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北京市海淀区2013届高三数学上学期期末考试试题 理 新人教B版

北京市海淀区 2013 届高三第一学期期末考试

数学(理)试题

2013.1

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上

作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题

目要求的一项.

1. 复数 2 化简的结果为 1?i

A.1? i

B. ?1? i

【答案】A

C. 1? i

D. ?1? i

【解析】 2 ? 2(1? i) ? 2(1? i) ? 1? i ,选 A. 1? i (1? i)(1? i) 2

2.已知直线

l

:

? ? ?

x y

? ?

2? ?2

t, ?t



t

为参数)与圆

C

:

?x

? ?

y

? ?

2 cos? 2 sin ?

?

1, (?

为参数),则直线

l

的倾斜角

及圆心 C 的直角坐标分别是

A. π ,(1,0) 4
【答案】C

B. π ,(?1,0) 4

C. 3π ,(1,0) 4

D. 3π ,(?1,0) 4

【解析】直线消去参数得直线方程为 y ? ?x ,所以斜率 k ? ?1,即倾斜角为 3? 。圆的标准 4

方程为 (x ?1)2 ? y2 ? 4 ,圆心坐标为 (1, 0) ,所以选 C.

3.向量 a ? (3,4),b ? (x,2) , 若 a ? b ?| a | ,则实数 x 的值为

A. ?1 【答案】A

B. ? 1 2

C. ? 1

D.1

3

【解析】由 a ? b ?| a | 得 3x ? 4? 2 ? 32 ? 42 ? 5 ,即 3x ?8 ? 5 ,解得 x ? ?1 ,选 A.

4.某程序的框图如图所示, 执行该程序,若输入的 p 为 24 ,则输出

的 n, S 的值分别为

开始

输入 p

n ?1,S ? 0

S? p





S = S + 3n 输出 n ,S

结束
n ? n?1

A. n ? 4, S ? 30

B. n ? 5, S ? 30

C. n ? 4,S ? 45 【答案】B

D. n ? 5, S ? 45

【解析】第一次循环, S ? 24, S ? 3, n ? 2 ;第二次循环, S ? 24, S ? 3 ? 3? 2 ? 9, n ? 3 ;

第三次循环,S ? 24, S ? 9 ? 3?3 ? 18, n ? 4 ;第四次循环,S ? 24, S ? 18 ? 3? 4 ? 30, n ? 5 ;

第五次循环, S ? 30 ? 24, 不满足条件,输出 S ? 30, n ? 5 ,选 B.
5.如图,PC 与圆 O 相切于点 C ,直线 PO 交圆 O 于 A, B 两点,弦 CD 垂直 AB 于 E . 则下面 结论中,错.误.的结论是
C

A. ?BEC ∽ ?DEA

B. ?ACE ? ?ACP

B

OE A

P

D

C. DE2 ? OE ? EP 【答案】D

D. PC2 ? PA? AB

【解析】由切割线定理可知 PC2 ? PA? PB ,所以 D 错误,所以选 D.

6.数列?an? 满足 a1 ? 1, an?1 ? r ? an ? r ( n ? N*, r ? R 且 r ? 0 ),则“ r ? 1”是“数列?an?

成等差数列”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件
【答案】A

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

? ? ? ? 【解析】若 r ? 1,则 an?1 ? an ?1,即 an?1 ? an ? 1 ,所以数列 an 成等差数列。若数列 an

成等差数列,设公差为 d ,则 an?1 ? an ? r ? an ? r ? (r ? an?1 ? r) ? r(an ? an?1) ,即 d ? dr ,

若 d ? 0 ,则 r ? 1,若 d ? 0 ,则 an?1 ? an ? a1 ? 1

,即1? r ? r ? 2r ,此时 r ? 1 。所以 r ? 1 2

是数列?an? 成等差数列的充分不必要条件,选 A.

7. 用数字 0,1,2,3 组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的

个数为 A. 144
【答案】C

B. 120

C. 108

D. 72

【 解 析 】 若 四 位 数 中 不 含 0 , 则 有 C31 C42 A22 ? 3 6 种 ; 若 四 位 数 中 含 有 一 个 0 , 则 有

C31C 31C 32A 21? 54 ;种若四位数中含有两个 0,则有 C32 A32 ? 18 种,所以共有 36 ? 54 ?18 ?108

种,选 C.

8.

