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2015年高三数学名校试题分类汇编(1月 第二期)G单元 立体几何(含解析)


G 单元
目录 G 单元 立体几何1 G1 空间几何体的结构 1 G2 空间几何体的三视图和直观图 10 G3 平面的基本性质、空间两条直线 24 G4 空间中的平行关系 24 G5 空间中的垂直关系 41 G6 三垂线定理 63 G7 棱柱与棱锥 63 G8 多面体与球 73 G9 空间向量及运算 73 G10 空间向量解决线面位置关系 77 G11 空间角与距离的求法 77 G12 单元综合 97

立体几何

G1 空间几何体的结构 【 【名校精品解析系列】 数学理卷· 2015 届河南省安阳一中等天一大联考高三阶段测试 (三) (201412)word 版】(9)如图的几何体是长方体

ABCD ? A1B1C1D1 的一部分,其中

AB ? AD ? 3, DD1 ? BB1 ? 2cm 则该几何体的外接球的表面积为
(A 11? cm
2

(B) 22? cm

2

11 22 2 cm 3 (C)

( D) 11 22? cm

2

【知识点】几何体的结构. G1 【答案】 【解析】B 解析:该几何体的外接球即长方体 长方体

ABCD ? A1B1C1D1 的外接球,而若

ABCD ? A1B1C1D1 的外接球半径为 R , ABCD ? A1B1C1D1 的体对角线为 则长方体

1

(2 R) 2 ? 32 ? 32 ? 2 2 ? 22 ? R 2 ?
2R, 所以 故选 B.

11 2 2, 所以该几何体的外接球的表面积 22? cm ,

【思路点拨】分析该几何体的外接球与长方体 结论.

ABCD ? A1B1C1D1 的外接球的关系,进而得

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word 版】15.正方体

ABCD ? A ,Q 分别在棱 BC,CC1 上,过点 1 BC 1 1D1 为棱长为 1 ,动点 P

x,y ??01 , ? ,下 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S ,设 BP ?x CQ , ? y , 其中
列命题正确的是________.(写出所有正确命题的编号) ①当 x ? 0 时, S 为矩形,其面积最大为 1;

x? y?
②当

1 2 时, S 为等腰梯形;

1 1 ?1 ? RD1 ? 2 ? x ? ,y ? ? , 1? y; 2 ? 2 ? 时,设 S 与棱 C1D1 的交点为 R ,则 ③当
1 B y ? 1 ④当 时,以 1 为顶点, S 为底面的棱锥的体积为定值 3 。
D1 C1 B1 Q D P A B

A1

C

【知识点】正方体的特征 G1 【答案】 【解析】②③④ 解析:当 x ? 0 时, S 为矩形,其最大面积为 1 ? 2 ?

2 ,所以①错误;

x? y?


1 2 时,截面如图所示,所以②正确;
2

1 ?1 ? x ? ,y ? ? , 1? 2 ? 2 ? 时,如图,设 S 与棱 C1D1 的交点为 R,延长 DD1,使 DD1∩QR=N, 当
连接 AN 交 A1D1 于 S, 连接 SR, 可证 AN∥PQ, 由△NRD1∽△QRC1, 可得 C1R: D1R=C1Q:

RD1 ? 2 ?
D1N,可得

1 y ,∴③正确;

当 y=1 时,以 B1 为顶点, S 为底面的棱锥 B1-APC1M 如图所示,该四棱锥的体积为

1 1 1 VB1 ? APC1M ? 2VB1 ? PC1M ? 2VP ? B1C1M ? 2 ? ? ?1?1?1 ? 3 2 3 ,所以④正确.

3

综上可知答案为②③④. 【思路点拨】可结合线面平行的性质作出其截面,结合其截面特征进行解答.

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word 版】15.正方体

ABCD ? A ,Q 分别在棱 BC,CC1 上,过点 1 BC 1 1D1 为棱长为 1 ,动点 P

x,y ??01 , ? ,下 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S ,设 BP ?x CQ , ? y , 其中
列命题正确的是________.(写出所有正确命题的编号) ①当 x ? 0 时, S 为矩形,其面积最大为 1;

x? y?
②当

1 2 时, S 为等腰梯形;

1 1 ?1 ? RD1 ? 2 ? x ? ,y ? ? , 1? y; 2 ? 2 ? 时,设 S 与棱 C1D1 的交点为 R ,则 ③当
1 B ④当 y ? 1 时,以 1 为顶点, S 为底面的棱锥的体积为定值 3 。
D1 C1 B1 Q D P A B

A1

C

【知识点】正方体的特征 G1 【答案】 【解析】②③④ 解析:当 x ? 0 时, S 为矩形,其最大面积为 1 ? 2 ?

2 ,所以①错误;

x? y?


1 2 时,截面如图所示,所以②正确;

4

1 ?1 ? x ? ,y ? ? , 1? 2 ? 2 ? 时,如图,设 S 与棱 C1D1 的交点为 R,延长 DD1,使 DD1∩QR=N, 当
连接 AN 交 A1D1 于 S, 连接 SR, 可证 AN∥PQ, 由△NRD1∽△QRC1, 可得 C1R: D1R=C1Q:

RD1 ? 2 ?
D1N,可得

1 y ,∴③正确;

当 y=1 时,以 B1 为顶点, S 为底面的棱锥 B1-APC1M 如图所示,该四棱锥的体积为

1 1 1 VB1 ? APC1M ? 2VB1 ? PC1M ? 2VP ? B1C1M ? 2 ? ? ?1?1?1 ? 3 2 3 ,所以④正确.

5

综上可知答案为②③④. 【思路点拨】可结合线面平行的性质作出其截面,结合其截面特征进行解答.

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word 版】15.正方体

ABCD ? A ,Q 分别在棱 BC,CC1 上,过点 1 BC 1 1D1 为棱长为 1 ,动点 P

x,y ??01 , ? ,下 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S ,设 BP ?x CQ , ? y , 其中
列命题正确的是________.(写出所有正确命题的编号) ①当 x ? 0 时, S 为矩形,其面积最大为 1;

x? y?
②当

1 2 时, S 为等腰梯形;

1 1 ?1 ? RD1 ? 2 ? x ? ,y ? ? , 1? y; 2 ? 2 ? 时,设 S 与棱 C1D1 的交点为 R ,则 ③当
1 B ④当 y ? 1 时,以 1 为顶点, S 为底面的棱锥的体积为定值 3 。
D1 C1 B1 Q D P A B

A1

C

【知识点】正方体的特征 G1 【答案】 【解析】②③④ 解析:当 x ? 0 时, S 为矩形,其最大面积为 1 ? 2 ?

2 ,所以①错误;

x? y?


1 2 时,截面如图所示,所以②正确;

6

1 ?1 ? x ? ,y ? ? , 1? 2 ? 2 ? 时,如图,设 S 与棱 C1D1 的交点为 R,延长 DD1,使 DD1∩QR=N, 当
连接 AN 交 A1D1 于 S, 连接 SR, 可证 AN∥PQ, 由△NRD1∽△QRC1, 可得 C1R: D1R=C1Q:

RD1 ? 2 ?
D1N,可得

1 y ,∴③正确;

当 y=1 时,以 B1 为顶点, S 为底面的棱锥 B1-APC1M 如图所示,该四棱锥的体积为

1 1 1 VB1 ? APC1M ? 2VB1 ? PC1M ? 2VP ? B1C1M ? 2 ? ? ?1?1?1 ? 3 2 3 ,所以④正确.

7

综上可知答案为②③④. 【思路点拨】可结合线面平行的性质作出其截面,结合其截面特征进行解答.

【 【名校精品解析系列】数学文卷· 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word 版】15.正方体

ABCD ? A ,Q 分别在棱 BC,CC1 上,过点 1 BC 1 1D1 为棱长为 1 ,动点 P

x,y ??01 , ? ,下 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S ,设 BP ?x CQ , ? y , 其中
列命题正确的是(写出所有正确命题的编号) ①当 x ? 0 时, S 为矩形,其面积最大为 1;

x? y?
②当

1 2 时, S 为等腰梯形;

1 3 x ? ,y ? 2 4 时, S 为六边形; ③当

1 1 ?1 ? RD1 ? 2 ? x ? ,y ? ? , 1? y。 2 ? 2 ? 时,设 S 与棱 C1D1 的交点为 R ,则 ④当
D1 C1 B1 Q D P A B

A1

C

【知识点】正方体的特征 G1 【答案】 【解析】②④ 解析:当 x ? 0 时, S 为矩形,其最大面积为 1 ? 2 ? 截面如图所示,所以②正确;

2 ,所以①错误;当

x? y?

1 2 时,

8

1 3 x ? ,y ? 2 4 时,截面如图,所以③错误; 当

1 ?1 ? x ? ,y ? ? , 1? 2 2 ? ? 时,如图,设 S 与棱 C1D1 的交点为 R,延长 DD1,使 DD1∩QR=N, 当
连接 AN 交 A1D1 于 S, 连接 SR, 可证 AN∥PQ, 由△NRD1∽△QRC1, 可得 C1R: D1R=C1Q:

RD1 ? 2 ?
D1N,可得

1 y ,∴④正确;综上可知正确的序号应为②④.

9

. 【思路点拨】可结合线面平行的性质作出其截面,结合其截面特征进行解答.

G2 空间几何体的三视图和直观图 【数学理卷·2015 届湖北省部分高中高三元月调考(201501) 】4.一个几何体的三视图如图 所示,其中俯视图是一个腰长为 2 的等腰直角三角形,则该几何体外接球的体积是( ) 9 ? 36 ? A. B.
9 ? C. 2

27 ? D. 8

【知识点】空间几何体的三视图和直观图 G2 【答案】C 【解析】∵俯视图是一个腰长为 2 的等腰直角三角形,故底面外接圆半径 r= 2 ,

1 3 ( )2 ? ( 2)2 由主视图中棱锥的高 h=1,故棱锥的外接球半径 R 满足:R= 2 =2 ,
4 9 故该几何体外接球的体积 V= 3 πR3= 2 π.
【思路点拨】 由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥, 求出底面外接圆半径和棱锥的 高,进而利用勾股定理,求出其外接球的半径,代入球的体积公式,可得答案.

【数学文卷·2015 届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考(201501) 】4.某几何体的 三视图如右上图所示,则该几何体的体积是( )

10

A.

2? a3 3

? a3
B. 3 C.

? a3
6
D. ? a
3

2a

a
正视图 左视图

a
俯视图

【知识点】空间几何体的三视图和直观图 G2 【答案】C

1 ? a2 ? a3 1 1 ? ? 2a 4 【解析】由三视图知几何体为圆锥的 4 ,则 V= 3 Sh= 3 = 6
1 【思路点拨】根据三视图得到为圆锥的 4 ,再根据体积公式求出体积。

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷·2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联 考(201501) 】11.多面体的三视图如图所示,则该多面体表面积为(单位 cm ) A. 28 ? 4 5 C. 30 ? 4 10 B. 30 ? 4 5 D. 28 ? 4 10

【知识点】三视图求表面积.G2 【答案】 【解析】A 解析:根据多面体的三视图可知该几何体如下图所示:

11

由题意得: BC ? 4, CD ? 4, AE ? 4 ,所以 AB ? AC ? 2 5, AD ? 6, BD ? 4 2 ,

S
所以

BCD

?

1 ?4 ?4 ? 8 S 2 ,

ABC

?

1 ? 4? 4 ? 8 S 2 ,

ADC

?

1 ? 4? 2 5 ? 4 5 2 ,在三角形

c
ABD 中 ,

B?

3 ? ? 2 o ?s 2 ? 2 5 ? 4 2 10

2


0

? s inB ?

3 10 ?S 10 ,

ABD

1 3 10 ? ?2 5?4 2? ? 12 2 10 , 所以该几何体的表面积为这四个

面的面积和 28 ? 4 5 ,故选 A。 【思路点拨】先根据多面体的三视图判断出该几何体形状,然后分别求出各个面的面积,再 求和即可。

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 (201501) 】7.一个几何体的三视图如图示,则这个几何体的体积为( )
正(主)视图 侧(左)视图 俯视图

A. a

3

a3 B. 3
12

a3 C. 6

5a 3 D. 6

【知识点】三视图 G2 【答案】 【解析】D 解析:由三视图可知该几何体为正方体截取一个角之后剩余的部分,如图,

1 5 a3 ? a3 ? a3 6 6 ,则选 D. 所以其体积为
【思路点拨】由三视图求几何体的体积,关键是判断原几何体形状,可在熟悉的几何体的三 视图基础上进行解答.

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 (201501) 】7.一个几何体的三视图如图示,则这个几何体的体积为( )
正(主)视图 侧(左)视图 俯视图

A. a

3

a3 B. 3 5a 3 D. 6

a3 C. 6

【知识点】三视图 G2 【答案】 【解析】D 解析:由三视图可知该几何体为正方体截取一个角之后剩余的部分,如图,

13

1 5 a3 ? a3 ? a3 6 6 ,则选 D. 所以其体积为
【思路点拨】由三视图求几何体的体积,关键是判断原几何体形状,可在熟悉的几何体的三 视图基础上进行解答.

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 (201501) 】7.一个几何体的三视图如图示,则这个几何体的体积为( )
正(主)视图 侧(左)视图

俯视图

A. a

3

a3 B. 3 5a 3 D. 6

a3 C. 6

【知识点】三视图 G2 【答案】 【解析】D 解析:由三视图可知该几何体为正方体截取一个角之后剩余的部分,如图,

1 5 a3 ? a3 ? a3 6 6 ,则选 D. 所以其体积为
14

【思路点拨】由三视图求几何体的体积,关键是判断原几何体形状,可在熟悉的几何体的三 视图基础上进行解答.

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联 考(201501) 】15.多面体的三视图如图所示,则该多面体体积为(单位 cm ) .

【知识点】三视图求几何体体积.G2

32 【答案】 【解析】 3

解析:根据多面体的三视图可知该几何体如下图所示:

由题意得: BC ? 4, CD ? 4, AE ? 4 ,且 AE ? BC ,

1 1 32 ?V ? ? ? 4 ? 4 ? 4 ? 3 2 3 ,故答案

32 为 3 。
【思路点拨】先根据多面体的三视图判断出该几何体形状,然后利用锥体的体积公式即可。

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联 考(201501) 】15.多面体的三视图如图所示,则该多面体体积为(单位 cm ) .

15

【知识点】三视图求几何体体积.G2

32 【答案】 【解析】 3

解析:根据多面体的三视图可知该几何体如下图所示:

1 1 32 ?V ? ? ? 4 ? 4 ? 4 ? 3 2 3 ,故答案 由题意得: BC ? 4, CD ? 4, AE ? 4 ,且 AE ? BC ,
32 为 3 。
【思路点拨】先根据多面体的三视图判断出该几何体形状,然后利用锥体的体积公式即可。

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 (201501) 】3.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A. 3 3

B.

3

C. 6 3

D.

3 3

16

[] 【知识点】三视图 G2 【答案】 【解析】A

1 ? 2? 3 ? 3 解析:由三视图可知该几何体为一个倒放的三棱柱,其底面积为 2 ,高为 3,
所以其体积为 3 ? 3 ? 3 3 ,则选 A. 【思路点拨】由三视图求几何体的体积时,应先分析几何体的特征在进行求值.

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 (201501) 】3.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A. 3 3

B.

3

C. 6 3

D.

3 3

[] 【知识点】三视图 G2 【答案】 【解析】A

1 ? 2? 3 ? 3 解析:由三视图可知该几何体为一个倒放的三棱柱,其底面积为 2 ,高为 3,
所以其体积为 3 ? 3 ? 3 3 ,则选 A. 【思路点拨】由三视图求几何体的体积时,应先分析几何体的特征在进行求值.

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性 测试(201501)word 版】3.一个几何体的三视图及其尺寸(单位: cm )如图所示,则该几 何体的侧面积为( ▲ ) cm 。 A. 50 C. 70 B. 60 D. 80
2

17

5

5

5

5

8 正(主)视图

8 侧(左)视图

8 俯视图 (第 3 题图) 【知识点】三视图 G2 【答案】D【解析】解析:由三视图可得该几何体是底面为 8 的正四棱锥,且正四棱锥的斜

1 ? 8 ? 5 ? 4 ? 80 高为 5,所以侧面积为: 2 ,故选择 D.
【思路点拨】根据三视图可得该几何体是底面为 8 的正四棱锥,且正四棱锥的斜高为 5,即 可求得其侧面积.

【 【名校精品解析系列】 数学理卷· 2015 届河南省安阳一中等天一大联考高三阶段测试 (三) (201412)word 版】(20)(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P -ABCD 中,AD ? DB,其中三棱锥 P- BCD 的三视图如图所示,且

sin ?BDC ?

3 5

(1)求证:AD ? PB

12 13 65 ,求 AD 的长 (2)若 PA 与平面 PCD 所成角的正弦值为

18

【知识点】几何体的三视图;垂直关系的判定;线面角的意义. G2 G5 G11 【答案】 【解析】 (1)证明:见解析; (2)6. 解析:由三视图可知

PD ? 平面ABCD,而AD ? 面ABCD ? AD ? PD



AD ? DB, 且PD ? BD ? D, PD, BD ? 平面PBD, ? AD ? 平面PBD ,
? AD ? PB 。 又 PB ? 平面PBD,
(2)由(1)可知,PD,AD,BD 两两互相垂直,以 D 为原点,建立如图所示空间直角坐标系.

3 9 12 A(? , 0, 0), B(0,3, 0), C (? , , 0), P(0, 0, 4) 5 5 设 AD= ? (? ? 0) ,结合 sin∠BDC= 5 可得 .

9 12 PA ? (? , 0, ?4), DC ? (? , , 0), DP ? (0, 0, 4) 5 5 所以

设 n ? ( x, y, z) 为平面 PCD 的法向量,由题意得

? ? DP ? n ? 0 ? ? ? DC ? n ? 0

?4 z ? 0 ? 12 ? 9 ? x? y ?0 ? 5 即? 5 ,令 y=3,

则 x=4,z=0,得平面 PCD 的一个法向量 n ? (4,3,0) .

设 PA 与平面 PCD 所成角为 ? , 可得 解之得 ? ? 6 ,即 AD=6.

sin ? ? cos? PA, n? ?

