当前位置:首页 >> >>

高中数学人教A版选修2-1高二理科《空间向量与立体几何训练题集萃》.docx

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作

空间向量与立体几何训练题集萃(含答案)

一选择题:

1. 下列说法中正确的是(B )

A. 若∣ a ∣=∣ b ∣,则 a , b 的长度相同,方向相反或相同;

B. 若 a 与 b 是相反向量,则∣ a ∣=∣ b ∣; C. 空间向量的减法满足结合律;

D. 在四边形 ABCD 中,一定有 AB ? AD ? AC .

2. 已知向量 a , b 是两个非零向量, a0,b0 是与 a , b 同方向的单位向量,那么下列各式正确的是( D)

A. a0 ? b0

B. a0 ? b0 或 a0 ? ?b0

C. a0 ? 1

D. ∣ a0 ∣=∣ b0 ∣

3. 在四边形 ABCD 中,若 AC ? AB ? AD ,则四边形是( D )

A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形

4. 下列说法正确的是( D )

A. 零向量没有方向

B. 空间向量不可以平行移动

C. 如果两个向量不相同,那么它们的长度不相等

D. 同向且等长的有向线段表示同一向量

5.以下四个命题中正确的是( C )

A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示

B.若{→a ,→b ,→c }为空间向量的一组基底,则{→a +→b ,→b +→c ,→c -→a }构成空间向量的另一组基底

C.△ABC 为直角三角形的充要条件为→AB·→AC=0

D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底 6. 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,与向量A→1B1模相等的向量有( C )
A.7 个 B.3 个 C.5 个 D.6 个

7.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列各式中运算结果为向量A→C1的是( D )

①(A→B+B→C)+C→C1;②(A→A1+A→1D1)+D→1C1;

③(A→B+B→B1)+B→1C1;④(A→A1+A→1B1)+B→1C1.

A.①③ B.②④ C.③④

D.①②③④

8. 对于向量 a 、 b 、 c 和实数λ ,下列命题中的真命题是( B )

A 若 a · b =0,则 a =0 或 b =0 B 若λ a =0,则λ =0 或 a =0 C 若 a 2= b 2,则 a = b 或 a =- b D 若 a · b = a · c ,则 b = c 9.P 为正六边形 ABCDEF 外一点,O 为 ABCDEF 的中心则→PA+→PB +→PC +→PD +→PE +→PF等于( C )

A.→PO

B.3→PO

C.6→PO D.→0

10. 下列说法正确的是( A ) A. a 与非零向量 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线 B. 任意两个相等向量不一定共线 C. 任意两个共线向量相等

马鸣风萧萧

D. 若向量 a 与 b 共线,则 a ? ?b 11. 将边长为 1 的正方形 ABCD 沿角线 BD 折成直二面角,若点 P 满足→BP=12→BA -12→BC +→BD,则|→BP |的值为( D )

3 A.2 B.2

10- 2 9 C. 4 D.4

12.已知平行六面体 ABCD ? A'B'C'D' ,M 是 AC 与 BD 交点,若 AB ? a, AD ? b, AA' ? c ,则与 B'M 相等的向量是( A )

A. ? 1 a ? 1 b-c ;
22

B. 1 a ? 1 b-c ;C. 1 a ? 1 b ? c ;

22

22

D. ? 1 a ? 1 b ? c .
22

13. 下列等式中,使 M,A,B,C 四点共面的个数是( B)

① OM ? OA ? OB ? OC; ② OM ? 1 OA ? 1 OB ? 1 OC; ③ MA ? MB ? MC ? 0; ④ OM ? OA ? OB ? OC ? 0 .
532

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

14. 在下列命题中:①若 a 、 b 共线,则 a 、 b 所在的直线平行;②若 a 、 b 所在的直线是异面直线,则 a 、 b 一定不共面;③若 a 、

b 、 c 三向量两两共面,则 a 、b 、 c 三向量一定也共面;④已知三向量 a 、b 、c ,则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为 p =

x a +y b +z c .其中正确命题的个数为 ( A ). A.0 B.1 C. 2 D. 3
15. 下列命题中:

①若 a ? b ? 0 ,则 a , b 中至少一个为 0 ②若 a ? 0 且 a ? b ? a ? c ,则 b ? c ③ (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

④ (3a ? 2b) ? (3a ? 2b) ? 9 a 2 ? 4 b 2

正确有个数为( B ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个

D. 3 个

16.

