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昌平区2018-2019学年第一学期高一年级期末数学试题(修订)(1)

昌平区 2018-2019 学年第一学期高一年级期末质量抽测 数学试卷
2019.1

本试卷共 5 页,共 150 分. 考试时长 120 分钟. 考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.

第一部分(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合要求的. 1. 已知集合 A ? {?1,0,2} , B ? {0,2,3} ,那么 A U B 等于 A. {?1,0, 2,3} B. {?1,0, 2} C. {0,2,3} D. {0, 2}

2. 已知角 α 的终边经过点 P ,那么 sin ? 的值为 (3,- 4) A. ?

4 3
?

B. ?

4 5

C. ?

3 4

D.

3 5

3. sin 210 的值为

A.

3 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D. ?

1 2

4. 已知向量 a ? (1,2), b ? (2,1 ? m) , 且 a ? b ,那么实数 m 的值为 A. ?2 B. 1 C. 2 D. 4

5. 下列函数中,既是偶函数,又在区间 (??,0) 上为减函数的为 A. y ?

1 x

B. y ? cos x

C. y?2

?x

D. y ? | x | ?1

6. 已知 a ? 4

0.5

, b ? log 0.5 4 , c ? 0.54, 那么 a,b,c 的大小关系为
B. c ? b ? a C. b ? a ? c D. c ? a ? b

A. b ? c ? a

1

7. 如果二次函数 y ? x 2 ? 2mx ? (m ? 2) 有两个不同的零点,那么 m 的取值范围为 A. ( ?2, 1) B. (?1, 2) C.

(? ?, ?1 )

( 2 ,? ? ) D. (??, ?2) (1, ? ?)

8. 为了得到函数 y ? sin 2 x 的图象,只需将函数 y ? sin(2 x ?

? 个单位 3 ? C. 向右平行移动 个单位 3
A. 向左平行移动

? ) 的图象 3 ? B. 向左平行移动 个单位 6 ? D. 向右平行移动 个单位 6

9. 如图,在 6 ? 6 的方格中,已知向量 a, b, c 的起点和终点均在 格点,且满足向量 a ? x b ? y c ( x, y ? R) ,那么 x ? y ? A. ? 2 B. 0
a
b

C. 1

D.2
c



10. 某种热饮需用开水冲泡, 其基本操作流程如下: ①先将水加热到 100 ?C , 水温 y(?C) 与时间 t (min) 近似满足一次函数关系;②用开水将热饮冲泡后在室温下放置,温度

? 1 ? 10 y(?C) 与 时 间 t (min)近 似 满 足 函 数 的 关 系 式 为 y ? 80 ? ? ? b ?2?
( a , b 为常数), 通常这种热饮在 40 ?C 时,口感最佳 . 某天室温为 20?C 时,冲泡热饮的部分数据如图所示.

t ?a

y
100

60

那么按上述流程冲泡一杯热饮,并在口感最佳时饮用, 最少需要的时间为 A. 35 min C. 25 min B. 30 min D. 20 min
20

O

5

15

t

2

第二部分(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 6 分,共 30 分. 11. 已知集合 A ? {x x ? 2} , B ? {x 0 ? x ? 4} , 则 A

B ? __________.

12. log 2 8 ? 4 2 ? = __________.(用数字作答)
? 13.已知向量 a, b, | a |? 1,| b |? 1 ,向量 a 与 b 的夹角为 60 , 那么 (2a + b) ? (a ? b) ? __________.

1

14.已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? )

(其中? ? 0, | ? |?

的图象如图所示,那么函数 ? ? __________,

? ) 2

y

2

? ? __________.

O

π 12

5π 6

x

-2

15. 已知函数 f ( x ) 在 ( ?2, 2) 上存在零点,且满足 f (?2) ? f (2) ? 0 ,则函数 f ( x ) 的一个解析式 为 __________.(只需写出一个即可)
2

16. 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2ax ? a ? 2 ,其中 a ? R . (I)当 a ? 1 时, f (?1) ? __________; (II)若 f ( x ) 的值域是 R ,则 a 的取值范围为__________.