4? ? 3 ? 0 ? 0 ? ? ?4 ?

? 2 ? 16 ? 16 ? 9

?

12 13 65



【思路点拨】 (1)由三视图得此几何体的结构特点,从而得 AD⊥平面 PBD,进而得结论; (2)建立空间直角坐标系,利用空间向量求解.

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word 版】6.一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的侧面积是() A. 2 B. 3 2 ? 26 C. 3 2 ? 22 ? 2 D. 3 2 ? 22

19

13

1
正视图

1

侧视图

2
俯视图

【知识点】三视图 G2 【答案】 【解析】D 解析:由三视图可知该四棱锥各侧面都是直角三角形,因为底面正方形的边长为 2 ,四 个 侧 棱 长 依 次 为

13 ? 4 ? 3, 9 ? 2 ? 11, 13, 11 , 所 以 其 侧 面 积 为

1 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? 2 ? 11 ? 2 ? 3 2 ? 22 2 2 ,所以选 D.
【思路点拨】由三视图求面积或体积,关键是由三视图正确判断原几何体特征.

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word 版】6.一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的侧面积是() A. 2 B. 3 2 ? 26 C. 3 2 ? 22 ? 2 D. 3 2 ? 22

13

1
正视图

1

侧视图

2
俯视图

20

【知识点】三视图 G2 【答案】 【解析】D 解析:由三视图可知该四棱锥各侧面都是直角三角形,因为底面正方形的边长为 2 ,四 个 侧 棱 长 依 次 为

13 ? 4 ? 3, 9 ? 2 ? 11, 13, 11 , 所 以 其 侧 面 积 为

1 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? 2 ? 11 ? 2 ? 3 2 ? 22 2 2 ,所以选 D.
【思路点拨】由三视图求面积或体积,关键是由三视图正确判断原几何体特征.

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word 版】6.一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的侧面积是() A. 2 B. 3 2 ? 26 C. 3 2 ? 22 ? 2 D. 3 2 ? 22

13

1
正视图

1

侧视图

2
俯视图

【知识点】三视图 G2 【答案】 【解析】D 解析:由三视图可知该四棱锥各侧面都是直角三角形,因为底面正方形的边长为 2 ,四 个 侧 棱 长 依 次 为

13 ? 4 ? 3, 9 ? 2 ? 11, 13, 11 , 所 以 其 侧 面 积 为

1 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? 2 ? 11 ? 2 ? 3 2 ? 22 2 2 ,所以选 D.
【思路点拨】由三视图求面积或体积,关键是由三视图正确判断原几何体特征.

【 【名校精品解析系列】数学文卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试 (201501) 】5.如图,若一个空间几何体的三视图中,直角三角形的直角边长均为 1,则该
21

几何体的体积为(

)

1 A. 6

1 B. 3

1 C. 2

D. 1

【知识点】由三视图求面积、体积.G2 【答案】 【解析】B 解析:由三视图知,此几何体是一个有一个侧枝垂直于底面且底面是

1 1 创 1 12 = 3 ,故选 B 边长为 1 的正方形,其高也为 1,故该几何体的体积为 3
【思路点拨】 由三视图还原出实物图的结构特征及数据, 由三视图可以看出此物体是一个四 棱锥,根据相关的体积公式求出其体积.

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届重庆一中高三 12 月月考(201412)word 版】13. 某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图中的 的值是_____

【知识点】三视图 G2 【答案】 【解析】3 解析:由三视图可得出该几何体为四棱锥,体积为 V==3,解得 x=3,故答案为 3. 【思路点拨】关键在于看出该几何体为四棱锥,再利用体积计算公式得到关于 x 的方程,即 可解答.

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届湖北省部分高中高三元月调考(201501) 】5.已 知某三棱锥的三视图均为腰长为 2 的等腰直角三角形(如图) ,则该棱锥的表面积为( ) A. 6 ? 2 3 B. 6 ? 4 3
22

C. 12 ? 4 3

D. 8 ? 4 2

【知识点】空间几何体的三视图和直观图 G2 【答案】A 【解析】由三视图得,该几何体为底面和两个侧面为直角边边长为 2 的等腰直角三角形, 另外一个侧面是一个边长为 2 2 的等边三角形,

1 3 故该棱锥的表面积为 S=3× 2 × 2× 2+ 4 × (2 2 )2= 6 ? 2 3 .
【思路点拨】 先由三视图判断出几何体的形状及度量长度, 然后利用三棱锥的表面积公式求 出该几何体的表面积.

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性 测试(201501)word 版】11.若某棱锥的三视图(单位: cm )如图所示,则该棱锥的体积等 于 4 5 正视图 3 俯视图 (第 11 题图) 【知识点】三视图 G2 左视图 ▲

cm3 。
3

【答案】 20 【解析】解析:由三视图知几何体为三角形削去一个三棱锥如图:

23

棱柱的高为 5;底面为直角三角形,直角三角形的直角边长分别为 3、4,

V?
∴几何体的体积

1 1 1 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? 3 ? 4 ? 5 ? 20 ? cm3 ?. 2 3 2 故答案为 20 .

【思路点拨】 由三视图知几何体为直三削去一个三棱锥, 画出其直观图, 根据棱柱的高为 5; 底面为直角三角形,直角三角形的直角边长分别为 3、4,计算三棱柱与三棱锥的体积,再 求差可得答案.

G3 平面的基本性质、空间两条直线 G4 空间中的平行关系 【数学(理)卷·2015 届四川省成都市高中毕业班第一次诊断性检测(201412)word 版】 17. (本小题满分 12 分) 如图,?ABC 为正三角形,EC ? 平面 ABC ,DB / / EC ,F 为 EA 的中点,EC ? AC ? 2 ,

BD ? 1.
(Ⅰ)求证: DF // 平面 ABC ; (Ⅱ)求平面 DEA 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值.
E

D F

C

B

A

【知识点】线面平行,空间向量解决线面位置关系 G4 G10
2 2 【答案】 【解析】 (Ⅰ)略(Ⅱ)

(Ⅰ)证明:作 AC 的中点 O ,连结 BO .
24

1 1 EC EC / / / / 在 ?AEC 中, FO ? 2 ,又据题意知, BD ? 2 .
∴ FO ? BD ,∴四边形 FOBD 为平行四边形. ∴ DF / / OB ,又 DF ? 平面 ABC , OB ? 平面 ABC . ∴ DF / / 平面 ABC .……………………………………4 分 (Ⅱ)∵ FO / /

//

EC ,∴ FO ? 平面 ABC .

在正 ?ABC 中, BO ? AC ,∴ OA, OB, OF 三线两两垂直. 分别以 OA, OB, OF 为 x, y,z 轴,建系如图.

则 A(1, 0, 0) , E (?1, 0, 2) , D(0, 3,1) . ∴ AE ? (?2,0, 2) , AD ? (?1, 3,1) . 设平面 ADE 的一个法向量为

n1 ? ( x, y, z) ,



? ?n1 ? AE ? 0 ? ? ?n1 ? AD ? 0

,即

? ? ?2 x ? 2 z ? 0 ? ? ?? x ? 3 y ? z ? 0

,令 x ? 1 ,则 z ? 1, y ? 0 .

∴平面 ADE 的一个法向量为 又平面 ABC 的一个法向量为

n1 ? (1, 0,1) . n2 ? (0,0,1) .

cos < n1 , n2 ??


n1 ? n2 1 2 ? ? n1 n2 2 2 .
2

∴平面 DEA 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值 2 .…………………………8 分 【思路点拨】 (Ⅰ)求证线面平行,可以利用线线平行,本题很容易找出 DF / / OB ;

25

(Ⅱ)分别求平面 DEA 与平面 ABC 的法向量

n1 ? (1, 0,1) n2 ? (0,0,1) ,

cos < n1 , n2 ??


n1 ? n2 1 2 ? ? n1 n2 2 2 ,即可求出余弦值.

【数学(理)卷·2015 届四川省成都市高中毕业班第一次诊断性检测(201412)word 版】 8.已知 m , n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同的平面,且 m // 叙述正确的是 (A)若 ? // ? ,则 m // n (C)若 n ? ? ,则 m ? ? 【知识点】线线关系,线面关系 G4 G5 (B)若 m // n ,则 ? // ? (D)若 m ? ? ,则 ? ? ?

? , n ? ? ,则下列

? 可能相交; 【答案】 【解析】 D 解析: A 中 m, n 可能异面; B 中? , C 中可能 m ? ? 或 m / / ? ,
故选 D. 【思路点拨】熟悉空间中线线,线面关系的判断,逐一排除即可.

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考(201501) 】9.如图,用一 边长为 2 的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将表面积为

4? 的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变, 则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的
距离为( )

A.

2 1 ? 2 2

B.

6 1 ? 2 2 3 1 ? 2 2

C.

3 2

D.

【知识点】空间几何体的结构 G4 【答案】D 【解析】蛋巢的底面是边长为 1 的正方形,所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆直径为 1. 鸡蛋的表面积为 4? ,所以球的半径为 1,所以球心到截面的距离为

d ? 1?

1 3 ? 4 2 .
26

3 1 1 ? 2. 而截面到底面的距离即为三角形的高 2 ,所以球心到底面的距离为 2

d ? 1?
【思路点拨】先求出球心到截面的距离为

1 3 ? 4 2 ,

3 1 ? 2。 再求球心到底面的距离为 2

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考(201501) 】9.如图,用一 边长为 2 的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将表面积为

4? 的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变, 则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的
距离为( )

A.

2 1 ? 2 2

B.

6 1 ? 2 2 3 1 ? 2 2

C.

3 2

D.

【知识点】空间几何体的结构 G4 【答案】D 【解析】蛋巢的底面是边长为 1 的正方形,所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆直径为 1. 鸡蛋的表面积为 4? ,所以球的半径为 1,所以球心到截面的距离为

d ? 1?

1 3 ? 4 2 .

3 1 1 ? 2. 而截面到底面的距离即为三角形的高 2 ,所以球心到底面的距离为 2

d ? 1?
【思路点拨】先求出球心到截面的距离为

1 3 ? 4 2 ,

3 1 ? 2。 再求球心到底面的距离为 2

27

【数学文卷·2015 届四川省绵阳中学高三上学期第五次月考(201412) 】18. (本题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60 , Q 为 AD 的中点。 (1)若 PA ? PD ,求证:平面 PQB ? 平面 PAD ; (2)点 M 在线段 PC 上, PM ? tPC ,试确定 t 的值,使 PA // 平面 MQB ;

【知识点】平面与平面垂直的判定 G5

直线与平面平行的性质及直线与直线平行的性质 G4

【答案】 (1)证明详见解析;(2)

.

【解析】解析:(1)连 BD 四边形 ABCD 菱形,

AD ? AB, ?BAD ? 600 ,

ABD 正三角形, Q 为 AD 中点, ? AD ? BQ
PA ? PD, Q 的中点, AD ? PQ
又 BQ ? PQ ? Q ? AD ? 平面 PQB, AD 平面

PAD ∴平面 PQB ? 平面 PAD;

(2)当

时,

平面 平面 ,连 交 于

下面证明,若

由 平面

可得, , 平面

, ,平面 平面 ,

即:

;

【思路点拨】 (1)由已知条件可证 AD ? BQ,AD ? PQ, 根据平面与平面垂直的判定定理
28

即可求证平面 PQB ? 平面 PAD;

(2)连 AC 结交 BQ 于 N ,由 AQ BC, 可证 ANQ∽ BNC ,即得

,由直

线与平面平行的性质,可证 PA MN ,即得

1 1 PM ? PC, t ? 3. 3 ,所以 即

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联 考(201501) 】19. (本小题满分 12 分) 如图所示,在四棱锥 P? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 正 方 形 , 侧 棱 PA ⊥ 底 面

DE AF ? ? ? , (0 ? ? ? 1) PD 、 AC DP AC ABCD E 、 F PA ? AD ? 1 , , 分别为 上的动点,且 .

?=
(Ⅰ)若

1 2 ,求证: EF ∥ 平面PAB

(Ⅱ)求三棱锥 E ? FCD 体积最大值.

【知识点】线面平行的判定定理;三棱锥的体积.G4 G7

1 【答案】 【解析】 (Ⅰ)见解析; (Ⅱ) 24
解析: (Ⅰ)分别取 PA 和 AB 中点 M 、 N ,连接 MN 、 ME 、 NF ,

29

P

E M

A N F B

H

D

C

1 1 AD AD ME ∥ NF ∥ 则 , , 所 以 NF ∥ = 2 = ME , ? 四 边 形 MEFN 为 平 行 四 边 = 2
形.? EF∥MN ,又 EF ? 平面PAB, MN ? 平面PAB, ? EF ∥ 平面PAB .……4 分 (Ⅱ)在平面 PAD 内作 EH ? AD于H , 因为侧棱 PA ⊥底面 ABCD , 所以平面 PAD ⊥底面 ABCD ,且平面 PAD ? 底面 ABCD =AD , 所以 EH ? 平面ADC ,所以 EH∥PA .…………7 分 (或平面 PAD 中, PA ? AD, EH ? AD, 所以 EH∥PA亦可 )

DE EH ? ?, ? ?,(0 ? ? ? 1) EH ? ? PA ? ? . 因为 DP ,所以 PA
S S
DFC ADC

?

CF ? 1? ? S CA ,

DFC

? (1 ? ? ) S

ADC

?

1? ? 2 ,…………10 分

VE ? DFC =

1 1? ? ? ? ? 2 ? = 3 2 6

(0 ? ? ? 1)
…………12 分

1 ?VE ? DFC 的最大值为 24
【思路点拨】 (Ⅰ)分别取 PA 和 AB 中点 M 、 N ,连接 MN 、 ME 、 NF ,然后利用线 面平行的判定定理即可; (Ⅱ)结合已知条件把体积转化成含 l 的解析式,进而求出最大值 即可。

30

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联 考(201501) 】19. (本小题满分 12 分) 如图所示,在四棱锥 P? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 正 方 形 , 侧 棱 PA ⊥ 底 面

DE AF ? ? ? , (0 ? ? ? 1) ABCD , PA ? AD ? 1 , E、F 分别为 PD、AC 上的动点,且 DP AC .

?=
(Ⅰ)若

1 2 ,求证: EF ∥ 平面PAB

(Ⅱ)求三棱锥 E ? FCD 体积最大值.

【知识点】线面平行的判定定理;三棱锥的体积.G4 G7

1 【答案】 【解析】 (Ⅰ)见解析; (Ⅱ) 24
解析: (Ⅰ)分别取 PA 和 AB 中点 M 、 N ,连接 MN 、 ME 、 NF ,
P

E M

A N F B

H

D

C

1 1 AD AD ME ∥ NF ∥ 则 , , 所 以 NF ∥ = 2 = ME , ? 四 边 形 MEFN 为 平 行 四 边 = 2

31

形.? EF∥MN ,又 EF ? 平面PAB, MN ? 平面PAB, ? EF ∥ 平面PAB .……4 分 (Ⅱ)在平面 PAD 内作 EH ? AD于H , 因为侧棱 PA ⊥底面 ABCD , 所以平面 PAD ⊥底面 ABCD ,且平面 PAD ? 底面 ABCD =AD , 所以 EH ? 平面ADC ,所以 EH∥PA .…………7 分 (或平面 PAD 中, PA ? AD, EH ? AD, 所以 EH∥PA亦可 )

DE EH ? ?, ? ?,(0 ? ? ? 1) EH ? ? PA ? ? . 因为 DP ,所以 PA
S S
DFC ADC

?

CF ? 1? ? S CA ,

DFC

? (1 ? ? ) S

ADC

?

1? ? 2 ,…………10 分

VE ? DFC =

1 1? ? ? ? ? 2 ? = 3 2 6

(0 ? ? ? 1)
…………12 分

1 ?VE ? DFC 的最大值为 24
【思路点拨】 (Ⅰ)分别取 PA 和 AB 中点 M 、 N ,连接 MN 、 ME 、 NF ,然后利用线 面平行的判定定理即可; (Ⅱ)结合已知条件把体积转化成含 l 的解析式,进而求出最大值 即可。

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 (201501) 】19.(本小题满分 12 分) 正 方 形 ADEF 与 梯 形 ABCD 所 在 平 面 互 相 垂 直 , AD ? CD, AB // CD ,
AB ? AD ? 1 CD ? 2 2 ,点 M 是 EC 中点。

(1)求证:BM//平面 ADEF; (2)求三棱锥 M ? BDE 的体积.

32

【知识点】平行关系 棱锥的体积 G4 G7

4 【答案】 【解析】 (1)略; (2) 3
解析:(1)证明:取 DE 中点 N,连接 MN,AN,在△EDC 中,M、N 分别为 EC,ED 的中

1 1 点,所以 MN∥CD,且 MN= 2 CD.由已知 AB∥CD,AB= 2 CD,所以 MN∥AB,且
MN=AB.所以四边形 ABMN 为平行四边形,所以 BM∥AN,又因为 AN?平面 ADEF,且 BM?平面 ADEF,所以 BM∥平面 ADEF;

(2)因 M 为 EC 的中点,所以

S ?DEM ?

1 S?CDE ? 2 2 ,

因为 AD ? CD, AD ? DE ,且 DE 与 CD 相交于 D 所以 AD ? 平面CDE 因为 AB / / CD ,所以 AB//平面 CDE , B 到面 DEM 的距离,即为 AD ? 2

1 4 ?VM ? BDE ? ? S?DEM ? AD ? 3 3.
【思路点拨】证明线面平行通常结合线面平行的判定定理进行证明,求三棱锥体积时,若以 所给底面求体积不方便时,可考虑换底面求体积.

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 (201501) 】19.(本小题满分 12 分)
33

正 方 形 ADEF 与 梯 形 ABCD 所 在 平 面 互 相 垂 直 , AD ? CD, AB // CD ,
AB ? AD ? 1 CD ? 2 2 ,点 M 是 EC 中点。

(1)求证:BM//平面 ADEF; (2)求三棱锥 M ? BDE 的体积.

