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江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编--导数及其应用

江苏省 13 大市 2013 届高三上学期期末数学试题分类汇编

导数及其应用
1、(南通市 2013 届高三期末)曲线 f ( x) ? 为 ▲ .

f ?(1) x 1 e ? f (0) x ? x 2 在点(1,f(1))处的切线方程 e 2

答案: y ? ex ?

1 . 2


2、 (苏州市 2013 届高三期末) 过坐标原点作函数 y ? ln x 图像的切线, 则切线斜率为 答案:

1 e

3、(泰州市 2013 届高三期末)曲线 y=2lnx 在点(e,2)处的切线与 y 轴交点的坐标为 (0,0) 4、(扬州市 2013 届高三期末)已知函数 f ( x) ? ln x ? 小值 4,则 m ? ▲ .

m ( m ? R )在区间 [1, e] 上取得最 x

? 3e
5、(常州市 2013 届高三期末)第八届中国花博会将于 2013 年 9 月在常州举办,展览园指 挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形 ABCD, ? a , ? b . b 为常数且满足 b ? a . a, BC CD 组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块 AEF 建游客休息区(点 E,F 分别在 线段 AB,AD 上),且该直角三角形 AEF 的周长为( l ? 2b ),如图.设 AE ? x ,△ AEF 的面积为 S . (1)求 S 关于 x 的函数关系式; (2)试确定点 E 的位置,使得直角三角形地 块 AEF 的面积 S 最大,并求出 S 的最大值. 解:(1)设 AF ? y ,则 x ? y ?
S?

x 2 ? y 2 ? l ,整理,得 y ?

l 2 ? 2lx .………3 分 2(l ? x)

1 x(l 2 ? 2lx) , x ? (0, b ? . xy ? 2 4(l ? x)

…………………………………4 分

(2) S ' ?

? l 2 x 2 ? 4lx ? l 2 2l 2? 2 ? ? 2? 2 ? ? ? x? l??? x ? l ? , x ? (0, b ? 2 2 ? ? ? ? 4 2 2 4? x ? l ? ? ?x ? l? ? ? ? ?

?当 b ?

bl ? 2b ? l ? 2? 2 ; l 时, S ' ? 0 , S 在 (0,b ? 递增,故当 x ? b 时, Smax ? 4 ?b ? l ? 2

当b ?

? 2? 2 ? ?2? 2 ? 2? 2 l ? 上, S ' ? 0 , S 递增,在 x ? ? l 时,在 x ? ? 0, ? ? ? 2 l , b ? 上, ? 2 2 ? ? ? ?

S ' ? 0 , S 递减,故当 x ?

2? 2 3?2 2 2 l 时, Smax ? l . 2 4

6、(连云港市 2013 届高三期末)(连云港市 2013 届高三期末)某单位决定对本单位职
工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在 2 万元至 10 万元(包括 2 万元和 10 万元) 的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件:①报销的医疗费用 y(万元)随医疗总费用 x(万元)增加而增加;②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的 50%;③报销的医疗费用不 得超过 8 万元. (1)请你分析该单位能否采用函数模型 y=0.05(x2+4x+8)作为报销方案; (2)若该单位决定采用函数模型 y=x?2lnx+a(a 为常数)作为报销方案,请你确定整数 a 的 值.(参考数据:ln2?0.69,ln10?2.3) 【解】(1)函数 y=0.05(x2+4x+8)在[2,10]上是增函数,满足条件①, ……………2 分 当 x=10 时,y 有最大值 7.4 万元,小于 8 万元,满足条件③. ………………………4 分 29 3 x 但当 x=3 时,y= < ,即 y? 不恒成立,不满足条件②, 20 2 2 故该函数模型不符合该单位报销方案. ………………………6 分 2 x-2 (2)对于函数模型 y=x?2lnx+a,设 f(x)= x?2lnx+a,则 f ? (x)=1? = ?0. x x 所以 f(x)在[2,10]上是增函数,满足条件①, x x 由条件②,得 x?2lnx+a? ,即 a?2lnx? 在 x?[2,10]上恒成立, 2 2 x 2 1 4-x 令 g(x)=2lnx? ,则 g?(x)= - = ,由 g?(x)>0 得 x<4, 2 x 2 2x ?g(x)在(0,4)上增函数,在(4,10)上是减函数. ?a?g(4)=2ln4?2=4ln2?2. ………………10 分 由条件③,得 f(10)=10?2ln10+a?8,解得 a?2ln10?2. ……………………12 分 另一方面,由 x?2lnx+a?x,得 a?2lnx 在 x?[2,10]上恒成立, ?a?2ln2, 综上所述,a 的取值范围为[4ln2?2,2ln2], 所以满足条件的整数 a 的值为 1. ……………14 分 7、 (南京市、盐城市 2013 届高三期末)对于定义在区间 D 上的函数 f ( x) , 若任给 x0 ? D , 均有 f ( x0 ) ? D , 则称函数 f ( x) 在区间 D 上封闭. 试判断 f ( x) ? x ? 1 在区间 [?2,1] 上是否封闭, 并说明理由; 若函数 g ( x) ?

