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【名校精品解析系列】3月份名校试题解析分类汇编第三期 B单元 函数与导数


B 单元 函数与导数

目录
B1 函数及其表示 ............................................................................................................................ 1 B2 反函数 ........................................................................................................................................ 3 B3 函数的单调性与最值 ................................................................................................................ 4 B4 函数的奇偶性与周期性 .......................................................................................................... 12 B5 二次函数 .................................................................................................................................. 18 B6 指数与指数函数 ...................................................................................................................... 22 B7 对数与对数函数 ...................................................................................................................... 24 B8 幂函数与函数的图象 .............................................................................................................. 25 B9 函数与方程 .............................................................................................................................. 29 B10 函数模型及其运算 ................................................................................................................ 37 B11 导数及其运算 ........................................................................................................................ 41 B12 导数的应用 ............................................................................................................................ 45 B13 定积分与微积分基本定理 .................................................................................................... 77 B14 单元综合 ................................................................................................................................ 79

B1 函数及其表示
【数学理卷· 2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考 (201412) 】 11. 函 数 f ( x) ?

1 的定义域为_____▲ ____. log2 ( x ? 2)
? ? x-2 ? 0 , ? ?log 2 ? x ? 2 ? ? 0

【知识点】函数的定义域 B1 【答案】 【解析】{x▏x>2 且 x≠3} 解析:由题意得 ?

解得 x>2 且 x≠3.所以函数的定义域为{x▏x>2 且 x≠3}. 【思路点拨】求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量构成的集合.

【数学理卷· 2015 届云南省部分名校高三 12 月统一考试( 201412 ) 】 13 .设 f ( x) ?

?| x ? 1 |? 2 ,x| ? | 1, 1 ? ,则 f [ f ( ) ] = ? 1 2 , x| ? | 1 ? 2 ?1 ? x
【知识点】函数及其表示 B1 【答案】



4 13 1 3 3 4 )=- ,f(- )= 2 2 2 13

【解析】由 f(

【思路点拨】根据范围确定哪段,再求结果。

【数学文卷· 2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试( 201411 ) word 版】 2. 函数

f ? x ? ? 2 x ? 1 ? lg?1 ? x ? 的定义域为(
A. ? ,1?

) C. ? ,?? ?

?1 ? ?2 ?

B. ? , 1?

?1 ? ?2 ?

?1 ?2

? ?

? ?? D. ?1,

【知识点】函数的定义域. B1

1 ? ?2 x ? 1 ? 0 ? x ? ?1 ? ?? 【答案】 【解析】A 解析:由 ? 2 得 x∈ ? ,1? ,故选 A. ?2 ? ?1 ? x ? 0 ? ?x ? 1
【思路点拨】根据函数定义域的意义得关于 x 的不等式组,解得 x 范围.

【数学文卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】11、已知定义在 R 上的 函 数

f ( x) , 满 足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) , 若 f ( 2?)?

l g f ( 23? ,)

l则 g 5

f (2014) ? f (2015) ?
【知识点】抽象函数及其应用;函数的值.B1 B10 【答案】 【解析】-1 解析:∵f(x+2)=﹣f(x) , ∴f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x) , ∴f(x)是周期为 4 的周期函数,又 f(2)=﹣lg2,f(3)=lg5 ∴f(2014)=f(503×4+2)=f(2)=﹣lg2,f(2015)=f(503×4+3)=f(3)=lg5, f(2014)﹣f(2015)=﹣lg2﹣lg5=﹣1. 故答案为:﹣1. 【思路点拨】直接利用已知条件求出函数的周期,然后化简所求的表达式即可.

【 数 学 文 卷 · 2015 届 湖 南 省 衡 阳 市 五 校 高 三 11 月 联 考 ( 201411 ) 】1、函数

f ( x) ? lg( x ?1) ? 3 ? x 的定义域是(
A. (1,3) B. [1,3]

) C. (1,3] D. [1,3)

【知识点】函数的定义域的求法.B1 【答案】【解析】C 故选C. 【思路点拨】若使原函数有意义,则须满足 ? 解析:若使原函数有意义,则须满足 ?

? x ?1 ? 0 ,解得: 1 ? x ? 3 , ?3 ? x ? 0

? x ?1 ? 0 ,解之即可。 ?3 ? x ? 0

【数学文卷·2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考(201412) 】11. 函数 f ( x) ?

1 的定义域为 log2 ( x ? 2)





【知识点】函数的定义域 B1 【答案】 【解析】{x▏x>2 且 x≠3} 解析:由题意得 ?

? ? x-2 ? 0 , ? ?log 2 ? x ? 2 ? ? 0

解得 x>2 且 x≠3.所以函数的定义域为{x▏x>2 且 x≠3}. 【思路点拨】求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量构成的集合.

B2 反函数
【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】2.已知 A, B 是非空集 合,命题甲: A

B ? B ,命题乙: A ? ? B ,那么

【 】

A.甲是乙的充分不必要条件 C.甲是乙的充要条件 【知识点】充要条件 B2 【答案】 【解析】 B 解析: ∵命题甲:A

B. 甲是乙的必要不充分条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件

B?B, 命题乙:A ? ? B ,A

B?B?

A?B,

A? ? B ? A B ? B .∴甲是乙的必要不充分条件.故选B.

【思路点拨】命题甲: A

B ? B ,命题乙: A ? ?B , A

B?B?

A?B,

A? ?B ?

A

B ? B .由此能求出结果.

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】2.已知 A, B 是非空集 合,命题甲: A

B ? B ,命题乙: A ? ? B ,那么

【 】

A.甲是乙的充分不必要条件 C.甲是乙的充要条件 【知识点】充要条件 B2 【答案】 【解析】 B 解析: ∵命题甲:A

B. 甲是乙的必要不充分条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件

B?B, 命题乙:A ? ? B ,A

B?B?

A?B,

A? ? B ? A B ? B .∴甲是乙的必要不充分条件.故选B.
【思路点拨】命题甲: A

B ? B ,命题乙: A ? ?B , A

B?B?

A?B,

A? ?B ?

A

B ? B .由此能求出结果.

2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 【数学文卷· 】 2、命题“存在 x0 ? R , 使得 2 x 0 ? 0 ”的否定是( ) B.存在 x0 ? R ,使得 2 x 0 ? 0 D.对任意 x ? R ,使得 2 x ? 0

A.不存在 x0 ? R ,使得 2 x 0 ? 0 C.对任意 x ? R ,都有 2 x ? 0 【知识点】特称命题;命题的否定.B2 【答案】 【解析】D 得2
x0

解析:因为特称命题的否定是全称命题,所以命题“存在

x0 ? R ,使

? 0 ”的否定是:对任意 x ? R ,使得 2 x ? 0 .故选 D.

【思路点拨】特称命题的否定是全称命题,即可得到命题的否定.

B3 函数的单调性与最值
【数学理卷·2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试( 201411)word 版】7.函数

y ? f ( x) 在[0,2]上单调递增,且函数 f ( x ? 2) 是偶函数,则下列结论成立的是(



A.f(1)<f( )<f( ) C.f( )<f( )<f(1) 【知识点】函数的单调性与奇偶性.

B.f( )<f(1)<f( ) D.f( )<f(1)<f( ) B3 B4

【答案】 【解析】B 解析:因为函数 f ( x ? 2) 是偶函数,所以函数 y ? f ( x) 关于直线 x=2 对称,所以 f ?

?5? ?3? ?7? ?1? ? ? f ? ? , f ? ? ? f ? ? ,又因为函数 y ? f ( x) 在[0,2]上单调递增, ?2? ?2? ?2? ?2? ?3? ?2?

所以 f ? ? ? f ?1? ? f ? ? ,所以( )<f(1)<f( ) ,故选 D. 【思路点拨】 由 f ( x ? 2) 是偶函数得函数的对称性, 根据对称性, 把被比较大小的函数值, 变换到自变量值在函数 f(x)的同一单调区间上即可.

?1? ?2?

【数学理卷· 2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考 (201412) 】 22( .本 题满分 14 分)给定函数 f ( x ) 和常数 a , b ,若 f (2 x) ?af (x) ? b 恒成立,则称 ( a, b) 为函数 ;若 f (2 x) ? af ( x) ? b 恒成立,则称 ( a, b) 为函数 f ( x ) 的一个“类 f ( x) 的一个“好数对” 好数对” .已知函数 f ( x ) 的定义域为 [1, ??) . (Ⅰ)若 (1,1) 是函数 f ( x ) 的一个“好数对” ,且 f (1) ? 3 ,求 f (16) ; (Ⅱ) 若 (2, 0) 是函数 f ( x ) 的一个 “好数对” , 且当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? 2 x ? x 2 , 求证: 函数 y ? f ( x) ? x 在区间 (1, ??) 上无零点; (Ⅲ)若 (2, ? , f (1) ? 3 ,且函数 f ( x ) 单调递增,比较 2) 是函数 f ( x) 的一个“类好数对”

f ( x) 与

x ? 2 的大小,并说明理由. 2

【知识点】函数的单调性 函数与方程 不等式的证明 B9 B3 E7 【答案】 【解析】 (Ⅰ)7; (Ⅱ)略; (Ⅲ) f ? x ? ?

x ?2 2
n n?1

【解析】 (Ⅰ)由题意, f (2 x) ? f ( x) ? 1 ,且 f (1) ? 3 ,则 f (2 ) ? f (2

) ?1

n 则数列 f (2 ) 成等差数列,公差为 d ? 1 ,首项 f (1) ? 3 ,于是 f (16) ? 7

?