【知识点】平行关系 棱锥的体积 G4 G7

4 【答案】 【解析】 (1)略; (2) 3
解析:(1)证明:取 DE 中点 N,连接 MN,AN,在△EDC 中,M、N 分别为 EC,ED 的中

1 1 点,所以 MN∥CD,且 MN= 2 CD.由已知 AB∥CD,AB= 2 CD,所以 MN∥AB,且
MN=AB.所以四边形 ABMN 为平行四边形,所以 BM∥AN,又因为 AN?平面 ADEF,且 BM?平面 ADEF,所以 BM∥平面 ADEF;

(2)因 M 为 EC 的中点,所以

S ?DEM ?

1 S?CDE ? 2 2 ,

因为 AD ? CD, AD ? DE ,且 DE 与 CD 相交于 D 所以 AD ? 平面CDE 因为 AB / / CD ,所以 AB//平面 CDE , B 到面 DEM 的距离,即为 AD ? 2

1 4 ?VM ? BDE ? ? S?DEM ? AD ? 3 3.

34

【思路点拨】证明线面平行通常结合线面平行的判定定理进行证明,求三棱锥体积时,若以 所给底面求体积不方便时,可考虑换底面求体积.

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性 测试(201501)word 版】20. (本小题满分 15 分) 如图,在几何体 SABCD 中, AD ? 平面 SCD , BC ? 平面 SCD , AD ? DC ? 2, BC ? 1,又 SD ? 2 ,

?SDC ? 1200 。
(1)求 SC 与平面 SAB 所成角的正弦值; ( 2 ) 求 平 面 S A D 与 平 面 S A B 所 成 的 锐 二 面 角 的 余 弦 值 。
A

B

D
C

S

(第 20 题图)

【知识点】空间平行、垂直,以及线面成角等知识 G4 G5 G11

10 10 【答案】 (1) 20 ; (2) 5 .
【解析】解析:过点 D 作 DC 的垂线交 SC 于 E ,以 D 为原点,分别以 DC , DE , DA 为 x, y, z 轴建立空间上角坐标系

?SDC ? 1200 ,??SDE ? 300 ,又 SD ? 2 ,则点 S 到 y 轴的距离为 1,到 x 轴的距离
3。
则有 D (0, 0, 0) , S (?1, 3,0) , A(0, 0, 2) , C (2, 0, 0) , B(2, 0,1) 。 (1)设平面 SAB 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,



(4 分)

AB ? (2,0 ?1), AS ? (?1, 3, ?2)



35

2x ? z ? 0 ? ? ? ?? x ? 3 y ? 2 z ? 0 ,取 x ? 3 ,得 n ? ( 3,5, 2 3) ,又 SC ? (3, ? 3,0) , 则有 ?
设 SC 与平面 SAB 所成角为 ? ,则

sin ? ? cos ? SC, n ? ?

2 3 10 ? 20 , 2 3 ? 2 10

10 故 SC 与平面 SAB 所成角的正弦值为 20 。
(2)设平面 SAD 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,

(5 分)

A D? ( 0 , 0 ? 2) A , S ? ?( 1, ?3 , 2) ,
?2 z ? 0 ? ? ? ?? x ? 3 y ? 2 z ? 0 ,取 x ? 3 ,得 m ? ( 3,1,0) 。 则有 ?

?c o s ?n m , ??

nm n?m

?

8 10 ? 2 10 ? 2 5



10 故平面 SAD 与平面 SAB 所成的锐二面角的余弦值是 5 .

(5 分)

【思路点拨】 过点 D 作 DC 的垂线交 SC 于 E ,以 D 为原点,分别以 DC , DE , DA 为 x, y, z 轴 建立空间上角坐标系,求得点坐标,进而得到平面 SAB 的法向量,利用线面角公式求得; 求得平面 SAD 的法向量,以及(1)中平面 SAB 的法向量,利用二面角公式求得.

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性 测试(201501)word 版】4.在空间给出下面四个命题(其中 m 、 n 为不同的两条直线, a 、

b 为不同的两个平面)
① m ^ a , n // a ? m ^ n ③ m // n , n ^ b , m // a ? a ^ b ② m // n , n // a ? m // a ④m

n = A , m // a , m // b , n // a , n // b ? a // b

其中正确的命题个数有( ▲ ) 。 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【知识点】空间中直线与平面的位置关系 G4 G5 【答案】C【解析】解析:①由线面垂直及线面平行的性质,可知 m ^ a , n // a ? m ^ n , 故①正确;② m n, n

? ? m ?或m ? ? ,故②错误③根据线面垂直的性质;两平行线
36

中的一个垂直于平面,则另一个也垂直于平面可知:若 m n,n ? ? ,则 m ? ? ,又

m ? ? ? ? ? ,故③正确④由 m n = A , m ? .m ? , n ? .n ? 可得平面 ?,? 都与

,n 确定的平面平行,则可得 ? ? ,故④正确综上知,正确的有①③④,故选择 直线 m
C.

, 【思路点拨】 根据线面垂直、 线面平行的性质, 可判断①; 由m nn

?? m

?或 m ? ?

可判断②; ③根据两平行线中的一个垂直于平面, 则另一个也垂直于平面及面面垂直的判定

,n 确定的平面平行,则可得 ? ? ,可 定理可判断③;④由已知可得平面 ?,? 都与直 m
判断④.

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word 版】5.已知 ? , ? 是平面, m, n 是直线,则下列命题不正确的是() A.若 m∥n, m ? ? , 则 n ? ? B.若 m ? ? , m ? ? , 则 ?∥?

∥?, C.若 m ? ?,m 则? ? ?

?,? ? ? ? n ,则 m∥n D.若 m∥

【知识点】平行关系与垂直关系 G4 G5 【答案】 【解析】D 解析:由线面垂直的性质得 A 选项正确;由两面平行的性质知 B 正确;若 m⊥α ,m∥β , 则平面β 必经过平面α 的一条垂线,所以 C 正确;因为 n 不一定在平面β 内,所以 m 与 n 不一定平行,则 D 错误,综上可知选 D. 【思路点拨】判断空间线面位置关系时,可考虑反例法和直接推导相结合的方法进行解答.

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word 版】5.已知 ? , ? 是平面, m, n 是直线,则下列命题不正确的是() A.若 m∥n, m ? ? , 则 n ? ? B.若 m ? ? , m ? ? , 则 ?∥?

∥?, C.若 m ? ?,m 则? ? ?

?,? ? ? ? n ,则 m∥n D.若 m∥

【知识点】平行关系与垂直关系 G4 G5 【答案】 【解析】D 解析:由线面垂直的性质得 A 选项正确;由两面平行的性质知 B 正确;若 m⊥α ,m∥β , 则平面β 必经过平面α 的一条垂线,所以 C 正确;因为 n 不一定在平面β 内,所以 m 与 n 不一定平行,则 D 错误,综上可知选 D. 【思路点拨】判断空间线面位置关系时,可考虑反例法和直接推导相结合的方法进行解答.

37

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word 版】5.已知 ? , ? 是平面, m, n 是直线,则下列命题不正确的是() A.若 m∥n, m ? ? , 则 n ? ? B.若 m ? ? , m ? ? , 则 ?∥?

∥?, C.若 m ? ?,m 则? ? ?

?,? ? ? ? n ,则 m∥n D.若 m∥

【知识点】平行关系与垂直关系 G4 G5 【答案】 【解析】D 解析:由线面垂直的性质得 A 选项正确;由两面平行的性质知 B 正确;若 m⊥α ,m∥β , 则平面β 必经过平面α 的一条垂线,所以 C 正确;因为 n 不一定在平面β 内,所以 m 与 n 不一定平行,则 D 错误,综上可知选 D. 【思路点拨】判断空间线面位置关系时,可考虑反例法和直接推导相结合的方法进行解答.

【 【名校精品解析系列】数学文卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试 (201501) 】20.已知在如图的多面体中, AE ⊥底面 BEFC , AD // EF // BC ,

CF ?

BE ? AD ? EF ?

1 BC 2 ? 2 , AE ? 2 , G 是 BC 的中点.

(1)求证: AB // 平面 DEG ; (2)求证: EG ? 平面 BDF [] (3)求此多面体 ABCDEF 的体积. 【知识点】线面平行的判定定理;线面垂直的判定定理;几何体的体积.G4 G5G7

8 3 【答案】 【解析】 (1)见解析; (2)见解析; (3) 3
解析: (1)∵ AD / / EF , EF / / BC , ∴ AD / / BC .
38

又∵ BC ? 2 AD , G 是 BC 的中点, ∴

AD / /BG ,

∴四边形 ADGB 是平行四边形, ∴ AB / / DG . ∵ AB ? 平面 DEG , DG ? 平面 DEG , ∴ AB / / 平面 DEG . (2)连结 GF ,四边形 ADFE 是矩形,

∵ DF // AE , AE ⊥底面 BEFC , ∴ DF ? 平面 BCFE , EG ? 平面 BCFE , ∴ DF ? EG ∵

EF //BG, EF ? BE ,

∴四边形 BGFE 为菱形,∴ BF ? EG , 又 BF I DF ? F , BF ? 平面 BFD , DF ? 平面 BFD , ∴ EG ? 平面 BDF .

VABCDEF ? VB ? AEFD ? VD ? BCF

? BH ? 平 ? 平面 AEFD ? 平面 BEFC , ,作 BH ? EF 于 H ,

面 AEFD , EG // CF ,? CF ? 平面 BDF

BH ? 3 ,

1 4 3 1 1 4 3 VB ? AEFD ? ? 3 ? 2 ? 2 ? VD ? BCF ? VC ? BFD ? ? 2 ? ? 2 ? 2 3 ? 3 3 , 3 2 3
8 3 3

?VABCDEF ?

【思路点拨】 (1)先结合已知条件证明出四边形 ADGB 是平行四边形,再利用线面平行的
39

判定定理即可; (2)直接利用线面垂直的判定定理即可; (3)先对原几何体分解,再分别求 出体积相加即可。

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性 测试(201501)word 版】6.设 a、b 为两条不同的直线, ?、? 为两个不同的平面.下列 命题中,正确的是( ▲ ) 。 A.若 a、b 与 ? 所成的角相等,则 a / / b C.若 a ? ? , a / / ? ,则 ? ? ? B.若 ? ? ? , m / /? ,则 m ? ? D.若 a / /? , b / / ? ,则 a / / b

【知识点】空间中直线与平面的位置关系 G4 G5 【答案】C【解析】解析:当两条直线与一个平面所成的角相等时,这两条直线的关系不能 确定,故 A 不正确,当两个平面垂直时,一条直线与一个平面垂直,则这条直线与另一个 平面的关系都有可能,故 B 不正确,当一条直线与一个平面垂直,与另一个平面平行, 则这两个平面之间的关系是垂直,故 C 正确,当两条直线分别和两个平面平行,这两条直 线之间没有关系,故 D 不正确.故选择 C. 【思路点拨】当两条直线与一个平面所成的角相等时,这两条直线的关系不能确定,当两个 平面垂直时,一条直线与一个平面垂直,则这条直线与另一个平面的关系都有可能,当两条 直线分别和两个平面平行,这两条直线之间没有关系,得到结论.

【 【名校精品解析系列】数学文卷· 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word 版】19.如图 1,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD ,面 ABCD 为正方形, E 为 侧棱 PD 上一点, F 为 AB 上一点。该四棱锥的正(主)侧图和侧(左)视图如图 2 所示。 (I)证明: AE ∥平面 PFC ; (II)证明:平面 PFC ? 平面 PCD 。
P 2 E 2 2 D

2

A F B 图1 C

2 正(主)视图 图2

1

1

侧(左)视图

【知识点】线面平行 面面垂直 G4 G5 【答案】 【解析】 (I)略; (II)略.
40

解析: (I)证明:取 PC 中点 Q,连结 EQ,FQ.由正(主)视图可得 E 为 PD 的中点,所

1 1 EQ ? CD 2 以 EQ ∥ CD, , 又因为 AF∥ CD,AF= 2 CD, 所以 AFE ∥ Q,AF=EQ, 所以四边形
AFEQ 为平行四边形,所以 AE∥FQ.因为 AE ? 平面PFC, FQ ? 平面PFC ,所以 直线 AE∥平面 PFC;

(II)证明:因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥CD,因为面 ABCD 为正方形,所以 AD⊥CD, 所以 CD⊥平面 PAD,因为 AE ? 平面PAD ,所以 CD⊥AE,因为 PA=AD,E 为 PD 中点, 所 以 AE ⊥ PD, 所 以 AE ⊥ 平 面 PCD . 因 为 AE ∥ FQ , 所 以 FQ ⊥ 平 面 PCD . 因 为

FQ ? 平面PFC , 所以平面 PFC⊥平面 PCD.
【思路点拨】证明线面平行及面面垂直问题,通常结合其判定定理进行证明.

【 【名校精品解析系列】数学文卷· 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word 版】6.已知 ? 是平面, m, n 是直线,则下列命题正确的是()

? , 则 n∥? A.若 m∥n, m∥
C.若 m ? ?,m ? n, 则n ??

?, 则 m ? n B.若 m ? ? , n∥
D.若 m∥?,n∥? ,则 m∥n

【知识点】平行关系与垂直关系 G4 G5 【答案】 【解析】 B 解析:选项 A,直线 n 还可能在平面α 内,所以错误;选项 B,因为 n∥α ,所以在α 一定 存在直线 a∥n,而 m⊥α ,所以 m⊥a,得 m⊥n,所以 B 正确,因为只有一个正确选项,则答 案只能为 B.. 【思路点拨】判断空间线面位置关系时,可考虑反例法和直接推导相结合的方法进行解答.

G5 空间中的垂直关系 【数学(理)卷·2015 届四川省成都市高中毕业班第一次诊断性检测(201412)word 版】 8.已知 m , n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同的平面,且 m //

? , n ? ? ,则下列
41

叙述正确的是 (A)若 ? // ? ,则 m // n (C)若 n ? ? ,则 m ? ? 【知识点】线线关系,线面关系 G4 G5 (B)若 m // n ,则 ? // ? (D)若 m ? ? ,则 ? ? ?

? 可能相交; 【答案】 【解析】 D 解析: A 中 m, n 可能异面; B 中? , C 中可能 m ? ? 或 m / / ? ,
故选 D. 【思路点拨】熟悉空间中线线,线面关系的判断,逐一排除即可.

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷·2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联 考(201501) 】19.已知四棱锥 P ? ABCD 中, PA ^ 平面 ABCD ,底面 ABCD 是边长为 a 的菱形, ?BAD ? 120? , PA ? b . (Ⅰ)求证:平面 PBD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)设 AC 与 BD 交于点 O , M 为 OC 中点,若二面角 O ? PM ? D 的正切值为 2 6 , 求 a : b 的值.

【知识点】平面与平面垂直的判定;与二面角有关的立体几何综合题.G5 G11

a 4 ? b 3 【答案】 【解析】 (Ⅰ)见解析; (Ⅱ)
解析: (Ⅰ) 因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥BD………………2 分 又 ABCD 为菱形,所以 AC⊥BD,所以 BD⊥平面 PAC………………4 分 从而平面 PBD⊥平面 PAC. ……………6 分 (Ⅱ)方法 1. 过 O 作 OH⊥PM 交 PM 于 H,连 HD 因为 DO⊥平面 PAC,可以推出 DH⊥PM,所以∠OHD 为 O-PM-D 的平面角………………8 分

OD ?


OH AP 3 a 3a ? a, OM ? , AM ? 2 4 4 ,且 OM PM ………………10 分
42

OH ?
从而

a ab ·? 4 9 16b 2 ? 9a 2 b2 ? a 2 16 ………………11 分

b

3(16b2 ? 9a 2 ) OD tan ?OHD ? ? ?2 6 OH 2b
a 4 ? 所以 9a ? 16b ,即 b 3 .
2 2

………………………12 分
z P

P

A

H O M

D

A O M x

D y C

B

C

B

法 二 : 如 图 , 以 A 为 原 点 , AD, AP 所 在 直 线 为 y 轴 , z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则

3 3 3 3 1 M( a, a, 0) O( a, a, 0) P( 0, 0, b )D , ( 0, a ,, 0 ) 8 8 4 4 , …………8 分

PD ? (0, a, ?b), PM ? (
从而

3 3 3 3 3 a, a, 0) a, a, ?b) OD ? (? 4 4 8 8 ………………9 分 OD ? (? 3 3 a, a, 0) 4 4 .……10 分

因为 BD⊥平面 PAC,所以平面 PMO 的一个法向量为 设平面 PMD 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,由 PD ? n, PM ? n 得

PD ? n ? ay ? bz ? 0, PM ? n ?

3 3 3 ax ? ay ? bz ? 0 8 8

x?


5 3 3

b, y ? b, z ? a
,即

n?(

5 3 3

b, b, a )
……………11 分

设 OD 与 n 的夹角为 ? ,则二面角 O ? PM ? D 大小与 ? 相等

从而 tan ? ? 2 6 ,得

cos ? ?

1 5
43

5 3 ab ? ab OD ? n 1 12 4 cos ? ? ? ? 5 | OD | ? | n | a 52 2 12 b ? a2 4 27 ?
从而 4b ? 3a ,即 a : b ? 4 : 3 . ……………12 分

【思路点拨】 (Ⅰ)根据线面垂直的判定,证明 BD⊥平面 PAC,利用面面垂直的判定,证 明平面 PBD⊥平面 PAC;(Ⅱ)过 O 作 OH⊥PM 交 PM 于 H,连 HD,则∠OHD 为 A﹣PM ﹣D 的平面角,利用二面角 O﹣PM﹣D 的正切值为 2 6 ,即可求 a:b 的值.

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 (201501) 】 19.(本小题满分 12 分)如图, 在直棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, AD∥BC, ∠BAD =90° ,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3. (Ⅰ)证明:AC⊥B1D; (Ⅱ)求直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值.