椭圆

C

:

x a

2 2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1, F2 ,若椭圆 C 上恰好有

6

个不同的点

P ,使得 ?F1F2P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是

A. (1 , 2) 33
【答案】D

B. (1 ,1) 2

C. (2 ,1) 3

D. (1 , 1) (1 ,1) 32 2

【解析】当点 P 位于椭圆的两个短轴端点时, ?F1F2P 为等腰三角形,此时有 2 个。

, 若 点 不 在 短 轴 的 端 点 时 , 要 使 ?F1F2P 为 等 腰 三 角 形 , 则 有

P F1 ? F1 F2? 2 或c PF2 ? F1F2 ? 2c 。此时 PF2 ? 2a ? 2c 。所以有 PF1 ? F1F2 ? PF2 ,即

2c

?

2c

?

2a

? 2c,所以 3c

?

a

,即

c a

?

1 3

,又当点

P

不在短轴上,所以

PF1

?

BF1

,即

2c

?

a



所以

c

?

1

。所以椭圆的离心率满足

1

?

e

? 1且 e

?

1

(1 , 1) ,即 3 2

(1 ,1) 2 ,所以选 D.

a2

3

2

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9. 以 y ? ?x 为渐近线且经过点 (2, 0) 的双曲线方程为______.

【答案】 x2 ? y2 ? 1 44
【解析】因为双曲线经过点 (2, 0) ,所以双曲线的焦点在 x 轴,且 a ? 2 ,又双曲线的渐近线 为 y ? ?x ,所以双曲线为等轴双曲线,即 b ? a ? 2 ,所以双曲线的方程为 x2 ? y2 ? 1 。
44

10.数列{an} 满足 a1

? 2, 且对任意的 m,n ?N* ,都有

an?m am

?

an ,则 a3

?

_____; {an} 的前 n



和 Sn ? _____.

【答案】 8, 2n?1 ? 2

【解析】由

an?m am

? an 可得

a2 a1

?

a1 ,所以 a2

? a12

? 22

? 4 。所以 a3

?

a1a2

? 2 ?4

? 8。由

an?m am

? an 得 an?m an

?

am

,令

m

?

1,得

an?1 an

? a1

? 2 ,即数列{an} 是公比为

2

的等比数列,所



Sn

?

a1(1? qn ) 1? q

?

2(1? 2n ) 1? 2

?

2n?1

?

2



11. 在 ( 1 ? 3x2 )6 的展开式中,常数项为______.(用数字作答) x

【答案】135

【 解 析 】 展 开 式 的 通 项 公 式 为 Tk?1

?

C6k

(

1 x

)6?k

(3x

2

)k

? C6k xk?6?2k

? 3k

? 3k

? C6k x3k ?6

,由

3k ? 6? 0得 k ? 2 ,所以常数项为T3 ? 32 ? C62 ? 9 ?15 ? 135 。

12. 三棱锥 D ? ABC 及其三视图中的主视图和左视图如图所示,则棱 BD 的长为_________.

【答案】 4 2
【解析】取 AC 的中点,连结 BE,DE 由主视图可知 BE ? AC, BE ? DE . DC ? ABC 且 DC ? 4, BE ? 2 3, AE ? EC ? 2 .所以 BC ? BE2 ? EC2 ? (2 3)2 ? 22 ? 16 ? 4,

即 BD ? BC2 ? DC2 ? 42 ? 42 ? 32 ? 4 2 。

?x ? 0,

13.

点 P(x, y) 在不等式组

? ?

x

?

y

?

3,

表示的平面区域内,若点

P( x,

y)

到直线

y

?

kx

?1的最

?? y ? x ? 1

大距离为 2 2 ,则 k ? ___.
【答案】 ?1 【解析】做出不等式组对应的区域为三角形 BCD,直线 y ? kx ?1过定点 (0, ?1) ,由图象可知

?3 ?1

点 D (0,3) 到直线 kx ? y ?1 ? 0 的距离最大,此时 d ?

?

4

? 2 2 ,解得 k ? ?1。

k2 ?1 k2 ?1

14. 已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为1 ,动点 P 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 表面上运动,

且 PA ? r ( 0 ? r ? 3 ),记点 P 的轨迹的长度为 f (r) ,则 f (1) ? ______________;关于 r 的
2 方程 f (r) ? k 的解的个数可以为________.(填上所有可能的值).

