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江西省吉安市2013届高三第一次模拟考试 数学文

2013 届高三第一次模拟考试 数学(文)试卷
本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分,第Ⅰ 1 至 2 页,第Ⅱ 3 至 4 页, 卷 卷 满分 150 分,考试时间 120 分钟. 考生注意: 1. 答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上,考生要认真核对答题卡 上粘贴的条形码的“准考证号、 姓名、 考试科目”与考生本人准考证号、 姓名是否一致. 2. 第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作 答.若在试题卷上作答,答案无效. 3. 考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.

第Ⅰ (选择题 共 50 分) 卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.1. 已知 i 是虚数单位,

?1-i ?? -2+i ? =
i3

A. 3+i B. 3 i C. 3+i D. 3 i 2 2.设全集 U 是实数集 R,M={x|x >4},N={x|x≥3 或 x<1}都是 U 的子 集, 则图中阴影部分所表示的集合是( ) A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x≤2} C.{x|1<x≤2} D.{x|x<2} 3. 已知函数

--

-

-

?log x( x ? 1) f ( x) ? ? 2 ,则“ c ? ?1 ”是“函数 f ( x ) 在 R 上 ? x ? c( x ? 1)
B.必要而不充分条件 D.既不充分也 不必要条件 ,b= , ,则执行如图的程序

递增”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 4.已知

框图后输出的结果等于 D. 其它值

A.

1 ?2 (? ) 3 2

B.

C.

( ?3) 3

2

5.已知 O 、 A 、 B 是平面上不共线的三点,向量 OA ? a , OB ? b 。设 P 为线段 AB 垂直平

??? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? 分线上任意一点,向量 OP ? p ,若 a ? 4 , b ? 2 ,则 ? ? ? ? p ? a ? b 等于

?

?

?

A. 1

B. 3

C. 5

D. 6

6.已知一个空间几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表 面积是 A. 3? ? 4 B. 4? ? 4 C. 5? ? 4 D. 6? ? 4

7.在平面直角坐标系中,不等式组

(a 为常数)表

示的平面区域的面积 8,则 x2+y 的最小值 A. B.0 C.12

D.20

8.若点 O 和点 F(﹣2, 0)分别是双曲线

的中心和左焦点,点 P 为双

曲线右支上的任意一点,则 A. 9. 在 同 一
( s

的取值范围为 C. D.

B.

f ( )? 2 x

平 面 直 角 坐 标 系 中 , 画 出 三 个 函 数 ? ? ? ,则( ) ? )x g( x2 ? sin(2 x ? ), h( x)? cos( x ? )的部分图象(如图) i n, ) 4 3 6

A. a 为 f ( x), b 为 g( x) , c 为 h( x ) B. a 为 h( x ), b 为 f ( x), c 为 g( x) C. a 为 g( x) , b 为 f ( x), c 为 h( x ) D. a 为 h( x ), b 为 g( x) , c 为 f ( x) a

c b

10.已知函数 f(x)=|log2|x﹣1||,且关于 x 的方程[f(x)]2+af(x)+2b=0 有 6 个不同的实数 解,若最小的实数解为﹣1,则 a+b 的值为 A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1

第Ⅱ (非选择题 共 100 分) 卷 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
11. 已知 tan? =2 ,则

12.已知圆 C 过点 A(1,0)和 B(3,0) ,且圆心在直线 y ? x 上,则圆 C 的标准方程为 。 2 2 13. 从平面区域 G={ a, |0≤a≤1, ( b) 0≤b≤1}内随机取一点 b)则使得关于 x 的方程 x +2bx+a =0 (a, , 有实根的概率是 _________ . 14. 设函数 f x) ( = 那么 M+N= _________ . 15.下列 4 个命题: 的最大值为 M, 最小值为 N,

2sin 2 ? ? 1 ? _______。 sin 2?