【知识点】垂直关系 线面所成的角 G5 G11

21 【答案】 【解析】(1)略;(2) 7
解析: 方法一 (1)证明 如图, 因为 BB1⊥平面 ABCD, AC?平面 ABCD, 所以 AC⊥BB1. 又 AC⊥BD,所以 AC⊥平面 BB1D,而 B1D?平面 BB1D,所以 AC⊥B1D. (2)解 因为 B1C1∥AD, 所以直线 B1C1 与平面 ACD1 所成的角等于直线 AD 与平面 ACD1 所成的角(记为 θ).如图,连接 A1D,因为棱柱 ABCD-A1B1C1D1 是直棱柱,且∠B1A1D1 =∠BAD=90° ,所以 A1B1⊥平面 ADD1A1,从而 A1B1⊥AD1.又 AD=AA1=3,所以四 边形 ADD1A1 是正方形.于是 A1D⊥AD1,故 AD1⊥平面 A1B1D,于是 AD1⊥B1D. 由(1)知,AC⊥B1D,所以 B1D⊥平面 ACD1.故∠ADB1=90° -θ,在直角梯形 ABCD 中, AB BC 因为 AC⊥BD,所以∠BAC=∠ADB.从而 Rt△ABC∽Rt△DAB,故 = , DA AB 即 AB= DA· BC= 3.连接 AB1, 易知△AB1D 是直角三角形, 且 B1D2=BB2 1+BD2=BB2 1 +AB2+AD2=21,即 B1D= 21.在 Rt△AB1D 中,cos∠ADB1= AD 3 21 = = ,即 B1D 7 21

44

cos(90° -θ)=

21 21 .从而 sin θ= . 7 7 21 . 7

即直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为

方法二 (1)证明 易知,AB,AD,AA1 两两垂直.如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AA1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. 设 AB=t,则相关各点的坐标为 A(0,0,0), B(t,0,0), B1(t,0,3), C(t,1,0), C1(t,1,3), D(0,3,0), D1(0,3,3). 从而=(-t,3,-3),=(t,1,0),=(-t,3,0). 因为 AC⊥BD,所以· =-t2+3+0=0,解得 t= 3或 t= 3(舍去). 于是=(- 3,3,-3),=( 3,1,0), 因为· =-3+3+0=0, 所以⊥,即 AC⊥B1D. (2)解 由(1)知,=(0,3,3),=( 3,1,0),=(0,1,0). -

? 3x+y=0, 设 n=(x,y,z)是平面 ACD1 的一个法向量,则,即? ?3y+3z=0,
令 x=1,则 n=(1,- 3, 3).设直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角为 θ,则 3 21 = . 7 7 【思路点拨】证明线线垂直,通常转化为线面垂直进行证明,求线面所成角通常利用定义作 出所成角,再利用三角形求值,本题也可以建立空间直角坐标系,利用空间向量进行解答. sin θ=|cos〈n, 〉|==

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 (201501) 】 19.(本小题满分 12 分)如图, 在直棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, AD∥BC, ∠BAD =90° ,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3. (Ⅰ)证明:AC⊥B1D; (Ⅱ)求直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值.

【知识点】垂直关系 线面所成的角 G5 G11

21 【答案】 【解析】(1)略;(2) 7
解析: 方法一 (1)证明 如图, 因为 BB1⊥平面 ABCD, AC?平面 ABCD, 所以 AC⊥BB1. 又 AC⊥BD,所以 AC⊥平面 BB1D,而 B1D?平面 BB1D,所以 AC⊥B1D.
45

(2)解 因为 B1C1∥AD, 所以直线 B1C1 与平面 ACD1 所成的角等于直线 AD 与平面 ACD1 所成的角(记为 θ).如图,连接 A1D,因为棱柱 ABCD-A1B1C1D1 是直棱柱,且∠B1A1D1 =∠BAD=90° ,所以 A1B1⊥平面 ADD1A1,从而 A1B1⊥AD1.又 AD=AA1=3,所以四 边形 ADD1A1 是正方形.于是 A1D⊥AD1,故 AD1⊥平面 A1B1D,于是 AD1⊥B1D. 由(1)知,AC⊥B1D,所以 B1D⊥平面 ACD1.故∠ADB1=90° -θ,在直角梯形 ABCD 中, AB BC 因为 AC⊥BD,所以∠BAC=∠ADB.从而 Rt△ABC∽Rt△DAB,故 = , DA AB 即 AB= DA· BC= 3.连接 AB1, 易知△AB1D 是直角三角形, 且 B1D2=BB2 1+BD2=BB2 1 +AB2+AD2=21,即 B1D= 21.在 Rt△AB1D 中,cos∠ADB1= cos(90° -θ)= 21 21 .从而 sin θ= . 7 7 21 . 7 AD 3 21 = = ,即 B1D 7 21

即直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为

方法二 (1)证明 易知,AB,AD,AA1 两两垂直.如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AA1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. 设 AB=t,则相关各点的坐标为 A(0,0,0), B(t,0,0), B1(t,0,3), C(t,1,0), C1(t,1,3), D(0,3,0), D1(0,3,3). 从而=(-t,3,-3),=(t,1,0),=(-t,3,0). 因为 AC⊥BD,所以· =-t2+3+0=0,解得 t= 3或 t= 3(舍去). 于是=(- 3,3,-3),=( 3,1,0), 因为· =-3+3+0=0, 所以⊥,即 AC⊥B1D. (2)解 由(1)知,=(0,3,3),=( 3,1,0),=(0,1,0). -

? 3x+y=0, 设 n=(x,y,z)是平面 ACD1 的一个法向量,则,即? ?3y+3z=0,
令 x=1,则 n=(1,- 3, 3).设直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角为 θ,则 3 21 = . 7 7 【思路点拨】证明线线垂直,通常转化为线面垂直进行证明,求线面所成角通常利用定义作 出所成角,再利用三角形求值,本题也可以建立空间直角坐标系,利用空间向量进行解答. sin θ=|cos〈n, 〉|==

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 (201501) 】 19.(本小题满分 12 分)如图, 在直棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, AD∥BC, ∠BAD =90° ,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3. (Ⅰ)证明:AC⊥B1D; (Ⅱ)求直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值.

46

【知识点】垂直关系 线面所成的角 G5 G11

21 【答案】 【解析】(1)略;(2) 7
解析: 方法一 (1)证明 如图, 因为 BB1⊥平面 ABCD, AC?平面 ABCD, 所以 AC⊥BB1. 又 AC⊥BD,所以 AC⊥平面 BB1D,而 B1D?平面 BB1D,所以 AC⊥B1D. (2)解 因为 B1C1∥AD, 所以直线 B1C1 与平面 ACD1 所成的角等于直线 AD 与平面 ACD1 所成的角(记为 θ).如图,连接 A1D,因为棱柱 ABCD-A1B1C1D1 是直棱柱,且∠B1A1D1 =∠BAD=90° ,所以 A1B1⊥平面 ADD1A1,从而 A1B1⊥AD1.又 AD=AA1=3,所以四 边形 ADD1A1 是正方形.于是 A1D⊥AD1,故 AD1⊥平面 A1B1D,于是 AD1⊥B1D. 由(1)知,AC⊥B1D,所以 B1D⊥平面 ACD1.故∠ADB1=90° -θ,在直角梯形 ABCD 中, AB BC 因为 AC⊥BD,所以∠BAC=∠ADB.从而 Rt△ABC∽Rt△DAB,故 = , DA AB 即 AB= DA· BC= 3.连接 AB1, 易知△AB1D 是直角三角形, 且 B1D2=BB2 1+BD2=BB2 1 +AB2+AD2=21,即 B1D= 21.在 Rt△AB1D 中,cos∠ADB1= cos(90° -θ)= 21 21 .从而 sin θ= . 7 7 21 . 7 AD 3 21 = = ,即 B1D 7 21

即直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为

方法二 (1)证明 易知,AB,AD,AA1 两两垂直.如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AA1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. 设 AB=t,则相关各点的坐标为 A(0,0,0), B(t,0,0), B1(t,0,3), C(t,1,0), C1(t,1,3), D(0,3,0), D1(0,3,3). 从而=(-t,3,-3),=(t,1,0),=(-t,3,0). 因为 AC⊥BD,所以· =-t2+3+0=0,解得 t= 3或 t= 3(舍去). 于是=(- 3,3,-3),=( 3,1,0), 因为· =-3+3+0=0, 所以⊥,即 AC⊥B1D. (2)解 由(1)知,=(0,3,3),=( 3,1,0),=(0,1,0). -

? 3x+y=0, 设 n=(x,y,z)是平面 ACD1 的一个法向量,则,即? ?3y+3z=0,
令 x=1,则 n=(1,- 3, 3).设直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角为 θ,则

47

sin θ=|cos〈n, 〉|==

3 21 = . 7 7

【思路点拨】证明线线垂直,通常转化为线面垂直进行证明,求线面所成角通常利用定义作 出所成角,再利用三角形求值,本题也可以建立空间直角坐标系,利用空间向量进行解答.

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性 测试(201501)word 版】20. (本小题满分 15 分) 如图,在几何体 SABCD 中, AD ? 平面 SCD , 平面

A

B

, AD ? DC ? 2, BC ? 1,又

D



?SDC ? 1200 。
(1)求 SC 与平面 SAB 所成角的正弦值; ( 2 ) 求 平 面 S A D 与 平 面 S A B 所 成 的 锐 二 面 角 的 余 弦 值 。
A

B

D
C

S

(第 20 题图)

【知识点】空间平行、垂直,以及线面成角等知识 G4 G5 G11

10 10 【答案】 (1) 20 ; (2) 5 .
【解析】解析:过点 D 作 DC 的垂线交 SC 于 E ,以 D 为原点,分别以 DC , DE , DA 为 x, y, z 轴建立空间上角坐标系

?SDC ? 1200 ,??SDE ? 300 ,又 SD ? 2 ,则点 S 到 y 轴的距离为 1,到 x 轴的距离
3。
则有 D (0, 0, 0) , S (?1, 3,0) , A(0, 0, 2) , C (2, 0, 0) , B(2, 0,1) 。 (1)设平面 SAB 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,



(4 分)

AB ? (2,0 ?1), AS ? (?1, 3, ?2)


48

2x ? z ? 0 ? ? ? ?? x ? 3 y ? 2 z ? 0 ,取 x ? 3 ,得 n ? ( 3,5, 2 3) ,又 SC ? (3, ? 3,0) , 则有 ?
设 SC 与平面 SAB 所成角为 ? ,则

sin ? ? cos ? SC, n ? ?

2 3 10 ? 20 , 2 3 ? 2 10

10 故 SC 与平面 SAB 所成角的正弦值为 20 。
(2)设平面 SAD 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,

(5 分)

A D? ( 0 , 0 ? 2) A , S ? ?( 1, ?3 , 2) ,
?2 z ? 0 ? ? ? ?? x ? 3 y ? 2 z ? 0 ,取 x ? 3 ,得 m ? ( 3,1,0) 。 则有 ?

?c o s ?n m , ??

nm n?m

?

8 10 ? 2 10 ? 2 5



10 故平面 SAD 与平面 SAB 所成的锐二面角的余弦值是 5 .

(5 分)

【思路点拨】 过点 D 作 DC 的垂线交 SC 于 E ,以 D 为原点,分别以 DC , DE , DA 为 x, y, z 轴 建立空间上角坐标系,求得点坐标,进而得到平面 SAB 的法向量,利用线面角公式求得; 求得平面 SAD 的法向量,以及(1)中平面 SAB 的法向量,利用二面角公式求得.

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性 测试(201501)word 版】4.在空间给出下面四个命题(其中 m 、 n 为不同的两条直线, a 、

b 为不同的两个平面)
① m ^ a , n // a ? m ^ n ③ m // n , n ^ b , m // a ? a ^ b ② m // n , n // a ? m // a ④m

n = A , m // a , m // b , n // a , n // b ? a // b

其中正确的命题个数有( ▲ ) 。 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【知识点】空间中直线与平面的位置关系 G4 G5 【答案】C【解析】解析:①由线面垂直及线面平行的性质,可知 m ^ a , n // a ? m ^ n , 故①正确;② m n, n

? ? m ?或m ? ? ,故②错误③根据线面垂直的性质;两平行线
49

中的一个垂直于平面,则另一个也垂直于平面可知:若 m n,n ? ? ,则 m ? ? ,又

m ? ? ? ? ? ,故③正确④由 m n = A , m ? .m ? , n ? .n ? 可得平面 ?,? 都与

,n 确定的平面平行,则可得 ? ? ,故④正确综上知,正确的有①③④,故选择 直线 m
C.

, 【思路点拨】 根据线面垂直、 线面平行的性质, 可判断①; 由m nn

?? m

?或 m ? ?

可判断②; ③根据两平行线中的一个垂直于平面, 则另一个也垂直于平面及面面垂直的判定

,n 确定的平面平行,则可得 ? ? ,可 定理可判断③;④由已知可得平面 ?,? 都与直 m
判断④.

【 【名校精品解析系列】 数学理卷· 2015 届河南省安阳一中等天一大联考高三阶段测试 (三) (201412)word 版】(20)(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P -ABCD 中,AD ? DB,其中三棱锥 P- BCD 的三视图如图所示,且

sin ?BDC ?

3 5

(1)求证:AD ? PB

12 13 65 ,求 AD 的长 (2)若 PA 与平面 PCD 所成角的正弦值为
【知识点】几何体的三视图;垂直关系的判定;线面角的意义. G2 G5 G11 【答案】 【解析】 (1)证明:见解析; (2)6. 解析:由三视图可知

PD ? 平面ABCD,而AD ? 面ABCD ? AD ? PD



50

AD ? DB, 且PD ? BD ? D, PD, BD ? 平面PBD, ? AD ? 平面PBD ,
? AD ? PB 。 又 PB ? 平面PBD,
(2)由(1)可知,PD,AD,BD 两两互相垂直,以 D 为原点,建立如图所示空间直角坐标系.

设 AD= ? (? ? 0) ,结合 sin∠BDC= 5 可得

3

9 12 A(? , 0, 0), B(0,3, 0), C (? , , 0), P(0, 0, 4) 5 5 .

9 12 PA ? (? , 0, ?4), DC ? (? , , 0), DP ? (0, 0, 4) 5 5 所以

?4 z ? 0 ? DP ? n ? 0 ? ? 12 ? 9 ? ? x? y ?0 ? DC ? n ? 0 ? 5 设 n ? ( x, y, z) 为平面 PCD 的法向量,由题意得 ? 即? 5 ,令 y=3,
则 x=4,z=0,得平面 PCD 的一个法向量 n ? (4,3,0) .

设 PA 与平面 PCD 所成角为 ? , 可得 解之得 ? ? 6 ,即 AD=6.

sin ? ? cos? PA, n? ?

4? ? 3 ? 0 ? 0 ? ? ?4 ?

? ? 16 ? 16 ? 9
2

?

12 13 65



【思路点拨】 (1)由三视图得此几何体的结构特点,从而得 AD⊥平面 PBD,进而得结论; (2)建立空间直角坐标系,利用空间向量求解.

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word 版】 19. 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 四边形 ABCD 是边长为 1 的菱形, 且 ?DAB ? 60 ,

PA ? PD ? 2,PB ? 2 , E,F 分别是 BC,PC 的中点。
(I)证明: AD ? 平面DEF ; (II)求二面角 P ? AD ? B 的余弦值。

51

P

F

D E A B

C

【知识点】垂直关系 二面角的求法 G5 G11

?
【答案】 【解析】 (I)略; (II)

21 7

解析: (I)取 AD 的中点 G,因为 PA=PD,所以 PG⊥AD,由题意知△ABC 是等边三角形, 所以 BG⊥AD,又 PG,BG 是平面 PGB 的两条相交直线, 所以 AD⊥平面 PGB, 因为 EF∥PB,DE ∥GB,所以平面 DEF∥平面 PGB,所以 AD⊥平面 DEF;

PG 2 ?
(II) 由(1)知∠PGB 为二面角 P-AD-B 的平面角, 在 Rt△PGA 中,

? ?
2


2

?1? 7 ?? ? ? ?2? 4,

2



Rt



BGA





?1? 3 BG ? 1 ? ? ? ? ?2? 4
2

2

,



PGB



cos ?PGB ?

PG 2 ? BG 2 ? PB 2 21 ?? 2 PG ? BG 7

. 【思路点拨】 证明线面垂直, 通常利用其判定定理进行证明, 求二面角时可先找出其平面角, 再利用其所在的三角形求值.

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word 版】5.已知 ? , ? 是平面, m, n 是直线,则下列命题不正确的是() A.若 m∥n, m ? ? , 则 n ? ? B.若 m ? ? , m ? ? , 则 ?∥?

∥?, C.若 m ? ?,m 则? ? ?

?,? ? ? ? n ,则 m∥n D.若 m∥
52

【知识点】平行关系与垂直关系 G4 G5 【答案】 【解析】D 解析:由线面垂直的性质得 A 选项正确;由两面平行的性质知 B 正确;若 m⊥α ,m∥β , 则平面β 必经过平面α 的一条垂线,所以 C 正确;因为 n 不一定在平面β 内,所以 m 与 n 不一定平行,则 D 错误,综上可知选 D. 【思路点拨】判断空间线面位置关系时,可考虑反例法和直接推导相结合的方法进行解答.

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word 版】 19. 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 四边形 ABCD 是边长为 1 的菱形, 且 ?DAB ? 60 ,

PA ? PD ? 2,PB ? 2 , E,F 分别是 BC,PC 的中点。
(I)证明: AD ? 平面DEF ; (II)求二面角 P ? AD ? B 的余弦值。
P

F

D E A B

C

【知识点】垂直关系 二面角的求法 G5 G11

?
【答案】 【解析】 (I)略; (II)

21 7

解析: (I)取 AD 的中点 G,因为 PA=PD,所以 PG⊥AD,由题意知△ABC 是等边三角形, 所以 BG⊥AD,又 PG,BG 是平面 PGB 的两条相交直线, 所以 AD⊥平面 PGB, 因为 EF∥PB,DE ∥GB,所以平面 DEF∥平面 PGB,所以 AD⊥平面 DEF;

PG ?
2

(II) 由(1)知∠PGB 为二面角 P-AD-B 的平面角, 在 Rt△PGA 中,

? 2?


2

?1? 7 ?? ? ? ?2? 4,

2



Rt



BGA





?1? 3 BG 2 ? 1 ? ? ? ? ?2? 4

2

,



PGB



PG 2 ? BG 2 ? PB 2 21 cos ?PGB ? ?? 2 PG ? BG 7

53

. 【思路点拨】 证明线面垂直, 通常利用其判定定理进行证明, 求二面角时可先找出其平面角, 再利用其所在的三角形求值.

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word 版】5.已知 ? , ? 是平面, m, n 是直线,则下列命题不正确的是() A.若 m∥n, m ? ? , 则 n ? ? B.若 m ? ? , m ? ? , 则 ?∥?