3 π; 0,2,3,4 【答案】 4

【解析】由定义可知当 PA ? 1 ,点 P 的轨迹是半径为 1 的 1 圆周长,此时点 P 分别在三个侧

2

24

面上运动,所以 f (1) ? 3? 1 (2? ? 1) ? 3 ? 。由正方体可知,当 0 ? r ?1,点 P 在三个面上运

2

4

24

动,此时 f (r) 递增,当 1 ? r ? 5 时, f (r) 递减,当 5 ? r ? 2 时, f (r) 递增,当

2

2

2 ? r ? 3 时, f (r) 递减,如草图,所以方程 f (r) ? k 的解的个数可能为 0,2,3,4 个。

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15. (本小题满分 13 分)

已知函数 f (x) ? 3sin x cos x ? cos2 x ? 1 , ?ABC 三个内角 A, B,C 的对边分别

22

22

为 a,b,c .

(I)求 f (x) 的单调递增区间;

(Ⅱ)若 f (B ? C) ? 1, a ? 3,b ? 1 ,求角 C 的大小.

16.(本小题满分 13 分)
汽车租赁公司为了调查 A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各 100 辆汽
车,分别统计了每辆车某个星期内的出租天数,统计数据如下表: A 型车
出租天数 1 2 3 4 5 6 7 车辆数 5 10 30 35 15 3 2
B 型车 出租天数 1 2 3 4 5 6 7 车辆数 14 20 20 16 15 10 5
(I)从出租天数为 3 天的汽车(仅限 A,B 两种车型)中随机抽取一辆,估计这辆汽车恰好是 A 型车的概率; (Ⅱ)根据这个星期的统计数据,估计该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数 恰好为 4 天的概率; (Ⅲ)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同,该公司需要从 A,B 两种车型中购买一 辆,请你根据所学的统计知识,给出建议应该购买哪一种车型,并说明你的理由.

17. (本小题满分 14 分)

如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?BAC ? 90? ,

A1

C1

B1
AB ? AC ? AA1 ? 2, E 是 BC 中点.

(I)求证: A1B / / 平面 AEC1 ;

A

C

E
(II)若棱 AA1 上存在一点 M ,满足 B1M ? C1E ,求 AM 的长; B

(Ⅲ)求平面 AEC1 与平面 ABB1A1 所成锐二面角的余弦值.

18. (本小题满分 13 分)
已知函数 f (x) ? eax . x ?1
(I) 当 a ? 1 时,求曲线 f (x) 在 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f (x) 的单调区间.

19. (本小题满分 14 分)
已知 E ?2, 2? 是抛物线 C : y2 ? 2 px 上一点,经过点 (2,0) 的直线 l 与抛物线 C 交于 A, B 两
点(不同于点 E ),直线 EA, EB 分别交直线 x ? ?2 于点 M , N . (Ⅰ)求抛物线方程及其焦点坐标; (Ⅱ)已知 O 为原点,求证: ?MON 为定值.

20. (本小题满分 13 分)

已知函数 f (x) 的定义域为 (0,??) ,若 y ? f (x) 在 (0,??) 上为增函数,则称 f (x) 为“一 x

阶比增函数”;若 y ?

f (x) 在 (0,??) 上为增函数,则称 x2

f (x) 为“二阶比增函数”.

我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为 ?1 ,所有“二阶比增函数”组成的集合记为 ?2 .

(Ⅰ)已知函数 f (x) ? x3 ? 2hx2 ? hx ,若 f (x) ? ?1, 且 f (x) ? ?2 ,求实数 h 的取值范围;

(Ⅱ)已知 0 ? a ? b ? c , f ( x) ? ?1 且 f (x) 的部分函数值由下表给出,

xa

b

c a?b?c

f (x) d

d

t

4

求证: d (2d ? t ? 4) ? 0 ;

(Ⅲ)定义集合 ? ? ? f (x) | f (x)??2,且存在常数k,使得任取x ?(0,??),f (x) ? k?,
请问:是否存在常数 M ,使得 ?f (x) ? ? ,?x ?(0, ??) ,有 f (x) ? M 成立?若存在, 求出 M 的最小值;若不存在,说明理由.

海淀区高三年级第一学期期末练习

数 学 (理)

参考答案及评分标准

2013.1

说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数.

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)

5[YJY.