?

(Ⅱ)当 2n ? x ? 2n ?1 时, 1 ?

x ? 2 ,则由题意得 2n

x x f ( x) ? 2 f ( ) ? 22 f ( 2 )= 2 2
由 f ( x) ? x ? 0 得, 2
n?1

=2n f (

x 2x x ) ? 2n n ? ( n ) 2 ? 2n?1 x ? x 2 n 2 2 2

x ? x2 ? x ,解得 x ? 0 或 x ? 2n 均不符合条件

即当 2n ? x ? 2n ?1 时,函数 y ? f ( x) ? x 在区间 (1, ??) 上无零点; 注意到 (1, ??) ? (1, 2]

(2, 22 ]

(2n , 2n?1 ]

故函数 y ? f ( x) ? x 在区间 (1, ??) 上无零点;
n n ?1 ? 2 ,即 (Ⅲ)由题意得 f ? 2x ? ? 2 f ? x ? ? 2 ,则 f 2 ? 2 f 2

? ?

?

?

n ?1 ? f ? 2n ? ? 2 ? 2 ? ? f ? 2 ? ? 2? ,得 n ?1 2 n?2 ? ? ? f ? 2n ? ? 2 ? 2 ? ? f ? 2 ? ? 2? ? 2 ? f ? 2 ? ? 2? ? 0 n ? ? 2n ? ? f ? 2 ? ? 2? ? 2 ,即

f ? 2n ? ? 2n ? 2 ,而对任意 x>1,必存在 n ? N * ,使得 2n ?1 ? x ? 2n ,由 f(x)单调递增得

f ? 2n ?1 ? ? f ? x ? ? f ? 2n ? ,则 f ? x ? ? f 2n ?1 ? 2n ?1 ? 2 ?

?

?

2n x ? 2 ? ? 2 ,所以 2 2

f ? x? ?

x ?2. 2

【思路点拨】对于新定义函数,理解其含义是解题的关键,再多步问答问题中,解下一问时 注意上一问的结论或过程的应用.

【数学理卷· 2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考 (201412) 】 20. 本 题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2x x ? a ,其中 a ? R .
2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若不等式 4 ? f ( x) ? 16 在 x ? [1, 2] 上恒成立,求 a 的取值范围. 【知识点】函数的单调性 函数的最值 B3 【答案】 【解析】 (Ⅰ)当 a ? 0 时,在 R 上递增 ,当 a ? 0 时,在 ( ??, a ) 和 ( , ??) 上递 增,在在 (a, ) 上递减(Ⅱ) ?1 ? a ? ?

a 3

a 3

1 5 或 ?a?5. 2 2

? ?( x ? a)2 ? a 2 ? 解析: (Ⅰ) f ( x) ? ? a 2 a2 3( x ? ) ? ? 3 3 ?

( x ? a) ( x ? a)

当 a ? 0 时, f ( x ) 在 ( ??, a ) 和 ( a, ??) 上均递增,∵ f (a) ? a2 ,则 f ( x ) 在 R 上递增 当 a ? 0 时, f ( x ) 在 ( ??, a ) 和 ( , ??) 上递增,在在 (a, ) 上递减 (Ⅱ)由题意只需 f min ( x) ? 4, f max ( x) ? 16 首先,由(Ⅰ)可知, f ( x ) 在 x ? [1, 2] 上恒递增 则 fmin ( x) ? f (1) ? 1 ? 2 1 ? a ? 4 ,解得 a ? ? 其次,当 a ?

a 3

a 3

1 5 或a ? 2 2

5 5 时, f ( x ) 在 R 上递增,故 f max ( x) ? f (2) ? 4a ? 4 ? 16 ,解得 ? a ? 5 2 2 1 1 当 a ? ? 时, f ( x ) 在 [1, 2] 上递增, 故 f max ( x) ? f (2) ? 12 ? 4a ? 16 , 解得 ?1 ? a ? ? 2 2 1 5 综上: ?1 ? a ? ? 或 ? a ? 5 . 2 2
【思路点拨】 一般遇到由不等式恒成立求参数范围问题, 通常转化为函数的最值问题进行解 答.

【数学理卷· 2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考 (201412) 】 16. 设 向量 a ? (? ? 2, ? 2 ? 3 cos 2? ) , b = (m,

a ? 2b ,则

?
m

m ? sin ? cos ? ) ,其中 ? , m, ? 为实数.若 2

的取值范围为_____▲ ____.

【知识点】三角函数的性质 向量相等 函数的单调性 F1 C3 B3 【答案】 【解析】[-6,1] 解析:由 a ? 2b 得 ?

? ?? ? 2 ? 2 m ,得 2 ? ? 3 cos 2 ? ? m ? sin 2 ? ? ?

?2 ?
t?

??2
2

3 ?? ? ? 2sin ? 2? ? ? ? ? ?2, 2? ,解得 ? ? ? ? 2 ,则 2 3? ?

?
m

?

3 2? 4 ,t ' ? ? 0 ,所以函数在区间上单调递增,当 x ? ? 时得最小 2 2 ??2 ? ? ? 2?

值为-6,当 x=2 时得最大值为 1,所以所求的范围是[-6,1]. 【思路点拨】利用向量相等等到变量之间的关系,再利用三角函数的性质求出λ 的范围,再 利用导数判断单调性,利用单调性求函数的值域.

【 数 学 理 卷· 2015 届 河北 省 唐 山 一中 高 三 上学期 期 中 考 试( 201411 ) 】 7 . 对 于 函数

?? ? f ? x ? ? x3 cos3 ? x ? ? ,下列说法正确的是 6? ?
A. f ? x ? 是奇函数且在( ?





π π , )上递减 6 6 π 6

B. f ? x ? 是奇函数且在( ?

π π , )上递增 6 6 π 6

C. f ? x ? 是偶函数且在( 0, )上递减 【知识点】函数的奇偶性以及单调性 B3 B4

D. f ? x ? 是偶函数且在( 0, )上递增

【答案】 【解析】C解析: f ? x ? ? x cos ? 3x ?
3
3

? ?

??

3 ? ? ? x sin 3x , 2?

f ? ? x ? ? ? ? ? x ? sin ? ?3 x ? ? ? x 3 sin 3 x ? f ? x ? ,所以为偶函数,排除A,B,因为

? ?? ? ?? f ' ? x ? ? ?3x2 ?sin3x ? x cos3x ? ,当 ? 0, ? 时, f ' ? x ? ? 0 ,所以在区间 ? 0, ? 上递减 ? 6? ? 6?
,故选择C. 【 思 路 点 拨 】 根 据 函 数 f ? x ? ? f ? ?x ? 可 得 函 数 为 偶 函 数 , 函 数 求 导 可 得

? ?? f ' ? x ? ? ?3x2 ?sin3x ? x cos3x ? , ,当 ? 0, ? 时, f ' ? x ? ? 0 即可得到. ? 6?

【数学文卷· 2015 届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试 (201411) 】 22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? a ln x ? bx (a, b ? R ) ,曲线 y ? f ? x ? 在点

?1, f ?1? ? 处的切线方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 .
(1)求 f ( x) 的解析式;

k ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围; x (3)设 n 是正整数,用 n! 表示前 n 个正整数的积,即 n!? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n .
(2)当 x ? 1 时, f ? x ? ? 求证: n!? e
n ( n ?1) 4



【知识点】导数的应用,函数的单调性 B12 B3 【答案】 【解析】(1) f ? x ? ? ln x ?

x 1 (2) (??, ] (3)略 2 2
∴ f ?? x? ?

解析: (1)∵ f ? x ? ? a ln x ? bx ,

a ?b. x

∵直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的斜率为

1 1 ,且曲线 y ? f ? x ? 过点 (1, ? ) , 2 2

1 1 ? ? f ?1? ? ? , ?b ? ? , ? ? 2 即? 2 解得 a ? 1, b ? ? 1 . ∴? ? 2 ? f ? ?1? ? 1 , ?a ? b ? 1 , ? ? ? 2 ? 2
所以 f ? x ? ? ln x ?

x 2

????4 分

(2)由(1)得当 x ? 1 时, f ? x ? ?

k x k ? 0 恒成立即 ln x ? ? ? 0 , x 2 x

等价于 k ?

x2 ? x ln x . 2

令 g ? x? ?

x2 ? x ln x ,则 g ? ? x ? ? x ? ? ln x ? 1? ? x ? 1 ? ln x . 2

令 h ? x ? ? x ? 1 ? ln x ,则 h? ? x ? ? 1 ?

1 x ?1 ? . x x

当 x ? 1 时, h? ? x ? ? 0 ,函数 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,故 h ? x ? ? h ?1? ? 0 .

从而,当 x ? 1 时, g ? ? x ? ? 0 ,即函数 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增, 故 g ? x ? ? g ?1? ?

1 . 2

因此,当 x ? 1 时, k ?

1 x2 ? x ln x 恒成立,则 k ? . 2 2
1 2
???11 分

∴ k 的取值范围是 (??, ] . (3)由(2)知,当 x ? 1 时, f ? x ? ? 0 ( k ? 0 时) , 又 x ? 1 时 f ? x ? ? 0 也成立,所以当 x ? 1 时, ln x ? 于是 ln 1 ?

