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2011级数学分析第2学期期中考试2012-4-11(电院)


上 海 交 通 大 学 试 卷
( 2011 至 2012 学年 第 2 学期 2012 年 4 月 11 日 ) 学号 姓名 成绩 班级号_________________ 课程名称

《数学分析 C 类(2)》 (电院期中考试)

题 号 满 分 得 分

一 15

二 15

三 16

四 40

五 8

六 6

总 分 100

一、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 1. 函数 z ? (1 ? y) x 在 (1,1) 处的全微分 dz (1,1) ? 2. 曲面 z ? . . . . .

x2 ? y 2 ? 2 平行于平面 2 x ? 2 y ? z ? 0 的切平面方程是 2

3. 函数 u ? 3xz 2 ? xy ? 2 z 在点 (1,1,1) 处方向导数的最大值等于 4. 交换二次积分次序:? dx ?
1 2 x x

f ( x, y)dy ? ? dx ?
2

4

2 x

f ( x, y)dy ?

? x2 ? y 2 ? z 2 ? R2 , 5. 设曲线 C 为 ? ( R ? 0 ),则曲线积分 ? xy ds = C ? x ? y ? z ? 0,
二、单项选择题(每小题 3 分,共 15 分) 6. 已知曲线积分 ? 关,则常数 a 等于 (A) 1 . 7. 极限 lim ?
r ?0

ay x dx ? dy 在区域 ?( x , y ) x ? y ? 0 ? 内与路径无 2 C ( x ? y) ( x ? y)2
(C) 2 .
? y2

(B) ?1 .

(D) ?2 .





1 r2

x ? y ?r

2

??
2

ex
2

2

dxdy 等于
(C) 1 . (D) π . 【 】

(A) 0 .

1 (B) . π

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8. 设曲面 S 为 x2 ? y 2 ? z 2 ? R2 ( z ? 0) 的上侧, S1 为 S 位于第一卦限部分,则有 (A) ?? xdS ? 4?? xdS .
S S1

(B) ?? xyzdS ? 4?? xyzdS .
S S1

(C) ?? xdydz ? 4?? xdydz .
S S1

(D) ?? x 2dydz ? 4?? x 2dydz .
S S1





π? π ? π 9. 设区域 D 由曲线 y ? sin x ? ? ? x ? ? , x ? ? , y ? 1 围成,则 2? 2 ? 2

??

D

( xy 3 ? 1)dxdy 等于

(A) ?π .

(B) ?2 .

(C) 2 .

(D) π .





10. 设函数 f ( x, y) 在 (0, 0) 处连续,那么下列命题正确的是 (A) 若极限 lim (B) 若极限 lim
x ?0 y ?0

f ( x, y ) 存在,则 f ( x, y) 在 (0, 0) 处可微. x ?0 | x | ? | y | y ?0
f ( x, y ) 存在,则 f ( x, y) 在 (0, 0) 处可微. x2 ? y 2
x ?0 y ?0

(C) 若 f ( x, y) 在 (0, 0) 处可微,则极限 lim (D) 若 f ( x, y) 在 (0, 0) 处可微,则极限 lim
x ?0 y ?0

f ( x, y ) 存在. | x|?| y|

f ( x, y ) 存在. x2 ? y 2





三、计算下列各题(每小题 8 分,共 16 分)
x

11. 设函数 u ? e y ? z 2 ,其中 z ? z ( x, y) 是由方程

x z ? ln 确定的隐函数,求 z y

x

?u ?u . ?y ?x ?y

12. 设函数 z ? f ( xy, yg ( x)) , 其中 f 具有二阶连续的偏导数,g ( x) 可导且在 x ? 1 处取得极值 g (1) ? 1 ,求

?2 z . ?x?y (1,1)

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四、计算下列积分(每小题 10 分,共 40 分)

? 1, 当 u ? 0 时, ? 13. I1 ? ?? sgn( xy ? 1)dxd y ,其中 sgn(u ) ? ?0, 当 u ? 0 时, D ??1, 当 u ? 0 时, ? D ? ?( x, y) | 0 ? x ? 2,0 ? y ? 2? .

14. I 2 ? ? 3x 2 ydx ? ( x3 ? 2 x ? 2 y)dy , 其 中 C 是 第 一象 限中从 点 (0, 0) 沿 圆 周
C

x ? y ? 2 x 到点 (2, 0) ,再沿圆周 x 2 ? y 2 ? 4 到点 (0, 2) 的曲线段.
2 2

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15. I3 ? ?? 2 x3dydz ? 2 y 3dzdx ? (1 ? 6 z )dxdy ,其中 S 是 z ? x 2 ? y 2 ? 1 ( ? 1 ? z ? 0 )
S

的下侧.

16. I 4 ? ?? z 2dS , 其中 S 为锥面 z ? x 2 ? y 2 被柱面 x 2 ? y 2 ? 2 y 所截部分.
S

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五、 (本题共 8 分) 17. 设函数 f ( x, y) 在有界闭区域 D 上具有二阶连续的偏导数, 且
?2 f ?2 f ?2 f , ? ? 0 ? 0. ?x 2 ?y 2 ?x?y

证明: f ( x, y) 必在 D 的边界 ?D 上取得最值.

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六、 (本题共 6 分) 18. 设函数 f ( x, y) 在单位圆盘 D ? ( x, y) x 2 ? y 2 ? 1 上具有二阶连续的偏导数,

?

?

? x ?f y ?f ? ?2 f ?2 f 并且满足 2 ? 2 ? x 2 y 2 . 计算积分 I ? ?? ? ? ? ? ? dxdy . ? x 2 ? y 2 ?x ?x ?y x 2 ? y 2 ?y ? D ? ?

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