题号

1

2

3

4

6

7

8

COM/]

答案

A

C

A

B

D

A

C

D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分,共 30

分)

9. x2 ? y2 ? 4

10. 8; 2n?1 ? 2

11.135

12. 4 2 三、解答

13. ?1

14. 3 π; 0,2,3,4 4

题(本大

题共 6 小题,共 80 分)

15.(本小题满分 13 分)

解:(I)因为 f (x) ? 3sin x cos x ? cos2 x ? 1

22

22

? 3 sin x ? cos x ? 1 ? 1

2

22

? 3 sin x ? 1 cos x

2

2

? sin(x ? π) 6

………………6 分

又 y ? sin x 的单调递增区间为(2kπ ? π , 2kπ ? π), (k ? Z)

2

2

所以令 2kπ ? π ? x ? π ? 2kπ ? π

26

2

解得 2kπ ? 2π ? x ? 2kπ ? π

3

3

所以函数 f ( x) 的单调增区间为 (2kπ ? 2π , 2kπ ? π ) , (k ? Z) ………………8 分

3

3

(Ⅱ) 因为 f (B ? C) ?1, 所以 sin(B ? C ? π ) ? 1, 6

又 B ? C ?(0,π) , B ? C ? π ?( π , 7π) 6 66

所以 B ? C ? π ? π , B ? C ? π ,

62

3





A ? 2π 3

………………10 分

由正弦定理 sin B ? sin A

b

a



a ? 3,b ? 1











sin B ? 1 2
分 又
C? π 6

b ? a,

………………12

B?A , 所 以

B? π 6







………………13 分

16.(本小题满分 13 分) 解:(I)这辆汽车是 A 型车的概率约为

出租天数为3天的A型车辆数 出租天数为3天的A,B型车辆数总和

?

30 30 ? 20

?

0.6

这辆汽车是

A

型车的

0.6



(II)设“事件 Ai 表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为 i 天”,

概率为 ………………3

“事件 B j 表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为 j 天”,其中 i, j ? 1, 2,3,...,7
则该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为

P( A1B3 ? A2B2 ? A3B1) ? P( A1B3) ? P( A2B2 ) ? P( A3B1)

………………5 分

? P( A1)P(B3) ? P( A2 )P(B2 ) ? P( A3)P(B1)

………………7 分

? 5 ? 2 0? 1? 0 ? 2 0 ? 3 0 1 4 100 100 100 100 100
?9 125

100

该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为 9 125
………………9 分

(Ⅲ)设 X 为 A 型车出租的天数,则 X 的分布列为

X

1

2

3

4

5

6

7

P

0.05 0.10 0.30 0.35 0.15 0.03 0.02

设Y 为 B 型车出租的天数,则Y 的分布列为

1

4

5

6 7[Y.COM

Y

2

3

/]

P

0.14 0.20 0.20 0.16 0.15 0.10 0.05

E( X ) ? 1? 0.05 ? 2 ? 0.10 ? 3? 0.30 ? 4 ? 0.35 ? 5? 0.15 ? 6 ? 0.03 ? 7 ? 0.02 =3.62

E(Y ) ? 1? 0.14 ? 2 ? 0.20 ? 3? 0.20 ? 4 ? 0.16 ? 5? 0.15 ? 6 ? 0.10 ? 7 ? 0.05

=3.48

………………12 分

一辆 A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为 3.62 天,B 类车型一个星期出租天数的平

均值为 3.48 天. 从出租天数的数据来看,A 型车出租天数的方差小于 B 型车出租天数的方差,

综合分析,选择 A 类型的出租车更加合理 .

………………13 分

17.(本小题满分 14 分)
(I) 连接 A1C 交 AC1 于点 O ,连接 EO 因为 ACC1 A1 为正方形,所以 O 为 A1C 中点, 又 E 为 CB 中点,所以 EO 为 ?A1BC 的中位线,

所以 EO / / A1B ………………2 分
又 EO ? 平面 AEC1 , A1B ? 平面 AEC1
所以 A1B / / 平面 AEC1 ………………4 分
(Ⅱ)以 A为原点, AB 为 x 轴, AC 为 y 轴, AA1 为 z 轴建立空间直角坐标系
所以 A(0,0,0), A1(0,0,2), B(2,0,0), B1(2,0,2),C(0,2,0),C1(0,2,2), E(1,1,0),

设 M (0,0,m)(0 ? m ? 2) ,所以 B1M ? (?2,0,m ? 2),C1E ? (1, ?1, ?2) ,

因为 B1M ? C1E ,所以 B1M ? C1E ? 0 ,解得 m ?1 ,所以 AM ?1
分 (Ⅲ)因为 AE ? (1,1,0), AC1 ? (0,2,2) ,

………………8

设平面 AEC1 的法向量为 n ? (x, y, z) ,

则有

?? ? ??