1 2 3 , ln 2 ? , ln 3 ? , 2 2 2

x , 2 n , ln n ? 2

把以上各式左右分别相加得 ln(1? 2 ? 3 即 ln n ! ?

n) ?
.

1? 2 ? 3 ? 2

?n

n(n ? 1) ,所以 n ! ? e 4

n (n ?1) 4

???14 分

【思路点拨】 (1)先求出函数 f(x)的导函数,根据在 x=1 处的导数等于切线的斜率建立 等量关系,以及切点在曲线上建立等式关系,解之即可. (2)由题意可得 k ?

x2 x2 ? x ln x ,令 g(x)= ? x ln x ,则利用导数判断函数的单调性, 2 2

求出函数 g(x)的最小值即可; (3)由(2)知,当 x>1 时,f(x)<0(k=0) ,又 x=1 时 f(x)<0 也成立,所以当 x≥1 时, ln x ?

x 1 2 3 ,于是 ln 1 ? , ln 2 ? , ln 3 ? , 2 2 2 2

, ln n ?

n ,上述各式相加 2

即可得出结论.

【数学文卷·2015 届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试 (201411) 】18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 3 cos 2 x ? 3 ? a . (1)求函数 f ( x) 的单调递减区间; (2)设 x ? [0, ]时f ( x) 的最小值是 ?2 ,求 f ( x) 的最大值.

?

2

【知识点】函数单调性,三角函数化一公式 B3 C5 5? 11? 【答案】 【解析】(1) [k? ? , k? ? ](k ? Z ) (2) 3 12 12 解析: (1) f ( x) ? sin 2 x ? 3(1 ? cos 2 x) ? 3 ? a

P

E

? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? a

A

D C

? 2sin(2 x ? ) ? a , 3
令 2k? ?

?

B

3? 5? 11? ,得 k? ? ? x ? k? ? ,k ?Z , 2 3 2 12 12 5? 11? ??6 分 ? f ( x) 的单调递减区间 [k? ? , k? ? ](k ? Z ) 12 12 ? 2x ? ? 2 k? ?

?

?

(2) 0 ? x ?

?
2

,??

?
3

? 2x ?

?
3

?

3 ? 2? ? sin(2 x ? ) ? 1 ,? 2 3 3

? f ( x) min ? ? 3 ? a ; f ( x) max ? 2 ? a ,令 ? 3 ? a ? ?2, 得a ? 3 ? 2,
所以

f ( x) max ? 2 ? 3 ? 2= 3

??12 分

【思路点拨】由原式 f ( x) ? sin 2 x ? 3(1 ? cos 2 x) ? 3 ? a 化简得

f (x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? a ? 2sin(2 x ?
进行求解即可.

?
3

) ? a ,变成一个含有一个角的三角函数的形式再

【数学文卷·2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考(201412) 】22. (本题满分 15 分) 已知函数 f ? x ? ? ? x x ? a ? 1 ? x ? R ? . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求使 f ? x ? ? x 成立的 x 的值;

(Ⅱ)当 a ? ? 0,3? ,求函数 y ? f ? x ? 在 x ??1, 2? 上的最大值; (Ⅲ) 对于给定的正数 a , 有一个最大的正数 M ? a ? , 使 x?? 都有 f ? x ? ? 2 , ? 0, M ? a ? ? ? 时, 试求出这个正数 M ? a ? ,并求它的取值范围. 【知识点】二次函数 函数的值域,函数的单调性 B3 B4 B5 【 答 案 】【 解 析 】( Ⅰ ) 1 ;( Ⅱ ) f ? x ? max

? a, 0 ? a ? 1 ? ? ?1,1 ? a ? 2 ;( Ⅲ ) ?5 ? 2a, 2 ? a ? 3 ?

?a ? ? ? M ?a? ? ? ?a ? ? ?

a 2 ? 12 ,a ? 2 3 2 a ? 12 ,0 ? a ? 2 3 2
2

, M ? a ? ? 0, 3 ? 6

?

?

解析: (Ⅰ)当 a ? 1 时,由 f ? x ? ? x 得 ? x x ?1 ? 1 ? x ,解得 x ? 1 ;
2 ? ?? x ? ax ? 1 (Ⅱ)当 f ? x ? ? ? 2 ? ? x ? ax ? 1

? x ? a ? ,作出示意图,注意到几个关键点的值: ? x ? a?

a a2 f ( x) ? 2 f (0) ? f (a)=1, f ( ) ? 1 ? , 最大值在 f (1), f ? 2? , f ? a ? 中取. 2 4
当 0 ? a ? 1时, f ? x ? 在?1,2?上递减,故f ? x ?max ? f ?1? ? a ; 当 1 ? a ? 2时, f ? x ? 在?1, a?上递增, ?a,2?上递减,故f ? x?max ? f ? a? ? 1 ; 当 2≤a<3 时,f(x)在 ?1, ? 上单调递减, ? , 2 ? 单调递增,且 x ? 是函数的对称轴,由 2 ? 2? ?2 ? 于?2?

? a?

?a

?

a

? ?

a? ?a ? ? ? ? ? 1? ? 3 ? a ? 0 ,所以 f ? x ?max ? f ? 2? ? 5 ? 2a ,综上 2? ?2 ?

f ? x ?max

? a, 0 ? a ? 1 ? ? ?1,1 ? a ? 2 ?5 ? 2a, 2 ? a ? 3 ?

(Ⅲ)因为当 x∈(0, +∞)时, f ? x ?max ? 1 ,故问题只需在给定区间内 f(x) ≥﹣2 恒成立,

a a ?a? ? ?2 时, 由 f ? ? ? 1? , 当1 ? M(a)是方程 x 2 ? ax ? 1 ? ?2 的较小根, 即 a ? 2 3 时, 4 4 ?2?
a2 a ? a 2 ? 12 6 ? , 当 1 ? ? ?2 时 , M(a) 是 方 程 M ?a? ? ? ? 0, 3 ? 2 4 2 a ? a ? 12

2

2

?

a ? a 2 ? 12 ? x ? ax ? 1 ? ?2 的较大根, 即 0 ? ? ? ? 3 时, M ?a? ? ? 2
2

?

3, 3 ? 6 ,

?

?a ? ? ? M a ? 综上 ? ? ? ?a ? ? ?

a 2 ? 12 ,a ? 2 3 2 a 2 ? 12 ,0 ? a ? 2 3 2

, M ? a ? ? 0, 3 ? 6

?

?

【思路点拨】一般遇到绝对值函数,通常先分段讨论去绝对值再进行解答,求函数的最 值通常结合函数的单调性进行解答.

B4 函数的奇偶性与周期性
【数学理卷·2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试( 201411)word 版】7.函数

y ? f ( x) 在[0,2]上单调递增,且函数 f ( x ? 2) 是偶函数,则下列结论成立的是(
A.f(1)<f( )<f( ) C.f( )<f( )<f(1) 【知识点】函数的单调性与奇偶性. B.f( )<f(1)<f( ) D.f( )<f(1)<f( ) B3 B4



【答案】 【解析】B 解析:因为函数 f ( x ? 2) 是偶函数,所以函数 y ? f ( x) 关于直线 x=2 对称,所以 f ?

?5? ?3? ?7? ?1? ? ? f ? ? , f ? ? ? f ? ? ,又因为函数 y ? f ( x) 在[0,2]上单调递增, ?2? ?2? ?2? ?2?

所以 f ? ? ? f ?1? ? f ? ? ,所以( )<f(1)<f( ) ,故选 D. 【思路点拨】 由 f ( x ? 2) 是偶函数得函数的对称性, 根据对称性, 把被比较大小的函数值, 变换到自变量值在函数 f(x)的同一单调区间上即可.

?1? ?2?

?3? ?2?

【数学理卷· 2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考 (201412) 】 14. 定 义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 3) ? ? f ( x) ,且 f (1) ? 2 ,则

f (2013) ? f (2015) ? _____▲____.
【知识点】奇函数 函数的周期性 B4 【答案】 【解析】-2 解析:因为 f ( x ? 3) ? ? f ( x),f ? x ? 6 ? ? ? f ? x ? 3 ? ? f ?x ? ,又函 数为奇函数,则 f(0)=0,所以

f (2013) ? f (2015) ? f ?3 ? ? f ??1 ? ? ? f ?0 ? ? f ? 1 ? ? ?2 .
【思路点拨】 熟悉常见的周期性条件是解答本题的关键, 先利用周期性把所求值向已知条件 靠拢,再利用已知条件转化成已知函数值.

【数学理卷· 2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考 (201412) 】 3. 已 知函数 y ? f ( x) ? x 是偶函数,且 f (2) ? 1 ,则 f (?2) ? ( (A) ?1 【知识点】偶函数 B4 【答案】 【解析】D 解析:因为函数 y ? f ( x) ? x 是偶函数,所以 (B) 1 (C ) ? 5 ) (D) 5

f ? ?2? ? 2 ? f ? 2? ? 2 ? 3, f ? ?2? ? 5 ,所以选 D.
【思路点拨】抓住偶函数的性质,即可得到 f(2)与 f(-2)的关系,求值即可.

【 数 学 理 卷· 2015 届 河北 省 唐 山 一中 高 三 上学期 期 中 考 试( 201411 ) 】 7 . 对 于 函数

?? ? f ? x ? ? x3 cos3 ? x ? ? ,下列说法正确的是 6? ?
A. f ? x ? 是奇函数且在( ?