① 已知 e是单位向量,? e ? a ? 2e, 则 a在e 方向上的投影为 a ② 关于 x 的不等式 a ? sin x ?
2

1 ; 2

2 恒成立,则 a 的取值范围是 a ? 2 2 ; sin 2 x ③ 函数 f ( x) ? a log2 | x | ? x ? b 为奇函数的充要条件是 a ? b ? 0 ; ? ? ④ 将函数 y ? sin( 2 x ? ) 图像向右平移 个单位,得到函数 y ? sin 2 x 的图像 3 3
其中正确的命题序号是 (填出所有正确命题的序号) 。 三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16 .( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 A 、 B 、 C 是 三 角 形 ABC 的 三 内 角 , 且

m ? (sin B ? sin A, sin B ? sin C ), n ? (sin B ? sin A,? sin C ) ,并且 m ? n ? 0.

(1)求角 A 的大小。
2 (2) f ( B) ? sin

B B B B ? 2 sin cos ? 3 cos 2 , 求f ( B) 的递增区间。 2 2 2 2

17. (本小题满分 12 分)如图,正方形 OABC 的边长为 2. (1)在其四边或内部取点 P ( x, y ) ,且 x, y ? Z ,求事件:“ OP ? 1 ”的概率; (2)在其内部取点 P ( x, y ) ,且 x, y ? R ,求事件“ ?POA, ?PAB, ?PBC, ?PCO 的面积均大于

2 ”的概率. 3

y C B

O

A

x

18. (本小题满分 12 分) 如图,三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥ 底面 ABC,AB⊥ BC,DE 垂直平分线段 PC,且分别交 AC、PC 于 D、E 两点,又 PB=BC,PA=AB. (1)求证:PC⊥ 平面 BDE; (2)若点 Q 是线段 PA 上任一点,判断 BD、DQ 的位置关系, 并证明结论; (3)若 AB=2,求三棱锥 B﹣CED 的体积.

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)的图象经过点(1,λ) ,且对任意 x∈ R, 都有 f(x+1)=f(x)+2.数列{an}满足 (1)当 x 为正整数时,求 f(n)的表达式; (2)设 λ=3,求 a1+a2+a3+…+a2n; (3)若对任意 n∈ *,总有 anan+1<an+1an+2,求实数 λ 的取值范围. N 20. (本小题满分 13 分) .

函数 f ( x) ? a ln x ? 1 ( a ? 0) . (1)当 x ? 0 时,求证: f ( x) ? 1 ? a (1 ? ) ; (2)在区间 (1, e) 上 f (x ) ? x 恒成立,求实数 a 的范围。 (3)当 a ?

1 x

1 时,求证: f (2) ? f (3) ? ? ? f (n ? 1) ? 2(n ? 1 ? n ? 1 ) (n ? N ? ) . 2

21. (本小题满分 14 分) 如图,已知直线 l:x=my+1 过椭圆 的右焦点 F,抛物线: 的焦

点为椭圆 C 的上顶点,且直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,点 A、F、B 在直线 g:x=4 上的射 影依次为点 D、K、E. (1)椭圆 C 的方程; (2)直线 l 交 y 轴于点 M,且 ,当 m 变化 时,探求 λ1+λ2 的值是否为定值?若是,求出 λ1+λ2 的值, 否则,说明理由; (3)接 AE、BD,试证明当 m 变化时, 直线 AE 与 BD 相交于定点 .

2013 届高三模拟试卷

数学(文)试卷参考答案
一、选择题 题号 答案 1 B 2 A 3 A 4 C 5 D 6 B 7 A 8 B 9 B 10 B

二、填空题 11.