已知

e1



e2

是两个单位向量,夹角为

? 3

,则下面向量中与

2e2

?

e1

垂直的是(

C



A. e1 ? e2 B. e1 ? e2

C. e1

D. e2

17.若

a= (a1, a2 , a3 ) ,b= (b1,b2 ,b3 ) ,则

a1 b1

?

a2 b2

? a3 b3

是 a // b 的(

A



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不不要条件

18 已知 A?1,0,0?, B?0, ?1,1? , OA ? ?OB 与 OB 的夹角为 120°,则 ? 的值为( C )

A. ? 6
6

B. 6
6

C. ? 6
6

D. ? 6

19.若 a ? ?x,2,0?,b ? ?3,2 ? x, x2 ? ,且 a,b 的夹角为钝角,则 x 的取值范围是( A )

A. x ? ?4

B. ?4 ? x ? 0

C. 0 ? x ? 4

D. x ? 4

20.已知 a ? ?1, 2, ? y?,b ? ? x,1, 2? , 且 (a ? 2b) //(2a ? b) ,则( B )

A. x ? 1 , y ? 1

B. x ? 1 , y ? ?4 C. x ? 2, y ? ? 1

D. x ?1, y ? ?1

3

2

4

21. 已知两非零向量 e1,e2 不共线,设 a=λ e1+μ e2(λ 、μ ∈R 且λ 2+μ 2≠0),则( D )

A.a∥e1 B.a∥e2 C.a 与 e1,e2 共面 D.以上三种情况均有可能

22 正方体 ABCD-A′B′C′D′中,向量AB→′与BC→′的夹角是( C )A.30°

B.45° C.60° D.90°

23 设 A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足 A→B ·A→C =0,A→C ·A→D =0,A→B ·A→D =0,则△BCD 是( B )

A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定

24.平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,则 AC1 的长为( D )

A. 13

B. 43 C. 33

D. 23

25. 已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ ),若 a、b、c 三向量共面,则实数λ =( D )

马鸣风萧萧

A. 62 B. 63 C. 64

D. 65

7

7

7

7

26 若 a、b 均为非零向量,则 a ? b ?| a || b | 是 a 与 b 共线的( A )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

27.已知△ABC 的三个顶点为 A(3,3,2),B(4,-3,7),C(0,5,1),则 BC 边上的中线长为( B )

A.2 B.3 C.4 D.5

28 已知 a + b + c = 0 ,| a |=2,| b |=3,| c |= 19 ,则向量 a 与 b 之间的夹角 ? a,b ? 为( C ) A.30° B.45° C.60° D.以上都不对

29 .已知 a ? ?1,1,0?,b ? ??1,0, 2?, 且 ka ? b 与 2a ? b 互相垂直,则 k 的值是(D )

A. .1 B. 1

C. 3

D. 7

5

5

5

?

30.若 A (x,5 ? x,2x ?1),B (1, x ? 2,2 ? x) ,当 AB 取最小值时, x 的值等于( C )

A.19 B. ? 8 C. 8 D. 19

7

7

14

31.空间四边形 OABC 中, OB ? OC , ?AOB ? ?AOC ? ? ,则 cos < OA, BC >的值是(D ) 3

A. 1 2

B. 2 2

C.- 1 2

D. 0

32. 已 知 OA ? (1, 2 , 3,) OB ? (2,1, 2) , OP ? (1,1, 2) , 点 Q 在 直 线 OP 上 运 动 , 则 当 QA ? QB 取 得 最 小 值 时 , 点 Q 的 坐 标 为

( C)

(A). (1 , 3 , 1) 243

(B) (1 , 2 , 3) 234

(C) (4 , 4 , 8) 333

(D) ( 4 , 4 , 7) 333

二填空题:
33.已知 ABCD ,顶点 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2)则顶点 D 的坐标为_____.(1,-1,2) 34. Rt ABC 中,,∠BAC=90°, A(2,1,1),B(1,1,2), C(x,0,1)则 x=______2
35 已知 A(3,5,-7),B(-2,4,3),则 AB 在坐标平面 yoz 上的射影的长度为_____ 101

36 已知正方形 ABCD 的边长为 1,A→B=a,B→C=b,A→C=c,则|a+b+c|等于________. 3
37 已知 O 是空间任一点,A、B、C、D 四点满足任三点均不共线,但四点共面,且O→A=2xB→O+3yC→O+4zD→O,

则 2x+3y+4z=____1

38.已知 A,B,C 三点共线,则对空间任一点 O,存在三个不为 0 的实数λ ,m,n,使λ O→A+mO→B+nO→C=0,那么λ +m+n 的值

为________.1

39.已知矩形 ABCD,P 为平面 ABCD 外一点,M、N 分别为 BC、PD 的中点,且满足 M→N =xA→B+yA→D+zA→P则实

1 数 x,y,z 的值分别为________.-1,0,2

40.在空间四边形 ABCD 中,A→B ·C→D +B→C ·A→D +C→A ·B→D =________→0.

11 41.已知|a|=3 2,|b|=4,a 与 b 的夹角为 135°,m=a+b,n=a+λ b,则 m⊥n,则λ =________. 6

42.若向量

? a

?