3x ? a 在区间 [3,10] 上封闭, 求实数 a 的取值范围; x ?1

若函数 h( x) ? x 3 ? 3 x 在区间 [a, b](a, b ? Z ) 上封闭, 求 a, b 的值. 解: (1) f ( x) ? x ? 1 在区间 [?2,1] 上单调递增,所以 f ( x) 的值域为[-3,0]………2 分 而[-1,0] ? [?2,1] ,所以 f ( x) 在区间 [?2,1] 上不是封闭的……………… 4 分

(2)因为 g ( x) ?

3x ? a a ?3 , ? 3? x ?1 x ?1

①当 a ? 3 时,函数 g ( x) 的值域为 ?3? ? [3,10] ,适合题意……………5 分 ②当 a ? 3 时,函数 g ( x) 在区间 [3,10] 上单调递减,故它的值域为 [

30 ? a 9 ? a , ], 11 4



[

30 ? a 9 ? a , ] 11 4

? [3,10]

,



? 30 ? a ? 11 ? 3 ? ? ? 9 ? a ? 10 ? 4 ?

,





3 ? a ? 31 , 故

3 ? a ? 31 ……………………7 分
③ 当 a ? 3 时 , 在 区 间 [3,10] 上 有 g ( x) ?

3x ? a a ?3 ? 3? ?3 , 显 然 不 合 题 x ?1 x ?1

意 …………………8 分 综上所述, 实数 a 的取值范围是 3 ? a ? 31 ……………………………9 分 (3)因为 h( x) ? x 3 ? 3 x ,所以 h?( x) ? 3 x 2 ? 3 ? 3( x ? 1)( x ? 1) , 所以 h( x) 在 (??, ?1) 上单调递减,在 (?1,1) 上递增,在 (1, ??) 上递增. ①当 a ? b ? ?1 时, h( x) 在区间 [a, b] 上递增,所以 ?

? h( a ) ? a ,此时无解………10 分 ? h(b) ? b

②当 a ? ?1且 ? 1 ? b ? 1 时,因 h( x) max ? h( ?1) ? 2 ? b ,矛盾,不合题意…………11 分 ③当 a ? ?1且b ? 1 时,因为 h(?1) ? 2, h(1) ? ?2 都在函数的值域内,故 ?

?a ? ?2 , ? b?2

又?

?a ? h(a ) ? a 3 ? 3a ? b ? h(b) ? b ? 3b
3

,解得 ?

??2 ? a ? 0或a ? 2 ?a ? ?2 ,从而 ? ………12 分 ?b?2 ? b ? 2或0 ? b ? 2
?h(b) ? a ? h( a ) ? b
(*),

④当 ?1 ? a ? b ? 1 时, h( x) 在区间 [a, b] 上递减, ?

