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利用定义求一类圆锥曲线的最值1

利用定义求一类圆锥曲线的最值
利用圆锥曲线的定义解题是一种常用的方法, 下面通过实例就圆锥曲线上一动点到焦点 的距离与它到一定点的距离(或其倍数)的和(差)的最值问题的解法加以剖析归纳,从中 可以看出其中的一些通性通法, 使我们认识理解和掌握圆锥曲线的定义的重要性, 并学会应 用圆锥曲线的定义解题。 一、 直接利用定义 例 1 若点 A (3, , 为抛物线 y 2 =2x 的焦点,点 P 为抛物线上任意一点, PA + PF 2) F 求 的最小值及取得最小值的点 P 的坐标。 解 抛物线 y 2 =2x 的准线 l:x=

1 ,过点 P 作 PQ 垂直于 l,垂足为 Q,由抛物线的定义 2

得, PQ = PF ,∴ PA + PF = PA + PQ ,要使 PA + PQ 最小,三点 A,P,Q 必共线, 即 AQ⊥l,AQ 与抛物线的交点为点P,从而 PA + PF 的最小值为3+ 坐标为(2,2) 。 例 2 已知点 A(-2, 3 ) ,设 F 为椭圆

1 7 = ,此时点P的 2 2

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,点 M 为椭圆上一动点, 16 12

求 MA +2 MF 的最小值,并求此时点 M 的坐标。

解 如图 1 ∵a=4,b=2 3 ,∴c=2,离心率 e=

a2 c 1 = ,椭圆的右准线 l:x= =8,由 c a 2

(?2) 2 ( 3 ) 2 1 ? = <1 知,点 A 在椭圆的内部,过点 M 作 MN⊥l 垂足为 N,由椭圆的第 16 12 2
二定义

MF MN

=e=

1 1 , MF = MN , MA +2 MF = MA + MN 。 知 故 ∴当且仅当三点 A, 2 2

M,N 共线时, MA + MN 最小,即 MA +2 MF 最小,将 y= 3 代入椭圆的方程,得 x= ±2 3 ,因点 M 在点 A 的右边, 故 x=2 3 , A ∴点 M(2 3 , 3 ) , O F y M N
N?

x

MA +2 MF 的最小值为
图1

AN ? =8-(-2)=10。

1

3 双曲线 x 2 -

y2 =1 的右焦点为 F,点 C(3, 3 ) ,点 M 为双曲线上一动点,求 3

2 CM + MF 的最小值及相应的点 M 的坐标。

解 a=1,b= 3 ,∴c=2,离心率 e=2,右准线 l:x=

a2 1 = ,作 MN⊥l 于M,由双曲 c 2
+ MF =2( CM + MN ) ,当且仅

线的第二定义

MF MN

=e=2,∴ MF =2 MN ,∴2 CM

当 C,M,N 三点共线时,有 CM + MN 最小值 3- 5,此时点 M 的坐标为( 2 , 3 ) 。 二、引申与提高 例 4 已知椭圆

1 5 = ,∴2 CM + MF 的最小值为 2 2

x2 y2 ? ? 1 ,F 1 为椭圆的左焦点,A(2,2)为椭圆内的一点,P 是椭 25 9

圆上的任意一点,则

PA - PF1 得最大值为

y P A F1 图2 O x

解 如图 2,F 1 的坐标为(-4,0),点 P 在椭圆上移动, 若 P 与 A,F 1 不共线,则在△PAF 1 中,

PA - PF1 < AF1 ,当 P 与 A、 F 1 共线时,
且点 P 在 A F 1 的延长线上时,PA - PF1 = AF1 ,此时 的值,由 A、F 1 的坐标得, AF1 =2 10 ,应填 2 10 。 例 5 已知椭圆

PA - PF1 取最大值, 且为 AF1

x2 y2 ? ? 1 ,F 1 、F 2 分别为椭圆的左、右焦点,A(2,2)为一定点, 25 9

点 P 是椭圆上任一点,则 解 由椭圆的定义,

PA + PF2 的最大值和最小值分别为

.

PA + PF2 = PA +2a- PF1 =2a+ PA - PF1 , 所 以 只 要 求 出

PA - PF1 的最值即可, 由上题的结果可得 PA - PF1 的最大值为 2 10 , 即得 PA + PF2
最大值为 2a+2 10 ,即 10+2 10 。 而

PA + PF2 = PA +2a- PF1 =2a+ PA - PF1 =2a-( PF1 - PA ),当 P 在 F 1 A 的延长线

2

上时, PF1 -

PA 取最大值 2 10 , 可得 2a-( PF1 - PA )的最小值 10-2 10 ,即 PA + PF2

最小值为 10-2 10 。 规律:当三点 P,F 1 ,A 共线时, 类题:已知椭圆的方程是

PA + PF2 有最小值 2a- AF1 .

x2 y2 ? ? 1 , F 1 、F 2 分别为椭圆的左、右焦点,点 P(1,1)是 10 6

椭圆内部一点,试在椭圆上求一点 M,使 PM + MF1 取最小值。

答案: 当点 M、 、 2 三点共线时,PM + MF1 有最小值, P F 此时点 M(

5?3 5 3?3 5 , ) 4 4

例 6 设 F 1 、F 2 分别是双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,点 P(-3,1)是双曲线内部一 3

点,试在双曲线上求一点 M,使 PM + MF1 最小。 解 如 图 3 , 连 接 F
2

P 交 双 曲 线 于 点 M

1

, 由 双 曲 线 的 定 义

MF2 - MF1 = M 1 F2 - M 1 F1 =2a, ∴ MF2 + PM ≥ PF2 = PM 1 + M 1 F2 , ∴
2a+ MF1 +

PM ≥ PM 1 +2a+ M 1 F1 , ∴ MF1 +

PM ≥ PM 1 + M 1 F1 =

PM 1 + M 1 F2 -2a= PF2 -2a,即当点 M 在点 M 1 处,三点P、M、F 2 共线时,
?x ? 5 y ? 2 ? 0 ? : x+5y-2=0, 由 ? x 2 , 得 点 ? y2 ? 0 ? ?3
y M P
1

PM + MF1 有 最 小 值 , 直 线 P F

2

M(

? 6 ? 5 78 10 ? 78 , ). 22 22
规律:当P,M,F 2 三点共线时,

M1 F1 O F2 x

PM + MF1 有最小值 PF2 -2a。
图3

3


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