当前位置:首页 >> 数学 >>

天津市2013届高三数学总复习之综合专题:圆锥曲线(理)(教师版)


圆锥曲线(理) 考查内容:本小题主要考查圆锥曲线的标准方程及其简单的几何性质,直线的方 程,平面向量等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数 形结合的思想,考查运算和推理能力。 1、长度为 a ( a
??? ? ??? ? AP ? ? PB ( ?

? 0)

的线段 A B 的两个端点 A , B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动,点 P 在线段 A B 上,且
? 0 )

为常数且 ?



(1)求点 P 的轨迹方程 C ,并说明轨迹类型; (2)当 ?
? 2

时,已知直线 l 与原点 O 的距离为
1

a 2

,且直线 l 与轨迹 C 有公共点,求直线 l 的
1 1

斜率 k 的取值范围。
??? ? ? x 0 ? (1 ? ? ) x ??? ? ? x ? x0 ? ? ? x ? ? ? PB ? ? ? ? 1? ? y ? y ? ? ( y0 ? y ) ? y0 ? ? ?
2

解: (1)设 P ( x ,

y)

、 A(x

0

, 0)

、 B (0 ,

y0 )

,则 A P

,由此及

| A B |? a ? x 0 ? y 0 ? a
2 2

2

,得 ? (1 ? ? ) x ?

2

?? 1 ? ? ? ? 2 ? ?? ? y? ? a ?? ? ? ?

2

,即 x

2

?

y

2 2

?

? a ? ? ? ? ?1? ? ?



①当 0

? ? ? 1 时,方程的轨迹是焦点为 ( ?

1? ? 1? ?
?1? ?

a , 0 ) ,长轴长为

2 1? ? 2?

a

的椭圆;

②当 ? ③当 ?

?1

时,方程的轨迹是焦点为 ? 0 , ? ?
?

?

? a? ? 1? ? ?

,长轴长为
a 2

1? ?

a

的椭圆;

?1

时,方程的轨迹是焦点为以 O 点为圆心,
? kx ? h

为半径的圆。
? a 2

(2)设直线 l 的方程: y
1

,据题意有

h 1? k
2

,即 h

?

a 2

1? k

2



? y ? kx ? h ? 由? 2 9 2 2 y ? a ?9 x ? 4 ?

, 9 (1 ? 得

k

2

)x

2

?

9 2

kx h

?

9 4

h

2

? a

2

? 0

, 因为直线 l 与椭圆 9 x 2
1

?

9 4

y

2

? a

2

4

有公共点,所以 ?
2

? 9(4 ? k )a
2

2

? 81 h

2

? 0, ,又把 h ?

a 2

1? k

2

代入上式得:

k

?

7 5

,? ?

35 5

? k ?

35 5



-1-

2、已知椭圆 C 经过点 A (1)求椭圆 C 的方程;

(1,

3 2

)

,两个焦点为 ( ? 1, 0 ), (1, 0 ) 。

E (2) , F 是椭圆 C 上的两个动点, 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数, 证明直线 EF

的斜率为定值,并求出这个定值。 解: (1)由题意, c ? 1, 可设椭圆方程为 ∵ A 在椭圆上,∴ ∴椭圆 C 的方程为
1 1? b
2

x

2 2

1? b
2

?

x b

2 2

?1,
3 4

?
2

9 4b
2

? 1 ,解得 b

? 3

,b 2

? ?

(舍)

x

2

?

y

?1

4

3


3 2

(2)设 AE 的方程为: y
2 2

? k ( x ? 1) ?

,代入

x

2

?

y

2

? 1 得:

4

3

(3 ? 4 k ) x ? 4 k (3 ? 2 k ) x ? 4 (

3 2

? k ) ? 12 ? 0
2

,设 E

( xE , yE )

,F

( xF , yF )



∵点 A

(1,

3 2

4(

3 2

? k ) ? 12
2 2

)

在椭圆上,∴ x E

?

3 ? 4k

, yE ? kxE ?

3 2

?k



又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式以 ? k 代 k ,
3 2 3 ? 4k
2

4(

? k)

2

? 12 , yF ? ? kxF ?