3

三、解答题(共 5 个小题,共 70 分) 17. (本小题满分 14 分) 已知 ? 是第二象限角,且 tan(? ? (Ⅰ)求 tan ? 的值; (Ⅱ)求 cos 2? 的值.

? 1 )?? . 4 7

18.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? cos x ? sin x cos x ?
2

1 . 2

(I)求函数 f ( x) 的最小正周期; (II)求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (III) 求函数 f ( x) 在区间 0, ? 2 ? 上的最小值.

? ?? ? ?

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? lg(1 ? x) ? lg(1 ? x) . (I)求函数的 f ( x ) 定义域; (II)判断函数 f ( x ) 的奇偶性,并用定义证明你的结论; (III)若函数 f ( x) ? 0 ,求实数 x 的取值范围.

4

20.(本小题满分 14 分) 为弘扬中华传统文化,学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗词”的阅读活 动. 根据调查,小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下:
g (t )

表1 t 0 0 10 2700 20 5200 30 7500

11000 8000

f (t )

O

40

60

t

图1 小明阅读“经典名著”的阅读量 f ( t ) (单位:字)与时间 t(单位:分钟)满足二次函数关系,部分 数据如表 1 所示;阅读“古诗词”的阅读量 g ( t ) (单位:字)与时间 t(单位:分钟)满足如图 1 所示的 关系. (I)请分别写出函数 f (t ) 和 g (t ) 的解析式; (II)在每天的一小时课外阅读活动中,小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间,使每天 的阅读量最大,最大值是多少?

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) 的定义域为 D ,对于给定的 k (k ? N* ) ,若存在 [a, b] ? D ,使得函数 f ( x ) 满足: ① 函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上是单调函数; ② 函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上的值域是 [ka, kb] ,则称 [ a, b] 是函数 f ( x ) 的 k 级“理想区间”.

(I) 判断函数 f1 ( x) ? x2 , f 2 ( x) ? sin ?x 是否存在 1 级“理想区间”. 若存在,请写出它的“理想 区间”;(只需直接写出结果) (II) 证明:函数 f ( x) ? e x 存在 3 级“理想区间”;( e ? 2.71828 (III)设函数 g ( x) ? )

4x , x ? [0,1] ,若函数 g ( x) 存在 k 级“理想区间”,求 k 的值. x ?1
2

5

昌平区 2018-2019 学年第一学期高一年级期末质量抽测
数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.)

2019.1

题号 答案

1 A

2 B

3 D

4 C

5 D

6 A

7 C

8 B

9 B

10 C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.) 11. 14.

{x | 2 ? x ? 4}

12. 15.

5

13.

1 2

2

;

? 3

f ( x) ? x2 ? 1 (不是唯一解)

16 . ?2 ; (??, ?2] [2, ??)

(注:第 14,16 题第一问 3 分,第二问 2 分).

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

17. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)由 tan(? ?

? 1 ? tan ? 1 4 )? ? ? ,解得 tan ? ? ? . ……………7 分 4 1 ? tan ? 7 3
4 3 , cos ? ? ? . 5 5 7 . 25

(Ⅱ)由(I)可得, sin ? ?

所以 cos 2? ? cos ? ? sin ? ? ?
2 2

…………………………14 分

18.

(本小题满分 14 分) 解: ( I ) f ( x) ?

1 ? cos 2 x 1 1 ? sin 2 x ? 2 2 2 1 1 ? cos 2 x ? sin 2 x 2 2

?

2 ? sin(2 x ? ) 2 4
2? ? ?. 2
6

………………4 分 ………………6 分

所以 函数 f ( x) 的最小正周期是? ?

(II)由题意知

? ? ?? ?2 x ? ? 2k ? ? , k 2 4 2 ? ?? , 故 k? ? ? x ? k? ? 8 8 2k ? ?

