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(最后冲刺)2013届高考数学 知识点扫描复习10 导数


十、导数:
一、导数的概念: (1)函数 y ? f ( x) 在点 x0 处可导:函数 y ? f ( x) 在 x0 到 x0 ? ?x 之间的平均变化率,即

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ; ?x ?x
如果当 ?x ? 0 时,

?y 有极限,则称函数 y ? f ( x) 在点 x0 处可导。 ?x

(2)函数 y ? f ( x) 在开区间 ( a, b) 内可导:如果函数 y ? f ( x) 在开区间 ( a, b) 内每一点处都 可导,则称函数 y ? f ( x) 在开区间 ( a, b) 内可导; (3)函数 y ? f ( x) 在点 x0 的导数: 如果函数 y ? f ( x) 在点 x0 处可导, 那么极限 lim

?z ?0

?y 叫做函数 y ? f ( x) 在点 x0 的 ?x

导 数 ( 或 变 化 率 ) , 记 作 :

f ' ( x0 ) 或

y'| x? x0

; 即

f ' ( x0 ) ? lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

(4)函数 y ? f ( x) 在开区间 ( a, b) 内的导函数(导数): 如果函数 y ? f ( x) 在开区间 ( a, b) 内可导,那么对于开区间 ( a, b) 的每一个确定的 值 x0 都对应着一个确定的导数 f ' ( x0 ) ,这样在开区间 ( a, b) 内构成一个新的函数, 我们把这—新函数叫做函数 y ? f ( x) 在开区间 ( a, b) 内的导函数(简称导数) ,记

f ' ( x) 或 y' ;即: f ' ( x) ? y ' ? lim

?x ?0

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? lim ? x ? 0 ?x ?x

( 5 )导数的几何意义:函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数 f ' ( x0 ) ,就是曲线 y ? f ( x) 在点

P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 k ,即 k ? tan? ? f ' ( x0 ) ;
(6)导数在物理中的运用:函数 s ? s(t ) 在点 t 0 处的导数 s ' (t 0 ) ,就是当物体的运动方程为

s ? s(t ) 时,物体运动在时刻 t 0 的瞬时速度 v ,即 v ? s' (t 0 ) ;物体运动在时刻 t 0 的
加速度 a ? s' ' (t 0 ) ;

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二、几种常见函数的导数: C ' ? 0 ( C 为常数) ; ( x n )' ? nxn?1 三、函数的和、差、积、商的导数: ( 1 )和 ( 差 ) 的导数:两个函数的和 ( 差 ) 的导数,等于这两个函数的导数的和 ( 差 ) ,即

(u ? v)' ? u '?v'
容易推广到有限个函数的情形: (u ? v ? ? ? w)' ? u'?v'? ? ? w' (2)积的导数:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数,即: (uv)' ? u' v ? uv' 容易推出:(Cu)' ? Cu' ( C 为常数) :常数与函数的积的导数等于这个常数乘以函数的导数; 四、导数的运用: (1)函数的单调性: ① 设 函 数 y ? f ( x ) 在 某 个 区 间 内 可 导 , 如 果 f ' ( x) ? 0 , 则 f ( x ) 为 增 函 数 ; 如 果

f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函数。
②设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导, 如果 f ( x) 在该区间上单调递增(或递减), 则在该 区间内 f ' ( x) ? 0 (或 f ' ( x) ? 0 )。 求可导函数 f ( x) 单调区间的步骤: ①求 f ' ( x) ; 递减区间); 证明可导函数 f ( x) 在 ( a, b) 内的单调性的步骤: ①求 f ' ( x) ; ②确认 f ' ( x) 在 ( a, b) 内的符号; ③作出结论; ②解不等式 f ' ( x) ? 0 (或 f ' ( x) ? 0 );③确认并指出递增区间(或

(2)函数的极大值与极小值: 函数极值的定义:设函数 f ( x) 在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有

f ( x) ? f ( x0 ) (或 f ( x) ? f ( x0 ) ),就说 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的一个极大(小)值;
求可导函数的极值的步骤: ①求 f ' ( x) ; ②求方程 f ' ( x) ? 0 的全部实根;

③检查 f ' ( x) 在方程 f ' ( x) ? 0 的根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f ( x) 在这 个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f ( x) 在这个根处取得极小值。

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(3)函数的最大值与最小值: 求 f ( x) 在 [ a, b] 上的最大值和最小值的步骤: ①求 f ( x) 在 ( a, b) 内的极值; ②将 f ( x) 的各极值与 f ( a ) , f (b) 比较,确定 f ( x) 的最大值与最小值;

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