可得 x F ?

3 2

? k

∴直线 EF 的斜率 k E F ? 即直线 EF 的斜率为定值

yF ? yE xF ? xE
1 2

?

? k (xE ? xF ) ? 2k xF ? xE

?

1 2




2

F1 ? 3F10、F 2 分别是椭圆 0 3、设 , ?, 3 , 0 3,, F 2 3 , 0

?

??

? ? ??

x

?4

? y

2

? 1 的左、右焦点。

(1)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 P F1 ? P F 2 的最大值和最小值; (2)设过定点 M
(0 ,2 )

???? ???? ?

的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A , B ,且 ? AOB 为锐角(其中 O 为坐标

原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围。 解: (1)依题易知 a
? 2 , b ? 1, c ? 3

,所以 F1 ? ?
-2-

3 , 0 , F2

?

?

3,0

? ,设 P ? x , y ? ,

???? ???? ? 则 P F1 ? P F 2 ? ?

?

3 ? x, ? y ,

??

3 ? x, ? y ? x ? y ? 3 ? x ? 1 ?
2 2
2

?

x

2

?3 ?

1 4

4

?3x

2

? 8?

因为 x ? ? ? 2 , 2 ? ,故当 x 当x
? ?2

? 0

,即点 P 为椭圆短轴端点时, P F1 ? P F 2 有最小值—2
???? ???? ?

???? ???? ?

,即点 P 为椭圆长轴端点时, P F1 ? P F 2 有最大值 1。
? 0

(2)显然直线 x
? y ? k (x ? 2) ? 联立 ? x 2 2 ? y ?1 ? ? 4

不满足题设条件,可设直线 l :
? ?

y ? k ( x ? 2)

, A ? x 1 , y 1 ?, B ? x 2 , y 2 ?

,消去 y ,整理得: ? k 2
3 k
2

?

1 ? 2 ? x ? 4 kx ? 3 ? 0 4 ?

∴ x1

? x2 ? ? k

4k
2

?

1 4

, x1 ? x 2 ?

?

1 4

由?

?

?4k ?

2

1 ? ? 2 ? 4 ? k ? ? ? 3 ? 4k ? 3 ? 0 4 ? ?

得: k

? ?

3 2

或k
2

?

3 2


2

y 1 y 2 ? ? kx1 ? 2 ? ? kx 2 ? 2 ? ? k x1 x 2 ? 2 k ? x1 ? x 2 ? ? 4 ?
2

3k k
2

?

1 4

?

?8k k
2

?

1 4

? 4 ?

?k k
2

2

?1 1 4

?

又OA ?OB

??? ??? ? ?

? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0


k
2

3 ? 1 4

?

?k k
2

2

?1 1 4

? 0

,即 k 2

? 4

,∴ ? 2

? k ? 2



?

故有 ? 2

? k ? ?

3 2



3 2

? k ? 2



4、已知椭圆的中心在坐标原点 O ,焦点在 x 轴上,椭圆的短轴的端点和焦点所组成的四边形 是正方形,且两准线间的距离为 4。 (1)求该椭圆的方程; (2)若直线 l 过点 P ? 0 , 2 ? ,且与椭圆交于不同的两点 A , B ,当 ? AOB 面积取得最大值时,求 该直线 l 的方程,并求出 ? AOB 面积的最大值。

-3-

5、已知椭圆方程为
Q

y

2

? x

2

? 1 ,斜率为 k ( k ? 0 )

的直线 l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于 P ,
(0, m )

2

两点,线段 P Q 的垂直平分线与 y 轴相交于点 M 的取值范围;



(1)求实数

(2)求 ? MPQ 面积的最大值。 解: (1)设直线 l 的方程为
? y ? k x ? 1, ? y ? k x ? 1 ,由 ? y 2 可得 ( k 2 ? 2 ) x 2 ? 2 k x ? 1 ? 0 2 ? x ? 1, ? ? 2
?2k k
2



设 P ( x 1 , y 1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) ,则 x 1 ?

x2 ?