而 a, b ? Z ,经检验,均不合(*)式……………………………13 分 ⑤当 ?1 ? a ? 1且b ? 1 时,因 h( x) min ? h(1) ? ?2 ? a ,矛盾,不合题意…………14 分 ⑥当 b ? a ? 1 时, h( x) 在区间 [a, b] 上递增,所以 ?

? h( a ) ? a ,此时无解 ……………15 分 ? h(b) ? b

综上所述,所求整数 a, b 的值为 a ? ?2, b ? 2 …………………16 分

8、(南通市 2013 届高三期末)某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方 形薄板,其周长为 4 米,这种薄板须沿其对角线折叠后使用.如图所示, 沿 当△ADP ABCD( AB ? AD) 为长方形薄板, AC 折叠后,AB? 交 DC 于点 P. 的面积最大时最节能,凹多边形 ACB?PD 的面积最大时制冷效果最好. (1)设 AB=x 米,用 x 表示图中 DP 的长度,并写出 x 的取值范围; (2)若要求最节能,应怎样设计薄板的长和宽? (3)若要求制冷效果最好,应怎样设计薄板的长和宽? 解:(1)由题意, AB ? x , BC ? 2 ? x .因 x ? 2 ? x ,故 1 ? x ? 2 . 设 DP ? y ,则 PC ? x ? y . 因△ ADP ≌△ CB?P ,故 PA ? PC ? x ? y . 由
PA2 ? AD 2 ? DP2 ,得

B?
D P C

A
(第 17 题)

B

…………2 分

( x ? y )2 ? (2 ? x )2 ? y 2 ? y ? 2(1 ? 1 ) ,1 ? x ? 2 .……5 分 x

(2)记△ ADP 的面积为 S1 ,则
S1 ? (1 ? 1 )(2 ? x) x

………………………………………………………………6 分

? 3 ? (x ? 2) ? 2 ? 2 2 , x

当且仅当 x ? 2 ∈(1,2)时,S1 取得最大值.……………………………………8 分 故当薄板长为 2 米,宽为 2 ? 2 米时,节能效果最好. (3)记△ ADP 的面积为 S2 ,则
S2 ? 1 x(2 ? x) ? (1 ? 1 )(2 ? x) ? 3 ? 1 ( x 2 ? 4 ) , 1 ? x ? 2 .…………………………10 分 2 x 2 x
3 于是, S2? ? ? 1 (2 x ? 42 ) ? ? x 2? 2 ? 0 ? x ? 3 2 .……………………………11 分 2 x x

……………………9 分

关于 x 的函数 S2 在 (1, 3 2) 上递增,在 ( 3 2, 2) 上递减. 所以当 x ? 3 2 时, S2 取得最大值. …………………………13 分 ………………………14 分

故当薄板长为 3 2 米,宽为 2 ? 3 2 米时,制冷效果最好.

9、(徐州、淮安、宿迁市 2013 届高三期末)已知函数 f ( x) ? a x ? x 2 ? x ln a(a ? 0, a ? 1). (1) 求函数 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2) 求函数 f ( x ) 单调区间; (3) 若存在 x1 , x 2 ? [?1,1] , 使得 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? e ? 1(e 是自然对数的底数) 求实数 a , 的取值范围.

⑴因为函数 f ( x) ? a x + x2 ? x ln a(a ? 0, a ? 1) , 所以 f ?( x) ? a x ln a + 2x ? ln a , f ?(0) ? 0 ,…………………………………………2 分 又因为 f (0) ? 1 ,所以函数 f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 1 . …………4 分 ⑵由⑴, f ?( x) ? a x ln a + 2 x ? ln a ? 2 x + ( a x ?1)ln a . 因为当 a ? 0, a ? 1 时,总有 f ?( x) 在 R 上是增函数, ………………………………8 分 又 f ?(0) ? 0 ,所以不等式 f ?( x) ? 0 的解集为 (0, +?) , 故函数 f ( x) 的单调增区间为 (0, +?) .………………………………………………10 分 ⑶因为存在 x1 , x2 ?[?1,1] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥ e ? 1 成立, 而当 x ? [?1,1] 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ f ( x)max ? f ( x)min , 所以只要 f ( x)max ? f ( x)min ≥ e ? 1即可.……………………………………………12 分 又因为 x , f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表所示:

x
f ?( x)
f ( x)

(??,0)

0 0

(0, +?)

