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河南省洛阳市2013届高三二练数学(理)试题


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河南省洛阳市 2013 届高三年级二练

数学(理)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟。

第 I 卷(选择题,共

60 分)

注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卷上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上. 3.考试结束,将答题卷交回. 一、选择超:本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
2 2 1.已知 M ={y | y ? 2x}, N ? {( x, y) | x ? y ? 4},则 M ? N 中元素个数为

A. 0 2.i 是虚数单位,则

B. 1

C. 2

D.不确定

i 的模为 i (1 ? i )
B.

A.

1 2

2 2
2

C. 2

D. 2

3.某项测量中,测量结果 X ~ N (1, ? )(? ? 0) ,若 X 在(0, 1 )内取值的概率为 0.4 ,则 X 在(0, 2 )内取值的概率为 A.0.8 B.0.4 4.已知 ( x ? A. 128

C.0.3

D.0.2

1 n ) 的展开式中第五项为常数项,则展开式中各项的二项式系数之和为 x
B. 64 C. 32 D.16

5.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和。若

S5 S ? 3 ,则 9 S3 S6
C. 2 D. 3

A.

3 2

B.

5 3

2 2 6.已知命题 P : ?x ? R, mx ? 1 ? 1, q : ?x ? R, x ? mx ? 1 ? 0, 若 p ? (?q) 为假命题,则实数 m

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的取值范围是 A. ( (??,0) ? (2, ??) C.R B.[0,2] D. ?

7· 已知正数 x,y 满足 ? A. 8 8.已知双曲线

?2 x ? y ? 0, 则 z ? 1og2 x ? 1og2 y ? 1的最大值是 ? x ? 3 y ? 5 ? 0.
B. 4 C. 2 D. 1

x 2 y2 ? ? 1 上一点 P 到 F( 3 ,0)的距离为 6,O 为坐标原点, 4 5

???? 1 ??? ??? ? ? ????? ? OQ ? (OP ? OF ), 则| OQ | ? 2
A. 1 B. 2 C. 2 或 5 D. 1 或 5 9.对任意非零实数 a , b ,若 a *b 的运算原理如图所示, 那么 2 *

?

x

0

sin xdx ?
B.

A.

3 2 2 2

2 3 3 3

C.

D.

10.已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图象关于直线

x?

?
3

对称,且 f (

?

12

) ? 0 ,则 ? 的最小值是

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 动点 P 在正方体 A BCD 一 A 1B1C1D1 的对角线 BD1 上, P 作垂直于平面 BB1 D1D 的直线, 过 与正方体表面交于 M , N 两点,设|BP|= x, △ BMN 的面积是 y , 则函数 y ? f ( x) 的图象 大致为

12.已知正数是 a , b , c 满足: 5c ? 3a ? b ? 4c ? a, c1nb ? a ? c1nc则 nb ?1na 的取值范围是 1
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A. ? ??,1n7?

B. ? ?21n2,1n2?

C. ?1n ,1? 90 分)

? ?

3 ? 5 ?

D. ?1,1n7?

第 Ⅱ卷(非选择题,共

二、坡空题:本题共 4 个小题,每小题 5 分.共 20 分 13.正三角形 A BC 中, D 是边 BC 上的点, AB =3,BD = l ,则 AB · AD =

??? ?

????



14. a > 0 , b > 0 , 2+b2≥1”是“ a + b ≥ ab + l ”成立的 设 则“a 条件. 填“充分不必要” , ( “必要不充分” , “充要” , ' ‘既不充分也不必要” . ) 15.已知等比数列{an}满足 an> 0 , n = l , 2 , 3 , … ,且 a5·a2n-5=22n ( n ≥ 3 ) ,则当 n ≥1) 1 时, 1og2a1 ? 1og2a3 ? ? ? 1og2a2n?1 ? 16.如图,平面四边形 ABCD 中, AB =AD =CD =l , BD= 2 , BD ⊥ CD ,将其沿对角线 BD 拆成四面体 A ‘一 BCD , 使平面 A ' BD⊥平面 BCD ,若四面体 A’一 BCD 顶点在 同一个球面上,则该球的体积为 。 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步赚. 17. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin( x ? (1)若 x ? [0, 。

?