? 2

, x1 x 2

? ? k

1
2

? 2



-4-

可得 y 1 ?

y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2 ?

4 k
2

? 2


?k k
2

设线段 PQ 中点为 N ,则点 N 的坐标为 (

? 2

, k

2
2

? 2

)



m ?

2 k ? 2 ? k ? ?1 。 k
2 2

由题意有 k MN

? k ? ? 1 ,可得

k
1 k
2

? 2
1 2

可得 m

?

? 2

,又 k

? 0

,所以 0

? m ?



(2)设椭圆上焦点为 F ,则 S ? M P Q

?

1 2

? F M ? x1 ? x 2 ?

2 m (1 ? m )

3

所以 ? MPQ 的面积为

2

m (1 ? m )

3

,0

? m ?

1 2





f ( m ) ? m (1 ? m )

3

,则

f ' ( m ) ? (1 ? m ) (1 ? 4 m )
2

,可知

f (m )

在区间 ( 0 ,

1 4

)

单调递增,在区间

(

1 4

,

1 2

)

单调递减。所以,当 m

?

1 4

时,

f (m )

有最大值

f (

1 4

) ?

27 256



所以,当 m

?

1 4

时, ? MPQ 的面积有最大值

3

6


? 4)

16

6、已知椭圆的中心在原点,一个焦点是 F ( 2 , 0 ) ,且两准线间的距离为 ? ( ? (1)求椭圆的方程;



(2)若存在过点 A ?1, 0 ? 的直线 l ,使点 F 关于直线 l 的对称点在椭圆上,求 ? 的取值范围。 解 :( 1 ) 设 椭 圆 的 方 程 为
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) .

由条件知

c ? 2,



2a c

2

? ?,

所以

a

2

? ?, b

2

? a ?c
2

? ? ? 4 . 故椭圆的方程是
2

x

2

?

?

y

2

? ?4

? 1( ? ? 4 ) . 。

(2)依题意, 直线 l 的斜率存在且不为 0,记为 k ,则直线 l 的方程是 y

? k ( x ? 1).

-5-

x0 ? 2 ? y0 ? k( ? 1), ? 2 ? 2 设点 F ( 2, ) 关于直线 l 的对称点为 F ? ( x 0, y 0 ), 则 ? 0 y0 ? ? k ? ?1 ? x0 ? 2 ?

2 ? x ? , 2 ? 0 ? 1? k 解得 ? ,因为点 F ? y ? 2k 0 2 ? 1? k ?

'

? x 0 , y 0 ? 在椭圆上,所以

(

2 1? k
2

)

2

( ?

2k 1? k
2

)

2

?

? ?4

? 1.

即 ? (? 设k 2

? 4)k

4

? 2? (? ? 6)k
2

2

? (? ? 4) ? 0.
2 2

? t,

则 ? (?

? 4 )t ? 2 ? (? ? 6 )t ? (? ? 4 ) ? 0 .
2 3

? ? ? [ 2 ? (? ? 6 )] - 4 ? (? ? 4 ) , (? ? 4 ) ? (? ) 因为 ? ? 4 , ,所以 ? 0 . ,于是,当且仅当 ? 2 ? ( ? ? 6 ) ? 0. ? (? ? 4 ) ?? ? (? ? 4 ) ?
2

16 ? , ?? ? 上述方程存在正实根,即直线 l 存在,解得 ? 3 ?4 ? ? ? 6. ?

所以 4

? ? ?

16 3

. ,即 ?
2 2 2 2

的取值范围是 4

? ? ?

