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人教版高二数学选修2-2《导数的几何意义》公开课获奖课件


1.1.3导数的几何意义 回顾 ①平均变化率 函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2 平均变化率为: ?y f(x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ?x y f(x2) f(x2)-f(x1)=△y Y=f(x) ②割线的斜率 ?y f(x2 ) ? f ( x1 ) k? ? x2 ? x1 ?x B f(x1) O A x2-x1=△x x x1 x2 2.导数的概念 一般地,函数 y =f(x) 在点x=x0处的瞬时变化 回顾 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim ?x ?0 ?x ? 0 ?x ?x 我们称它为函数 y = f (x)在点x=x0处的导数, 率是 记为 f ?( x0 ) 或 y? x ? xo ,即 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y f ?( x0 ) ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x 以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限, 从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。 由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的 导数的基本方法是: (1)求函数的增量?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ); 回 顾 f ( x 0 ??x) ? f ( x0 ) ?y (2)求平均变化率 ? ; ?x ?x ?y (3)取极限,得导数f ?( x0 ) ? lim . ?x ?0 ?x 注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式. 导数的几何意义: y y=f(x) Q 割 线 T 切线 P ? o x 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即 Δ x→0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我 们把直线PT称为曲线在点P处的切线. y 设切线的倾斜角为α ,那 么当Δx→0时,割线PQ的斜 率,称为曲线在点P处的切 线的斜率. ' y= Q f( x) P ? 割 线 T 切 线 x o f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim 即: k切线 ? f ( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜 率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数. 要注意,曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如 有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不 存在,则在此点处无切线; 3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个,甚至可以无穷多个. 例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) 解 : k ? lim y ?x ? 0 Q ?x (1 ? ?x ) 2 ? 1 ? (1 ? 1) ? lim 2 ?x ? 0 ?x y = x +1 2 ?x ? ( ?x ) 2 ? lim ? 2. ?x ? 0 ?x P 因此,切线方程为y-2=2(x-1), ?x 即y=2x. 1 ?y M 求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②利用切线斜率的定义求 出切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程. j x -1 O 1 1 3 8 y ? x 上一点 P ( 2,

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