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河北省衡水中学11-12学年高二数学下学期期末考试 文【会员独享】

2011—2012 学年度第二学期高二年级期末考试 高二年级(文科)数学试卷

一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的 序号填涂在答题卡上) 1. 已知复数 z 满足 z ? i ? 2 ? i , i 为虚数单位,则 z ? ( A. 2 ? i B. 1 ? 2i
3

) D. ?1 ? 2i

C. ?1 ? 2i

2. 已知直线 ax ? by ? 2 ? 0 与曲线 y ? x 在点 P ( 1, 1) 处的切线互相垂直, 则 A.

a 的值为 ( ) b

1 3

B.

2 3

C. ?

2 3

D. ?

1 3


3. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a4 ? 18 ? a5 , 则S8 ? ( A.72 B.68 C.54

D.90

4.函数 y ? 2 sin 2 x ? sin 2x 的最小正周期( ) A.

? 4

B.

? 2

C. ?

D. 2?

π 5.在极坐标方程中,曲线 C 的方程是 ρ =4sinθ ,过点(4, )作曲线 C 的切线,则切线长为 6 C ( ) A.4 B. 7 C.2 2 D.2 3 A O . B P

6 如图,AB 是圆 O 的直径,P 是 AB 延长线上的一点,过 P 作圆 第六题 O 的切线,切点为 C,PC= 2 3 若 ?CAB ? 30 ,则圆 O 的直径
0

AB 等于( ). A.2 7. 直线 ? A. 30
0

P B.4
0

C.6

D. 2 3 ) D. 135
0

B E D C 第8题 A

? ?x ? ?2 ? t cos30 (t 为参数 ) 的倾斜角为( 0 ? y ? 3 ? t sin 60 ?
B. 60
0

C. 90

0

8.如图,过点P作圆O的割线PBA与切线PE,E为切点,连接AE,BE, ∠APE的平分线分别与AE、BE相交于C、D,若∠AEB= 30 0 ,则∠PCE等于( )

A 1500

B 750

C 1050

D 600

9 设圆 C 的圆心在双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的右焦点且与此双曲线的渐近线相切,若圆 C 被直 a2 2
) D. 3

线 l : x ? 3 y ? 0 截得的弦长等于 2 ,则 a 的值为( A. 2 B. 3 C. 2

10.已知正项等比数列 {an } 满足 a7 ? a6 ? 2a5 ,若存在两项 am , an ,使得 am an ? 4a1 ,

1 4 ? 的最小值是( ) m n 3 5 25 A. B. C. D.不存在 2 3 6
,则 11.已知 2 2+ =2 3 2 , 3 3 3+ =3 8 3 , 8 4 4+ =4 15 4 ,…,若 15 ) 6+ =6

a t

a , t

(a,t 均为正实数),则类比以上等式,可推测 a,t 的值,a+t=( A.35 B.40 C.41 D.42

2 2 2 12.若实数 x , y , z 满足 x ? y ? z ? 1 则 xy ? yz ? zx 的取值范围是(



A.[-1,1]

B.[ ?

1 ,1] 2

C.[-1, ]

1 2

D. [ ?

1 1 , ] 2 2

二、填空题(每题 5 分,共 20 分。把答案填在题中横线上) 13.不等式 |

2?x x ?2 |? 的解是___________ x x

14.下表是某厂 1 ~ 4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据: 月份 x 用水量 y
1

2

3 3

4

4.5

4

2.5

由散点图可知,用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归直线方程是

y ? ?0.7 x ? a ,则据此模型预测 6 月份用水量为________百吨

?

15.如图所示,AB 是圆的直径,点 C 在圆上,过点 B,C 的切线交 于点 P,AP 交圆于 D,若 AB=2,AC=1,则 PC=______,PD=______. 16 已知曲线 C1 、 C2 的极坐标方程分别为 ? ? ?2 cos(? ?

P C A D B

?
2

),

2 ? cos(? ? ) ? 1 ? 0 ,则曲线 C1 上的点与曲线 C2 上的点的最远距离为________. 4
三、解答题(共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

?

3 ? x ? ?2 ? t ? 3t ? ? x ? ?2 ?5 (t为参数) ?? ?4 4t ? y??22 ?y ? t ? 5 ?
它与曲线 C: (y-2) ? x ? 1 交于 A、B 两点。
2 2

(1)求|AB|的长 (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 P 的极坐标为 (2 2, 点 P 到线段 AB 中点 M 的距离。

3? ) ,求 4

18. (本题满分 12 分)已知不等式 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? m 的解集是 R (1)求实数 m 的取值集合 M; (2) 若 a , b ∈M,试比较 ab ? 9 与 3a ? 3b 的大小

19. (本题满分 12 分) 如图, ?ABC 内接于⊙ O , AB 是⊙ O 的直径, PA是过点 A 的直 线, 且 ?PAC ? ?ABC . (1) 求证: PA是⊙ O 的切线; (2)如果弦 CD 交 AB 于点 E , AC ? 8 ,
A E P C

.