∥?, C.若 m ? ?,m 则? ? ?

?,? ? ? ? n ,则 m∥n D.若 m∥

【知识点】平行关系与垂直关系 G4 G5 【答案】 【解析】D 解析:由线面垂直的性质得 A 选项正确;由两面平行的性质知 B 正确;若 m⊥α ,m∥β , 则平面β 必经过平面α 的一条垂线,所以 C 正确;因为 n 不一定在平面β 内,所以 m 与 n 不一定平行,则 D 错误,综上可知选 D. 【思路点拨】判断空间线面位置关系时,可考虑反例法和直接推导相结合的方法进行解答.

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word 版】 19. 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 四边形 ABCD 是边长为 1 的菱形, 且 ?DAB ? 60 ,

PA ? PD ? 2,PB ? 2 , E,F 分别是 BC,PC 的中点。
(I)证明: AD ? 平面DEF ; (II)求二面角 P ? AD ? B 的余弦值。
P

F

D E A B

C

54

【知识点】垂直关系 二面角的求法 G5 G11

?
【答案】 【解析】 (I)略; (II)

21 7

解析: (I)取 AD 的中点 G,因为 PA=PD,所以 PG⊥AD,由题意知△ABC 是等边三角形, 所以 BG⊥AD,又 PG,BG 是平面 PGB 的两条相交直线, 所以 AD⊥平面 PGB, 因为 EF∥PB,DE ∥GB,所以平面 DEF∥平面 PGB,所以 AD⊥平面 DEF;

PG 2 ?
(II) 由(1)知∠PGB 为二面角 P-AD-B 的平面角, 在 Rt△PGA 中,

? ?
2


2

?1? 7 ?? ? ? ?2? 4,

2



Rt



BGA





?1? 3 BG ? 1 ? ? ? ? ?2? 4
2

2

,



PGB



cos ?PGB ?

PG 2 ? BG 2 ? PB 2 21 ?? 2 PG ? BG 7

. 【思路点拨】 证明线面垂直, 通常利用其判定定理进行证明, 求二面角时可先找出其平面角, 再利用其所在的三角形求值.

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word 版】5.已知 ? , ? 是平面, m, n 是直线,则下列命题不正确的是() A.若 m∥n, m ? ? , 则 n ? ? B.若 m ? ? , m ? ? , 则 ?∥?

∥?, C.若 m ? ?,m 则? ? ?

?,? ? ? ? n ,则 m∥n D.若 m∥

【知识点】平行关系与垂直关系 G4 G5 【答案】 【解析】D 解析:由线面垂直的性质得 A 选项正确;由两面平行的性质知 B 正确;若 m⊥α ,m∥β , 则平面β 必经过平面α 的一条垂线,所以 C 正确;因为 n 不一定在平面β 内,所以 m 与 n 不一定平行,则 D 错误,综上可知选 D. 【思路点拨】判断空间线面位置关系时,可考虑反例法和直接推导相结合的方法进行解答.

【 【名校精品解析系列】数学文卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试 (201501) 】20.已知在如图的多面体中, AE ⊥底面 BEFC , AD // EF // BC ,
55

CF ?

BE ? AD ? EF ?

1 BC 2 ? 2 , AE ? 2 , G 是 BC 的中点.

(1)求证: AB // 平面 DEG ; (2)求证: EG ? 平面 BDF [] (3)求此多面体 ABCDEF 的体积. 【知识点】线面平行的判定定理;线面垂直的判定定理;几何体的体积.G4 G5G7

8 3 【答案】 【解析】 (1)见解析; (2)见解析; (3) 3
解析: (1)∵ AD / / EF , EF / / BC , ∴ AD / / BC . 又∵ BC ? 2 AD , G 是 BC 的中点, ∴

AD / /BG ,

∴四边形 ADGB 是平行四边形, ∴ AB / / DG . ∵ AB ? 平面 DEG , DG ? 平面 DEG , ∴ AB / / 平面 DEG . (2)连结 GF ,四边形 ADFE 是矩形,

56

∵ DF // AE , AE ⊥底面 BEFC , ∴ DF ? 平面 BCFE , EG ? 平面 BCFE , ∴ DF ? EG ∵

EF //BG, EF ? BE ,

∴四边形 BGFE 为菱形,∴ BF ? EG , 又 BF I DF ? F , BF ? 平面 BFD , DF ? 平面 BFD , ∴ EG ? 平面 BDF .

VABCDEF ? VB ? AEFD ? VD ? BCF ,作 BH ? EF 于 H , ? BH ? 平 ? 平面 AEFD ? 平面 BEFC ,
面 AEFD , EG // CF ,? CF ? 平面 BDF

1 4 3 1 1 4 3 VB ? AEFD ? ? 3 ? 2 ? 2 ? VD ? BCF ? VC ? BFD ? ? 2 ? ? 2 ? 2 3 ? BH ? 3 , 3 3 , 3 2 3
?VABCDEF ? 8 3 3

【思路点拨】 (1)先结合已知条件证明出四边形 ADGB 是平行四边形,再利用线面平行的 判定定理即可; (2)直接利用线面垂直的判定定理即可; (3)先对原几何体分解,再分别求 出体积相加即可。

【 【名校精品解析系列】 数学文卷· 2015 届重庆一中高三 12 月月考 (201412) word 版】 20. (12 分) 如下图所示四棱锥 E-ABCD 中, 四边形 . (Ⅰ)求证: 平面 ; 为正方形, 平面 , 且 ,

(Ⅱ)求四棱锥 E-ABCD 的体积.

57

【知识点】垂直关系 四棱锥的体积 G5 G7 【答案】 【解析】 (Ⅰ)略; (Ⅱ)18 解析:(Ⅰ)证明:∵ ∴ ∵ . 在正方形 ,∴ △ 平面 中, .过点 平面 , ,∴ 平面 平面 作 ,∴ . 平面 , 中, 平面 , ,∵ AB//CD,∴ , , 于点 . , 平面 . ,

(Ⅱ)解法 1:在 ∴ ∵ ∵







.又正方形

的面积



∴ 解法 2:在 连接 △ 中, , ,∴

.故所求体积为 . 和三棱锥 .



,则四棱锥 E-ABCD 分割为三棱锥

由(1)知,

.∴


58

又 AB//CD

平面



平面

,∴AB//平面 CDE.

∴点

到平面

的距离为

的长度.∴

∵ ∴

平面

,∴ .故所求体积为

. .

【思路点拨】 本题由线面垂直的判定定理进行证明, 求体积则可以通过直接求体积法和分割 求体积法求得结果.

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性 测试(201501)word 版】21. (本小题满分 15 分) 在直三棱柱 ABC ? A?B?C ? 中,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形, D? 是棱 A?C ? 的中点, 且 AA? ? 2 2 . (1)试在棱 CC ? 上确定一点 M ,使 A?M ? 平面 AB?D? ; (2)当点 M 在棱 CC ? 中点时,求直线 AB? 与平面 A?BM 所成角的大小的正弦值。 【知识点】线面垂直 线面角 G5
CM ?

G11

【答案】 (1)

2 2 3 2 2 ; (2) 3 .

【解析】解析: (1) 取 AC 边中点为 O , ∵底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,∴ OB ? AC 连接 OD ? ,∵ D ? 是边 A?C ? 的中点 ∴ OD ? ? AC , OD ? ? OB 所以可以建立以 O 为坐标原点, OB 为 x 轴, OC 为 y 轴, OD ? 为 z 轴如图所示的坐标系 (4 分)

59

A?

z

D?
B?
C?

M A O B x C y

C (0,1,0) ,B ?( 3 ,0,2 2 ) ,A?(0,?1,2 2 ) ,D ?(0,0,2 2 ) , 则有 O(0,0,0) ,A(0,?1,0) ,B( 3 ,0,0) ,
C ?(0,1,2 2 )

? ? ? 设 M (0,1, t ) ,则 A M ? (0, 2, t ? 2 2) , AD ? (0,1, 2 2) , AB ? ( 3,1, 2 2)
若 A?M ? 平面AB ?D ? ,则有 A?M ? AD ? , A?M ? AB?

[]



? ? A?M ? AD? ? 0 ? 2 ? (t ? 2 2) ? 2 2 ? 0 ? ? ? A?M ? AB? ? 0 ? 2 ? (t ? 2 2) ? 2 2 ? 0
CM ? 3 2 2 时, A?M ? 平面AB ?D ? .

可得

t?

3 2 2

即当

(4 分)

(2) 当点 M 在棱 CC ? 中点时: M (0,1, 2 )
? ? ∴ BM ? (? 3 ,1, 2 ) , A M ? (0,2,? 2 ) ,设平面 A?BM 的一个法向量 n ? ( x, y, z )



? ? BM ? n ? ? 3x ? y ? 2 z ? 0 ? ? ? A?M ? n ? 0 ? 2 y ? 2 z ? 0

令 z ? 2 ,得 y ? 1 , x ? 3 (4 分)
2 2

? ∴ n ? ( 3 ,1, 2 )

? ? 3 设直线 AB ? 与平面 A?BM 所成角为 ? ,则 sin ? ?| cos ? n , AB ?|

2 2 所以直线 AB ? 与平面 A?BM 所成角 ? 的正弦值为 3

(3 分)

【思路点拨】(1) 取 AC 边中点为 O ,建立以 O 为坐标原点, A? 为 C ? 轴,OC 为 y 轴,OD ? 为

60

z 轴坐标系, 设 M (0,1, t ) 要使 A?M ? 平面 AB?D? 则只需满足

? ? A ' M . AD ' ? 0 ? ? ? A ' M . AB ' ? 0

即可;求得平

sin ? ?
面 A?BM 的法向量, 直线 AB ? 与平面 A?BM 所成角为 ? , 由线面所成角公式 可求得.

AB '.n AB ' n

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性 测试(201501)word 版】6.设 a、b 为两条不同的直线, ?、? 为两个不同的平面.下列 命题中,正确的是( ▲ ) 。 A.若 a、b 与 ? 所成的角相等,则 a / / b C.若 a ? ? , a / / ? ,则 ? ? ? B.若 ? ? ? , m / /? ,则 m ? ? D.若 a / /? , b / / ? ,则 a / / b

【知识点】空间中直线与平面的位置关系 G4 G5 【答案】C【解析】解析:当两条直线与一个平面所成的角相等时,这两条直线的关系不能 确定,故 A 不正确,当两个平面垂直时,一条直线与一个平面垂直,则这条直线与另一个 平面的关系都有可能,故 B 不正确,当一条直线与一个平面垂直,与另一个平面平行, 则这两个平面之间的关系是垂直,故 C 正确,当两条直线分别和两个平面平行,这两条直 线之间没有关系,故 D 不正确.故选择 C. 【思路点拨】当两条直线与一个平面所成的角相等时,这两条直线的关系不能确定,当两个 平面垂直时,一条直线与一个平面垂直,则这条直线与另一个平面的关系都有可能,当两条 直线分别和两个平面平行,这两条直线之间没有关系,得到结论.

【 【名校精品解析系列】数学文卷· 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word 版】19.如图 1,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD ,面 ABCD 为正方形, E 为 侧棱 PD 上一点, F 为 AB 上一点。该四棱锥的正(主)侧图和侧(左)视图如图 2 所示。 (I)证明: AE ∥平面 PFC ; (II)证明:平面 PFC ? 平面 PCD 。

61

P 2 E 2 2 D

2

A F B 图1 C

2 正(主)视图 图2

1

1

侧(左)视图

【知识点】线面平行 面面垂直 G4 G5 【答案】 【解析】 (I)略; (II)略. 解析: (I)证明:取 PC 中点 Q,连结 EQ,FQ.由正(主)视图可得 E 为 PD 的中点,所

1 1 EQ ? CD 2 以 EQ ∥ CD, , 又因为 AF∥ CD,AF= 2 CD, 所以 AFE ∥ Q,AF=EQ, 所以四边形
AFEQ 为平行四边形,所以 AE∥FQ.因为 AE∥平面 PFC;

A?

,所以 直线

(II)证明:因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥CD,因为面 ABCD 为正方形,所以 AD⊥CD, 所以 CD⊥平面 PAD,因为 AE ? 平面PAD ,所以 CD⊥AE,因为 PA=AD,E 为 PD 中点, 所 以 AE ⊥ PD, 所 以 AE ⊥ 平 面 PCD . 因 为 AE ∥ FQ , 所 以 FQ ⊥ 平 面 PCD . 因 为

FQ ? 平面PFC , 所以平面 PFC⊥平面 PCD.
【思路点拨】证明线面平行及面面垂直问题,通常结合其判定定理进行证明.

【 【名校精品解析系列】数学文卷· 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word 版】6.已知 ? 是平面, m, n 是直线,则下列命题正确的是()

? , 则 n∥? A.若 m∥n, m∥
C.若 m ? ?,m ? n, 则n ??

?, 则 m ? n B.若 m ? ? , n∥
D.若 m∥?,n∥? ,则 m∥n

【知识点】平行关系与垂直关系 G4 G5
62

【答案】 【解析】 B 解析:选项 A,直线 n 还可能在平面α 内,所以错误;选项 B,因为 n∥α ,所以在α 一定 存在直线 a∥n,而 m⊥α ,所以 m⊥a,得 m⊥n,所以 B 正确,因为只有一个正确选项,则答 案只能为 B.. 【思路点拨】判断空间线面位置关系时,可考虑反例法和直接推导相结合的方法进行解答.

G6 三垂线定理 G7 棱柱与棱锥 【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联 考(201501) 】19. (本小题满分 12 分) 如图所示,在四棱锥 P? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 正 方 形 , 侧 棱 PA ⊥ 底 面

DE AF ? ? ? , (0 ? ? ? 1) ABCD , PA ? AD ? 1 , E、F 分别为 PD、AC 上的动点,且 DP AC .

?=
(Ⅰ)若

1 2 ,求证: EF ∥ 平面PAB

(Ⅱ)求三棱锥 E ? FCD 体积最大值.

【知识点】线面平行的判定定理;三棱锥的体积.G4 G7

1 【答案】 【解析】 (Ⅰ)见解析; (Ⅱ) 24
解析: (Ⅰ)分别取 C 和 AB 中点 M 、 N ,连接 MN 、 ME 、 NF ,

63

P

E M

A N F B

H

D

C

1 1 AD AD ME ∥ NF ∥ 则 , , 所 以 NF ∥ = 2 = ME , ? 四 边 形 MEFN 为 平 行 四 边 = 2
形.? EF∥MN ,又 EF ? 平面PAB, MN ? 平面PAB, ? EF ∥ 平面PAB .……4 分 (Ⅱ)在平面 PAD 内作 EH ? AD于H , 因为侧棱 PA ⊥底面 ABCD , 所以平面 PAD ⊥底面 ABCD ,且平面 PAD ? 底面 ABCD =AD , 所以 EH ? 平面ADC ,所以 EH∥PA .…………7 分 (或平面 PAD 中, PA ? AD, EH ? AD, 所以 EH∥PA亦可 )

DE EH ? ?, ? ?,(0 ? ? ? 1) EH ? ? PA ? ? . 因为 DP ,所以 PA
S S
DFC ADC

?

CF ? 1? ? S CA ,

DFC

? (1 ? ? ) S

ADC

?

1? ? 2 ,…………10 分

VE ? DFC =

1 1? ? ? ? ? 2 ? = 3 2 6

(0 ? ? ? 1)
…………12 分

1 ?VE ? DFC 的最大值为 24
【思路点拨】 (Ⅰ)分别取 C 和 AB 中点 M 、 N ,连接 MN 、 ME 、 NF ,然后利用线 面平行的判定定理即可; (Ⅱ)结合已知条件把体积转化成含 l 的解析式,进而求出最大值 即可。

64

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联 考(201501) 】19. (本小题满分 12 分) 如图所示,在四棱锥 P? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 正 方 形 , 侧 棱 PA ⊥ 底 面

DE AF ? ? ? , (0 ? ? ? 1) ABCD , PA ? AD ? 1 , E、F 分别为 PD、AC 上的动点,且 DP AC .

?=
(Ⅰ)若

1 2 ,求证: EF ∥ 平面PAB

(Ⅱ)求三棱锥 E ? FCD 体积最大值.

【知识点】线面平行的判定定理;三棱锥的体积.G4 G7

1 【答案】 【解析】 (Ⅰ)见解析; (Ⅱ) 24
解析: (Ⅰ)分别取 C 和 AB 中点 M 、 N ,连接 MN 、 ME 、 NF ,
P

E M

A N F B

H

D

C

1 1 AD AD ME ∥ NF ∥ 则 , , 所 以 NF ∥ = 2 = ME , ? 四 边 形 MEFN 为 平 行 四 边 = 2

65

形.? EF∥MN ,又 EF ? 平面PAB, MN ? 平面PAB, ? EF ∥ 平面PAB .……4 分 (Ⅱ)在平面 PAD 内作 EH ? AD于H , 因为侧棱 PA ⊥底面 ABCD , 所以平面 PAD ⊥底面 ABCD ,且平面 PAD ? 底面 ABCD =AD , 所以 EH ? 平面ADC ,所以 EH∥PA .…………7 分 (或平面 PAD 中, PA ? AD, EH ? AD, 所以 EH∥PA亦可 )

DE EH ? ?, ? ?,(0 ? ? ? 1) EH ? ? PA ? ? . 因为 DP ,所以 PA
S S
DFC ADC

?

CF ? 1? ? S CA ,

DFC

? (1 ? ? ) S

ADC

?

1? ? 2 ,…………10 分

VE ? DFC =

1 1? ? ? ? ? 2 ? = 3 2 6

(0 ? ? ? 1)
…………12 分

1 ?VE ? DFC 的最大值为 24
【思路点拨】 (Ⅰ)分别取 PA 和 D 中点 M 、 N ,连接 MN 、 ME 、 NF ,然后利用线 面平行的判定定理即可; (Ⅱ)结合已知条件把体积转化成含 l 的解析式,进而求出最大值 即可。

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 (201501) 】19.(本小题满分 12 分) 正 方 形 ADEF 与 梯 形 ABCD 所 在 平 面 互 相 垂 直 , AD ? CD, AB // CD ,
AB ? AD ? 1 CD ? 2 2 ,点 M 是 EC 中点。

(1)求证:BM//平面 ADEF; (2)求三棱锥 M ? BDE 的体积.