π π , )上递减 6 6

B. f ? x ? 是奇函数且在( ?

π π , )上递增 6 6

C. f ? x ? 是偶函数且在( 0, )上递减 【知识点】函数的奇偶性以及单调性 B3 B4

π 6

D. f ? x ? 是偶函数且在( 0, )上递增

π 6

【答案】 【解析】C解析: f ? x ? ? x cos ? 3x ?
3
3

? ?

??

3 ? ? ? x sin 3x , 2?

f ? ? x ? ? ? ? ? x ? sin ? ?3 x ? ? ? x 3 sin 3 x ? f ? x ? ,所以为偶函数,排除A,B,因为

? ?? ? ?? f ' ? x ? ? ?3x2 ?sin3x ? x cos3x ? ,当 ? 0, ? 时, f ' ? x ? ? 0 ,所以在区间 ? 0, ? 上递减 ? 6? ? 6?
,故选择C. 【 思 路 点 拨 】 根 据 函 数 f ? x ? ? f ? ?x ? 可 得 函 数 为 偶 函 数 , 函 数 求 导 可 得

? ?? f ' ? x ? ? ?3x2 ?sin3x ? x cos3x ? , ,当 ? 0, ? 时, f ' ? x ? ? 0 即可得到. ? 6?

【数学理卷·2015 届江西省五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余 四中)高三上学期第二次联考(201412)word 版】3. 函数 y ? x | x | ? px , x ? R ( A.是偶函数 B.是奇函数 C.不具有奇偶性 D.奇偶性与 p 有关 )

【知识点】函数的奇偶性. B4 【答案】 【解析】B 解析:设 f ( x) ? y ? x | x | ? px ,此函数的定义域为 R ,且

f (? x) ? ? x | ? x | ? p(? x) ? ?( x | x | ? px) ? ? f ( x) ,所以函数 y ? x | x | ? px , x ? R 是
奇函数,故选 B. 【思路点拨】根据函数奇偶性定义判断结论.

【数学文卷·2015 届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考(201412)word 版】7.设

4x ? b 是奇函数,那么 a 十 6 的值为 f (x) ?1g( 10 ? 1 ) ? ax 是偶函数, g ( x) ? 2
x

A.1

B.一 1

C.一

1 2

D.

1 2

【知识点】函数的奇偶性 B4 【答案】D 【解析】∵f(x)=lg(10x+1)+ax 是偶函数,∴f(-x)=f(x)对任意的 x 都成立, ∴lg(10x+1)+ax=lg(10-x+1)-ax,∴lg(10 x +1)+2ax=lg

10 x ? 1 =lg(10 x +1)-x , 10 x

∴(2a+1)x=0,∴2a+1=0,即 a=∵ g ( x) ? ∴a+b=

1 , 2

4x ? b 是奇函数,∴g(0)=1-b=0,∴b=1, 2

1 , 2

【思路点拨】 由题意可得 ( f -x) =f (x) 对任意的 x 都成立, 代入整理可求 a, 由 g ( x) ? 是奇函数,结合奇函数的性质可知 g(0)=0,代入可求 b,从而可求 a+b.

4x ? b 2

【数学文卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】13、已知函数 y ? f ( x) 是偶函数,当 时, f ( x) ? x ?

4 ,且当 x ? ?? 3,?1? 时, f ( x) 的值域是 ?n, m ? , x

则 的值是 【知识点】函数奇偶性的性质.B4 【答案】 【解析】1 解析:∵函数 y=f(x)是偶函数,∴f(x)在[﹣3,﹣1]上的值域与

f(x)在[1,3]上的值域相同;而当 x>0 时,f(x)=x+ ,故 f(x)在[1,3]上的值域为 [4,5];故 m﹣n=1.故答案为:1. 【思路点拨】 应用偶函数的性质化f (x) 在[﹣3, ﹣1]上的值域为f (x) 在[1, 3]上的值域; 从而求解.

【数学文卷· 2015 届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试 (201411) 】 6.偶函数 f ( x)( x ? R ) 满足: f (?4) ? f (1) ? 0 ,且在区间 [0,3] 与 [3, ??) 上分别递减和 递增,则不等式 xf ( x) ? 0 的解集为 ( A. (??, ?4) C. (??, ?4) ) B. (?4, ?1) D. (??, ?4)

(4, ??) (?1,0)

(1, 4) (?1,0) (1, 4)

【知识点】函数的奇偶性,单调性 B4 B3 【答案】 【解析】D 解析:因为 f (?4) ? f (1) ? 0 所以 x ? ?

3 是对称轴, 2

f ? x ? 是偶函

? f ?( ? 1) , 0 f ? x ? 的 单 调 增 区 间 为 ? ?3,0? ,[3, ??) , 单 调 减 区 间 为 数,?f(4)

???, ?3?, ?0,3?

所以 xf ( x) ? 0 的解集为 (??, ?4)

(?1,0)

(1, 4) ,故选 D.

【 思 路 点 拨 】 由 f (?4) ? f (1) ? 0 得 x ? ?

3 是 对 称 轴 , 再 由 f ? x? 是 偶 函 数 , 得 2

f (4) ? f (?1) ? 0 ,以及 f ? x ? 的单调增区间和单调减区间,进而可求解集.

【数学文卷·2015 届湖北省八校高三第一次联考(201412)word 版】3.下列函数中,对 于任意 x ? R,同时满足条件 f ( x) ? f (? x) 和 f ( x ? ? ) ? f ( x) 的函数是 A. f ( x) ? sin x B. f ( x) ? sin x cos x 【知识点】函数的奇偶性与周期性. B4 C. f ( x) ? cos x D. f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x
[]

【答案】 【解析】D 解析:由题意知道:f(x)是偶函数,且周期是π ,选项 A、C 的周期是 2π ,选项 B 中函数 f ( x) ?

1 sin 2 x 是奇函数,故选 D. 2

【思路点拨】 因为函数 f(x)满足 f ( x) ? f (? x) 和 f ( x ? ? ) ? f ( x) , 所以函数 f(x)是周期为π 的 偶函数,故选 D.

【数学文卷·2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考(201412) 】22. (本题满分 15 分) 已知函数 f ? x ? ? ? x x ? a ? 1 ? x ? R ? . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求使 f ? x ? ? x 成立的 x 的值;

(Ⅱ)当 a ? ? 0,3? ,求函数 y ? f ? x ? 在 x ??1, 2? 上的最大值; (Ⅲ) 对于给定的正数 a , 有一个最大的正数 M ? a ? , 使 x?? 都有 f ? x ? ? 2 , ? 0, M ? a ? ? ? 时, 试求出这个正数 M ? a ? ,并求它的取值范围. 【知识点】二次函数 函数的值域,函数的单调性 B3 B4 B5 【 答 案 】【 解 析 】( Ⅰ ) 1 ;( Ⅱ ) f ? x ? max

? a, 0 ? a ? 1 ? ? ?1,1 ? a ? 2 ;( Ⅲ ) ?5 ? 2a, 2 ? a ? 3 ?

?a ? ? ? M ?a? ? ? ?a ? ? ?

a 2 ? 12 ,a ? 2 3 2 a 2 ? 12 ,0 ? a ? 2 3 2

, M ? a ? ? 0, 3 ? 6

?

?

解析: (Ⅰ)当 a ? 1 时,由 f ? x ? ? x 得 ? x x ?1 ? 1 ? x ,解得 x ? 1 ; (Ⅱ)当 f ? x ? ? ?
2 ? ?? x ? ax ? 1 2 ? ? x ? ax ? 1

? x ? a ? ,作出示意图,注意到几个关键点的值: ? x ? a?

a a2 f ( x) ? 2 f (0) ? f (a)=1, f ( ) ? 1 ? , 最大值在 f (1), f ? 2? , f ? a ? 中取. 2 4

当 0 ? a ? 1时, f ? x ? 在?1,2?上递减,故f ? x ?max ? f ?1? ? a ; 当 1 ? a ? 2时, f ? x ? 在?1, a?上递增, ?a,2?上递减,故f ? x?max ? f ? a? ? 1 ; 当 2≤a<3 时,f(x)在 ?1, ? 上单调递减, ? , 2 ? 单调递增,且 x ? 是函数的对称轴,由 2 ? 2? ?2 ? 于?2?

? a?

?a

?

a

? ?

a? ?a ? ? ? ? ? 1? ? 3 ? a ? 0 ,所以 f ? x ?max ? f ? 2? ? 5 ? 2a ,综上 2? ?2 ?

f ? x ?max

? a, 0 ? a ? 1 ? ? ?1,1 ? a ? 2 ?5 ? 2a, 2 ? a ? 3 ?

(Ⅲ)因为当 x∈(0, +∞)时, f ? x ?max ? 1 ,故问题只需在给定区间内 f(x) ≥﹣2 恒成立,

a a ?a? ? ?2 时, 由 f ? ? ? 1? , 当1 ? M(a)是方程 x 2 ? ax ? 1 ? ?2 的较小根, 即 a ? 2 3 时, 4 4 ?2?
a2 a ? a 2 ? 12 6 ? 1 ? ? ?2 时 , M(a) 是 方 程 , 当 M ?a? ? ? ? 0, 3 ? 2 4 2 a ? a ? 12

2

2

?

a ? a 2 ? 12 ? x ? ax ? 1 ? ?2 的较大根, 即 0 ? ? ? ? 3 时, M ?a? ? ? 2
2

?