13 4

12. ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 13. 2

3
14. 4021. 15. ① 三、解答题 16.解: (1)由 m ? n ? 0 ,得 (sin B ? sin A)(sin B ? sin A) ? sin C (sin B ? sin C ) ? 0 即 sin 2 B ? sin 2 A ? sin B sin C ? sin 2 C ? 0 由正弦定理得 b 2 ? a 2 ? bc ? c 2 ? 0
2 2 2 即 b ? c ? a ? bc -------------4 分

------------2 分

,

由余弦定理得 cos A ? 又 0 ? A ? ? ,所以 A ?

b2 ? c2 ? a2 2bc

?

1 2

,

? . --------------6 分 3 1 ? cos B 1 ? cos B ? cos B ? sin B ? 2 ? sin B ? 3 ? (2) f ( B ) ? 2 2 ? ? 2 sin( B ? ) ? 2, -------------9 分 4 2? 因为 B ? C ? ,且 B,C 均为 ?ABC 的内角, 3
2? , 3
所以

所以 0 ? B ?

?
4

? B?

?
4

?

11? , 12



?
4

? B?

?
4

?

?
2

,-----------------11 分

即0 ? B ?

?

4

时, f (B ) 为递增函数,

即 f (B ) 的递增区间为 (0, 17. 解: (1) P ( x, y ) 共 9 种情形:

?
4

].

------------------12 分

(0,0),(0,1),(0, 2),(1,0),(1,1),(1, 2),(2,0),(2,1),(2, 2) -------------3 分
2 2 满足 OP ? 1 ,即 x ? y ? 1 ,共有 6 种---------------5 分

6 2 ? ----------------6 分 9 3 2 1 2 (2)设 P 到 OA 的距离为 d ,则 S ? ? 2 ? d ? ,即 d ? -----------8 分 3 2 3 2 ? P 到 OA 、 AB 、 BC 、 CO 的距离均大于 ----------------9 分 3 2 (2 ? 2 ? ) 2 3 ? 1 -------------------12 分 ? 概率为 2? 2 9
因此所求概率为 18.解: (1)证明:由等腰三角形 PBC,得 BE⊥ PC,又 DE 垂直平分 PC, ∴ DE⊥ PC,且 DE∩BE=E, ∴ PC⊥ 平面 BDE;----------------4 分 (2)由(Ⅰ )PC⊥ 平面 BDE,BD?平面 BDE,∴ PC⊥ BD 同理,∵ PA⊥ 底面 ABC,∴ PA⊥ BD,--------------6 分 又 PA∩PC=P, ∴ BD⊥ APC,DQ?面 APC, ∴ 面 BD⊥ DQ. 所以点 Q 是线段 PA 上任一点都有 BD⊥ DQ-------------8 分 (3)∵ PA=AB=2,∴ , ∵ AB⊥ BC, ∴ △ABC= S ∴ CD= = =2 .AC=2

,-----------------9 分

即 S△DCB= S△ABC,又 E 是 PC 的中点 ∴ B﹣CED= S△ABC?PA= V .----------------12 分

19.解: (1)记 bn=f(n) ,由 f(x+1)=f(x)+2 有 bn+1﹣bn=2 对任意 n∈ *都成立, N 又 b1=f(1)=λ,所以数列 bn 为首项为 λ 公差为 2 的等差数列,----------2 分 故 bn=2n+λ﹣2,即 f(n)=2n+λ﹣2.-------------------4 分 (2)由题设 λ=3 ﹣ ﹣ ﹣ 若 n 为偶数,则 an=2n 1;若 n 为奇数且 n≥3,则 an=f(an﹣1)=2an﹣1+λ﹣2=2?2n 2+λ﹣2=2n ﹣ 1 +λ﹣2=2n 1+1 又 a1=λ﹣2=1,