16 3

.。

7、设椭圆 C :

x

?

y b

? 1( a ? b ? 0 )

,过点 M

(

a

2, ,且左焦点为 F1 ( ? 1)

2, ) 0



(1)求椭圆 C 的方程;
1) (2)当过点 P ( 4, 的动直线 l 与椭圆 C 相交于两不同点 A , B 时,在线段 AB 上取点 Q ,满足

AP ? QB

? AQ ? PB

。证明:点 Q 总在某定直线上。

解析:本题主要考查直线、椭圆的方程及几何性质、线段的定比分点公式等基础知识、基本 方法和分析问题、解决问题的能力。
? c ? 2, ? 1 ? 2 解: (1)依题: ? 2 ? 2 ? 1,解得 a 2 ? 4, b 2 ? 2 b ?a 2 ? c ? a 2 ? b 2. ?
2

,所求椭圆方程为

x

2

?

y

2

? 1。

4

2

(2)设点 Q ? x , y ?, A ? x 1 , y 1 ?, B ? x 2 , y 2 ? ,由题设知

??? ??? ???? ??? ? ? ? A P ,P B ,A Q , B Q

均不为零,

-6-

??? ? ???? AP AQ 记 ? ? ??? ? ???? ? PB QB

,则 ?

? 0

且?
??? ?

? 1。
??? ???? ? ??? ? ? ? ? P B, Q ? ? Q B A

又 A , P , B , Q 四点共线,从而 A P 于是 4 从而
?
2

。 。

x1 ? ? x 2 1? ?
2 2

,? 1

y1 ? ? y 2 1? ?
2

,x
2

?
2

x1 ? ? x 2 1? ?
? y

,y ?

y1 ? ? y 2 1? ?

x1 ? ? x 2 1? ?
2

? 4x

...①;

y1 ? ? y 2 1? ?
2

...②
? 2 y2 ? 4
2

又点 A , B 在椭圆 C 上,即 x12

? 2 y1 ? 4
2

③, x 22


y?2 ? 0

① ? 2 ? ②并结合③,④得 4 x ?

2y ? 4

,即点 Q ( x, y ) 总在定直线 2 x ?
2

上。

8、椭圆的中心是原点 O ,它的短轴长为 2 点 A , OF
? 2 FA

,相应于焦点 F ( c , 0 )( c

? 0)

的准线 l 与 x 轴相交于

,过点 A 的直线与椭圆相交于 P , Q 两点。

(1)求椭圆的方程及离心率; (2)若 OP (3)设 AP
FM
? OQ ? 0

,求直线 PQ 的方程。 ,过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 M ,证明

? ? AQ ( ? ? 0 )

? ? ? FQ


x
2

解: (1)椭圆的方程为

?

y

2

? 1 ,离心率 e ?

6 3

.

6

2

(2)解:由(1)可得 A ( 3 , 0 ) . 设直线 PQ 的方程为 y
? x y 由方程组 ? 6 ? 2 ? 1 ? ? y ? k ( x ? 3) ?
2 2

? k ( x ? 3).

,得 ( 3 k 2

? 1) x ? 1 8 k x ? 2 7 k
2 2

2

? 6 ? 0.

依题意 ?

? 12(2 ? 3k ) ? 0,
2

得?
x2 ?

6 3

? k ?

6 3

.

设 P ( x1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ), 则 x1 ? 由直线 PQ 的方程得 y 1 于是 y 1 y 2
2

18k 3k
2

2

?1

,

......①, x 1 . x 2

?

27 k 3k

2 2

?6 ?1

. ......②

? k ( x 1 ? 3 ), y 2 ? k ( x 2 ? 3 ).
2

? k ( x 1 ? 3 )( x 2 ? 3 ) ? k [ x 1 x 2 ? 3 ( x 1 ? x 2 ) ? 9 ]. ......③

? OP ? OQ ? 0 ,? x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 . ......④
-7-

由①②③④得 5 k 2

? 1, 从而 k ? ?

5 5

? (?

6 3

,

6 3

).

所以直线 PQ 的方程为 x ? (3)证明: AP

5y ?3 ? 0

或x ?

5 y ? 3 ? 0.

? ( x 1 ? 3 , y 1 ), AQ ? ( x 2 ? 3 , y 2 )

。由已知得方程组

? x 1 ? 3 ? ? ( x 2 ? 3 ), ? y ? ?y2 , ? 1 2 ? x2 y1 ,注意 ? ? 1 ? 1 ? ? 1, 6 2 ? 2 ? x2 y2 2 ? ? ? 1. 2 ? 6

,解得 x 2

?

