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河北省枣强中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题 理


2015—2016 学年高一第二学期期中考试 数学试卷(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,考试结束后,将本试卷和答 题卡一并交回。 第Ⅰ卷 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答 题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 3.本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每 小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 一、 选择题

1.函数 f ( x) ? A. (? ,?? )

3x 2 1? x

? lg(3x ? 1) 的定义域是( )
B. ( ? ,1)

1 3

1 3

C. (? , )

1 1 3 3

D. ( ?? ,? )

1 3

2 2.不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ( ?

1 1 , ) ,则 a+b 的值是( ) 2 3
D.-14

A.10

B.-10

C.14

3.已知 a,b,a+b 成等差数列,a,b,ab 成等比数列,且 0<logmab<1,则 m 取值范围是 A、m>1 B、1<m<8 C、m>8 D、0<m<1 或 m>8

4.已知{an}是等比数 列,a2=2, a5= A.16( 1 ? 4
?n

)

1 ,则 a1a2+ a2a3+…+ anan+1=( ) 4 32 32 ?n ?n ?n B.16( 1 ? 2 ) C. (1 ? 4 ) D. (1 ? 2 ) 3 3

5 如果 a1,a2,…, a8 为各项都大于零的 等差数列,公差 d ? 0 ,则( ) A

a1a8 ? a4 a5 B

a1a8 ? a4 a5

C

a1 ? a8 ? a4 ? a5

D a1a8 ? a4 a5

6、已知数列{an}满足 a1=0, an+1=an+2n,那么 a2003 的值是( ) A、2003
2

B、2002×2001

C、2003×2002

D、2003×2004 )

7、已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差 d<0,则使前 n 项和 Sn 取最大值的正整数 n 是( A、4 或 5 B、5 或 6 C、 6 或 7 D、8 或 9
o

8. △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 若 c= 2 ,b= 6 ,B=120 , 则 a 等于 ( B.2 C. 3 D.

) A. 6

2

9.在△ABC 中,已知 b=2,B=45°,如果用正弦定理解三角形有两解,则边长 a 的取 值范围 是 ( )
1

A. 2 ? a ? 2 2

B. 2 ? a ? 4 C. 2 ? a ? 2
2 2 2

D. 2 ? a ? 2 2

10. 在△ABC 中, 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(a +c -b )tanB= 3 ac,则角 B 的值为 () A.

? 6

B.

? 3

C.

? 5? 或 6 6

D.

? 2? 或 3 3


11.如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为( A.

5 18

B.

3 4

C.

3 2

D.

7 8

12.已知 D、C、B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C、D 两点测得 A 的点仰角分别为α 、β (α >β )则 A 点离地面的高 AB 等于 A. ( C. ) D.

a sin ? sin ? sin(? ? ? )

B.

a sin ? sin ? cos(? ? ? )

a cos? cos ? sin(? ? ? )

a cos? cos ? cos(? ? ? )

第Ⅱ卷 注意事项: 1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 3.本卷共 10 小题,共 90 分。 二,填空题:本大 题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上。 13.在等比数列{an}中,若 a9·a11=4,则数列{ log 1 a n }前 19 项之和为__
2
2 2 14.不等式 ax ? 4 x ? a ? 1 ? 2 x 对一切 x ?R 恒成立,则实数 a 的取值范围是

15.在钝角△ABC 中,已知 a ? 1 , b ? 2 ,则最大边 c 的取值范围是 16.已知数列{an}满足 a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2),则它的前 n 项和为 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 除 17 题 10 分,其它每题 12 分) 17 解 关于 x 的不等式 x ? x ? a(a ? 1) ? 0
2

18、 设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列, 且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 , a5 ? b3 ? 13 .

2

(Ⅰ)求 {an } 、 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {

an } 的前 n 项和 Sn 。 bn

19 在锐角 三角形中,边 a、b 是方程 x -2 3 x+2=0 的两根,角 A、B 满足:2sin(A+B)- 3 =0,求角 C 的度数,边 c 的长度及△ABC 的面积。

2

。 20、已知数列{an}为等差数列,公差 d≠0,其中 a k1 , a k 2 ,…, a k n 恰为等比数列,若 k1=1, k2=5,k3=17,求 k1+k2+…+kn。 。

21.一缉私艇发现在方位角 45°方向,距离 12 海里的海面上有一走私船正以 10 海里/小时 的速度沿方位角为 105°方向逃窜,若缉私艇的速度为 14 海里/小时,缉私艇沿方位角 45°+ α 的方向追去,若要在最短的时间内追上该走私船,求追及所需时间和α 角的正弦.(注:方 位角是指正北方向按顺时针方向旋转形成的角).

.

22.已知公比为负值的等比数列 ?an ? 中, a1a5 ? 4 , a4 ? ?1. (1)求数列 ?an ? 的通项公式;
3

(2)设 bn ?

n ?1 n ?1 n ?1 ? ? ??? ? ,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn . 1? 2 2 ? 3 n ? n ? 1?

4

高一理科数学 答案部分 BDCCB CBDAD DA 13 -19 ___14 (2,+∞) 15、 5 ? c ? 3 16 Sn=
3n 2 ? 9 n 。 2

17 解:原不等式可以化为: ( x ? a ? 1)(x ? a) ? 0 若 a ? ?(a ? 1) 即 a ?