66

【知识点】平行关系 棱锥的体积 G4 G7

4 【答案】 【解析】 (1)略; (2) 3
解析:(1)证明:取 DE 中点 N,连接 MN,AN,在△EDC 中,M、N 分别为 EC,ED 的中

1 1 点,所以 MN∥CD,且 MN= 2 CD.由已知 AB∥CD,AB= 2 CD,所以 MN∥AB,且
MN=AB.所以四边形 ABMN 为平行四边形,所以 BM∥AN,又因为 AN?平面 ADEF,且 BM?平面 ADEF,所以 BM∥平面 ADEF;

(2)因 M 为 EC 的中点,所以

S ?DEM ?

1 S?CDE ? 2 2 ,

因为 AD ? CD, AD ? DE ,且 DE 与 CD 相交于 D 所以 AD ? 平面CDE 因为 AB / / CD ,所以 AB//平面 CDE , B 到面 DEM 的距离,即为 AD ? 2

1 4 ?VM ? BDE ? ? S?DEM ? AD ? 3 3.
【思路点拨】证明线面平行通常结合线面平行的判定定理进行证明,求三棱锥体积时,若以 所给底面求体积不方便时,可考虑换底面求体积.

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 (201501) 】19.(本小题满分 12 分)
67

正 方 形 ADEF 与 梯 形 ABCD 所 在 平 面 互 相 垂 直 , AD ? CD, AB // CD ,
AB ? AD ? 1 CD ? 2 2 ,点 M 是 EC 中点。

(1)求证:BM//平面 ADEF; (2)求三棱锥 M ? BDE 的体积.

【知识点】平行关系 棱锥的体积 G4 G7

【答案】 【解析】 (1)略; (2)

A B
CD.由已知 AB∥CD,AB=

解析:(1)证明:取 DE 中点 N,连接 MN,AN,在△EDC 中,M、N 分别为 EC,ED 的中

点,所以 MN∥CD,且 MN=

C

CD,所以 MN∥AB,且

MN=AB.所以四边形 ABMN 为平行四边形,所以 BM∥AN,又因为 AN?平面 ADEF,且 BM?平面 ADEF,所以 BM∥平面 ADEF;

(2)因 M 为 EC 的中点,所以

S ?DEM ?

1 S?CDE ? 2 2 ,

因为 AD ? CD, AD ? DE ,且 DE 与 CD 相交于 D 所以 AD ? 平面CDE 因为 AB / / CD ,所以 AB//平面 CDE , B 到面 DEM 的距离,即为 AD ? 2

1 4 ?VM ? BDE ? ? S?DEM ? AD ? 3 3.

68

【思路点拨】证明线面平行通常结合线面平行的判定定理进行证明,求三棱锥体积时,若以 所给底面求体积不方便时,可考虑换底面求体积.

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性 测试(201501)word 版】13.已知球与棱长均为 2 的三棱锥各条棱都相切,则该球的表面 积为 ▲ 。 【知识点】三棱锥的内切球 G7 【答案】 2? 【解析】解析:将棱长均为 2 的三棱锥放入棱长为 2 的正方体,如图

∵球与三棱锥各条棱都相切, ∴该球是正方体的内切球,切正方体的各个面切于中心,而

这个切点恰好是三棱锥各条棱与球的切点,由此可得该球的直径为 2 ,半径

r?

2 2 ,∴

S ? 4? r 2 ? 4? ? (
该球的表面积为

2 2 ) ? 2?. 2 故答案为 2? .

【思路点拨】将三棱锥放入棱长为 2 的正方体,可得正方体的内切球恰好是与三棱锥各条

2 棱都相切的球,根据三棱锥棱长算出正方体的棱长为 2 ,由此算出内切球半径,用公式即
可得到该球的表面积.

【 【名校精品解析系列】数学文卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试 (201501) 】20.已知在如图的多面体中, AE ⊥底面 BEFC , AD // EF // BC ,

CF ?

BE ? AD ? EF ?

1 BC 2 ? 2 , AE ? 2 , G 是 BC 的中点.

69

(1)求证: AB // 平面 DEG ; (2)求证: EG ? 平面 BDF [] (3)求此多面体 ABCDEF 的体积. 【知识点】线面平行的判定定理;线面垂直的判定定理;几何体的体积.G4 G5G7

8 3 【答案】 【解析】 (1)见解析; (2)见解析; (3) 3
解析: (1)∵ AD / / EF , EF / / BC , ∴ AD / / BC . 又∵ BC ? 2 AD , G 是 BC 的中点, ∴

AD / /BG ,

∴四边形 ADGB 是平行四边形, ∴ AB / / DG . ∵ AB ? 平面 DEG , DG ? 平面 DEG , ∴ AB / / 平面 DEG . (2)连结 GF ,四边形 ADFE 是矩形,

70

∵ DF // AE , AE ⊥底面 BEFC , ∴ DF ? 平面 BCFE , EG ? 平面 BCFE , ∴ DF ? EG ∵

EF //BG, EF ? BE ,

∴四边形 BGFE 为菱形,∴ BF ? EG , 又 BF I DF ? F , BF ? 平面 BFD , DF ? 平面 BFD , ∴ EG ? 平面 BDF .

VABCDEF ? VB ? AEFD ? VD ? BCF ,作 BH ? EF 于 H , ? BH ? 平 ? 平面 AEFD ? 平面 BEFC ,
面 AEFD , EG // CF ,? CF ? 平面 BDF

1 4 3 1 1 4 3 VB ? AEFD ? ? 3 ? 2 ? 2 ? VD ? BCF ? VC ? BFD ? ? 2 ? ? 2 ? 2 3 ? BH ? 3 , 3 3 , 3 2 3
?VABCDEF ? 8 3 3

【思路点拨】 (1)先结合已知条件证明出四边形 ADGB 是平行四边形,再利用线面平行的 判定定理即可; (2)直接利用线面垂直的判定定理即可; (3)先对原几何体分解,再分别求 出体积相加即可。

【 【名校精品解析系列】 数学文卷· 2015 届重庆一中高三 12 月月考 (201412) word 版】 20. (12 分) 如下图所示四棱锥 E-ABCD 中, 四边形 . (Ⅰ)求证: 平面 ; 为正方形, 平面 , 且 ,

(Ⅱ)求四棱锥 E-ABCD 的体积.

71

【知识点】垂直关系 四棱锥的体积 G5 G7 【答案】 【解析】 (Ⅰ)略; (Ⅱ)18 解析:(Ⅰ)证明:∵ ∴ ∵ . 在正方形 ,∴ △ 平面 中, .过点 平面 , ,∴ 平面 平面 作 ,∴ . 平面 , 中, 平面 , ,∵ AB//CD,∴ , , 于点 . , 平面 . ,

(Ⅱ)解法 1:在 ∴ ∵ ∵







.又正方形

的面积



∴ 解法 2:在 连接 △ 中, , ,∴

.故所求体积为 . 和三棱锥 .



,则四棱锥 E-ABCD 分割为三棱锥

由(1)知,

.∴


72

又 AB//CD

平面



平面

,∴AB//平面 CDE.

∴点

到平面

的距离为

的长度.∴

∵ ∴

平面

,∴ .故所求体积为

. .

【思路点拨】 本题由线面垂直的判定定理进行证明, 求体积则可以通过直接求体积法和分割 求体积法求得结果.

G8 多面体与球 G9 空间向量及运算 【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考(201501) 】18、(本题满分 12 分) 如图, ?ABC 的外接圆 O 的半径为 5 , CD ?

O 所在的平面, BE / /CD , CD ? 4 ,

BC ? 2 , 且 BE ? 1 , tan ?AEB ? 2 5 .
(1)求证: 平面 ADC ? 平面 BCDE. (2)试问线段 DE 上是否存在点 M, 使得直线 AM 与平面 ACD 所成

2 角的正弦值为 7 ?若存在,确定点 M 的位置, 若不存在, 请说明.

【知识点】空间向量及运算 G9

4 (0, , 2) 3 【答案】 (1)略(2)点 M 的坐标为
【解析】 (1)∵CD ⊥平面 ABC,BE//CD ∴ BE⊥平面 ABC,∴BE⊥AB
73

∵BE=1, tan ?AEB ? 2 5 从而 AB ?



AE ? 21 ,

AE2 ? BE2 ? 2 5

∵⊙ O 的半径为 5 ,∴AB 是直径, ∴AC⊥BC 又∵CD ⊥平面 ABC,∴CD⊥BC,故 BC⊥平面 ACD

BC ? 平面 BCDE,∴平面 ADC ? 平面 BCDE
(2)方法 1: 假设点 M 存在,过点 M 作 MN⊥CD 于 N,连结 AN,作 MF⊥CB 于 F,连结 AF ∵平面 ADC ? 平面 BCDE, ∴MN⊥平面 ACD,∴∠MAN 为 MA 与平面 ACD 所成的角

3 3 x 4? x 2 设 MN=x,计算易得,DN= 2 ,MF=

3 AM ? AF 2 ? MF 2 ? AC 2 ? CF 2 ? MF 2 ? 16 ? x 2 ? (4 ? x)2 2 故
sin ?MAN ? MN ? AM x 16 ? x 2 ? (4 ? 3 2 x) 2 ? 2 7
解得:

x??

8 4 x? 3 (舍去) 3,

MN ?


2 2 CB DM ? DE 3 3 ,从而满足条件的点 M 存在,且
z D

M C E

x

A

O

B

y

方法 2: 建立如图所示空间直角坐标系 C—xyz,则:A(4,0,0) ,B(0,2,0) ,D(0,0,4) , E(0,2,1) ,O(0,0,0) ,则 DE ? (0, 2, ?3) 易 知 平 面 ABC 的 法 向 量 为 OB ? (0, 2,0) , 假 设 M 点 存 在 , 设 M (a, b, c) , 则

74

?a ? 0 ?a ? 0 ? ? ? ?b ? 2? ? ?b ? 2? ? ? DM ? (a, b, c ? 4) , 再设 DM ? ? DE , ? ? (0,1] ?c ? 4 ? ?3? ?c ? 4 ? 3? ,
即 M (0, 2? , 4 ? 3? ) ,从而 AM ? (?4,2?,4 ? 3?) …10 分 设直线 BM 与平面 ABD 所成的角为 ? ,则:

sin ? ? cos AM , OB ?
4 3

2? ? 2 2 16 ? 4? ? (4 ? 3? )
2 2

?

2 7

? ? ? 或? ?
解得

2 4 2 ? ? ? ? (0,1] ? ? ? (0,1] 3 , 其中 3 3 应舍去,而 故满足条件的点 M

4 (0, , 2) 3 存在,且点 M 的坐标为
【思路点拨】根据线面垂直证明面面垂直,建立空间坐标系利用法向量求出 M 的坐标。

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考(201501) 】18、(本题满分 12 分) 如图, ?ABC 的外接圆 O 的半径为 5 , CD ?

O 所在的平面, BE / /CD , CD ? 4 ,

BC ? 2 , 且 BE ? 1 , tan ?AEB ? 2 5 .
(1)求证: 平面 ADC ? 平面 BCDE. (2)试问线段 DE 上是否存在点 M, 使得直线 AM 与平面 ACD 所成

2 角的正弦值为 7 ?若存在,确定点 M 的位置, 若不存在, 请说明.

【知识点】空间向量及运算 G9

4 (0, , 2) 3 【答案】 (1)略(2)点 M 的坐标为
【解析】 (1)∵CD ⊥平面 ABC,BE//CD
75

∴ BE⊥平面 ABC,∴BE⊥AB ∵BE=1, tan ?AEB ? 2 5 从而 AB ? ∴

AE ? 21 ,

AE2 ? BE2 ? 2 5

∵⊙ O 的半径为 5 ,∴AB 是直径, ∴AC⊥BC 又∵CD ⊥平面 ABC,∴CD⊥BC,故 BC⊥平面 ACD

BC ? 平面 BCDE,∴平面 ADC ? 平面 BCDE
(2)方法 1: 假设点 M 存在,过点 M 作 MN⊥CD 于 N,连结 AN,作 MF⊥CB 于 F,连结 AF ∵平面 ADC ? 平面 BCDE, ∴MN⊥平面 ACD,∴∠MAN 为 MA 与平面 ACD 所成的角

3 3 x 4? x 2 设 MN=x,计算易得,DN= 2 ,MF=

3 AM ? AF 2 ? MF 2 ? AC 2 ? CF 2 ? MF 2 ? 16 ? x 2 ? (4 ? x)2 2 故
sin ?MAN ? MN ? AM x 16 ? x 2 ? (4 ? 3 2 x) 2 ? 2 7
解得:

x??

8 4 x? 3 (舍去) 3,

MN ?


2 2 CB DM ? DE 3 3 ,从而满足条件的点 M 存在,且
z D

M C E

x

A

O

B

y

方法 2: 建立如图所示空间直角坐标系 C—xyz,则:A(4,0,0) ,B(0,2,0) ,D(0,0,4) , E(0,2,1) ,O(0,0,0) ,则 DE ? (0, 2, ?3) 易 知 平 面 ABC 的 法 向 量 为 OB ? (0, 2,0) , 假 设 M 点 存 在 , 设 M (a, b, c) , 则

76

?a ? 0 ?a ? 0 ? ? ? ?b ? 2? ? ?b ? 2? ? ? DM ? (a, b, c ? 4) , 再设 DM ? ? DE , ? ? (0,1] ?c ? 4 ? ?3? ?c ? 4 ? 3? ,
即 M (0, 2? , 4 ? 3? ) ,从而 AM ? (?4,2?,4 ? 3?) …10 分 设直线 BM 与平面 ABD 所成的角为 ? ,则:

sin ? ? cos AM , OB ?
4 3

2? ? 2 2 16 ? 4? ? (4 ? 3? )
2 2

?

2 7

? ? ? 或? ?
解得

2 4 2 ? ? ? ? (0,1] ? ? ? (0,1] 3 , 其中 3 3 应舍去,而 故满足条件的点 M

4 (0, , 2) 3 存在,且点 M 的坐标为
【思路点拨】根据线面垂直证明面面垂直,建立空间坐标系利用法向量求出 M 的坐标。

G10 空间向量解决线面位置关系 G11 空间角与距离的求法 【数学(理)卷·2015 届四川省成都市高中毕业班第一次诊断性检测(201412)word 版】 10.如图,已知正方体 面

ABCD ? A1B1C1D1

棱长为 4,点 H 在棱 , P 是侧面

AA1 上,且 HA1 ? 1 .在侧
内一动点,且点 P 到平面 )

BCC1 B1

内作边长为 1 的正方形

EFGC1

BCC1 B1
2

CDD1C1

HP 距离等于线段 PF 的长.则当点 P 运动时, 最小值是(

(A) 21

(B) 22

(C) 23

(D) 25

【知识点】点、线、面间的距离计算 G11 【答案】 【解析】B 解析:点 P 到平面

CDD1C1

距离就是点 P 到直线

CC1 的距离,所以点 P
77

到点 F 的距离等于点 P 到直线 的抛物线,在面

CC1 的距离,因此点 P 的轨迹是以 F 为焦点,以 CC1 为准线

A1 ABB1 中作 HK ? BB1 于 K ,连接 KP ,

在 Rt HKP 中, | HK | ? | PK | ? | HP | ,而 | HK |? 4 ,要想 | HP | 最小,只要 | P K | 最
2 2 2 2

小即可,由题意易求得

| P K |2 ?6 min

,所以 | HP | 最小值为 22,故选 B.

2

【思路点拨】注意到点 P 到点 F 的距离等于点 P 到直线 为焦点,以
2

CC1 的距离,即点 P 的轨迹是以 F

CC1 为准线的抛物线,在 Rt HKP 中,| HK |2 ? | PK |2 ?| HP |2 ,而 | HK | ?4 ,

要想 | HP | 最小,只要 | P K | 最小即可.

【数学理卷·2015 届四川省绵阳中学高三上学期第五次月考(201412)word 版】17(本小题 满分 12 分) 在某校运动会中,甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)共赛三场,每

1 场比赛胜者得 3 分,负者得 0 分,没有平局。在每一场比赛中,甲胜乙的概率为 3 ,甲胜 1 1 丙的概率为 4 ,乙胜丙的概率为 3 ;
(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率; (2)设在该次比赛中,甲队得分为 ? , 求? 的分布列和数学期望。 【知识点】对立事件 离散型随机变量以及分布列 K5 K6

1 7 E? ? 4. 【答案】 (1) 18 ; (2)
【解析】 (1)设用队获第一且丙队获第二为事件 A,则

1 1 1 1 P( A ) ? ? ? ? (1 ? ) ; 3 4 3 1 8 ………………………………………( 6 分)
78

(2) ? 可能的取值为 0,3,6;则

1 1 1 P(? ? 0) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? , 3 4 2 甲两场皆输: 1 1 1 1 5 P(? ? 3) ? ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? 3 4 4 3 12 甲两场只胜一场: 1 1 1 P (? ? 6) ? ? ? 3 4 12 , 甲两场皆胜:
? ? 的分布列为:

?
P

0

3

6

1 2

5 12

1 12

1 E? ? 0 ? 2

5 1 7 ? 3 ? 6 ? ? ? 1 2 1 2 …………………………( 4 12 分)

【思路点拨】根据题意可得甲队获第一名且丙队获第二名的概率为

1 1 1 1 P( A) ? ? ? (1 ? ) ? ; 3 4 3 18 ? 可能的取值为 0,3,6;即为甲两场皆输,甲两场只胜一场,
甲两场皆胜三种情况分别求的概率即可. 18. (本题满分 12 分) 如图, 已知 ABC ? A1B1C1 是正三棱柱, 它的底面边长和侧棱长都是 2, D 为侧棱 CC1 的中点,

E 为 A1B1 的中点.
(1)求证: AB ? DE ; (2)求直线 A1 B1 到平面 DAB 的距离; (3)求二面角 A ? BD ? C 的正切值.

79

C1

D

C

E A1

B1 A

B

【知识点】点到面的距离 二面角 G11 【答案】 (1)略; (2) 3 ; (3) 15 . 【解析】 (1)证明:连结 又∵ 而

C1E ,则 C1E ? A1B1 ,

A1B1 ? CC1 ,∴ A1B1 ? 平面 EDC1 ,∴ A1B1 ? DE ,

A1B1 / / AB ,∴ AB ? DE .