?
减函数

+
增函数

极小值

] 所以 f ( x) 在 [?1,0] 上是减函数,在 [0,1 上是增函数,所以当 x ? [?1,1] 时, f ? x ? 的最小
值 f ? x ?min ? f ? 0? ? 1, f ? x ? 的最大值 f ? x ?max 为 f ? ?1? 和 f ?1? 中的最大值.

1 ? 2ln a , a 1 1 2 1 令 g (a) ? a ? ? 2ln a(a ? 0) ,因为 g ?(a) ? 1 + 2 ? ? (1 ? )2 ? 0 , a a a a 1 所以 g (a) ? a ? ? 2ln a 在 a ? ? 0, ?? ? 上是增函数. a
因为 f (1) ? f (?1) ? (a + 1 ? ln a) ? ( + 1 + ln a) ? a ? 而 g (1) ? 0 ,故当 a ? 1 时, g ? a ? ? 0 ,即 f (1) ? f (?1) ; 当 0 ? a ? 1 时, g ? a ? ? 0 ,即 f (1) ? f (?1) .………………………………………14 分

1 a

n e 1 所以,当 a ? 1 时, f (1) ? f (0) ≥ e ? 1 , a ? l a ≥ ? ,函数 y ? a ? ln a 在 a ? (1, ??) 即
上是增函数,解得 a ≥ e ;当 0 ? a ? 1 时, f (?1) ? f (0) ≥e ?1 ,即

1 ? ln a ≥e ?1 ,函 a

1 1 ? ln a 在 a ? (0,1) 上是减函数,解得 0 ? a ≤ . a e 1 综上可知,所求 a 的取值范围为 a? (0, ] ? [e, +?) .………………………………16 分 e
数y? 10、(泰州市 2013 届高三期末)已知函数 f(x)=(x-a) ( x ? b) ,a,b 为常数,
2

(1)若 a ? b ,求证:函数 f(x)存在极大值和极小值 (2)设(1)中 f(x) 取得极大值、极小值时自变量的分别为 x1 , x2 ,令点 A ( x1 , f ( x1 ) ),B

1 ( x2 , f ( x2 ) ),如果直线 AB 的斜率为 ? ,求函数 f(x)和 f / ( x) 的公共递减区间的长度 2
(3)若 f ( x) ? mf ( x) 对于一切 x ? R 恒成立,求实数 m,a,b 满足的条件
/

解:(1) f ( x) ? ( x ? b)?3 x ? (2a ? b)? …………………………………………………1 分
/

? a ? b ?b ?

2a ? b 2a ? b ? f , ( x) ? 0 有两不等 b 和 3 3

? f(x)存在极大值和极小值 ……………………………….……………………………4 分
(2)① a=b,f(x)不存在减区间 若 ② a>b 时由(1)知 x1=b,x2= 若

2a ? b 3

? 2a ? b 2(a ? b) 2 ? A(b,0)B ? ? 3 ,? 9 ?

? ? ? ?

2(a ? b) 2 1 9 ? ? ? ? 2(a ? b) 2 ? 3(a ? b) 2a ? b 2 ?b 3
3 ○当 a<b 时

?a ? b ?

