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高中新课标数学选修(2-1)空间向量与立体几何测试题(2)


空间向量与立体几何测试题
一、选择题 1.空间的一个基底 {a,b,c} 所确定平面的个数为(
A.1 个 B.2 个 C.3 个 ) D.4 个以上


uuu r 2.已知 A(1 2, 1) 关于面 xOy 的对称点为 B ,而 B 关于 x 轴的对称点为 C ,则 BC = ( ,?

4, A. (0, 2)

B. (0, 4, 2) ? ?

C. (0, 0) 4,

D. (2, ? 2) 0,

3.已知向量 a = ( x1,y1,z1 ),b = ( x2,y2,z2 ) ,若 a ≠ b ,设 a ? b = R ,则 a ? b 与 x 轴夹角的 余弦值为( A. )
x ?x x1 ? x2 x ?x (x ? x ) B. 2 1 C. 1 2 D. ± 1 2 R R R R uuur uuur uuuu r 4.若向量 MA MB, 的起点与终点 M,A,B,C 互不重合且无三点共线,O 是空间任一点, , MC

uuur uuur uuuu r , MC 则能使 MA MB, 成为空间一组基底的关系是(
uuuu 1 uuu 1 uuu 1 uuur r r r A. OM = OA + OB + OC 3 3 3
uuur uuur uuuu r B. MA ≠ MB + MC



uuuu uuu 1 uuu 2 uuur r r r C. OM = OA + OB + OC 3 3
uuur uuur uuuu r D. MA = 2MB ? MC

5 .正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1, E 是 A1 B1 的中点,则 E 是平面 ABC1 D1 的距离是

( A.



3 2 1 3 B. C. D. 2 2 2 3 6.一条长为 a 的线段,夹在互相垂直的两个平面之间,它和这两个平面所成的角分别是 45° 和 30° ,由这条线段两端向两平面的交线引垂线,垂足的距离是( )

A.

a 2

B.

a 3

C.

2a 2

D.

2a 3

7.若向量 a 与 b 的夹角为 60° b = 4 , (a + 2b)(a ? 3b) = ?72 ,则 a = ( ,



A. 2 B.4 C.6 D.12 8 .设 P 是 60° 的二面角 α ? l ? β 内一点, PA ⊥ 平面 α , PB ⊥ 平面 β , A,B 为垂足,
PA = 4,PB = 2 ,则 AB 的长为(

) C. 2 5 D. 2 7

A. 4 2

B. 2 3

9. ABCD 为正方形, P 为平面 ABCD 外一点, PD ⊥ AD,PD = AD = 2 ,二面角 P ? AD ? C
为 60° ,则 P 到 AB 的距离为( A. 2 2 B. 3 ) C.2 D. 7

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10







p = ( x,y,z ),q = (a,b,c)( xyz ≠ 0,abc ≠ 0)





有 )





( x 2 + y 2 + z 2 )(a 2 + b 2 + c 2 ) = (ax + by + cz )2 成立,则 p,q 之间的关系是(

A.平行 B.垂直 C.相交 D.以上都可能 11.已知平面 α 与 β 所成二面角为 80° P 为 α,β 外一定点,过点 P 一条直线与 α,β 所成 , 的角都是 30° ,则这样的直线有且仅有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 12 . 如 图 1 , 梯 形 ABCD 中 , AB ∥ CD , 且 AB ⊥ 平 面 α , AB = 2 BC = 2CD = 4 , P 为 α 内一动点, ∠APB = ∠DPC , P 点 点 且 则 的轨迹为( ) A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 二、填空题

1 13.已知 a = (1 ? t,? t,t ),b = (2,t,t ) ,则 b ? a 的最小值是



uuur uuur 14.在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,向量 BA1 与向量 AC 所成的角为



15.如图 2,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,已知 AB = 1 D 在棱 BB1 上,且 , BD = 1 ,若 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 α ,则 sin α = . 16.已知 m,l 是异面直线,那么:
①必存在平面 α 过 m 且与 l 平行; ②必存在平面 β 过 m 且与 l 垂直; ③必存在平面 γ 与 m,l 都垂直; ④必存在平面 δ 与 m,l 距离都相等. 其中正确命题的序号是 . 三、解答题 17 .设空间两个不同的单位向量 a = ( x,y1,,b = ( x2,y2, 与向量 c = (111) 的夹角都等于 0) 0) , ,
π .求: 1) x1 y1 的值; 2)求向量 a,b 的夹角。 ( ( 4

18.如图 3,已知直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 = 2 ,底面 ABCD 是直角梯形, ∠ADC 是直角, AB ∥ CD,AB = 4,AD = 2,DC = 1 ,求异面直线 BC1 与 DC 所成角的余弦值.

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19.如图 4,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AD = AA1 = 1 , AB = 2 ,点 E 在棱 AB 上移动, 问 AE 等于何值时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为
π . 4

20.如图 5 所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1 F 所截而得到的,其中 AB = 4,BC = 2,CC1 = 3,BE = 1 . uuu r (1)求 BF ;

(2)求点 C 到平面 AEC1 F 的距离.

21.如图 6,在三棱锥 P ? ABC 中, AB ⊥ BC , AB = BC = kPA ,点 O,D 分别是 AC,PC 的

中点, OP ⊥ 底面 ABC . (1)求证: OD ∥ 平面 PAB ; (2)当 k =
1 时,求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值; 2

(3)当 k 为何值时, O 在平面 PBC 内的射影恰好为 △PBC 的重心?

-3-

uuu r uuu r uuur 22.如图 7,已知向量 OA = a, = b, = c ,可构成空间向量的一个 OB OC 基底,若 a = ( a1,a2,a3 ), b = (b1,b2,b3 ),c = (c1,c2,c3 ) ,在向量已有的运算法则的基础上, 新定义一种运算 a × b = (a2 b3 ? a3b2,a3b1 ? a1b3,a1b2 ? a2 b1 ) ,显然 a × b 的结果仍为一向量,记作 p . (1) 求证:向量 p 为平面 OAB 的法向量;
(2) 求证: OA,OB 为边的平行四边形 OADB 的面积等于 a × b ; 以
uuur (3) 将四边形 OADB 按向量 OC = c 平移,得到一个平行六面体 OADB ? CA1 D1 B1 ,试判断

)c 平行六面体的体积 V 与 (a × b· 的大小.

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