3, 3 ? 6 ,

?

?a ? ? ? M a ? 综上 ? ? ? ?a ? ? ?

a 2 ? 12 ,a ? 2 3 2 a 2 ? 12 ,0 ? a ? 2 3 2

, M ? a ? ? 0, 3 ? 6

?

?

【思路点拨】一般遇到绝对值函数,通常先分段讨论去绝对值再进行解答,求函数的最 值通常结合函数的单调性进行解答.

【数学文卷·2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考(201412) 】14. 已知偶函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称, 且 x ??0,1? 时, f ( x) ? x ? 1 ,则 f ? ? 【知识点】偶函数 B4 【答案】 【解析】 ?

? 3? ?= ? 2?





1 2

解析:因为函数为偶函数且图象关于直线 x ? 1 对称,所以

1 ? 3? ?3? ?1? 1 f ? ? ? ? f ? ? ? f ? ? ? ?1 ? ? . 2 ? 2? ?2? ?2? 2
【思路点拨】利用已知条件函数为偶函数且图象关于直线 x ? 1 对称,可把所求函数值向已 知区间进行转化,再代入求值.

【数学文卷· 2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考 (201412) 】 5. 已 知函数 y ? f ( x) ? x 是偶函数,且 f (2) ? 1 ,则 f (?2) ? ( A. ?1 【知识点】偶函数 B4 【答案】 【解析】D 解析:因为函数 y ? f ( x) ? x 是偶函数,所以 B. 1 C. ?5 ) D. 5

f ? ?2? ? 2 ? f ? 2? ? 2 ? 3, f ? ?2? ? 5 ,所以选 D.
【思路点拨】抓住偶函数的性质,即可得到 f(2)与 f(-2)的关系,求值即可.

B5 二次函数
【数学理卷·2015 届湖北省八校高三第一次联考(201412) 】7.用 C ( A) 表示非空集合 A 中
?C ( A) ? C ( B), C ( A) ? C ( B) 的元素个数,定义 | A ? B |? ? .若 A ? {1,2} , ?C ( B) ? C ( A), C ( A) ? C ( B)

B ? {x || x 2 ? 2 x ? 3 |? a} ,且 | A ? B |? 1 ,由 a 的所有可能值构成的集合为 S,那么 C(S)等

于 A. 1 B.2 【知识点】新定义运算 B5 【答案】 【解析】 A C.3 D.4

2 解析: 由于 x ? 2 x ? 3 ? a 的根可能是 2 个, 3 个, 4 个, 而 A ? B ? 1,

2 故 x ? 2 x ? 3 ? a 只有 3 个根,故 a ? 4 ?C ? S ? ? 1 故选 A

【思路点拨】由题意中所定义的运算可直接求出根的个数,再找出正确结果.

【数学理卷· 2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考 (201412) 】 9. 定

义 max{a, b} ? ?

? ?a, a ? b ?x ?2 ,设实数 x , y 满足约束条件 ? ,则 b , a ? b y ? 2 ? ? ?
) (C) [?6,8] (D) [?7,8]

z ? max{4 x ? y,3x ? y} 的取值范围是(
(A) [ ?8,10] (B) [ ?7,10]

【知识点】简单的线性规划 B5

【答案】【解析】B 解析:如图,令 z1=4x+y,点(x,y)在四边形 ABCD 上及其内部,求得-7≤z1≤10;
令 z2=3x-y,点(x,y)在四边形 ABEF 上及其内部(除 AB 边),求得-7≤z2≤8. 综上可知,z 的取值范围为[-7 ,10].故选 B.

. 【思路点拨】 由线性约束条件求最值问题, 通常结合目标函数的几何意义数形结合进行解答.

【数学文卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】17、(本小题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1 (a ? 0) ,若 f (?1) ?0 ,且对任意实数 x 均有 f ( x) ? 0
2

成立,设 g ( x) ? f ( x) ? kx (1)当 x ? [?2, 2] 时, g ( x) 为单调函数,求实数 k 的范围 (2)当 x ? [1, 2] 时, g ( x) ? 0 恒成立,求实数 k 的范围, 【知识点】二次函数的性质;函数恒成立问题.B5 【答案】【解析】(1) k ? 6或k ? ?2 (2) k ? 解析:(1)

9 2

f (?1) ? 0 ? a ? b ? 1 ? 0即b ? a ? 1



f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 ? 0对x ? R恒成立(a ? 0)

则 ? b2 ? 4ac ? 0即(a ? 1)2 ? 4a ? 0 ?(a ?1)2 ? 0即a ? 1 从而b ? 2 ? f ( x) ? x2 ? 2x ? 1 由()得 1 g ( x) ? f ( x) ? kx ? x2 ? (2 ? k ) x ? 1
由题意g ( x)在[-2,2]上是单调函数则只须
解得k ? 6或k ? ?2
(2)

4分

k ?2 k ?2 ? 2或 ? ?2 2 2
8分

g ( x) ? x2 ? (2 ? k ) x ?1 ? 0对x ?[1, 2]恒成立

? g (1) ? 0 9 则? 解得:k ? 2 ? g (2) ? 0

12分

【思路点拨】 (1)由题意得函数 f(x)的对称轴为 x=﹣1,用待定系数法求出 f(x)的解 析式,从而得 g(x)的解析式,结合 g(x)在[﹣2,2]上是单调函数,知对称轴在[﹣2, 2 2]外,求出 k 的取值范围. (2)若 g(x)=x +(2﹣k)x+1,x∈[1,2]时,g(x)<0 恒成 立,则 ,解得实数 k 的范围。

【数学文卷·2015 届湖北省八校高三第一次联考(201412)word 版】16.用 C ( A) 表示非 空集合 A 中的元素个数,定义 ?C ( A) ? C ( B), C ( A) ? C ( B) .若 A ? {1,2} , B ? {x || x 2 ? 2 x ? 3 |? a} ,且 | A ? B |? 1 , | A ? B |? ? C ( B ) ? C ( A ), C ( A ) ? C ( B ) ? 则 a ? ___________. 【知识点】新概念的应用;含参数的方程根个数的确定.
2

B5 B9

【答案】 【解析】4 解析:由于 x ? 2 x ? 3 |? a 的根可能是 2 个,3 个,4 个,而|A-B|=1, 故 x 2 ? 2 x ? 3 ? a 只有 3 个根, 故 a ? 4 .
2 【思路点拨】由函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 的图像可知,方程 f(x)=a 的根可能有 2 个,3 个,4

个,要使 | A ? B |? 1 ,需使方程 f(x)=a 有 3 个根,由此得 a 值.

【数学文卷·2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考(201412) 】22. (本题满分 15 分) 已知函数 f ? x ? ? ? x x ? a ? 1 ? x ? R ? . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求使 f ? x ? ? x 成立的 x 的值;

(Ⅱ)当 a ? ? 0,3? ,求函数 y ? f ? x ? 在 x ??1, 2? 上的最大值;

(Ⅲ) 对于给定的正数 a , 有一个最大的正数 M ? a ? , 使 x?? 都有 f ? x ? ? 2 , ? 0, M ? a ? ? ? 时, 试求出这个正数 M ? a ? ,并求它的取值范围. 【知识点】二次函数 函数的值域,函数的单调性 B3 B4 B5 【 答 案 】【 解 析 】( Ⅰ ) 1 ;( Ⅱ ) f ? x ? max

? a, 0 ? a ? 1 ? ? ?1,1 ? a ? 2 ;( Ⅲ ) ?5 ? 2a, 2 ? a ? 3 ?

?a ? ? ? M ?a? ? ? ?a ? ? ?

a 2 ? 12 ,a ? 2 3 2 a 2 ? 12 ,0 ? a ? 2 3 2

, M ? a ? ? 0, 3 ? 6

?

?

解析: (Ⅰ)当 a ? 1 时,由 f ? x ? ? x 得 ? x x ?1 ? 1 ? x ,解得 x ? 1 ; (Ⅱ)当 f ? x ? ? ?
2 ? ?? x ? ax ? 1 2 ? ? x ? ax ? 1

? x ? a ? ,作出示意图,注意到几个关键点的值: ? x ? a?

a a2 f ( x) ? 2 f (0) ? f (a)=1, f ( ) ? 1 ? , 最大值在 f (1), f ? 2? , f ? a ? 中取. 2 4
当 0 ? a ? 1时, f ? x ? 在?1,2?上递减,故f ? x ?max ? f ?1? ? a ; 当 1 ? a ? 2时, f ? x ? 在?1, a?上递增, ?a,2?上递减,故f ? x?max ? f ? a? ? 1 ; 当 2≤a<3 时,f(x)在 ?1, ? 上单调递减, ? , 2 ? 单调递增,且 x ? 是函数的对称轴,由 2 ? 2? ?2 ? 于?2?

? a?

?a

?

a

? ?

a? ?a ? ? ? ? ? 1? ? 3 ? a ? 0 ,所以 f ? x ?max ? f ? 2? ? 5 ? 2a ,综上 2? ?2 ?

f ? x ?max

? a, 0 ? a ? 1 ? ? ?1,1 ? a ? 2 ?5 ? 2a, 2 ? a ? 3 ?