O

B

CE : ED ? 6 : 5 , AE : EB ? 2 : 3 , 求 sin ?BCE .
D

20. (本题满分 12 分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图(1)、(2)、(3)、(4)为 她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现 按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形.

(1) 求出 f (2) , f (3) f (4) f (5) 并猜测 f ( n ) 的表达式; (2) 求证:

3 1 1 1 1 ? . + + +…+ f (1) f (2) ? 1 f (3) ? 1 f (n ) ? 1 2

21. ( 本 题 满 分 12 分 ) 已 知 圆 G: x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 经 过 椭 圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F 及上顶点 B.过椭圆外一点 (m ,0) (m ? a) 且倾斜角为 a2 b 2
5 ? 的直线 l 交椭圆于 C、D 两点. 6
(1) 求椭圆方程; (2) 若右焦点 F 在以 CD 为直径的圆 E 的内部,求 m 的取值范围。

22. (本题满分 12 分)设 a 为实数,函数 f (x ) ? e (1) 求函数 f ( x ) 的单调区间与极值;
x (2) 求证:当 a ? ln 2 ? 1 且 x ? 0 时, e ? x 2

x

? 2x ? 2a , x ? R

? 2ax ? 1

2011—2012 学年度第二学期高二年级期末考试 高二年级(文科)数学试卷答案 1-5 13-16 DDA C C (0,2) 6-10 1.05 B D:CA A 11-12 CB

3,

3 7 7

17.解:(Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得

7t 2 ? 60t ? 125 ? 0
设 A , B 对应的参数分别为 t1 , t 2 ,则 t 1 ? t 2 ? ?

60 . 7

t 1t 2 ? ?

125 7

……3 分

10 71 10 71 …… ? (?4) 2 t1 ? t2 ? 5 (t1 ?所以 t2 ) 2 ? AB 4t1t? ? (?3) 2 ? (? 4) 2 5 t1分 ? t2 ? 5 (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 2. 7 7
(Ⅱ)易得点 P 在平面直角坐标系下的坐标为 (?2,2) ,根据中点坐标的性质可得 AB 中点

M 对应的参数为

t1 ? t 2 6 30 ?. ? 2 7 7

……8 分

所以由 t 的几何意义可得点 P 到 M 的距离为

PM ? (?3) 2 ? (?4) 2 ?
18. 解: m ? 3 ab ? 9 ≥ 3a ? 3b

6 30 ? . 7 7

……10 分

19. (Ⅰ)证明: AB 为直径,? ?ACB ?

?
2

, ?CAB ? ?ABC ?

?
2



? ?PAC ? ?ABC ? ?PAC ? ?CAB ?

?
2

? PA ? AB, AB 为直径,? PA 为圆的切线 …………………… 4 分
(Ⅱ) CE ? 6k , ED ? 5k , , AE ? 2m, EB ? 3m

? AE ? EB ? CE ? ED ? m ? 5k BD 3m ? ?AEC ∽ ?DEB ? ? ? BD ? 4 5 8 6k BC 2 25m 2 ? 64 3k 2 2 5 ? ?CEB ∽ ?AED ? ? ? ( ) ? m ? 2, k ? 2 2 m 5 AD 25m ? 80 BD 4 5 2 5 ? AB ? 10, BD ? 4 5 在直角三角形 ADB 中 sin ?BAD ? ? ? AB 10 5
? ?BCE ? ?BAD ? sin ?BCE ?

2 5 …………………… 12 分 5

20. 解析:(1)∵ f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25, ∴ f(5)=25+4×4=41.

(2)∵ f(2)-f(1)=4=4×1,f(3)-f(2)=8=4×2,

f(4)-f(3)=12=4×3,f(5)-f(4)=16=4×4,
由上式规律得出 f(n+1)-f(n)=4n. ∴ f(n)-f(n-1)=4(n-1),f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2),

f(n-2)-f(n-3)=4·(n-3),… f(2)-f(1)=4×1,∴ f(n)-f(1)=4[(n-1)+(n-2)+…+2+1]=2(n-1)·n,∴ f(n)=2n2-2n+1(n≥2),又 n=1 时,f(1)也适合 f(n).∴ f(n)=2n2-2n+1.
(3)当 n≥2 时, ∴ 1 +

? ? f n -1 2n2-2n+1-1 2?n-1 n?
= 1 + -1 f 1 +…+ -1 f 1

1

1

1 1? 1 - ?, = 1 1 1? 1 1 1 - ? =1+ ?1- + - +…+ n-1 n? 2? 2 2 3 ?

f

f

n -1

1? 1? 3 1 =1+ ?1- ?= - . 2? n? 2 2n

.

22