AE ? n ? 0 AC1 ? n ? 0

,得

? ? ?

x y

? ?

y z

? ?

0 0





y ? ?1,



x ? 1, z ? 1

,所以可以取

n ? (1, ?1,1) ,

………………10 分

因 为 AC ? 平 面 A B1 1 B , A取 平 面 A B1 1 B 的A 法 向 量 为

AC ? (0,2,0)

………………11 分





c ?A

A?

3

|A

3

………………13 分

o C? C C|

平 面 AEC1 与 平 面 A B1 1B 所A 成 锐 二 面 角 的 余 弦 值 为

3
3 18. (本小题满分 13 分)

………………14 分







a ?1





f ( x) ? eax



x ?1

f

'( x)

?

ex (x ? 2) (x ?1)2

又 f (0) ? ?1, f '(0) ? ?2 ,

………………2 分

所 以 f ( x) 在 (0, f (0)) 处 的 切 线 方 程 为

y ? ?2x ?1

………………4 分

(II)

f

'( x)

?

eax[ax ? (a ? 1)] ( x ? 1)2

当a

? 0 时,

f

'( x )

?

?1 ( x ? 1)2

?

0

又函数的定义域为{x | x ? 1}

所以

f (x) 的 单 调 递 减 区 间 为

(??,1),(1, ??)

………………6 分

当 a ? 0 时,令 f '(x) ? 0 ,即 ax ? (a ?1) ? 0 ,解得 x ? a ? 1 a

当 a ? 0 时, x ? a ? 1 ? 1, a
所以 f ?(x) , f (x) 随 x 的变化情况如下表

………………7

x

(??,1)

1

(1, a ? 1) a ?1 (a ?1, ??)

a

a

a

f '(x)

?

无定义

?

0

?

f (x)

极小值

所以 f (x) 的单调递减区间为 (??,1) , (1, a ? 1) , a
单调递增区间为 ( a ? 1, ??) a

………………10 分

当 a ? 0 时, x ? a ? 1 ? 1 a
所以 f ?(x) , f (x) 随 x 的变化情况如下表:

x

(??, a ? 1) a ?1

a

a

f '(x)

?

0

( a ? 1,1) a

1 (a ?1, ??) a

?

无定义

?

f (x)

极大值

所以 f (x) 的单调递增区间为 (??, a ? 1) , a
单调递减区间为 ( a ? 1,1) , (1, ??) a

………………13 分

19. (本小题满分 14 分)
解:(Ⅰ)将 E ?2, 2? 代入 y2 ? 2 px ,得 p ? 1

所 以 抛 物 线 方 程 为 y2 ? 2x , 焦 点 坐 标 为

( 1 ,0) 2

………………3 分

(Ⅱ)设

A(

y12 2

,

y1)



B(

y22 2

,

y2

)



M

( xM

,

yM

),

N

(

xN

,

yN

)



法一:
因为直线 l 不经过点 E ,所以直线 l 一定有斜率

设直线 l 方程为 y ? k(x ? 2)

? y ? k(x ? 2)

与抛物线方程联立得到

? ?

y

2

?

2x

,消去 x ,得:

ky2 ? 2 y ? 4k ? 0

则由韦达定理得:

y1 y2

?

?4,

y1

?

y2

?

2 k

………………6 分

直线 AE 的方程为: y ? 2 ?

y1 y12

?2 ?2

?

x

?

2?

,即

y

?

2 ?x ? 2? ? 2,
y1 ? 2

2



x ? ?2





yM

?

2 y1 ? 4 y1 ? 2

………………9 分











yN

?

2 y2 ? 4 y2 ? 2

………………10 分



OM

? (?2, ym ),ON

? (?2, ?4 ) , ym

所以 OM

? ON

?

4?

yM

yN

?

4?

2 y1 ? 4 ? y1 ? 2

2 y2 ? 4 y2 ? 2

? 4 ? 4[ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4] [ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4]

4(?4 ? 4 ? 4)

?

4

?

4(?4

?

k 4

?