? Z,

所以函数 f ( x ) 单调递减区间为 [k ? ? (Ⅲ) 因为 0 ? x ? 所以当

? ?? , k ? ? ], k ? Z . 8 8

………………10 分

? , 2

? ? ?? ? 2x ? ? , 4 4 4 ? ?? ? 1 ? , 即 x ? 时, f ( x ) min ? ? 4 4 2 2 .
………………14 分

所以 2 x ?

19.(本小题满分 14 分) 解:(I)由 ?

?1 ? x ? 0, ?1 ? x ? 0,

解得 ?

? x ? ?1, ? x ? 1.
………………4 分 ………………5 分 ………………6 分

所以 ?1 ? x ? 1 , (II)函数 f ( x ) 是奇函数.

故函数 f ( x ) 的定义域是 (?1,1) .

证明:由(I)知定义域关于原点对称. 因为 f (? x) ? lg(1 ? (? x)) ? lg(1 ? (? x))

? ?(lg(1 ? x) ? lg(1 ? x)) ? ? f ( x) ,
所以 函数 f ( x ) 是奇函数. …………………………9 分 ( Ⅲ ) 由 f ( x) ? 0 可得 lg(1 ? x) ? lg(1 ? x) . …………………………10 分

? ?1 ? x ? 1 ? 得 ?1 ? x ? 1 ? x ,
0 ? x ?1
.

…………………………12 分

解得

…………………………14 分

20.(本小题满分 14 分) 解:(I) f (t ) ? ?t 2 ? 280t , g (t ) ? ?

?200t (0 ? t ? 40) . ?150t ? 2000(40 ? t ? 60)

………………6 分

7

(II)设小明对“经典名著”的阅读时间为 t (0 ? t ? 60) ,则对“古诗词”的阅读时间为 60 ? t . ………………7 分 ① 当 0 ? 60 ? t ? 40 ,即 20 ? t ? 60 时,

h(t ) ? f (t ) ? g (t ) ? ?t 2 ? 280t ? 200(60 ? t )
? ?t 2 ? 80t ? 12000

? ?(t ? 40)2 ? 13600
所以当 t ? 40 时, h(t ) 有最大值 13600. ① 当 40 ? 60 ? t ? 60 ,即 0 ? t ? 20 时, ………………10 分

h(t ) ? f (t ) ? g (t ) ? ?t 2 ? 280t ?150(60 ? t ) ? 2000
? ?t 2 ? 130t ? 11000
因为 h(t ) 的对称轴方程为 t ? 65 , 所以 当 0 ? t ? 20 时, h(t ) 是增函数, 所以 当 t ? 20 时, h(t ) 有最大值为 13200. 因为 13600>13200, 所以 阅读总字数 h(t ) 的最大值为 13600,此时对“经典名著”的阅读时间为 40 分钟,对“古诗词” 的阅读时间为 20 分钟. ………………14 分 ………………13 分

21. (本小题满分 14 分) 解:(I) 函数 f1 ( x) ? x2 存在 1 级“理想区间”,“理想区间”是[0,1]; f 2 ( x) ? sin ? x 不存在 1 级“理想区间”. ………………4 分

(II)设函数 f ( x) ? e x 存在 3 级“理想区间”,则存在区间 [ a, b] ,使 f ( x) 的值域是 [3a,3b] . 因为函数 f ( x) ? e x 在 R 上单调递增, 所以 ?
a ? ?e ? 3a, ,即方程 e x ? 3x 有两个不等实根. b ? ?e ? 3b

设 h( x) ? e x ? 3x , 可知, h(0) ? e0 ? 3 ? 0 ? 1 ? 0 , h(1) ? e1 ? 3 ?1 ? 0 , h(2) ? e2 ? 3 ? 2 ? 0 ,
8

由零点存在定理知,存在 x1 ? (0,1) , x2 ? (1, 2) ,使 h( x1 ) ? 0 , h( x2 ) ? 0 . 设 a ? x1 , b ? x2 ,所以方程组有解,即函数 f ( x) ? e x 存在 3 级“理想区间”. …………9 分 (III)法一: 若函数 g ( x) 存在 k 级“理想区间”,则存在区间 [ a, b] ,函数 g ( x) 的值域是 [ka, kb] . 因为 g ( x) ?