? (4,2,?4), b

?

(6,?3,2)

,则 (2a

?

3b )

(a

?

2b )

?

__________________。118

43

若向量

? a

?

? 2i

?

? j

?

?? k,b

?

? 4i

?

9

? j

?

? k,

,则这两个向量的位置关系是___________。

a

?

b

44.已知向量

? a

?

(2,?1,3),

? b

?

(?4,2,

x) ,若

a

?

? b

,则

x

?

10 ______ 3 ;若

a

//

? b



x

?

______-6

45.已知向量

? a

?

? mi

?

? 5j

?

?? k,b

?

? 3i

?

? j

?

? rk ,



a

//

? b

则实数

m

?

______15,

r

?

1 _______-5。

46.若

A(0, 2,19)



B(1,

?1,

5)



C(?2,1,

5)

是平面 ?

内的三点,设平面 ?

的法向量

? a

?

(x,

y,

z)

,则

x

:

y

:

z

?

________________-2:

8

8

8

马鸣风萧萧

(-3):4。

47 已知关于 x 的方程 x2 ? ?t ? 2? x ? t2 ? 3t ? 5 ? 0 有两个实根, c ? a ? tb ,且 a ? ??1,1,3?,b ? ?1,0, ?2? ,

4 当 t= 时, c 的模取得最大值.-3

48.已知矩形 ABCD中, AB ? 1, BC ? a(a ? 0), PA ? 平面 AC ,且 PA ?1,若在 BC 边上存在一点 Q ,使得 PQ ? QD ,则 a 的取值范

围是

。a∈[2,+∞)

49 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动,并总保持 AP⊥BD1 则动点 P 的轨迹为(A ) A.线段 B1C B.线段 BC1 C.线段 B1B 的中点与 CC1 的中点连线段 D.线段 BC 的中点与 B1C1 的中点连线段 解答题

50.如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面三角形 ABC 中,CA=CB=1,∠BCA=900,棱 AA1=2,M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点。

(1)求 BN 的长;(2)求 cos ? BA1,CB1 ? 的值。
解:以 C 为原点建立如图空间直角坐标系, (1)B(0,1,0),N(1,0,1),
∴| BN |? (1? 0)2 ? (0 ?1)2 ? (1? 0)2 ? 3

z

C1 1

B1

A1

M

1

1

N

(2) A1(1,0,2), C(0,0,0), B1(0,1,2)

C By

A
∴| BA1 |? 6,| CB1 |? 5 ,

x

且 BA1 ? CB1 ? (1,0,2) ? (0,1,2) ? 3 ,

∴ cos

?

BA1 , CB1

??

BA1?CB1 |BA1|?|CB1|

?

30 10



51 如图,已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,M 是棱 AA1 的中点,点 O 是对角线 BD1 的中点。 (1)求证:BD1⊥AC; (2)求证:OM 是异面直线 AA1 与 BD1 的公垂线。 证明:以 D 为原点,DC、DA、DD1 所在的直线分别为 x、y、z 轴,建立如图所示空间直角坐标系,则 D(0,0,0),C(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),

M(0,1,

1 2

)

,O(

1 2

,

1 2

,

1 2

)。

(1) BD1 ? (?1,?1,1) , AC ? (1,?1,0) , ∴ BD1 ? AC ? (?1) ?1? (?1) ? (?1) ?1? 0 ? 0 ,

∴ BD1 ? AC ,即 BD1⊥AC 。

(2) OM

?

(?

1 2

,

1 2

,0), AA1

?

(0,0,1), BD1

?

(?1,?1,1) ,

因为 OM ? AA1 ? 0 , OM ? BD1 ? 0 , 所以 OM⊥AA1,OM⊥BD1,

即 OM 是异面直线 AA1 与 BD1 的公垂线。 52 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 A1B1、A1D1 的中点,E、F 分别是棱 B1C1、C1D1 的中点。
求证:(1)E、F、B、D 四点共面;

(2)平面 AMN∥平面 BDFE。

证明:以 D 为原点,DC、DA、DD1 所在的直线分别

为 x、y、z 轴,建立如图所示空间直角坐标系。

z

设正方体棱长为 1,则

A(1,0,0),

M(1,

1 2

,1),

N(

1 2

,0,1),

E(

1 2

,1,1),

F(0,

1 2

,1)

(1)

EF

?

(?

1 2

,?

1 2

,0),

DB

?

(1,1,0)

N D1

1

A1

M

1

F

C1

E1 B1

1

∴ DB ? ?2EF ,即 E、F、B、D 四点共面。

(2)

DF

?

(0,

1 2

,1), MN

?

(?

1 2

,?

1 2

,0), MA

?

(0,?