即 ------------------------------6 分 a1+a2+a3++a2n=(a1+a3++a2n﹣1)+(a2+a4++a2n)=(20+22++22n 2+n﹣1)+(21+23++22n 1) ﹣ =(1+21+22++22n 1)+n﹣1=22n+n﹣2. ------------------8 分 ﹣ (3) n 为奇数且 n≥3 时, n+1an+2﹣anan+1=an+1 n+2﹣an) n[2n+1+λ﹣2﹣ n 1+λ﹣2) 当 a (a =2 (2 ]=3?22n ﹣1 >0;------------------10 分 ﹣ ﹣ 当 n 为偶数时,an+1an+2﹣anan+1=an+1(an+2﹣an)=(2n+λ﹣2) n+1﹣2n 1)]=3?2n 1(2n+λ﹣2) (2 , n 因为 anan+1<an+1an+2,所以 2 +λ﹣2>0, ∵ 为偶数,∴ n n≥2, n ∵ +λ﹣2 单增∴ 2 4+λ﹣2>0,即 λ>﹣2 故 λ 的取值范围为(﹣2,+∞) .----------------12 分 20.解: (1)明:设 ? ?x ? ? f ?x ? ? 1 ? a?1 ? 1 ? ? a ln x ? a?1 ? 1 ?, ?x ? 0? ? ? ? ?
? x? ? x?
﹣ ﹣

则 ? ??x ? ? a ? a2 ? 0 ,则 x ? 1 ,即 ? ?x ? 在 x ? 1 处取到最小值, x x 则 ? ?x ? ? ? ?1? ? 0 ,即原结论成立. -----------------------4 分
ln x ? x ?1 x (2):由 f ?x ? ? x 得 a ln x ? 1 ? x 即 a ? ,另 g ? x ? ? x ? 1 , ? x ? 1? , g ??x ? ? ln x ln x ?ln x ?2 x ?1

另 h? x ? ? ln x ?

x ?1 1 1 , h??x ? ? ? 2 ? 0 则 h?x ? 单调递增,所以 h?x ? ? h?1? ? 0 x x x

因为 h?x ? ? 0 ,所以 g ??x ? ? 0 ,即 g ?x ? 单调递增,则 g ?x ? 的最大值为 g ?e? ? e ? 1 所以 a 的取值范围为 ?e ? 1,??? . -------------------8 分 (3):由第一问得知 ln x ? 1 ?

1 1 则 ln n ? 1 ? ----------------------10 分 x n

1 ?ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln?n ? 1?? ? n 2 ? ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ? 1 ? n ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? n 2 3 n ?1
? 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 1 ? 2n ? 2? ? ??? ? ? 2n ? 2? ? ??? ? ? ? ? ? 2 n ?1 ? 2? 3 n ? n ?1 ? ?2 2 2 3 ?1? 2

则 f ?2? ? f ?3? ? ? ? f ?n ? 1? ?

? 2 n ? 1 ? n ? 1 -----

?

?

---------------------------13 分 21. (1)知椭圆右焦点 F(1,0) c=1, ,∴ 抛物线 的焦点坐标 ,∴ ∴ 2=3 b

∴ 2=b2+c2=4∴ a 椭圆 C 的方程 ----------------4 分

(2)知 m≠0,且 l 与 y 轴交于 设直线 l 交椭圆于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 由



-----------------5 分 ∴ =(6m)2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0 △ ∴ -----------------6 分 又由



同理 --------------------7 分 ∴





所以,当 m 变化时,λ1+λ2 的值为定值

;-----------------9 分

(3) :由(2)A(x1,y1) ,B(x2,y2) D(4,y1) ,∴ ,E(4,y2) 方法 1)∵ -----------------10 分



时,

=

= ----------------------12 分 ∴ 点 同理可证,点 在直线 lAE 上,-------------------13 分 也在直线 lBD 上;

∴ m 变化时,AE 与 BD 相交于定点 当

------------------14 分

方法 2)∵ -------------------10 分

-------------------11 分

= -------------------12 分 ∴ EN=kAN∴ k A、N、E 三点共线, 同理可得 B、N、D 也三点共线;---------------------13 分 ∴ m 变化时,AE 与 BD 相交于定点 当 .-------------14 分


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