2分

1 则 x ? a或 x ? 1? a 4 分 2 1 1 2 1 x ? ,x?R 若 a ? ?(a ? 1) 即 a ? 则 ( x ? ) ? 0 2 2 2 1 若 a ? ?(a ? 1) 即 a ? 则 x ? a 或 x ? 1 ? a 8 分 2 1 综上: a ? 不等式的解集为 { x ? a 或 x ? 1 ? a } 2 1 1 a ? 不等式的解集为{ x ? , x ? R } 2 2 1 a ? 不等式的解集为 { x ? a 或 x ? 1 ? a } 10 分 2
18 解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,则依题意有 q ? 0 且?
4 ? ?1 ? 2d ? q ? 21, 解得 d ? 2 , q ? 2 . 3 分 2 1 ? 4 d ? q ? 13 , ? ?

6分

所以 an ? 1 ? (n ?1)d ? 2n ?1 , bn ? qn?1 ? 2n?1 . 5 分 (Ⅱ)

an 2n ? 1 ? n?1 . bn 2
Sn ? 1 ?

3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? 2 ? ? ? n ?2 ? n ?1 ,① 1 2 2 2 2 5 2n ? 3 2n ? 1 2Sn ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?3 ? n ? 2 ,② 8分 2 2 2 2 2 2 2n ? 1 ②-①得 S n ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 , 10 分 2 2 2 2

1 ? 2n ? 1 ? 1 1 ? 2 ? 2 ? ?1 ? ? 2 ? ? ? n?2 ? ? n?1 2 ? 2 ? 2 2

1 n ?1 2n ? 3 2n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? n ?1 ? 6 ? n ?1 . 12 分 1 2 2 1? 2 1?
19 解:由 2sin(A+B)- 3 =0,得 sin(A+B)= ∵△ABC 为锐角三角形 ∴A+B=120°, C=60°, 4 分
5

3 , 2分 2

又∵a、b 是方程 x -2 3 x+2=0 的两根,∴a+b=2 3 , a·b=2, 6 分 2 2 2 2 ∴c =a +b -2a·bcosC=(a+b) -3ab=12-6=6, 10 分 ∴c= 6 ,

2

S? ABC ?

1 1 3 3 ab sin C = ×2× = 2 2 2 2

12 分

20 解:设{an}首项为 a1,公差为 d ∵ a1 ,a5,a17 成等比数列 ∴ a5 =a1a17
2 2分 2

∴(a1+4d) =a1(a1+16d) ∴ a1=2d 4分
a 5 a n ? 4d ? ?3 a1 a1

设等比数列公比为 q,则 q ?

6分

对 a k n 项来说,在等差数列中: a k n ? a 1 ? (k n ? 1)d ? 在等比数列中: a k n ? a 1q n ?1 ? a1 3n ?1 ∴ k n ? 2 ? 3n ?1 ? 1 8分

kn ?1 a1 2

∴ k1 ? k 2 ? ?k n ? (2 ? 30 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? ? ? (2 ? 3n ?1 ? 1) ? 2(1 ? 3 ? ? ? 3n ?1 ) ? n
? 3n ? n ? 1

∴ k n ? 2 ? 3n ?1 ? 1

10 分

∴ k1 ? k 2 ? ?k n ? (2 ? 30 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? ? ? (2 ? 3n ?1 ? 1) ? 2(1 ? 3 ? ? ? 3n ?1 ) ? n
? 3n ? n ? 1
12 分

21 解:设缉私艇与走私船 原来的位置分别为 A、B,在 C 处两船相遇,由条件知∠ABC=120°, AB=12(海里) ,3 分 设 t 小时后追及,? BC ? 10t , AC ? 14t ,5 分

由正弦定理得

10t 14t 5 3 11 ? ? sin ? ? , cos? ? ; 8 分 sin ? sin 120? 14 14

2 2 再由余弦定理得 100t ? 196t ? 144 ? 2 ? 12 ? 14t cos?

? 12t 2 ? 33t ? 18 ? 0,? t ? 2或t ?
但当 t ?

3 , 4

10 分

3 21 时AC ? ? 12 ? AB ,不合, 4 2

? t ? 2(小时), sin ? ?

5 3 . 14

12 分

6

22 试题解析: (1)因为数列 ?an ? 是等比数列,所以 a1a5 ? a3 ? 4 ,则 a3 ? ?2 或 2 ,
2

2分 因为数列 ?an ? 的公比为负值,所以 a3 ? 2 ,故 q ?

a4 1 ? ? ,4 分 a3 2

则 a1 ?

a3 1 ? 8 ,故 a n ? a1 q n ?1 ? 8(? ) n ?1 2 2 q
1 2
6分

n ?1 即数列 ?an ? 的通项公式为 a n ? 8( ? )

(2)由条件知, bn ?

n ?1 n ?1 n ?1 ? ? ???? ? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) 1 1 1 ? (n ? 1)( ? ? ???? ? ) 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)
1 1 1 1 1 ? ? ? ???? ? ? ) 2 2 3 n n ?1 1 ? (n ? 1)(1 ? )?n 9分 n ?1 ? (n ? 1)(1 ?

n ?1 则 a n ? bn ? 8( ? ) ? n 故 S n ? (a1 ? a2 ? ? ? ? ? ?an ) ? (b1 ? b2 ? ? ? ? ? ?bn )

1 2

?

16 ? 1 ? 1 1 ? (? ) n ? ? n(n ? 1) 。 ? 3 ? 2 ? 2

12 分

7


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