1 2

,?1)

设 n ? (x, y, z) 是平面 BDFE 的一个法向量,则

D

C

y

A

B

x

??n ? ? ??n ?

DF EF

? ?

0 0

?

? x ? 2z

? ?

y

?

?2z

∴可取 n ? (2,?2,1) 是平面 BDFE 的一个法向量。

马鸣风萧萧

易验证, n ? MN ? n ? MA ? 0 ,∴ n ? MN, n ? MA 。

即 n ? (2,?2,1) 也是平面 AMN 的一个法向量,∴平面 AMN∥平面 BDFE 。

53 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M,N 分别是 A1B1 和 BB1 的中点,求直线 AM 与 CN 所成夹角的余弦值。

解法一: AM ? AA1 ? A1M,CN ? CB ? BN

?

AM

? CN

?

( AA1

?

A1M

) ? (CB

?

BN )

?

AA1

?

BN

?

1 2

而| AM |?

( AA1 ? A1M ) ? ( AA1 ? A1M ) ?

| AA1 |2 ? | A1M |2 ?

1? 1 ? 5 42

1

同理可得| CN |?

5 2

,如令 ?

为所求的角,则 cos?

?

|

AM ?CN AM || CN

|

?

2 5

?

2 5

4

即直线 AM 与 CN 所成夹角的余弦值为 2 . 5

解 法 二 : 以 D 点 为 坐 标 原 点 , 分 别 以 DA, DC, DD1 的 方 向 向 量 为 x 轴 , y 轴 , z 轴 的 正 方 向 , 建 立 如 图 所 示 的 直 角 坐 标 系 . 则

A(1, 0, 0), M (1, 1 ,1),C(0,1, 0), N(1,1, 1)

2

2

? AM ? (0, 1 ,1),CN ? (1, 0, 1)

2

2



AM ?CN ? 0?1? 1 ? 0 ?1? 1 ? 1



2

22

| AM |? 02 ? ( 1)2 ?12 ? 5 , | CN |? 12 ? 02 ? ( 1 )2 ? 5

2

2

22

z

D1

A1

M

D

C1
B1 N Cy

1 ? cos? ? AM ?CN ? 2 ? 2 ,
| AM || CN | 5 ? 5 5 22

A

B

x

即直线 AM 与 CN 所成夹角的余弦值为 2 . 5

54 已知矩形 ABCD 中, AB ? 2,AD ? 1,将Δ ABD 沿 BD 折起,使点 A 在平面 BCD 内的射影落在 DC 上,E、F、G 分别为棱 BD、AD、AB

的中点。

(I)求证:DA⊥平面 ABC;

(II)求点 C 到平面 ABD 的距离;

(III)求二面角 G—FC—E 余弦值的大小。

解:如图,以 CB 所在直线为 x 轴,DC 所在直线为 y 轴,过点 C,平面 BDC 方向向上的法向量为 Z 轴建立空间直角坐标系。

则 C(0,0,0),A(0, ? 2 , 2 ),B(1,0,0),D 22

(0, ? 2 ,0),E( 1 , ? 2 ,0),F(0, ? 3 2 , 2 ),

2

2

44

G( 1 , ? 2 , 2 ) 2 44

(I)证明:

? ? DA ? (0,

2,

2

? ),BA

?

(?1,?

2,

2

? ),CB

?

(1,0,0)

22

22



? DA?

? BA

?

0

?

1

?

1

?

? 0,DA?

? CB

?

0

?

0

?

0

?

0,BA

?

CB

?

B

22

∴DA⊥平面 ABC

(II)解:设点 C 到平面 ABD 的距离为 d

? ? AC ? (0,

2 ,?

2

? ),AB

?

(1,

2 ,?

2

? ),AD

?

(0,?

2 ,?

2)

2

2

22

22

容易求出平面 ABD 的一个法向量为 n2 ? (? 2,1,? 1)

马鸣风萧萧

22

?

?

0?

? d ?|| AC | cos ? AC ,n2 ?|?| 1? 1?

? 2 2 |? 2 ?1?1

2 2

即点 C 到平面 ABD 的距离为 2 2

(III)解:?

? EC

?

(?

1



2

? ,0),EF

?

(? 1 ,?

2, 2)

22

2 44

容易求出平面 FEC 的一个法向量为 n3 ? ( 2,1,3)

? 又 GC

?

(?

1,

2 ,?

2

? ),GF

? (? 1 ,?

2 ,0)

24

4

22

容易求出平面 FGC 的一个法向量为 n4 ? (? 2,1,3)

? cos ? n3,n4

??

? 2 ?1? 9 12 ? 12

?

2 3

∴于是二面角 E—FC—G 的大小为 2 (等价于 sin ?EKH ? 1 ? ( 2)2 ? 5 )

3

33

马鸣风萧萧