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【名师一号】2014-2015学年北师大版高中数学必修4:第一章+三角函数++单元同步测试(含解析)


北师大版·数学·必修 4

高中同步学习方略

阶段性检测卷 (一 )
(时间: 120 分钟 满分:150 分 ) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.下列说法中,正确的是( A.第一象限的角都是锐角 B.第三象限的角必大于第二象限的角 C.-831° 是第二象限角 D.-95° 20′,984° 40′,264° 40′是终边相同的角 解析 对于 A 项来说,如 390° 是第一象限角,但它不是锐角; 对于 B 项来说,-170° 是第三象限角,120° 是第二象限角,但 120° >- 170° ; 对于 C 项来说, - 831° =-2×360° - 111° , 因为-111° 是第三象 限角,所以-831° 是第三象限角; 对于 D 项来说,984° 40′= 3×360° - 95° 20′,264° 40′= 360° - 95° 20′. 所以角 984° 40′, 264° 40′都与-95° 20′角的终边相同. 答案 D
? π? 2.函数 y=2tan?3x+ ?的最小正周期是( ? 4?

)

)

π A. 6 π C. 2 π 解析 T= . 3 答案 B
1

π B. 3 2 D. π 3

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? 3 3 ? 3.已知点 P?sin π,cos π ?落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 ? 4 4 ?

θ 的值为( π A. 4 5π C. 4

) B. 3π 4 7π 4

D.

3 7 3 7 解析 sin π=cos π,cos π=sin π. 4 4 4 4 答案 D π 4.把 y=sinx 的图像向右平移 后,再把各点横坐标伸长到原来 8 的 2 倍,得到的函数的解析式为(
?x π? A.y=sin? - ? ?2 8 ? ? π? C.y=sin?2x- ? ? 8?

)
?x π? B.y=sin? + ? ? 2 8? ? π? D.y=sin?2x- ? ? 4?

答案 A
? π? ? π ? 5.函数 y=sin?2x- ?在区间?- ,π?的简图是( ? 3? ? 2 ?

)

?π? ? π π? ? π? 解析 ∵ f? ?=sin?2× - ?= 0, 故 C, D 不正确, 又 f(0)=sin?- ? ?6 ? ? 6 3? ? 3?
2

北师大版·数学·必修 4 π 3 =-sin =- <0. 3 2 ∴ B 不正确. 答案 A 6.函数 y= sinx+lgcos x 的定义域为( lg?x2+2? )

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? π ? A.?x|2kπ≤x<2kπ+ ,k∈Z? ? 2 ? ? π ? B.?x|2kπ<x<2kπ+ ,k∈Z? ? 2 ?

C.{x|2kπ<x<?2k+1?π,k∈Z}
? π π ? D.?x|2kπ- <x<2kπ+ ,k∈Z? ? 2 2 ?

解析

? ?sinx≥0, 由? 得 ? ?cos x>0,

?2kπ≤x≤2kπ+ π, k∈ Z, ? π 3π 2 k π ≤ x < 2 k π + 或 2 k π + < x≤2kπ+ 2π, k∈ Z, ? 2 2
π 即 2kπ≤x< 2kπ+ , k∈ Z, 2 所以选 A. 答案 A
? π? 7.已知函数 f(x)=sin?x- ? (x∈R),下面结论错误的是( ? 2?

)

A.函数 f(x)的最小正周期为 2π
? π? B.函数 f(x)在区间?0, ?上是增函数 ? 2?

C.函数 f(x)的图像关于 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数
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? π? ?π ? 解析 f(x)=sin?x- ? =-sin? - x?=-cos x,显然 f(x)为偶函数, ? 2? ?2 ?

不是奇函数. 答案 D
?π ? 8.y=cos? -x ?在( ?4 ?