(Ⅲ)因为当 x∈(0, +∞)时, f ? x ?max ? 1 ,故问题只需在给定区间内 f(x) ≥﹣2 恒成立, 由f?

a a ?a? 2 ? ?2 时, 当1 ? M(a)是方程 x ? ax ? 1 ? ?2 的较小根, 即 a ? 2 3 时, ? ? 1? , 4 4 ?2?
a2 a ? a 2 ? 12 6 ? ?2 时 , M(a) 是 方 程 , 当 1? ? ? 0, 3 ? ? 4 2 a ? a 2 ? 12

2

2

M ?a? ?

?

即 0 ? ? ? ? 3 时, ? x2 ? ax ? 1 ? ?2 的较大根, M ?a? ?

a ? a 2 ? 12 ? 2

?

3, 3 ? 6 ,

?

?a ? ? ? 综上 M ? a ? ? ? ?a ? ? ?

a 2 ? 12 ,a ? 2 3 2 a 2 ? 12 ,0 ? a ? 2 3 2

, M ? a ? ? 0, 3 ? 6

?

?

【思路点拨】一般遇到绝对值函数,通常先分段讨论去绝对值再进行解答,求函数的最 值通常结合函数的单调性进行解答.

B6 指数与指数函数
【 数 学 文 卷 · 2015 届 湖 南 省 衡 阳 市 五 校 高 三 11 月 联 考 ( 201411 ) 】8、已知函数

f ( x) ? ( x ? a)(x ? b) (其中
的图像大致为( )

),若 f ( x) 的图像如右图所示,则函数 g ( x) ? a x ? b

A B C D 【知识点】指数函数的图像变换;函数的零点与方程根的关系.B6 B9 【答案】【解析】A 解析:由二次方程的解法易得(x-a)(x-b)=0的两根为a、b; 根据函数零点与方程的根的关系,可得f(x)=(x-a)(x-b)的零点就是a、b,即函数图象

与x轴交点的横坐标;观察f(x)=(x-a)(x-b)的图象,可得其与x轴的两个交点分别在区 间(-∞,-1)与(0,1)上,又由a>b,可得b<-1,0<a<1;在函数g(x)=ax+b可得,由 0<a<1可得其是减函数,又由b<-1可得其与y轴交点的坐标在x轴的下方; 分析选项可得A符合这两点,BCD均不满足;故选A. 【思路点拨】根据题意,易得(x-a)(x-b)=0的两根为a、b,又由函数零点与方程的根的 关系,可得f(x)=(x-a)(x-b)的零点就是a、b,观察f (x)=(x-a)(x-b)的图象, 可得其与x轴的两个交点分别在区间(-∞,-1)与(0,1)上,又由a>b,可得b<-1,0<a <1;根据函数 图象变化的规律可得g(x)=aX+b的单调性即与y轴交点的位置,分析选项 可得答案.

2015 届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试 【数学文卷· (201411) 】 8.已知函数

?2 x , x ? 1 ? f (x) ? ?log x, x ? 1 1 ? ? 2

,则 f (1 ? x) 的图像是(



【知识点】指数函数图像,对数函数图像 B6 B7

?2 x , x ? 1 ? 【答案】 【解析】D 解析:画出函数 f (x) ? ?log x, x ? 1 的图像,可知 f (1 ? x) 的图像与函 1 ? ? 2
数 f (x) 的图像关于 x ?

1 对称,利用对称性即可求得选项 D 正确. 2 1 对称,利用对称性 2

【思路点拨】由题意得到 f (1 ? x) 的图像与函数 f (x) 的图像关于 x ? 即可画出图像.

B7 对数与对数函数
【数学理卷·2015 届江西省五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余 四中)高三上学期第二次联考(201412)word 版】16. 定义函数 y ? f ( x), x ? I ,若 存在常数 M ,对于任意 x1 ? I ,存在唯一的 x 2 ? I ,使得

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? M ,则称 2
2014

函 数 f ( x) 在 I 上 的 “ 均 值 ” 为 M , 已 知 f ( x) ? log 2 x, x ? [1,2

] ,则函数

f ( x) ? log 2 x 在 [1,2 2014 ] 上的“均值”为________.
【知识点】对数函数的图像与性质.B7 【答案】 【解析】1007 解析:根据定义,函数 y ? f ( x), x ? I ,若存在常数 M ,对于任

意 x1 ? I , 存在唯一的 x 2 ? I , 使得 为 M ,令 x1 x2 = 1? 22014 当 x1 ? [1, 2
2014

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 则称函数 f ( x) 在 I 上的 “均值” ?M, 2

22014
1 [1, 22014 ] ,可得: M = log 2 ( x1 x2 ) = 1007 , 2

22014 ] 时,选定 x2 = x1

故答案为: 1007 【 思 路 点 拨 】 根 据 定 义 , 令 令 x1 x2 = 1? 22014

22014 , 当 x1 ? [1, 22014 ] 时 , 选 定

x2 =

22014 x1

[1, 22014 ] ,可得 M 的值。

【数学文卷· 2015 届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试 (201411) 】 11.化简: lg 25 ? lg 2 lg 50 ? (lg 2) =
2



【知识点】对数运算 B7 【答案】 【解析】 2 解析:原式 ? 2lg5 ? lg 2 ? lg 2 ? 2lg5? ? lg 2 ?
2

2lg5 ? lg2 2 ? 2lg 2lg5 ? (1 ? lg5)2 ? lg2 2 ? 2lg 2lg5 ? lg2 5 ? 1 ? ? lg 2 ? lg 5 ? ? 1 ? 2 .
2

【思路点拨】由对数的运算性质和 lg 2 ? lg 5 ? 1结合计算可得.

2015 届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试 【数学文卷· (201411) 】

8.已知函数

?2 x , x ? 1 ? f (x) ? ?log x, x ? 1 1 ? ? 2

,则 f (1 ? x) 的图像是(



【知识点】指数函数图像,对数函数图像 B6 B7

?2 x , x ? 1 ? 【答案】 【解析】D 解析:画出函数 f (x) ? ?log x, x ? 1 的图像,可知 f (1 ? x) 的图像与函 1 ? ? 2
数 f (x) 的图像关于 x ?

1 对称,利用对称性即可求得选项 D 正确. 2 1 对称,利用对称性 2

【思路点拨】由题意得到 f (1 ? x) 的图像与函数 f (x) 的图像关于 x ? 即可画出图像.

B8 幂函数与函数的图象
【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】16.(本题满分 12 分)

? ? ? x ? 1 ( x ? ?2) ? 1 ? 已知函数 f ( x) ? ? x ? 3 (?2 ? x ? ) ( x ? R ), 2 ? 1 ? 5x ? 1 ( x ? ) ? ? 2
(1)求函数 f ( x) 的最小值; (2)已知 m ? R , p :关于 x 的不等式 f ( x) ? m2 ? 2m ? 2 对任意 x ? R 恒成立;

q :函数 y ? (m2 ? 1) x 是增函数.若“ p 或 q ”为真,“ p 且 q ”为假,求实数 m
的取值范围. 【知识点】复合命题的真假;分段函数的解析式求法及其图象的作法.A2 B8 【答案】【解析】(1)1;(2) (-?,-3) ?[- 2,1] ? ( 2,+?)

? ? ? x ? 1 ( x ? ?2) ? 1 ? 解析:(1) f ( x) ? ? x ? 3 (?2 ? x ? ) 作出图像,可知f (x) min =f(-2)=1 2 ? 1 ? 5x ? 1 ( x ? ) ? ? 2
(2)

(4分)

?p:m2 +2m-2 ? 1 ? -3 ? m ? 1 ?q:m2 -1>1 ? m> 2或m<- 2

(8分)

∵ p或q为真,p且q为假 ?10若p真q假时,则 ?

? ?-3 ? m ? 1 ,解得- 2 ? m ? 1 (10分) 2 ? m ? 2 ? ?

? ?m>1或m<-3 20若p假q真时,则 ? ,解得m<-3或m> 2 ? ?m<- 2或m> 2 故实数 m 的取值范围是 (-?,-3) ?[- 2,1] ? ( 2,+?) (12分)
【思路点拨】(1)题目给出的是分段函数,借助于单调性求出函数在各个区间上的范围, 则函数的值域可求,最小值可求; (2)运用(1)中求出的f(x)的最小值代入不等式f(x) ≥m2+2m﹣2,求出对任意x∈R恒成立的m的范围,根据函数y=(m2﹣1)x是增函数求出m的 范围,然后分情况讨论“p或q”为真,“p且q”为假时的实数m的取值范围.

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】6.已知函数 f ( x) 是定 义在 R 上的增函数,则函数 y ? f (| x ? 1 |) ? 1 的图象可能是【 】

【知识点】函数的图象.B8 【答案】 【解析】B 解析:设 y=g(x)=f(|x﹣1|)﹣1, 则 g(0)=f(1)﹣1,g(1)=f(0)﹣1,g(2)=f(1)﹣1, ∴g(0)=g(2) ,排除 A,C,又∵f(x)是定义在 R 上的增函数, ∴g(0)>g(1) ,排除 D,故选:B. 【思路点拨】 根据函数f (x) 是定义在R上的增函数, 确定函数y=f (|x﹣1|) ﹣1的取值关系, 利用排除法即可确定函数图象.