3 2

2a ? b ,x2=b。 3 3 同理可得 a-b= (舍) 2 3 综上 a-b= ………………………………………………..………………………….7 分 2 2a ? b 1 ) 即(b,b+1), f , (x)减区间为 (??, b ? ) ? f (x) 的减区间为 (b, 3 2 1 1 ∴ 公共减区间为(b,b+ )长度为 …………………………….……………………10 分 2 2
x1= (3) f ( x) ? mxf ( x)
/

? ( x ? a )( x ? b) 2 ? m ? x( x ? b)?3 x ? (2a ? b)? ? ( x ? b) (1 ? 3m) x 2 ? ?m(2a ? b) ? (a ? b)?x ? ab ? 0
若m ?

?

?

1 ,则左边是一个一次因式,乘以一个恒正(或恒负)的二次三项式,或者是三个 3

一次因式的积,无论哪种情况,总有一个一次因式的指数是奇次的,这个因式的零点左右的 符号不同,因此不可能恒非负。

?m ?

1 …………………………………………………………………………………12 分 3

? ( x ? b)?(a ? 2b) x ? 3ab? ? 0
若 a+2b=0, a ? ?2b ,? a ? b =0, 若 a ? 2b ? 0 则 x1 ? b , x 2 ?

3ab a ? 2b

? a ? 2 b ?0 ? ? 3ab ? b? a ?2b
① b=0 ② ?0 b 则 a<0,

3a ? 1 ? a ? b 且 b<0 a ? 2b 1 a ? b ? 0 ………………………………………………………………..16 分 综上 ? m ? 3

11、(无锡市 2013 届高三期末)已知函数 f(x)=ax2+1,g(x)=x3+bx,其中 a>0,b>0. (Ⅰ )若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点 P(2,c)处有相同的切线(P 为 切点), 求 a,b 的值; (Ⅱ )令 h(x)=f(x)+g(x),若函数 h(x)的单调递减区间为[ ? (1)函数 h(x)在区间(一∞,-1]上的最大值 M(a); (2)若|h(x)|≤3,在 x∈ [-2,0]上恒成立,求 a 的取值范围。

a b ,? ],求: 2 3

12、扬州市 2013 届高三期末) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ax 3 ? bx( x ? R)图象上相异两点 A, B ( 处的切线分别为 l1 , l2 , 且 l1 ∥ l2 . (1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性;并判断 A, B 是否关于原点对称;

(2)若直线 l1 , l2 都与 AB 垂直,求实数 b 的取值范围. 解:(1)? f ?? x ? ? a?? x ? ? b?? x ? ? ? ax 3 ? bx ? ? f ?x ? ,……2 分
3

?

?

? f ?x ? 为奇函数.……3 分
设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? 且 x1 ? x2 ,又 f ??x ? ? 3ax 2 ? b ,……5 分

? f ?x ? 在两个相异点 A, B 处的切线分别为 l1 , l2 ,且 l1 ∥ l2 ,
2 2 ? k1 ? f ? ? x1 ? ? 3ax1 ? b ? k2 ? f ? ? x2 ? ? 3ax2 ? b ? a ? 0 ? ,

? x1 ? x2 又 x1 ? x2 ,? x1 ? ? x2 ,……6 分
2 2

又? f ( x ) 为奇函数,

?点 A, B 关于原点对称.……7 分
(2)由(1)知 A?x1 , y1 ?, B?? x1 ,? y1 ? ,

? k AB ?

y1 2 ? ax1 ? b ,……8 分 x1

2 又 f ?x ? 在 A 处的切线的斜率 k ? f ??x1 ? ? 3ax1 ? b , ? 直线 l1 , l2 都与 AB 垂直,

? k AB ? k ? ?1,
2

?ax

2 1

? b ? 3ax12 ? b ? ?1 ,……9 分

??

?

令 t ? ax1 ? 0 ,即方程 3t 2 ? 4bt ? b 2 ? 1 ? 0 有非负实根,……10 分

? ? ? 0 ? b 2 ? 3 ,又 t1t2 ?

b2 ? 1 4b ?0 , ? ? 0 ? b ? 0 .综上 b ? 3 .……14 分 3 3


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