(2)取 AB 中点 F 为,连结 EF , DF , 则 EF ? AB ,∴ AB ? DF . 过 E 作直线 EH ? DF 于 H 点,则 EH ? 平面 DAB , ∴ EH 就是直线

A1B1 到平面 DAB 的距离. 在矩形 C1 EFC 中,

AA1 ? AB ? 2,? EF ? 2, C1E ? 3, DF ? 2,
∴在 DEF 中, EH ? 3, 直线 A1 B1 到平面 DAB 的距离 3 . (3)过 A 作 AM ? BC 于点 M ,则 AM ? 平面 CDB , 过 M 作 MN ? BD 于点 N ,连结 AN ,则 AN ? BD, ∴ ?ANM 即为所求二面角的平面角, 在 Rt DCB 中, BC ? 2, DC ? 1, M 为 BC 中点,

MN ?


5 5 , 在 Rt AMN 中, tan?ANM ? 15 .

所以二面角 A ? BD ? C 的正切值为 15 . 【 思 路 点 拨 】 (1) 连 结

C1E , 证 明 A1B1 ? 平 面 EDC 1 ,∴ A 1B 1 ? DE , 而 A 1B 1 / / AB , ∴
80

AB ? DE ; ( 2 )取 AB 中点 F 为 , 连结 EF , DF , 则 EF ? AB , ∴ AB ? DF . 过 E 作直线
EH ? DF 于 H 点,则 EH ? 平面 DAB ,∴ EH 就是直线 A1B1 到平面 DAB 的距离; (3)过

A 作 AM ? BC 于点 M , 则 AM ? 平面 CDB , 过 M 作 MN ? BD 于点 N , 连结 AN , 则
AN ? BD, 则 ?ANM 即为所求二面角的平面角,即可求得.
【数学理卷·2015 届四川省绵阳中学高三上学期第五次月考(201412)word 版】17(本小题 满分 12 分) 在某校运动会中,甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)共赛三场,每

1 场比赛胜者得 3 分,负者得 0 分,没有平局。在每一场比赛中,甲胜乙的概率为 3 ,甲胜 1 1 丙的概率为 4 ,乙胜丙的概率为 3 ;
(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率; (2)设在该次比赛中,甲队得分为 ? , 求? 的分布列和数学期望。 【知识点】对立事件 离散型随机变量以及分布列 K5 K6

1 7 E? ? 4. 【答案】 (1) 18 ; (2)
【解析】 (1)设用队获第一且丙队获第二为事件 A,则

1 1 1 1 P( A ) ? ? ? ? (1 ? ) ; 3 4 3 1 8 ………………………………………( 6 分)
(2) ? 可能的取值为 0,3,6;则

1 1 1 P(? ? 0) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? , 3 4 2 甲两场皆输: 1 1 1 1 5 P(? ? 3) ? ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? 3 4 4 3 12 甲两场只胜一场: 1 1 1 P (? ? 6) ? ? ? 3 4 12 , 甲两场皆胜:
? ? 的分布列为:

?
P

0

3

6

1 2

5 12

1 12

81

1 E? ? 0 ? 2

5 1 7 ? 3 ? 6 ? ? ? 1 2 1 2 …………………………( 4 12 分)

【思路点拨】根据题意可得甲队获第一名且丙队获第二名的概率为

1 1 1 1 P( A) ? ? ? (1 ? ) ? ; 3 4 3 18 ? 可能的取值为 0,3,6;即为甲两场皆输,甲两场只胜一场,
甲两场皆胜三种情况分别求的概率即可. 18. (本题满分 12 分) 如图, 已知 ABC ? A1B1C1 是正三棱柱, 它的底面边长和侧棱长都是 2, D 为侧棱 CC1 的中点,

E 为 A1B1 的中点.
(1)求证: AB ? DE ; (2)求直线 A1 B1 到平面 DAB 的距离; (3)求二面角 A ? BD ? C 的正切值.

C1

D

C

E A1

B1 A

B

【知识点】点到面的距离 二面角 G11 【答案】 (1)略; (2) 3 ; (3) 15 . 【解析】 (1)证明:连结 又∵ 而

C1E ,则 C1E ? A1B1 ,

A1B1 ? CC1 ,∴ A1B1 ? 平面 EDC1 ,∴ A1B1 ? DE ,

A1B1 / / AB ,∴ AB ? DE .

(2)取 AB 中点 F 为,连结 EF , DF , 则 EF ? AB ,∴ AB ? DF . 过 E 作直线 EH ? DF 于 H 点,则 EH ? 平面 DAB , ∴ EH 就是直线

A1B1 到平面 DAB 的距离. 在矩形 C1 EFC 中,
82

AA1 ? AB ? 2,? EF ? 2, C1E ? 3, DF ? 2,
∴在 DEF 中, EH ? 3, 直线 A1 B1 到平面 DAB 的距离 3 . (3)过 A 作 AM ? BC 于点 M ,则 AM ? 平面 CDB , 过 M 作 MN ? BD 于点 N ,连结 AN ,则 AN ? BD, ∴ ?ANM 即为所求二面角的平面角, 在 Rt DCB 中, BC ? 2, DC ? 1, M 为 BC 中点,

MN ?


5 5 , 在 Rt AMN 中, tan?ANM ? 15 .

所以二面角 A ? BD ? C 的正切值为 15 . 【 思 路 点 拨 】 (1) 连 结

C1E , 证 明 A1B1 ? 平 面 EDC 1 ,∴ A 1B 1 ? DE , 而 A 1B 1 / / AB , ∴

AB ? DE ; ( 2 )取 AB 中点 F 为 , 连结 EF , DF , 则 EF ? AB , ∴ AB ? DF . 过 E 作直线
EH ? DF 于 H 点,则 EH ? 平面 DAB ,∴ EH 就是直线 A1B1 到平面 DAB 的距离; (3)过

A 作 AM ? BC 于点 M , 则 AM ? 平面 CDB , 过 M 作 MN ? BD 于点 N , 连结 AN , 则
AN ? BD, 则 ?ANM 即为所求二面角的平面角,即可求得.
【 【名校精品解析系列】数学(理)卷·2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联 考(201501) 】19.已知四棱锥 P ? ABCD 中, PA ^ 平面 ABCD ,底面 ABCD 是边长为 a 的菱形, ?BAD ? 120? , PA ? b . (Ⅰ)求证:平面 PBD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)设 AC 与 BD 交于点 O , M 为 OC 中点,若二面角 O ? PM ? D 的正切值为 2 6 , 求 a : b 的值.

83

【知识点】平面与平面垂直的判定;与二面角有关的立体几何综合题.G5 G11

a 4 ? 【答案】 【解析】 (Ⅰ)见解析; (Ⅱ) b 3
解析: (Ⅰ) 因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥BD………………2 分 又 ABCD 为菱形,所以 AC⊥BD,所以 BD⊥平面 PAC………………4 分 从而平面 PBD⊥平面 PAC. ……………6 分 (Ⅱ)方法 1. 过 O 作 OH⊥PM 交 PM 于 H,连 HD 因为 DO⊥平面 PAC,可以推出 DH⊥PM,所以∠OHD 为 O-PM-D 的平面角………………8 分

OD ?


OH AP 3 a 3a ? a, OM ? , AM ? 2 4 4 ,且 OM PM ………………10 分

OH ?
从而

a ab ·? 4 9 16b 2 ? 9a 2 b2 ? a 2 16 ………………11 分

b

tan ?OHD ?

3(16b2 ? 9a 2 ) OD ? ?2 6 OH 2b
2

a 4 ? 所以 9a ? 16b ,即 b 3 .
2

………………………12 分
z P

P

A

H O M

D

A O M x

D y C

B

C

B

法 二 : 如 图 , 以 A 为 原 点 , AD, AP 所 在 直 线 为 y 轴 , z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则
84

P(0, 0, b), D(0, a, 0) ,

M(

3 3 3 3 1 a, a, 0) O( a, a, 0) 8 8 4 4 , …………8 分
3 3 3 3 3 a, a, 0) a, a, ?b) OD ? (? 4 4 8 8 ………………9 分

PD ? (0, a, ?b), PM ? (
从而

OD ? (?
因为 BD⊥平面 PAC,所以平面 PMO 的一个法向量为 设平面 PMD 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,由 PD ? n, PM ? n 得

3 3 a, a, 0) 4 4 .……10 分

PD ? n ? ay ? bz ? 0, PM ? n ?

3 3 3 ax ? ay ? bz ? 0 8 8

x?


5 3 3

b, y ? b, z ? a
,即

n?(

5 3 3

b, b, a )
……………11 分

设 OD 与 n 的夹角为 ? ,则二面角 O ? PM ? D 大小与 ? 相等

从而 tan ? ? 2 6 ,得

cos ? ?

1 5

5 3 ab ? ab OD ? n 1 12 4 cos ? ? ? ? 5 | OD | ? | n | a 52 2 12 b ? a2 4 27 ?
从而 4b ? 3a ,即 a : b ? 4 : 3 . ……………12 分

【思路点拨】 (Ⅰ)根据线面垂直的判定,证明 BD⊥平面 PAC,利用面面垂直的判定,证 明平面 PBD⊥平面 PAC;(Ⅱ)过 O 作 OH⊥PM 交 PM 于 H,连 HD,则∠OHD 为 A﹣PM ﹣D 的平面角,利用二面角 O﹣PM﹣D 的正切值为 2 6 ,即可求 a:b 的值.

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 (201501) 】 19.(本小题满分 12 分)如图, 在直棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, AD∥BC, ∠BAD =90° ,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3. (Ⅰ)证明:AC⊥B1D; (Ⅱ)求直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值.

85

【知识点】垂直关系 线面所成的角 G5 G11

21 【答案】 【解析】(1)略;(2) 7
解析: 方法一 (1)证明 如图, 因为 BB1⊥平面 ABCD, AC?平面 ABCD, 所以 AC⊥BB1. 又 AC⊥BD,所以 AC⊥平面 BB1D,而 B1D?平面 BB1D,所以 AC⊥B1D. (2)解 因为 B1C1∥AD, 所以直线 B1C1 与平面 ACD1 所成的角等于直线 AD 与平面 ACD1 所成的角(记为 θ).如图,连接 A1D,因为棱柱 ABCD-A1B1C1D1 是直棱柱,且∠B1A1D1 =∠BAD=90° ,所以 A1B1⊥平面 ADD1A1,从而 A1B1⊥AD1.又 AD=AA1=3,所以四 边形 ADD1A1 是正方形.于是 A1D⊥AD1,故 AD1⊥平面 A1B1D,于是 AD1⊥B1D. 由(1)知,AC⊥B1D,所以 B1D⊥平面 ACD1.故∠ADB1=90° -θ,在直角梯形 ABCD 中, AB BC 因为 AC⊥BD,所以∠BAC=∠ADB.从而 Rt△ABC∽Rt△DAB,故 = , DA AB 即 AB= DA· BC= 3.连接 AB1, 易知△AB1D 是直角三角形, 且 B1D2=BB2 1+BD2=BB2 1 +AB2+AD2=21,即 B1D= 21.在 Rt△AB1D 中,cos∠ADB1= cos(90° -θ)= 21 21 .从而 sin θ= . 7 7 21 . 7 AD 3 21 = = ,即 B1D 7 21

即直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为

方法二 (1)证明 易知,AB,AD,AA1 两两垂直.如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AA1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. 设 AB=t,则相关各点的坐标为 A(0,0,0), B(t,0,0), B1(t,0,3), C(t,1,0), C1(t,1,3), D(0,3,0), D1(0,3,3). 从而=(-t,3,-3),=(t,1,0),=(-t,3,0). 因为 AC⊥BD,所以· =-t2+3+0=0,解得 t= 3或 t= 3(舍去). 于是=(- 3,3,-3),=( 3,1,0), 因为· =-3+3+0=0, 所以⊥,即 AC⊥B1D. (2)解 由(1)知,=(0,3,3),=( 3,1,0),=(0,1,0). -

? 3x+y=0, 设 n=(x,y,z)是平面 ACD1 的一个法向量,则,即? ?3y+3z=0,
令 x=1,则 n=(1,- 3, 3).设直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角为 θ,则

86

sin θ=|cos〈n, 〉|==

3 21 = . 7 7

【思路点拨】证明线线垂直,通常转化为线面垂直进行证明,求线面所成角通常利用定义作 出所成角,再利用三角形求值,本题也可以建立空间直角坐标系,利用空间向量进行解答.

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 (201501) 】 19.(本小题满分 12 分)如图, 在直棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, AD∥BC, ∠BAD =90° ,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3. (Ⅰ)证明:AC⊥B1D; (Ⅱ)求直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值.

【知识点】垂直关系 线面所成的角 G5 G11

21 【答案】 【解析】(1)略;(2) 7
解析: 方法一 (1)证明 如图, 因为 BB1⊥平面 ABCD, AC?平面 ABCD, 所以 AC⊥BB1. 又 AC⊥BD,所以 AC⊥平面 BB1D,而 B1D?平面 BB1D,所以 AC⊥B1D. (2)解 因为 B1C1∥AD, 所以直线 B1C1 与平面 ACD1 所成的角等于直线 AD 与平面 ACD1 所成的角(记为 θ).如图,连接 A1D,因为棱柱 ABCD-A1B1C1D1 是直棱柱,且∠B1A1D1 =∠BAD=90° ,所以 A1B1⊥平面 ADD1A1,从而 A1B1⊥AD1.又 AD=AA1=3,所以四 边形 ADD1A1 是正方形.于是 A1D⊥AD1,故 AD1⊥平面 A1B1D,于是 AD1⊥B1D. 由(1)知,AC⊥B1D,所以 B1D⊥平面 ACD1.故∠ADB1=90° -θ,在直角梯形 ABCD 中, AB BC 因为 AC⊥BD,所以∠BAC=∠ADB.从而 Rt△ABC∽Rt△DAB,故 = , DA AB 即 AB= DA· BC= 3.连接 AB1, 易知△AB1D 是直角三角形, 且 B1D2=BB2 1+BD2=BB2 1 +AB2+AD2=21,即 B1D= 21.在 Rt△AB1D 中,cos∠ADB1= cos(90° -θ)= 21 21 .从而 sin θ= . 7 7 21 . 7 AD 3 21 = = ,即 B1D 7 21

即直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为

方法二 (1)证明 易知,AB,AD,AA1 两两垂直.如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AA1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. 设 AB=t, 则相关各点的坐标为 A(0,0,0), B(t,0,0), B1(t,0,3), C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3).
87

从而=(-t,3,-3),=(t,1,0),=(-t,3,0). 因为 AC⊥BD,所以· =-t2+3+0=0,解得 t= 3或 t=- 3(舍去). 于是=(- 3,3,-3),=( 3,1,0), 因为· =-3+3+0=0, 所以⊥,即 AC⊥B1D. (2)解 由(1)知,=(0,3,3),=( 3,1,0),=(0,1,0).

? 3x+y=0, 设 n=(x,y,z)是平面 ACD1 的一个法向量,则,即? ?3y+3z=0,
令 x=1,则 n=(1,- 3, 3).设直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角为 θ,则 sin θ=|cos〈n, 〉|== 3 21 = . 7 7

【思路点拨】证明线线垂直,通常转化为线面垂直进行证明,求线面所成角通常利用定义作 出所成角,再利用三角形求值,本题也可以建立空间直角坐标系,利用空间向量进行解答.

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 (201501) 】 19.(本小题满分 12 分)如图, 在直棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, AD∥BC, ∠BAD =90° ,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3. (Ⅰ)证明:AC⊥B1D; (Ⅱ)求直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值.

【知识点】垂直关系 线面所成的角 G5 G11

21 【答案】 【解析】(1)略;(2) 7
解析: 方法一 (1)证明 如图, 因为 BB1⊥平面 ABCD, AC?平面 ABCD, 所以 AC⊥BB1. 又 AC⊥BD,所以 AC⊥平面 BB1D,而 B1D?平面 BB1D,所以 AC⊥B1D. (2)解 因为 B1C1∥AD, 所以直线 B1C1 与平面 ACD1 所成的角等于直线 AD 与平面 ACD1 所成的角(记为 θ).如图,连接 A1D,因为棱柱 ABCD-A1B1C1D1 是直棱柱,且∠B1A1D1 =∠BAD=90° ,所以 A1B1⊥平面 ADD1A1,从而 A1B1⊥AD1.又 AD=AA1=3,所以四 边形 ADD1A1 是正方形.于是 A1D⊥AD1,故 AD1⊥平面 A1B1D,于是 AD1⊥B1D. 由(1)知,AC⊥B1D,所以 B1D⊥平面 ACD1.故∠ADB1=90° -θ,在直角梯形 ABCD 中, AB BC 因为 AC⊥BD,所以∠BAC=∠ADB.从而 Rt△ABC∽Rt△DAB,故 = , DA AB 即 AB= DA· BC= 3.连接 AB1, 易知△AB1D 是直角三角形, 且 B1D2=BB2 1+BD2=BB2 1

88

+AB2+AD2=21,即 B1D= 21.在 Rt△AB1D 中,cos∠ADB1= cos(90° -θ)= 21 21 .从而 sin θ= . 7 7 21 . 7

AD 3 21 = = ,即 B1D 7 21

即直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为

方法二 (1)证明 易知,AB,AD,AA1 两两垂直.如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AA1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. 设 AB=t,则相关各点的坐标为 A(0,0,0), B(t,0,0), B1(t,0,3), C(t,1,0), C1(t,1,3), D(0,3,0), D1(0,3,3). 从而=(-t,3,-3),=(t,1,0),=(-t,3,0). 因为 AC⊥BD,所以· =-t2+3+0=0,解得 t= 3或 t= 3(舍去). 于是=(- 3,3,-3),=( 3,1,0), 因为· =-3+3+0=0, 所以⊥,即 AC⊥B1D. (2)解 由(1)知,=(0,3,3),=( 3,1,0),=(0,1,0). -

? 3x+y=0, 设 n=(x,y,z)是平面 ACD1 的一个法向量,则,即? ?3y+3z=0,
令 x=1,则 n=(1,- 3, 3).设直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角为 θ,则 sin θ=|cos〈n, 〉|== 3 21 = . 7 7

【思路点拨】证明线线垂直,通常转化为线面垂直进行证明,求线面所成角通常利用定义作 出所成角,再利用三角形求值,本题也可以建立空间直角坐标系,利用空间向量进行解答.