5? ? 1 2?



因为 F ( 2 , 故 FM 而 FQ

0 ), M ( x 1 , ? y 1 )


1? ? 2 , ? y1 ) ? ? ? (

? ( x 1 ? 2 , ? y 1 ) ? ( ? ( x 2 ? 3 ) ? 1, ? y 1 ) ? (
? ( x 2 ? 2, y 2 ) ? (

? ?1
2?

, y2 )



? ?1
2?

, y2 )

,所以 FM

? ? ? FQ


5x ? 2 y ? 0

9、已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 F1 ( ? 3,) ,一条渐近线的方程是 0 (1)求双曲线 C 的方程; (2)若以 k ( k
? 0)



为斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M
81 2

,N

,且线段 M N 的垂直

平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 解: (1)设双曲线 C 的方程为
2 2

,求 k 的取值范围。 ,

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

? a ? b ? 9, 2 ? a ? 4, ? ? 由题设得 ? b 解得 ? 2 5 . ?b ? 5. ? ? ? , 2 ?a

所以双曲线 C 的方程为

x

2

?

y

2

? 1;

4

5
? kx ? m (k ? 0)

(2)解:设直线 l 的方程为 y

,点 M

( x1, y 1 )

, N ( x 2, y 2 ) 的坐标满足方程组

① ? y ? k x ? m, 2 2 x (kx ? m ) ? 2 2 将①式代入②式,得 ? ?1 ?x y 4 5 ? ? 1. ② ? 5 ? 4 ,



整理得 (5 ? 4 k 2 ) x 2

? 8km x ? 4 m

2

? 20 ? 0


-8-

此方程有两个不等实根,于是 5 ? 且?
? ( ? 8 k m ) ? 4 (5 ? 4 k )( 4 m
2 2 2

4k

2

? 0



? 20) ? 0



整理得 m 2

? 5 ? 4k

2

? 0

......③
? x1 ? x 2 2 ? 4 km 5 ? 4k
2

由根与系数的关系可知线段 M N 的中点坐标 ( x 0, y 0 ) 满足 x 0
y0 ? kx0 ? m ? 5m 5 ? 4k
2




5m 5 ? 4k
2

从而线段 M N 的垂直平分线的方程为 y ?

? ?

1 ? 4 km ? ?x? 2 ? k ? 5 ? 4k ?

, ,
2

此直线与 x 轴, y 轴的交点坐标分别为 ?
1 9 km
2

?

? ,? 0 ? 5 ? 4k ? 9 km
2

, ? 0,
?

?

9m
2

5 ? 4k

? ? ?
2

由题设可得

2 5 ? 4k

?

9m 5 ? 4k
2 2
2

?

81 2

,整理得 m

2

?

(5 ? 4 k ) k

,k

? 0



将上式代入③式得 整理得 ( 4 k 2 解得 0
? k ?

(5 ? 4 k ) k

? 5 ? 4k

2

? 0



? 5 )( 4 k ? k ? 5 ) ? 0
2

,k

? 0



5 2



k ?

5 4


? ? 5 ? ? 5 5 , ? ? ? 0, 0 ???? ? ? ? 4? ? 2 2 ? ? ? ? 5 ? ? ??? , ∞? ? ? ? ? 4

? 所以 k 的取值范围是 ? ? ∞ , ?

?



10、在平面直角坐标系 x O y 中,点 P ( a , b ) 左右焦点,已知 ? F 1 PF 2 为等腰三角形。 (1)求椭圆的离心率 e ;

(a ? b ? 0)

为动点, F1 , F 2 分别为椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1的

(2)设直线 P F 2 与椭圆相交于 A , B 两点,M 是直线 P F 2 上的点,满足 A M 的轨迹方程。

???? ???? ? ? ? BM ? ?2

,求点 M

-9-

11、已知椭圆 为 4。

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0)的离心率 e ?