?
2

) ? sin( x ? ) ? 3 cos x ? 1. 3 3

?

] 求 f ( x) 的值域;

(2) △ ABC 中,角 A , B , c 的对边为 a , b ,c,若 f ( B ?

?
2

) ? 1, b ? 1, c ? 3 求 a 的值。

18. (本题满分 12 分) 某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名考生的笔试成绩,分为 5 组制出频率 分布直方图如图所示.

(1)求 a, b , c , d ; (2)该校决定在成绩较好的 3 , 4 , 5 组用分层抽样抽取 6 名学生进行面试,则每组应各抽 多少名学生? (3)在(2)的前提下,已知面试有 4 位考官,被抽到的 6 名学生中有两名被指定甲考官 面试,其余 4 名则随机分配给 3 位考官中的一位对其进行面试,求这 4 名学生分配 到的考官个数 X 的分布列和期望. 19. (本题满分 12 分)
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如图分别为三棱锥 S 一 ABC 的直观图与三视图, 在直观图中 SA = SC , M , N 分别为 AB , SB 的中点. (l)求证 AC⊥SB ; (2)求二面角 M 一 NC 一 B 的余弦值.

20. (本题满分 12 分)

x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别为 A1, A2 ,上、下顶点分别为 B1 , B2, a b
左、右焦点分别为 F1, F2,离心率为 e . (l)若| A 1 B1|= 15 ,设四边形 B1 F1B2 F2 的面积为 S1, ,四边形 A 1 B 1A 2B2 的面积为 S2,且 S1 ?

3 S 2 ,求椭圆 C 的方程; 2

(2)若 F2( 3 , 0) ,设直线 y =kx 与椭圆 C 相交于 P , Q 两点, M , N 分别为线段 P F2, QF2 的中点,坐标原点 O 在以 MN 为直径的圆上,且 范围。 21. (本题满分 12 分) 已知 f ( x) ? 1nx, a 是大于 0 的实数. (1)若 f ( x) ? ax ?

2 3 ,求实数 k 的取值 ?e? 2 2

a ?1 ? 1 ? 2a 在 ?1, ?? ? 上恒成立,求 a 的取值范围; x
2

(2) F (x) ?f (x) ?x 设 a

?x 2

, 若函数 F ( x) 有两个极值点, 证明 F ( x) 的极小值小于一

3 · 2

请考生在第 22 、 23 、 24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答 时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

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22. (本题满分 10 分)选修 4 一 l :几何证明选讲 如图, AB 是圆 O 的直径,以 B 为圆心的圆 B 与圆 O 的一个交点为 P .过点 A 作 直线交圆 O 于点 Q ,交圆 B 干点 M , N . (1)求证: QM= QN ; (2)设圆 O 的半径为 2 ,圆 B 的半径为 1 ,当 AM ?

10 时,求 MN 的长. 3

23. (本题满分 10 分)选修 4 一 4 :极坐标与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 p = 1 ,以极点为原点,极轴为 x 轴的非负半轴建立平面直角

1 ? ?x ? 1? 2 , ? 坐标系,直线 l 的参数方程为 ? ,设曲线 C 经过伸缩变换 (t 为参数) ? y ? 2 ? 3 t. ? ? 2
3x ? ? x ' ? 2 ? 1, ? 得到曲线 C ' ,试判断 l 与 C’的位置关系. ? 3 ? y ' ? y ? 1. ? ? 2
24. (本题满分 10 分)选修 4 一 5 :不等式 若存在实数 x 使 x ? 4x? | a ? 2 | ? | a ? 1|? 0 成立,求实数 a 的取值范围。
2

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