4x ,任取 x1 , x2 ?[0,1] ,且 x1 ? x2 , x ?1
2

有 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ?

4 x1 4x 4( x1 ? x2 )(1 ? x1 x2 ) , ? 2 2 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x12 ? 1)( x2 2 ? 1)

因为 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,所以 x1 ? x2 ? 0,1 ? x1 x2 ? 0 , 所以 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,即 g ( x1 ) ? g ( x2 ) , 所以 函数 g ( x) ? 所以 ?

4x 在 [0,1] 上为单调递增函数. x ?1
2

………………12 分

? g (a) ? ka, 4x ? kx 在 [0,1] 上有两个不等实根. ,于是方程 2 x ? 1 g ( b ) ? kb ?

即 x[kx2 ? k ? 4] ? 0 在 [0,1] 上有两个不等实根. 显然 x ? 0 是方程的一个解,所以 kx 2 ? k ? 4 ? 0 在 (0,1] 至少有一个实根. (1)当 k ? 4 时, x1 ? x2 ? 0 ,不合题意,舍; (2)当 k ? 4 时,方程无实根,舍; (3) 0 ? k ? 4 时, x1 ?

4?k 4?k , x2 ? ? (舍) , k k

所以

x1 ?

4?k ? 1 ,解出 k ? 2 . k
………………14 分

* 所以 2 ? k ? 4 ,又因为 k ? N ,所以 k ? 2 或 k ? 3 .

法二:因为 g ( x) ?

4x ,任取 x1 , x2 ?[0,1] ,且 x1 ? x2 , x ?1
2

有 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ?

4 x1 4x 4( x1 ? x2 )(1 ? x1 x2 ) ? 2 2 ? , 2 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x12 ? 1)( x2 2 ? 1)

因为 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,所以 x1 ? x2 ? 0,1 ? x1 x2 ? 0 , 所以 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,即 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,
9

所以 函数 g ( x) ?

4x 在 [0,1] 上为单调递增函数. x ?1
2

………………12 分

若函数 g ( x) 存在 k 级“理想区间”,则存在区间 [ a, b] ,函数 g ( x) 的值域是 [ka, kb] .

? 4a ? ka (1) ? ? a2 ? 1 则 ? ? 4b ? kb (2) ? b2 ? 1 ?
(i)当 a ? 0 时,(1)式成立 因为 a ? 0 ,所以 b ? 0 ,所以

4 ?k. b ?1
2

因为 [a, b] ? [0,1] ,所以 0 ? a ? b ? 1 .
2 2 所以 0 ? b ? 1 ,即 0 ? b ? 1 ,得 1 ? b ? 1 ? 2 ,于是

1 1 ? 2 ?1 2 b ?1

故2 ?

4 ? 4 . 又因为 k ? N* ,所以 k ? 2 或 k ? 3 . b ?1
2

当 k ? 2 时, b ? 1 ;当 k ? 3 时, b ?

3 . 3

所以 [a, b] ? [0,1] 或 [a, b] ? [0,
(ii)当 a ? 0 时,(1)式化为 因为 a ? 0 , b ? 0 ,所以 所以

3 ] 满足题意,故 k ? 2 或 k ? 3 . 3

4 ? k (3), a ?1
2

4 ? k (4) b ?1
2

4 4 2 2 ? 2 ,所以 a ? b ,即 a ? b 与题意不符合。 a ?1 b ?1 综上, k ? 2 或 k ? 3 .
2

………………14 分

【其它正确解法相应给分】

10


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