3 2

,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积

(1)求椭圆的方程; (2) 设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A , B , 已知点 A 的坐标为 ( ? a , 0 ) , Q (0, 点 的垂直平分线上,且 QA 解: (1)椭圆的方程为
? QB ? 4
x
2

y0 )

在线段 A B

,求 y 0 的值。

? y

2

?1

4



- 10 -

12、已知椭圆
a
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的两个焦点分别为 F1 ( ? c , 0 ) 和 F 2 ( c , 0 ) ( c

? 0)



过点 E (

, 0 ) 的直线与椭圆相交与 A , B

c

两点,且 F1 A / / F 2 B ,

F1 A ? 2 F 2 B



(1)求椭圆的离心率; (2)求直线 AB 的斜率; (3)设点 C 与点 A 关于坐标原点对称,直线 F 2 B 上有一点 H
- 11 (m , n ) ,m ? 0

,在 ? A F 1C 的外接

圆上,求

n m

的值。
? 3c
2

解: (1)依题意,整理,得 a 2 (2)由(1)得 b 2
? a
2

,故离心率 e

?

c a

?

3 3


? 3y
2

?c

2

? 2c

2

,所以椭圆的方程可写为 2 x 2 ,即 y
? k ( x ? 3c )

? 6c

2

设直线 AB 的方程为

? a ? y ? k?x? ? c ? ?
2

由已知设 A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则它们的坐标满足方程组 ? 消去 y 整理,得 ( 2 ? 3 k 2 ) x 2 依题意, ?
2 2

? y ? k ( x ? 3c ) ?2x ? 3 y
2 2

? 6c

2

? 18k cx ? 27 k c ? 6c
2 2 2

2

? 0



? 4 8 c (1 ? 3 k ) ? 0 , 得 ?

3 3

? k ?

3 3



而 x1 ?

x2 ?

18k c 2 ? 3k
2

2

......①, x 1 x 2

?

27 k c ? 6 c
2 2

2

2 ? 3k

2

...... ②
? 2 x 2 ......③

由题设知,点 B 为线段 AE 的中点,所以 x1 ? 3 c 联立①③解得 x 1
? 9k c ? 2c
2

2 ? 3k

2

, x2

?

9k c ? 2c
2

2 ? 3k

2



将 x 1 , x 2 代入②中,

解得 k

? ?

2 3


? 0, x2 ? 3c 2

(3)由(2)可知 x1 当k
? ? 2 3

时,得 A ( 0 ,

2 c ) ,由已知得 C ( 0 , ?

2c)

线段 A F1 的垂直平分线 l 的方程为 y ?
? c ? ,0? ? 2 ?
9 4

2 2

c ? ?

2 ? c ? ?x? ? 2 ? 2 ?,

由题可知,直线 l 与 x 轴的交点 ? 因此外接圆的方程为 ( x ?
c 2

是 ? A F1 C 外接圆的圆心,

) ? y
2

2

?

c

2



直线 F 2 B 的方程为 y

?

2 ( x ? c ) ,于是点 H ( m , n ) ( m ? 0 ) 的坐标满足方程组

- 12 -

2 ?? c ? 9c 2 m ? ? ? n ? ?? 2 ? 4 ?? ? ? n ? 2 (m ? c) 2

5 ? m ? c ? 3 ? ,由 m ? 0 , 解得 ? ?n ? 2 2 c ? 3 ?
n m 2 5 2

故 ,

n m

?

2 5

2



当k

?

2 3

时,同理可得
2 2 2 2

? ?


? F1 F 2 ,

13、设椭圆

x a

?

y b

? 1( a ? b ? 0 )
1 3

的左、右焦点分别为 F1 , F 2 , A 是椭圆上的一点, A F 2 。

原点 O 到直线 A F1 的距离为 (1)证明 a (2) Q 设
1

O F1

?

2b


1

,Q2

OQ 为椭圆上的两个动点,

? OQ

2

过原点 O 作直线 Q ,

1

Q2

的垂线 OD , 垂足为 D ,

求点 D 的轨迹方程。 (1)证明:由题设 A F 有
c a
2 2
2

? F1 F 2
2 2

及F

1

( ? c , 0 ), F 2 ( c , 0 ),
2

不妨设点 A ( c , y ) , 其中 y

? 0.