)

A.[-π,0]上是增加的
? 3π π? B.?- , ?上是增加的 ? 4 4? ? π π? C.?- , ?上是增加的 ? 2 2? ?π 5π? D.? , ?上是增加的 ?4 4 ? ?π ? ? π? π 解析 y=cos? - x?=cos?x- ?, 当 2kπ-π≤x- ≤2kπ(k∈ Z)时, ?4 ? ? 4? 4

函数是增加的,解得 2kπ-

3π π 3π ≤x≤2kπ+ (k∈ Z).当 k= 0 时,- 4 4 4

π ? 3π π? ≤x≤ ,∴x∈?- , ?时,函数是增加的. 4 ? 4 4? 答案 B 9.设 a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),则有( A.a<b<c C.c<a<b B.b<a<c D.a<c<b )

解析 a=-sin1, b=cos1, c=- tan1, ∵a<0, c<0, b>0,又 sin1<tan1, ∴-sin1>- tan1,故选 C. 答案 C πx 10. 已知函数 f(x)= 3sin 的图像上相邻的一个最大值点与一个 k
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最小值点恰好在圆 x2+y2=k2 上,则 f(x)的最小正周期是( A.1 B.2

C.3 D.4
?k ? ?k ? 解析 由题意可知点? , 3 ?在圆 x2+ y2= k2 上,所以? ? 2+ ( 3)2 ?2 ? ? 2?

2π = k2,解得 k= ± 2.此时,函数的最小正周期是 T= = 2|k|= 4. π |k| 答案 D 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知角 α 的终边过点 P(-4m,3m),(m≠0),则 2sinα+cos α =________. 6m - 4m 2 解析 当 m>0 时, |OP|= 5m,2sinα+cos α= + = ; 当 m<0 5m 5m 5 6m - 4m 2 时, |OP|=- 5m,2sinα+cos α= + =- . 5 - 5m - 5m 答案 2 2 或- 5 5

3 5 12.sin4π+cos π+tan3π-sin π+cos5π=________. 2 2 3 5 解析 sin4π+ cos π+ tan3π-sin π+ cos5π 2 2 π π =sin0+ cos + tanπ-sin +cosπ 2 2 = 0+ 0+ 0- 1- 1=- 2. 答案 -2 13.已知半径为 2 的扇形的面积为 4,则这个扇形的圆心角为 ________.

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1 解析 设这个扇形的弧长为 l,则 4= ×2×l,∴ l= 4,∴这个 2 l 4 扇形的圆心角 θ= = = 2. r 2 答案 2 π 14.若函数 f(x)=sinx+mcos x 图像的一条对称轴方程为 x= , 6 则实数 m 的值为________.
?π? 3 m 解析 由题意得 f(0)= f? ?,即 m= + ,得 m= 3. ?3 ? 2 2

答案

3

? 3 ? 15.若函数 f(x)=2sin?3x- π?,有下列命题:①其最小正周期为 ? 4 ?

2 π π; ②其图像由 y=2sin3x 向左平移 个单位得到; ③其表达式可写成 3 4
? 3 ? ?π 5 ? f(x)=2cos?3x+ π?;④在 x∈? , π? 为单调增函数.则其中真命题 ? 4 ? ? 12 12 ?

为________ . 2π 解析 由 T= ,故①正确; 3 π ? π? 将 y= 2sin3x 的 图像向左平移 个单位得到 y= 2sin3 ?x+ ? = 4 ? 4?
? 3 ? 2sin?3x+ π?,故②不正确; ? 4 ? ? 3 ? ? 3 ? y= 2cos?3x+ π?= 2cos?- 3x- π? ? 4 ? ? 4? ?π ? 3 ?? ? 5 ? = 2sin? -?- 3x- π??= 2sin?3x+ π? 4 ?? ? 4 ? ?2 ? ? 5 ? ? 3 ? = 2sin?3x+ π- 2π?= 2sin?3x- π?,故③正确; ? 4 ? ? 4 ?

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π 5π π 3 π ?π 5 ? 当 <x< 时,- <3x- π< ,故 f(x)在? , π?上单调递增, 12 12 2 4 2 ?12 12 ? 故④正确. 答案 ①③④ 三、解答题(本大题共 6 道题,共 75 分) 16.(12 分)化简: (1)sin420° cos330° +sin(-690° )· cos(-660° );
?π ? ?π ? ?π ? sin? +α?cos? -α? sin?π-α?cos? +α? ?2 ? ?2 ? ?2 ? (2) + . cos ?π+α? sin?π+α?

解 (1)sin420° cos330° +sin(- 690° )· cos(- 660° )=sin60° cos30° + sin30° cos60° = 1. cos αsinα sinα?- sinα? (2)原式= + -cosα -sinα =-sinα+sinα = 0. π 17.(12 分)已知扇形的圆心角 θ= ,它所对的弦长为 2,求扇形 3 的弧长和面积.