4)

k

?0 所以 OM ? ON ,即 ?MON 为定值 π
2 法二:
设直线 l 方程为 x ? my ? 2

………………13 分 ………………14 分

与抛物线方程联立得到

? ? ?

x y

? my ? 2 ? 2x

2

,消去

x

,得:

y2 ? 2my ? 4 ? 0
则由韦达定理得:

y1 y2 ? ?4, y1 ? y2 ? 2m

………………6 分

直线 AE 的方程为: y ? 2 ?

y1 y12

?2 ?2

?

x

?

2?

,即

y

?

2 ?x ? 2? ? 2,
y1 ? 2

2



x ? ?2





yM

?

2 y1 ? 4 y1 ? 2

………………9 分











yN

?

2 y2 ? 4 y2 ? 2

………………10 分



OM

? (?2, ym ),ON

? (?2, ?4 ) , ym

OM

? ON

?

4?

yM

yN

?

4?

4( y1 ? 2)( y2 ? 2) ( y1 ? 2)( y2 ? 2)

? 4 ? 4[ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4] [ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4]

? 4 ? 4(?4 ? 2m ? 4) 4(?4 ? 2m ? 4)

?0
………………12 分
所以 OM ? ON ,即 ?MON 为定值 π 2

………………13 分

20. (本小题满分 14 分)
解:(I)因为 f (x) ? ?1, 且 f (x) ? ?2 ,

即 g(x) ? f (x) ? x2 ? 2hx ? h 在 (0, ??) 是增函数,所以 h ? 0 ………………1 分 x

而 h(x) ?

f (x) x2

? x ? h ? 2h 在 (0, ??) 不是增函数,而 h '(x) ? 1 ? x

h x2

当 h(x) 是增函数时,有 h ? 0 ,所以当 h(x) 不是增函数时, h ? 0









h?0

………………4 分

(Ⅱ) 因为 f ( x) ? ?1 ,且 0 ? a ? b ? c ? a ? b ? c

所以 f (a) ? f (a ? b ? c) = 4 , a a?b?c a?b?c

所以 f (a) ? d ? 4a , a?b?c

同理可证 f (b) ? d ? 4b , f (c) ? t ? 4c

a?b?c

a?b?c

三式相加得 f (a) ? f (b) ? f (c) ? 2d ? t ? 4(a ? b ? c) ? 4, a?b?c





2d ? t ? ?

4

………………6 分

因为 d ? d , 所以 d (b ? a ) ? 0,

ab

ab

而 0 ? a ? b , 所以 d ? 0





d( ?

2d ?

………………8 分
(Ⅲ) 因为集合 ? ? ? f (x) | f (x)??2,且存在常数k,使得任取x ?(0,??),f (x) ? k?,
所以 ?f (x) ? ? ,存在常数 k ,使得 f (x) ? k 对 x ?(0, ??) 成立 我们先证明 f (x) ? 0 对 x ?(0, ??) 成立

假设 ?x0 ? (0, ??), 使得 f (x0 ) ? 0 ,



f (x0 ) x02

?m?0

因为 f (x) 是二阶比增函数,即 f (x) 是增函数. x2

所以当 x ? x0 时,

f (x) ? x2

f

(x0 ) x02

?

m

,所以

f (x) ? mx2

所以一定可以找到一个 x1 ? x0 ,使得 f (x1) ? mx12 ? k







f (x) ? k



x ?(0, ??)







………………11 分

f (x) ? 0 对 x ?(0, ??) 成立 所以 ?f (x) ? ? , f (x) ? 0 对 x ?(0,??) 成立 下面我们证明 f (x) ? 0 在 (0,??) 上无解

假设存在 x2 ? 0 ,使得 f (x2 ) ? 0 , 则因为 f (x) 是二阶增函数,即 f (x) 是增函数
x2

一定存在 x3 ? x2 ? 0 ,

f

( x3 ) x32

?

f (x2 ) x22

? 0 ,这与上面证明的结果矛盾

所以 f (x) ? 0 在 (0,??) 上无解

综上,我们得到 ?f (x) ? ? , f (x) ? 0 对 x ?(0,??) 成立

所以存在常数 M ? 0 ,使得 ?f (x) ? ? , ?x ?(0, ??) ,有 f (x) ? M 成立

又令 f (x) ? ? 1 (x ? 0) ,则 f (x) ? 0 对 x ?(0,??) 成立, x

又有

f (x) x2

?

?1 x3



(0,

??)

上是增函数

,所以

f (x)?? ,

而任取常数 k ? 0 ,总可以找到一个 x0 ? 0 ,使得 x ? x0 时,有 f (x) ? k

所以 M 的最小值 为 0

………………13 分


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