由于点 A 在椭圆上,

?

y b

2 2

? 1,


2



a ?b
2

2

a

2

?

y b

? 1.



得y

?

b

,

a
2

从而得到 A ? c ,
?

?

b b ? ( x ? c ), ? . 直线 A F1 的方程为 y ? 2ac a ? , ,
2

整理得 b

2

x ? 2 acy ? b c ? 0.


1 3 | O F1 |,

由题设,原点 O 到直线 A F 的距离为
1



c 3

? b
4

b c ? 4a c
2 2

2

,



将c

2

? a

2

? b

2

代入上式并化简得 a
0

2

? 2b , 即 a ?
2

2b.

(2)设点 D 的坐标为 ( x 当 y0
? 0

, y 0 ).


x0 y0 ,

时,由 O D

? Q1Q 2

知,直线 Q 1 Q 2 的斜率为 ?

所以直线 Q 1 Q 2 的方程为 y
2

? ?

x0 y0

( x ? x0 ) ? y0 , 或 y ? k x ? m ,

其中 k

? ?

x0 y0

, m ? y0 ?

x0

.

y0

- 13 -

点Q

1

( x 1 , y 1 ), Q 2 ( x 2 , y 2 )

的坐标满足方程组 ?
2

? y ? kx ? m , ? ?x ?
2


2

? 2y

2

? 2b .
2


2

将①式代入②式,得 x 于是 x
? x2 ? ? 4 km 1 ? 2k
2

? 2(kx ? m )

2

? 2b .
2

,整理得 (1 ?

2k )x

? 4 km x ? 2 m

2

? 2b

2

? 0.

1

,

x1 . x 2 ?

2m

2

? 2b
2

2

1 ? 2k

. .......③
2

由①式得 y

1

y 2 ? ( k x 1 ? m )( k x 2 ? m ) ? k

x1 x 2 ? k m ( x1 ? x 2 ) ? m
2

2

? k .
2

2m

2

? 2b
2

2

1 ? 2k

? km .

?4 km 1 ? 2k
2

? m

2

?

m

? 2b k
2 2

2

1 ? 2k
3m
2

......④
2

由OQ
2

1

? OQ2

知x
2

x ? y1 y 2 ? 0 . 1 2

,将③式和④式代入得
, m ? y0 ? x0
2

? 2b

? 2b k
2 2

2

1 ? 2k
2 0

? 0,

3m

? 2 b (1 ? k ) .
2

,将 k

? ?

x0 y0

代入上式,整理得 x

y0

? y0 ?
2

2 3

b .

2

当 y0

? 0

时,直线 Q 1 Q 2 的方程为 x

? x 0 . 点 Q 1 ( x11(, xy 1 )y , Q 2 ( x 2 , y 2 ) Q , 0 ), 1

的坐标满足方程组

? x ? x0 , ? 所以 x 1 ? x 2 ? x 0 , y 1 , 2 ? ? ? 2 2 2 ? x ? 2 y ? 2b . ? ,

2b

2

? x0 2

2

.

由OQ

1

? OQ2

知x

1

x 2 ? y1 y 2 ? 0 ,

即 x0 ?
2

2b

2

? x0 2

2

? 0,

解得 x

2 0

?

2 3

b

2

这时,点 D 的坐标仍满足 x 0

2

? y0 ?
2

2 3
2 3

b .

2


2

综上,点 D 的轨迹方程为 x

2

? y

2

?

b .