π 解 ∵扇形的圆心角 θ= (如图 ),∴△AOB 为等边三角形,∴R 3
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北师大版·数学·必修 4 π 2 = AB= 2,∴扇形的弧长 l=Rθ= 2× = π. 3 3 1 1 2 2 S 扇= Rl= ×2× π= π. 2 2 3 3

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18.(12 分)如图,点 P 是半径为 r cm 的砂轮边缘上的一个质点, 它从初始位置 P0 开始,按逆时针方向以角速度 ω rad/s 做匀速圆周运 动,求点 P 的纵坐标 y 关于时间 t 的函数关系式,并求点 P 的运动周 期和频率. 解 当质点 P 从位置 P0 开始转动 t s 时,点 P 转过的角度为 ωt. 设此时点 P 所在的位置为 P′,则∠P′Ox= ωt+ φ.由任意角的三角 函数得点 P 的纵坐标为 y= rsin(ωt+ φ),此即为所求的函数关系式. 2π 1 ω 点 P 的运动周期为 T= ,频率为 f= = . ω T 2π

19.(13 分)如图所示,是函数 y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0)的 一段图像. (1)求此函数解析式;
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北师大版·数学·必修 4 (2)分析该函数是如何通过 y=sinx 变换得来的? 1 ? 3? - -?- ? 2 ? 2? 1 解 (1)由图像知 A= = , 2 2 1 ? 3? - +?- ? 2 ? 2? k= =- 1, 2
?2π π? T= 2×? - ?=π, ? 3 6?

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2π ∴ ω= = 2. T 1 ∴ y= sin(2x+ φ)- 1. 2 π π π π 当 x= 时, 2× +φ= ,∴φ= . 6 6 2 6 1 ? π? ∴所求函数解析式为 y= sin?2x+ ?- 1. 2 ? 6? π ? π? (2)把 y=sinx 向左平移 个单位,得到 y=sin?x+ ? ,然后纵坐标 6 ? 6? 1 ? π? 保持不变、横坐标缩短为原来的 ,得到 y=sin?2x+ ?,再横坐标保 2 ? 6? 1 1 ? π? 持不变,纵坐标变为原来的 得到 y= sin?2x+ ?, 2 2 ? 6? 1 ? π? 1 最后把函数 y= sin?2x+ ?的图像向下平移 1 个单位,得到 y= 2 ? 6? 2
? π? sin?2x+ ? -1 的图像. ? 6?

20.(13 分)如果关于 x 的方程 sin2x-(2+a)sinx+2a=0 在 x∈
? π 5π? ?- , ?上有两个实数根,求实数 a 的取值范围. ? 6 6?

解 sin2x- (2+ a)sinx+ 2a= 0, 即 (sinx- 2)(sinx- a)= 0.
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? π 5π? ∵sinx- 2≠0,∴sinx= a,即求在 x∈?- , ? 上 sinx=a 有两 ? 6 6?

根时 a 的范围.
? π 5π? 1 由 y=sinx, x∈?- , ?与 y=a 的图像知 ≤a< 1. ? 6 6? 2 ?1 ? 故实数 a 的取值范围是? , 1? . ?2 ?

21.(13 分)设函数 f(x)=sin(2 x+φ)(-π<φ<0),f(x)图像的一条对 π 称轴是直线 x= , 8 (1) 求 φ; (2) 求函数 y=f(x)的单调增区间; (3) 画出函数 y=f(x)在区间[0,π]上的图像. π 解 (1)∵ x= 是函数 y= f(x)的图像的对称轴, 8
? π ? ∴sin?2× +φ? = ± 1. ? 8 ?

π π π ∴ +φ= kπ+ , (k∈ Z),φ= kπ+ , (k∈ Z). 4 2 4 3π ∵-π<φ<0,∴φ=- . 4 3π ? 3π? (2)由 (1)知 φ=- ,∴ y=sin?2x- ?. 4 ? 4? π 3π π 由题意得 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈ Z), 2 4 2 π 5π ∴ kπ+ ≤x≤kπ+ , (k∈ Z). 8 8
? 3π? 即函数 y=sin?2x- ?的单调增区间为 ? 4? ? π 5π? ?kπ+ , kπ+ ?, (k∈ Z). ? 8 8?
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北师大版·数学·必修 4 (3)由 y=sin?2x- x y 0 - 2 2
? ?

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3π? ?知, 4? π 8 -1 3π 8 0 5π 8 1 7π 8 0 π - 2 2

故函数 y= f(x)在区间 [0,π]上图像是

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