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性 测试(201501)word 版】20. (本小题满分 15 分) 如图,在几何体 SABCD 中, AD ? 平面 S , 平面 SCD , AD ? DC ? 2, BC ? 1,又

A

D



?SDC ? 1200 。
(1)求 SC 与平面 SAB 所成角的正弦值; ( 2 ) 求 平 面 S A D 与 平 面 S A B 所 成 的 锐 二 面 角 的 余 弦 值 。

89

A

B

D
C

S

(第 20 题图)

【知识点】空间平行、垂直,以及线面成角等知识 G4 G5 G11

10 10 【答案】 (1) 20 ; (2) 5 .
【解析】解析:过点 D 作 DC 的垂线交 SC 于 E ,以 D 为原点,分别以 DC , DE , DA 为 x, y, z 轴建立空间上角坐标系

?SDC ? 1200 ,??SDE ? 300 ,又 SD ? 2 ,则点 S 到 y 轴的距离为 1,到 x 轴的距离
3。
则有 D (0, 0, 0) , S (?1, 3,0) , A(0, 0, 2) , C (2, 0, 0) , B(2, 0,1) 。 (1)设平面 SAB 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,



(4 分)

AB ? (2,0 ?1), AS ? (?1, 3, ?2)



2x ? z ? 0 ? ? ? ?? x ? 3 y ? 2 z ? 0 ,取 x ? 3 ,得 n ? ( 3,5, 2 3) ,又 SC ? (3, ? 3,0) , 则有 ?
设 SC 与平面 SAB 所成角为 ? ,则

sin ? ? cos ? SC, n ? ?

2 3 10 ? 20 , 2 3 ? 2 10

10 故 SC 与平面 SAB 所成角的正弦值为 20 。
(2)设平面 SAD 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,

(5 分)

A D? ( 0 , 0 ? 2) A , S ? ?( 1, ?3 , 2) ,
?2 z ? 0 ? ? ? ?? x ? 3 y ? 2 z ? 0 则有 ? ,取 x ? 3 ,得 m ? ( 3,1,0) 。

90

?c o s ?n m , ??

nm n?m

?

8 10 ? 2 10 ? 2 5



10 故平面 SAD 与平面 SAB 所成的锐二面角的余弦值是 5 .

(5 分)

【思路点拨】 过点 D 作 DC 的垂线交 SC 于 E ,以 D 为原点,分别以 DC , DE , DA 为 x, y, z 轴 建立空间上角坐标系,求得点坐标,进而得到平面 SAB 的法向量,利用线面角公式求得; 求得平面 SAD 的法向量,以及(1)中平面 SAB 的法向量,利用二面角公式求得.

【 【名校精品解析系列】 数学理卷· 2015 届河南省安阳一中等天一大联考高三阶段测试 (三) (201412)word 版】(20)(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P -ABCD 中,AD ? DB,其中三棱锥 P- BCD 的三视图如图所示,且

sin ?BDC ?

3 5

(1)求证:AD ? PB

12 13 65 ,求 AD 的长 (2)若 PA 与平面 PCD 所成角的正弦值为
【知识点】几何体的三视图;垂直关系的判定;线面角的意义. G2 G5 G11 【答案】 【解析】 (1)证明:见解析; (2)6. 解析:由三视图可知

PD ? 平面ABCD,而AD ? 面ABCD ? AD ? PD



AD ? DB, 且PD ? BD ? D, PD, BD ? 平面PBD, ? AD ? 平面PBD ,
91

? AD ? PB 。 又 PB ? 平面PBD,
(2)由(1)可知,PD,AD,BD 两两互相垂直,以 D 为原点,建立如图所示空间直角坐标系.

3 9 12 A(? , 0, 0), B(0,3, 0), C (? , , 0), P(0, 0, 4) 5 5 设 AD= ? (? ? 0) ,结合 sin∠BDC= 5 可得 .

9 12 PA ? (? , 0, ?4), DC ? (? , , 0), DP ? (0, 0, 4) 5 5 所以

?4 z ? 0 ? ? DP ? n ? 0 ? 12 ? 9 ? ? x? y ?0 ? DC ? n ? 0 ? 5 设 n ? ( x, y, z) 为平面 PCD 的法向量,由题意得 ? 即? 5 ,令 y=3,
则 x=4,z=0,得平面 PCD 的一个法向量 n ? (4,3,0) .

设 PA 与平面 PCD 所成角为 ? , 可得 解之得 ? ? 6 ,即 AD=6.

sin ? ? cos? PA, n? ?

4? ? 3 ? 0 ? 0 ? ? ?4 ?

? ? 16 ? 16 ? 9
2

?

12 13 65



【思路点拨】 (1)由三视图得此几何体的结构特点,从而得 AD⊥平面 PBD,进而得结论; (2)建立空间直角坐标系,利用空间向量求解.

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word 版】 19. 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 四边形 ABCD 是边长为 1 的菱形, 且 ?DAB ? 60 ,

PA ? PD ? 2,PB ? 2 , E,F 分别是 BC,PC 的中点。
(I)证明: AD ? 平面DEF ; (II)求二面角 P ? AD ? B 的余弦值。

92

P

F

D E A B

C

【知识点】垂直关系 二面角的求法 G5 G11

?
【答案】 【解析】 (I)略; (II)

21 7

解析: (I)取 AD 的中点 G,因为 PA=PD,所以 PG⊥AD,由题意知△ABC 是等边三角形, 所以 BG⊥AD,又 PG,BG 是平面 PGB 的两条相交直线, 所以 AD⊥平面 PGB, 因为 EF∥PB,DE ∥GB,所以平面 DEF∥平面 PGB,所以 AD⊥平面 DEF;

PG 2 ?
(II) 由(1)知∠PGB 为二面角 P-AD-B 的平面角, 在 Rt△PGA 中,

? ?
2


2

?1? 7 ?? ? ? ?2? 4,

2



Rt



BGA





?1? 3 BG ? 1 ? ? ? ? ?2? 4
2

2

,



PGB



? D

. 【思路点拨】 证明线面垂直, 通常利用其判定定理进行证明, 求二面角时可先找出其平面角, 再利用其所在的三角形求值.

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word 版】 19. 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 四边形 ABCD 是边长为 1 的菱形, 且 ?DAB ? 60 ,

PA ? PD ? 2,PB ? 2 , E,F 分别是 BC,PC 的中点。
(I)证明: AD ? 平面DEF ;

93

(II)求二面角 P ? AD ? B 的余弦值。
P

F

D E A B

C

【知识点】垂直关系 二面角的求法 G5 G11

?
【答案】 【解析】 (I)略; (II)

21 7

解析: (I)取 AD 的中点 G,因为 PA=PD,所以 PG⊥AD,由题意知△ABC 是等边三角形, 所以 BG⊥AD,又 PG,BG 是平面 PGB 的两条相交直线, 所以 AD⊥平面 PGB, 因为 EF∥PB,DE ∥GB,所以平面 DEF∥平面 PGB,所以 AD⊥平面 DEF;

PG 2 ?
(II) 由(1)知∠PGB 为二面角 P-AD-B 的平面角, 在 Rt△PGA 中,

? ?
2


2

?1? 7 ?? ? ? ?2? 4,

2



Rt



BGA





?1? 3 BG ? 1 ? ? ? ? ?2? 4
2

2

,



PGB



? D

. 【思路点拨】 证明线面垂直, 通常利用其判定定理进行证明, 求二面角时可先找出其平面角, 再利用其所在的三角形求值.

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word 版】 19. 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 四边形 ABCD 是边长为 1 的菱形, 且 ?DAB ? 60 ,

PA ? PD ? 2,PB ? 2 , E,F 分别是 BC,PC 的中点。

94

(I)证明: AD ? 平面DEF ; (II)求二面角 P ? AD ? B 的余弦值。
P

F

D E A B

C

【知识点】垂直关系 二面角的求法 G5 G11

?
【答案】 【解析】 (I)略; (II)

21 7

解析: (I)取 AD 的中点 G,因为 PA=PD,所以 PG⊥AD,由题意知△ABC 是等边三角形, 所以 BG⊥AD,又 PG,BG 是平面 PGB 的两条相交直线, 所以 AD⊥平面 PGB, 因为 EF∥PB,DE ∥GB,所以平面 DEF∥平面 PGB,所以 AD⊥平面 DEF;

PG ?
2

(II) 由(1)知∠PGB 为二面角 P-AD-B 的平面角, 在 Rt△PGA 中,

? 2?


2

?1? 7 ?? ? ? ?2? 4,

2



Rt



BGA





?1? 3 BG ? 1 ? ? ? ? ?2? 4
2

2

,



PGB



? D

. 【思路点拨】 证明线面垂直, 通常利用其判定定理进行证明, 求二面角时可先找出其平面角, 再利用其所在的三角形求值.

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性 测试(201501)word 版】21. (本小题满分 15 分) 在直三棱柱 ABC ? A?B?C ? 中,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形, D? 是棱 A?C ? 的中点,
95

且 AA? ? 2 2 . (1)试在棱 CC ? 上确定一点 M ,使 A?M ? 平面 AB?D? ; (2)当点 M 在棱 CC ? 中点时,求直线 AB? 与平面 A?BM 所成角的大小的正弦值。 【知识点】线面垂直 线面角 G5
CM ?

G11

【答案】 (1)

2 2 3 2 2 ; (2) 3 .

【解析】解析: (1) 取 AC 边中点为 O , ∵底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,∴ OB ? AC 连接 OD ? ,∵ D ? 是边 A?C ? 的中点 ∴ OD ? ? AC , D ? 所以可以建立以 B? 为坐标原点, OB 为 C ? 轴, OC 为 y 轴, OD ? 为 z 轴如图所示的坐标系 (4 分)

A?

z

D?
B?
C?

M A O B x C y

C (0,1,0) ,B ?( 3 ,0,2 2 ) ,A?(0,?1,2 2 ) ,D ?(0,0,2 2 ) , 则有 O(0,0,0) ,A(0,?1,0) ,B( 3 ,0,0) ,
C ?(0,1,2 2 )

? ? ? 设 M (0,1, t ) ,则 A M ? (0, 2, t ? 2 2) , AD ? (0,1, 2 2) , AB ? ( 3,1, 2 2)
若 A?M ? 平面AB ?D ? ,则有 A?M ? AD ? , A?M ? AB?

[]

96



? ? A?M ? AD? ? 0 ? 2 ? (t ? 2 2) ? 2 2 ? 0 ? ? ? A?M ? AB? ? 0 ? 2 ? (t ? 2 2) ? 2 2 ? 0
CM ? 3 2 2 时, A?M ? 平面AB ?D ? .

可得

t?

3 2 2

即当

(4 分)

(2) 当点 M 在棱 CC ? 中点时: M (0,1, 2 )
? ? ∴ BM ? (? 3 ,1, 2 ) , A M ? (0,2,? 2 ) ,设平面 A?BM 的一个法向量 n ? ( x, y, z )



? ? BM ? n ? ? 3x ? y ? 2 z ? 0 ? ? ? A?M ? n ? 0 ? 2 y ? 2 z ? 0

令 z ? 2 ,得 y ? 1 , x ? 3 (4 分)
? 2 2 3

? ∴ n ? ( 3 ,1, 2 )

? 设直线 AB ? 与平面 A?BM 所成角为 ? ,则 sin ? ?| cos ? n , AB ?|

2 2 所以直线 AB ? 与平面 A?BM 所成角 ? 的正弦值为 3

(3 分)

【思路点拨】(1) 取 AC 边中点为 O ,建立以 B? 为坐标原点,OB 为 x 轴,OC 为 y 轴,OD ? 为

? ? A ' M . AD ' ? 0 ? ? A ' M . AB ' ? 0 即可;求得平 z 轴坐标系, 设 M (0,1, t ) 要使 A?M ? 平面 AB?D? 则只需满足 ?

sin ? ?
面 A?BM 的法向量, 直线 AB ? 与平面 A?BM 所成角为 ? , 由线面所成角公式 可求得.

AB '.n AB ' n

G12 单元综合 【数学理卷·2015 届湖北省部分高中高三元月调考(201501) 】20.(12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90° ,平面 PAD⊥底面 ABCD,Q

1 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点,PA=PD=2,BC= 2 AD=1,CD= 3 .
(1)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (2)若二面角 M-BQ-C 为 30° ,设 =t ,试确定 t 的值.

97

【知识点】单元综合 G12 【答案】 (1)略(2) t ? 3

1 【解析】 (1) (Ⅰ)∵AD // BC,BC= 2 AD,Q 为 AD 的中点,
∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD. 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BQ⊥平面 PAD. ∵BQ ? 平面 PQB,∴平面 PQB⊥平面 PAD.

1 另证:AD // BC,BC= 2 AD,Q 为 AD 的中点,
∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90° . ∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD. ∵ PQ∩BQ=Q, ∴AD⊥平面 PBQ. z P M D Q A x N B y C

∵ AD ? 平面 PAD,∴平面 PQB⊥平面 PAD. (Ⅱ)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD. 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系. 则平面 BQC 的法向量为 n ? (0,0,1) ;

Q(0, 0, 0) , P(0,0, 3) , B(0, 3,0) , C(?1, 3,0) .

98

设 M ( x, y, z ) ,则 PM ? ( x, y, z ? 3) ,

MC ? (?1 ? x, 3 ? y, ?z) ,
∵ PM ? tMC ,



? x ? t (?1 ? x) ? ? y ? t ( 3 ? y) ? ? z ? 3 ? t (? z)



t ? ?x ? ? 1? t ? 3t ? ?y ? 1? t ? ? 3 ?z ? 1? t ∴ ?
QM ? (? t 3t 3 , , ) 1? t 1? t 1? t ,

在平面 MBQ 中, QB ? (0, 3,0) ,

∴ 平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3,0, t ) .

cos 30? ?
∵二面角 M-BQ-C 为 30° , ∴ ∴ t ? 3.

n?m n m

?

t 3? 0?t
2

?

3 2



【思路点拨】利用面面垂直的判定证出,根据空间向量求出法向量,根据余弦值求出 t.

【 数 学 理 卷 · 2015 届 湖 北 省 部 分 高 中 高 三 元 月 调 考 ( 201501 ) 】8.如图,正方体

2 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E,F,且 EF= 2 ,则下列结论
中错误的个数是 ( (1) AC⊥BE; )

2 (2) 若 P 为 AA1 上的一点,则 P 到平面 BEF 的距离为 2 ;
(3) 三棱锥 A-BEF 的体积为定值; (4) 在空间与 DD1,AC,B1C1 都相交的直线有无数条; (5) 过 CC1 的中点与直线 AC1 所成角为 40°并且与平面 BEF 所成角为 50°的直线有 2 条. A.0 B.1 C.2 D.3

99

【知识点】单元综合 G12 【答案】A 【解析】对于(1) ,∵AC⊥平面 BB1D1D,又 BE?平面 BB1D1D,∴AC⊥BE.故(1)

正确. 对于(2) ,∵AA1∥BB1,AA1?平面 BB1DD1,BB1?平面 BB1DD1, ∴AA1∥平面 BB1DD1,即 AA1∥平面 BEF,

2 又∵正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1, A1 到平面 BEF 的距离为 A1 到 B1D1 的距离 2 , 2 ∴若 P 为 AA1 上的一点,则 P 到平面 BEF 的距离为 2 ,故(2)正确; 1 2 2 ? 2 ×1= 4 , 对于(3)∵S△BEF= 2
2 设 AC,BD 交于点 O,AO⊥平面 BB1D1D,AO= 2 ,
1 2 2 1 ∴VA-BEF= 3 × 4 × 2 = 12 ,故(3)正确;
对于(4)在正方体中,AA1∥DD1,AD∥B1C1, 则 AC,AA1,AD 相交于 A 点,故空间中与 DD1,AC,B1C1 都相交的直线有无数条. 故(4)正确;对于(5)由于过 CC1 的中点与直线 AC1 所成角为 40° 的直线有 2 条. 并且这两条直线与平面 BEF 所成角为 50° ,故(5)正确; 【思路点拨】根据题意,依次分析:如图可知 BE?平面 BB1D1D,AC⊥BE,进而判断出 (1)正确; 根据 AA1∥BB1, 判断出 AA1∥平面 BB1DD1, 即 AA1∥平面 BEF, 计算出 A1 到平面 BEF 的距离,即可判断出(2)项;设 AC,BD 交于点 O,AO⊥平面 BB1D1D,可分别求得 S △BEF 和 AO,则三棱锥 A-BEF 的体积可得判断(3)项正确;再利用正方体中线线,线面 的位置关系,即可判定(4)和(5)项正确.
100

【 【名校精品解析系列】 数学文卷· 2015 届湖北省部分高中高三元月调考 (201501) 】 20. (13 分)如图,已知在三棱柱

ABC ? A1B1C1 中, AC ? 4 , BC ? 3 , BC1 ? 5 ,点 D 在线段 AB 上,

AD ? 3, BD ? 2 ,四边形 ACC1 A1 为正方形.
(1)求证: (2)请判断

BC ? AC1 ; AC1 是否平行于平面 B1CD (不用证明) ; C1 ? CDB1 的体积.

(3)求三棱锥

【知识点】单元综合 G12

16 【答案】 (1)略(2)略(3) 5
【解析】 (1) ?ABC 中, AC ? 4, BC ? 3, AB ? 5

? ?ACB ? 90 ,即 BC ? A C

?BCC1 中, BC ? 3,CC1 ? 4, BC1 ? 5
? BC ? CC 1 而 CC1 ? AC ? C
1 1C, BC ? AC1 ? BC ? 平面 AAC

(2)

AC1 与平面 B1CD 不平行

BCC1 , AB : DB ? 5 : 2 (3)由已知易知 AC ? 平面
2 1 1 16 2 VC1 ? B1DC ? VD ? B1C1C ? VA? B1C1C ? ? ? ? 3 ? 4 ? 4 ? 5 5 3 2 5 ?
【思路点拨】根据线面垂直证明线线垂直,再利用体积公式求出体积。

101


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