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高中数学竞赛试题附详细答案


高中数学竞赛试题 一选择题(每题 5 分,满分 60 分) 2 1. 如果 a,b,c 都是实数,那么 P∶ac<0,是 q∶关于 x 的方程 ax +bx+c=0 有一个正根和一个 负根的( ) (A)必要而不充分条件 (B)充要条件 (C)充分而不必要条件 (D)既不充分也不必要条件 2. 某种放射性元素,100 年后只剩原来质量的一半,现有这种元素 1 克,3 年后剩下( ) 。 (A) 3 ? 0 .5 克 100 (B)(1-0.5%)3 克 (C)0.925 克 (D) 100 0.125 克 3. 由甲城市到乙城市 t 分钟的电话费由函数 g(t)=1.06×(0.75[t]+1)给出,其中 t>0,[t]表示 大于或等于 t 的最小整数,则从甲城市到乙城市 5.5 分钟的电话费为( ) 。 (A)5.83 元 (B)5.25 元 (C)5.56 元 (D)5.04 元 4. 已知函数 则 A、一定大于零 的值 B、一定小于零 C、等于零 D、正负都有可能 ) (D)第 25 项 >0 , 5. 已知数列 3 , 7 , 11 , 15 ,…则 3 11 是它的( (A)第 23 项 (B)第 24 项 (C)第 19 项 6. 已知等差数列 {an } 的公差不为零, {an } 中的部分项 ak1 , ak2 , ak3 ,?, akn ,? 构成等比数 列,其中 k1 ? 1, k 2 ? 5, k3 ? 17, 则 k1 ? k 2 ? k3 ? ? ? k n 等于( (A) 3 ? n ? 1 n ) (B) 3 ? n ? 1 n (C) 3 ? n ? 1 n (D)都不对 7. 已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ( a 、 b 为常数, a ? 0 , x ? R )在 x ? 值,则函数 y ? f ( ? 4 处取得最小 3? ? x) 是( 4 ) B.偶函数且它的图象关于点 ( A.偶函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称 C.奇函数且它的图象关于点 ( 8. 如果 1 ? tan A ? = 4+ 5 ,那么 cot( ? A )的值等于 1 ? tan A 4 B 4+ 5 C - 3? ,0) 对称 2 3? ,0) 对称 2 D.奇函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称 ( ) A -4- 5 1 4? 5 D 1 4? 5 9. 已知︱ OA ︱ =1 ,︱ OB ︱ = 3 , OA ? OB =0, 点 C 在∠ AOB 内,且∠ AOC=30° ,设 OC =m OA +n OB (m、n∈R),则 m 等于 n 第 1 页 共 5 页 A. 1 3 B.3 C. 3 3 D. 3 10. 等边△ABC 的边长为 0 ,AD 是 BC 边上的高,将△ABD 沿 AD 折起,使之与△ACD 所在 平面成 120 的二面角,这时 A 点到 BC 的距离是 A、 B、 C、3 D、2 11. 抛两个各面上分别标有 1,2,3,4,5,6 的均匀的正方体玩具, “向上的两个数之和为 3”的概率是 A. ( B. ) 1 3 1 6 C. 1 36 D. 1 18 12. 对于直角坐标平面内的任意两点 A(x 1 , y 1 )、 B(x 2 , y 2 ), 定义它们之间的一种 “距离” : ‖ AB‖=︱x 1 -x 2 ︱+︱y 1 -y 2 ︱.给出下列三个命

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