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】16.(本题满分 12 分)

? ? ? x ? 1 ( x ? ?2) ? 1 ? 已知函数 f ( x) ? ? x ? 3 (?2 ? x ? ) ( x ? R ), 2 ? 1 ? 5x ? 1 ( x ? ) ? ? 2
(1)求函数 f ( x) 的最小值; (2)已知 m ? R , p :关于 x 的不等式 f ( x) ? m2 ? 2m ? 2 对任意 x ? R 恒成立;

q :函数 y ? (m2 ? 1) x 是增函数.若“ p 或 q ”为真,“ p 且 q ”为假,求实数 m
的取值范围. 【知识点】复合命题的真假;分段函数的解析式求法及其图象的作法.A2 B8 【答案】【解析】(1)1;(2) (-?,-3) ?[- 2,1] ? ( 2,+?)

? ? ? x ? 1 ( x ? ?2) ? 1 ? 解析:(1) f ( x) ? ? x ? 3 (?2 ? x ? ) 作出图像,可知f (x) min =f(-2)=1 2 ? 1 ? 5x ? 1 ( x ? ) ? ? 2
(2)

(4分)

?p:m2 +2m-2 ? 1 ? -3 ? m ? 1 ?q:m2 -1>1 ? m> 2或m<- 2

(8分)

∵ p或q为真,p且q为假 ?10若p真q假时,则 ?

? ?-3 ? m ? 1 ,解得- 2 ? m ? 1 (10分) 2 ? m ? 2 ? ?

? ?m>1或m<-3 20若p假q真时,则 ? ,解得m<-3或m> 2 ? ?m<- 2或m> 2
故实数 m 的取值范围是 (-?,-3) ?[- 2,1] ? ( 2,+?) (12分) 【思路点拨】(1)题目给出的是分段函数,借助于单调性求出函数在各个区间上的范围, 则函数的值域可求,最小值可求; (2)运用(1)中求出的f(x)的最小值代入不等式f(x) ≥m2+2m﹣2,求出对任意x∈R恒成立的m的范围,根据函数y=(m2﹣1)x是增函数求出m的 范围,然后分情况讨论“p或q”为真,“p且q”为假时的实数m的取值范围.

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】6.已知函数 f ( x) 是定

义在 R 上的增函数,则函数 y ? f (| x ? 1 |) ? 1 的图象可能是【



【知识点】函数的图象.B8 【答案】 【解析】B 解析:设 y=g(x)=f(|x﹣1|)﹣1, 则 g(0)=f(1)﹣1,g(1)=f(0)﹣1,g(2)=f(1)﹣1, ∴g(0)=g(2) ,排除 A,C,又∵f(x)是定义在 R 上的增函数, ∴g(0)>g(1) ,排除 D,故选:B. 【思路点拨】 根据函数f (x) 是定义在R上的增函数, 确定函数y=f (|x﹣1|) ﹣1的取值关系, 利用排除法即可确定函数图象.

【数学文卷· 2015 届湖北省八校高三第一次联考 (201412) word 版】 4. 若幂函数 f ( x) ? mx a 1 1 的图像经过点 A( , ) ,则它在点 A 处的 4 2 切线方程是 A. 2 x ? y ? 0 B. 2 x ? y ? 0 C. 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 D. 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 【知识点】幂函数的定义;导数的几何意义. B8 B11 【答案】 【解析】C 解析:

1 1 1 f ( x) ? mxa 为经过 A( , ) 的幂函数,? m ? 1, a ? ,故 4 2 2

f ( x) ? x , f ?( x) ?

1 2 x

,则它在点 A 处的切线方程为 4x-4y+1=0,故选 C.

【思路点拨】由幂函数的定义得 f ( x) ?

x ,在由导数的几何意义得曲线的斜率为

1 f ?( ) ? 4

1 1 2 4

? 1 ,从而得所求切线方程.

B9 函数与方程
【数学理卷·2015 届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考(201412)word 版】9.已 知方程 kx+3-2k = 4 ? x 有两个不同的解,则实数 k 的取值范围是
2

A. ?

? 5 3? , ? ? 12 4 ?

B. ?

?5 ? ,1? ? 12 ?

C. ?

? 5 3? , ? ? 12 4 ?

D. ? 0, ? 4

? ?

3? ?

【知识点】函数与方程 B9 【答案】C 【解析】由题意得,半圆 y= 4 ? x 和直线 y=kx-2k+3 有两个交点,
2

又直线 y=kx-2k+3 过定点 C(2,3),

如图: 当直线在 AC 位置时,斜率 k=

3?0 3 = . 2?2 4

当直线和半圆相切时,由半径 2=

0 ? 0 ? 2k ? 3 k 2 ?1

解得 k=

5 , 12

故实数 k 的取值范围是 (

5 3 , ]. 12 4 3?0 ,当直线和半圆相切时, 2?2

【思路点拨】如图,当直线在 AC 位置时,斜率 k=

由半径 2=

0 ? 0 ? 2k ? 3 k 2 ?1

解得 k 值,即得实数 k 的取值范围.

【 数 学 理 卷 · 2015 届 湖 南 省 衡 阳 市 五 校 高 三 11 月 联 考 ( 201411 ) 】 14 . 方 程

log 1 ( a ? 2 x ) ? 2 ? x 有解,则 a 的最小值为_________
2

【知识点】函数的零点与方程根的关系.菁B9

【答案】 【解析】 1

解析:若方程

有解,



=a﹣2x 有解,即

+2x=a 有解,∵

+2x≥1

故 a 的最小值为 1。故答案为 1. 【思路点拨】若方程 有解,根据将对数式化为指数式后要得

+2 =a有解,根据基本不等式求出

x

+2 的最小值,即可得到答案.

x

【 数 学 理 卷 · 2015 届 湖 南 省 衡 阳 市 五 校 高 三 11 月 联 考 ( 201411 ) 】 14 . 方 程

log 1 ( a ? 2 x ) ? 2 ? x 有解,则 a 的最小值为_________
2

【知识点】函数的零点与方程根的关系.菁B9 【答案】 【解析】 1 解析:若方程 有解,



=a﹣2x 有解,即

+2x=a 有解,∵

+2x≥1

故 a 的最小值为 1。故答案为 1. 【思路点拨】若方程 有解,根据将对数式化为指数式后要得

+2 =a有解,根据基本不等式求出

x

+2 的最小值,即可得到答案.

x

【数学理卷· 2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考 (201412) 】 22( .本 题满分 14 分)给定函数 f ( x ) 和常数 a , b ,若 f (2 x) ?af (x) ? b 恒成立,则称 (a, b) 为函数

f ( x) 的一个“好数对” ;若 f (2 x) ? af ( x) ? b 恒成立,则称 ( a, b) 为函数 f ( x ) 的一个“类
好数对” .已知函数 f ( x ) 的定义域为 [1, ??) . (Ⅰ)若 (1,1) 是函数 f ( x ) 的一个“好数对” ,且 f (1) ? 3 ,求 f (16) ; (Ⅱ) 若 (2, 0) 是函数 f ( x ) 的一个 “好数对” , 且当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? 2 x ? x 2 , 求证:

函数 y ? f ( x) ? x 在区间 (1, ??) 上无零点; (Ⅲ)若 (2, ? , f (1) ? 3 ,且函数 f ( x ) 单调递增,比较 2) 是函数 f ( x) 的一个“类好数对”

f ( x) 与

x ? 2 的大小,并说明理由. 2

【知识点】函数的单调性 函数与方程 不等式的证明 B9 B3 E7 【答案】 【解析】 (Ⅰ)7; (Ⅱ)略; (Ⅲ) f ? x ? ?

x ?2 2

【解析】 (Ⅰ)由题意, f (2 x) ? f ( x) ? 1 ,且 f (1) ? 3 ,则 f (2n ) ? f (2n?1 ) ? 1
n 则数列 f (2 ) 成等差数列,公差为 d ? 1 ,首项 f (1) ? 3 ,于是 f (16) ? 7

?

?

n n ?1 (Ⅱ)当 2 ? x ? 2 时, 1 ?

x ? 2 ,则由题意得 2n

x x f ( x) ? 2 f ( ) ? 22 f ( 2 )= 2 2
由 f ( x) ? x ? 0 得, 2
n?1

=2n f (

x 2x x ) ? 2n n ? ( n ) 2 ? 2n?1 x ? x 2 n 2 2 2

x ? x2 ? x ,解得 x ? 0 或 x ? 2n 均不符合条件

n n ?1 即当 2 ? x ? 2 时,函数 y ? f ( x) ? x 在区间 (1, ??) 上无零点;

注意到 (1, ??) ? (1, 2]

(2, 22 ]

(2n , 2n?1 ]

故函数 y ? f ( x) ? x 在区间 (1, ??) 上无零点;
n n ?1 ? 2 ,即 (Ⅲ)由题意得 f ? 2x ? ? 2 f ? x ? ? 2 ,则 f 2 ? 2 f 2

? ?

?

?

n ?1 ? f ? 2n ? ? 2 ? 2 ? ? f ? 2 ? ? 2? ,得 n ?1 2 n?2 ? ? ? f ? 2n ? ? 2 ? 2 ? ? f ? 2 ? ? 2? ? 2 ? f ? 2 ? ? 2? ? 0 n ? ? 2n ? ? f ? 2 ? ? 2? ? 2 ,即

f ? 2n ? ? 2n ? 2 ,而对任意 x>1,必存在 n ? N * ,使得 2n ?1 ? x ? 2n ,由 f(x)单调递增得

f ? 2n ?1 ? ? f ? x ? ? f ? 2n ? ,则 f ? x ? ? f 2n ?1 ? 2n ?1 ? 2 ?