- 14 -


相关文章:
【天津市2013届高三数学总复习之综合专题:圆锥曲线(理)....doc
天津市2013届高三数学总复习之综合专题:圆锥曲线(理)(教师版) - 圆锥曲
天津市2013届高三数学总复习之综合专题:圆锥曲线(理)(....doc
天津市2013届高三数学总复习之综合专题:圆锥曲线(理)(教师版) 2 - 圆锥
【天津市2013届高三数学总复习之综合专题:圆锥曲线(理)....doc
天津市2013届高三数学总复习之综合专题:圆锥曲线(理)(教师版) ] - 圆
天津市2013届高三数学总复习之综合专题:圆锥曲线(理)(....doc
天津市2013届高三数学总复习之综合专题:圆锥曲线(理)(教师版)_数学_高中教
【天津市2013届高三数学总复习之综合专题:圆锥曲线(文)....doc
天津市2013届高三数学总复习之综合专题:圆锥曲线()(教师版) ] - 圆
【天津市2013届高三数学总复习之综合专题:圆锥曲线(文)....doc
天津市2013届高三数学总复习之综合专题:圆锥曲线()(教师版) - 圆锥曲
天津市2013届高三数学总复习之综合专题:圆锥曲线(文)(....doc
天津市2013届高三数学总复习之综合专题:圆锥曲线()(教师版)_数学_高中教
...高三数学总复习之综合专题:圆锥曲线(理)(学生版).doc
天津市2013届高三数学总复习之综合专题:圆锥曲线(理)(学生版) - 圆锥曲
天津市2013届高三数学总复习之综合专题:圆锥曲线(文)(....doc
天津市2013届高三数学总复习之综合专题:圆锥曲线()(学生版) - 圆锥曲线
【天津市2013届高三数学总复习之综合专题:圆锥曲线(文)....doc
天津市2013届高三数学总复习之综合专题:圆锥曲线()(学生版)] - 圆锥
【天津市2013届高三数学总复习之模块专题:18 圆锥曲线....doc
天津市2013届高三数学总复习之模块专题:18 圆锥曲线的标准方程及其简单的几何性质(教师版) ]_数学_高中教育_教育专区。【天津市2013届高三数学总复习之模块专题:...
【天津市2013届高三数学总复习之模块专题:18 圆锥曲线....doc
天津市2013届高三数学总复习之模块专题:18 圆锥曲线的标准方程及其简单的几何性质(教师版)_高中教育_教育专区。【天津市2013届高三数学总复习之模块专题:18 圆锥...
【天津市2013届高三数学总复习之模块专题:18 圆锥曲线....doc
天津市2013届高三数学总复习之模块专题:18 圆锥曲线的标准方程及其简单的几何性质(学生版)_高中教育_教育专区。【天津市2013届高三数学总复习之模块专题:18 圆锥...
天津市2013届高三数学总复习之模块专题:18 圆锥曲线的....doc
天津市2013届高三数学总复习之模块专题:18 圆锥曲线的标准方程及其简单的几何性质(学生版)_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线的标准方程及其简单的几何性质 考查内容...
天津市2013届高三数学总复习之模块专题:18_圆锥曲线的....doc
天津市2013届高三数学总复习之模块专题:18_圆锥曲线的标准方程及其简单的几何性质(学生版) 2 - 椭圆部分 1、设椭圆 x2 y 2 1 ? 2 ? 1 (m ? 0, n ?...
高三数学:专题11 圆锥曲线 理(教师版).doc
山东省 2013 届高三数学 各地市最新模拟理数试题精品分类汇编 专题 11 圆锥曲线(教师版)一、选择题: 1. (山东省济南市 2013 年 1 月高三上学期期末理 7...
高三数学:专题11 圆锥曲线 文(教师版).doc
山东省 2013 届高三数学 各地市最新模拟理数试题精品分类汇编 专题 11 圆锥曲线(教师版) 一、选择题: 1. (山东省济南市 2013 年 1 月高三上学期期末文 ...
2013届高考数学二轮复习精品教学案专题09 圆锥曲线(教....doc
2013届高考数学二轮复习精品教学案专题09 圆锥曲线(教师版)_高三数学_数学
天津市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练:圆锥曲线....doc
天津市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练:圆锥曲线 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。天津市 2017 届高三数学理一轮复习专题突破训练 圆锥曲线 一、选择...
2013届高考数学二轮复习精品教学案专题09 圆锥曲线(教....doc
2013届高考数学二轮复习精品教学案专题09 圆锥曲线(教师版)_高考_高中教育_教育...【2010 年高考试题】 x2 y 2 1.(2010 浙江理数) (8)设 F 、 F2 分别...
更多相关标签: