? 1 x arctan xdx ? ? ; 9 3 3 2、
1 2 ?

?

1 0

dx 4 ? 2x ? x
2

? x

3

? arcsin

3 5

.


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