?

?

2n x ? 2 ? ? 2 ,所以 2 2

f ? x? ?

x ?2. 2

【思路点拨】对于新定义函数,理解其含义是解题的关键,再多步问答问题中,解下一问时 注意上一问的结论或过程的应用.

【数学理卷· 2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考 (201412) 】 10. 已

知函数 f ( x) ? ? 可能 为( .. (A) 5 个

? log5 (1? x ) ??( x ? 2) ? 2
2

(x ? 1) ( x ? 1)

,则关于 x 的方程 f ( x ?

1 ? 2) ? a 的实根个数不 . x

) (B) 6 个 (C) 7 个 (D) 8 个

【知识点】函数与方程 B9

4 1 4 或 x=-4, 则当 a=1 时 x ? ? 2 ? 5 x 5 1 1 1 或 1 或 3 或-4,又因为 x ? ? 2 ? 0或x ? ? 2 ? -4 ,则当 x ? ? 2=-4 时只有一个 x x x
【答案】 【解析】 A 解析: 因为 f(x)=1 时, x=1 或 x=3 或 x= x=-2 与之对应其它情况都有两个 x 值与之对应,所以此时所求方程有 7 个根,当 1<a<2 时因为函数 f(x)与 y=a 有 4 个交点,每个交点对应两个 x,则此时所求方程有 8 个解,当 a=2 时函数 f(x)与 y=a 有 3 个交点,每个交点对应两个 x,则此时所求方程有 6 个解,所以 B,C,D 都有可能,则选 A. 【思路点拨】一般判断方程根的个数问题通常转化为函数的图象的交点个数问题进行解答..

非选择题部分(共 100 分)

【数学文卷·2015 届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考(201412)word 版】10 已

? 2 x3 1 ? x ? 1 , x ? ( 2 ,1], ? ? 知函数 f ( x) ? ? 函数 g ( x) ? a sin( x ) ? 2a ? 2(a ? 0) ,若存在 6 ?? 1 x ? 1 , x ? ?0, 1 ? . ? ? ? 6 ? 2? ? 3

x1 , x2 ?[0,1] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是
A. ? , ? 2 3 【知识点】函数与方程 B9 【答案】A 【解析】当 x∈(

?1 4? ? ?

B. (0, ]

1 2

C. ? , ? 3 3

?2 4? ? ?

D. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

2 x3 1 1 ,1]时,f(x)= 是增函数,y∈( ,1], 2 6 x ?1

当 x∈[0, 如图.

1 1 1 1 ]时,f(x)=- x+ 是减函数,∴y∈[0, ], 2 3 6 6

? 2 x3 1 ? x ? 1 , x ? ( 2 ,1], ? ? ∴函数 f ( x) ? ? 的值域为[0, 1].g ( x) ? a sin( x) ? 2a ? 2(a ? 0) 值 6 ?? 1 x ? 1 , x ? ?0, 1 ? . ? ? ? 6 ? 2? ? 3
3a ] ,∵存在 x1、x2∈[0,1]使得 f(x1)=g(x2)成立, 2 3a ∴[0 , 1]∩[2 -2a , 2]≠ ? , 2 3a 3a 1 4 若[0 , 1]∩[2 -2a , 2]= ? ,则 2-2a>1 或 2<0,即 a < 或 a > , 2 3 2 2 1 4 ∴a 的取值范围是[ , ] . 2 3
域是[2-2a , 2【思路点拨】根据 x 的范围确定函数 f(x)的值域和 g(x)的值域,进而根据 f(x1)=g (x2)成立,推断出[0 , 1]∩[2 -2a , 2-

3a ]≠ ? ,先看当二者的交集为空集时刻求得 a 的范 2

围,进而可求得当集合的交集非空时 a 的范围.

【数学文卷·2015 届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考(201412)word 版】5.在 区间[一 ? ,? ]内随机取两个数分别记为 a, b, 则使得函数 f ( x) ? 4 x ? 4ax ? b ? ?
2 2 2

2 有零点的概率为 A.

? 4 ? 4

B.1 一

? 4

C.

? 2

D.l-

? 2

【知识点】函数与方程 B9 【答案】1-

【解析】在区间[-π,π]内随机取两个数分别记为 a,b, 则?

??? ? a ? ? ,对应的区域为正方形,面积为 S=2π×2π=4π2, ? ?? ? b ? ?

若 f(x)=4x2+4ax-b2+π2 有零点,则判别式△=4a2-4×4(π2-b2)≥0, 即 a2+b2≥π2,对应区域为圆的外部

作出不等式组对应的平面区域如图:

圆的面积为 π×π2=π3,∴圆外部落在正方形内的面积 S=4π2-π3, ∴根据几何概型的概率公式可得所求的概率 P=

4? 2 ? ? 3 ? =12 4 4?

【思路点拨】求出方程有解的等价条件,利用几何概型的概率公式即可得到结论.

【数学文卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】9、设 f ( x ) 与 g ( x) 是定 义在同一区间 [ a, b] 上的两个函数,若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? [a, b] 上有两个不同 零点,则称 f ( x ) 与 g ( x) 在 [ a, b] 上是“关联函数”,区间 [ a, b] 称为“关联区间”, 若 f ( x) ? x ? 3x ? 4 和 g ( x) ? 2 x ? m 在 [0,3] 上是 “关联函数” , 则 m 的范围为 (
2



A. [ ?

9 , ?2) 4

B. ( ?

9 , ?2] 4
2

C. [?1, 0]

D. (??, ?2]

【知识点】函数零点的判定定理.B9 【答案】 【解析】B 解析:∵f(x)=x ﹣3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”, 2 故函数 y=h(x)=f(x)﹣g(x)=x ﹣5x+4﹣m 在[0,3]上有两个不同的零点,

故有

,即

,解得﹣ <m≤﹣2,故选 B.

【思路点拨】由题意可得h(x)=f(x)﹣g(x)=x ﹣5x+4﹣m 在[0,3]上有两个不同的零

2

点,故有

,由此求得m的取值范围.

【 数 学 文 卷 · 2015 届 湖 南 省 衡 阳 市 五 校 高 三 11 月 联 考 ( 201411 ) 】8、已知函数

f ( x) ? ( x ? a)(x ? b) (其中
的图像大致为( )

),若 f ( x) 的图像如右图所示,则函数 g ( x) ? a x ? b

A B C D 【知识点】指数函数的图像变换;函数的零点与方程根的关系.B6 B9 【答案】【解析】A 解析:由二次方程的解法易得(x-a)(x-b)=0的两根为a、b; 根据函数零点与方程的根的关系,可得f(x)=(x-a)(x-b)的零点就是a、b,即函数图象 与x轴交点的横坐标;观察f(x)=(x-a)(x-b)的图象,可得其与x轴的两个交点分别在区 间(-∞,-1)与(0,1)上,又由a>b,可得b<-1,0<a<1;在函数g(x)=ax+b可得,由 0<a<1可得其是减函数,又由b<-1可得其与y轴交点的坐标在x轴的下方; 分析选项可得A符合这两点,BCD均不满足;故选A. 【思路点拨】根据题意,易得(x-a)(x-b)=0的两根为a、b,又由函数零点与方程的根的 关系,可得f(x)=(x-a)(x-b)的零点就是a、b,观察f (x)=(x-a)(x-b)的图象, 可得其与x轴的两个交点分别在区间(-∞,-1)与(0,1)上,又由a>b,可得b<-1,0<a <1;根据函数 图象变化的规律可得g(x)=aX+b的单调性即与y轴交点的位置,分析选项 可得答案.

2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考 【数学文卷· (201411) 】 3、 在正项等比数列 ?a n ? 中,若 a4 , a8 是方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的两根,则 a6 的值 是 ( A. ? )

2

B. ? 2

C. 2

D. ? 2

【知识点】等比数列的通项公式;函数的零点.B9 D3 【答案】 【解析】C 解析:∵ a4 ,

a8 是方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的两根,∴

a 4a8 ? 2,a 4 ? a8 ? 3>0 .
∴ a 4>0,a8>0 .由等比数列{an}, 由等比数列的性质可得:a4,a6,a8 同号.∴ ,∴ .故选 C. .

【思路点拨】利用根与系数的关系可得a4a8,再利用等比数列的性质即可得出.

【数学文卷·2015 届湖北省八校高三第一次联考(201412)word 版】16.用 C ( A) 表示非 空集合 A 中的元素个数,定义 ?C ( A) ? C ( B), C ( A) ? C ( B) .若 A ? {1,2} , B ? {x || x 2 ? 2 x ? 3 |? a} ,且 | A ? B |? 1 , | A ? B |? ? ?C ( B) ? C ( A), C ( A) ? C ( B) 则 a ? ___________. 【知识点】新概念的应用;含参数的方程根个数的确定.
2

B5 B9

【答案】 【解析】4 解析:由于 x ? 2 x ? 3 |? a 的根可能是 2 个,3 个,4 个,而|A-B|=1, 故 x 2 ? 2 x ? 3 ? a 只有 3 个根, 故 a ? 4 .
2 【思路点拨】由函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 的图像可知,方程 f(x)=a 的根可能有 2 个,3 个,4

个,要使 | A ? B |? 1 ,需使方程 f(x)=a 有 3 个根,由此得 a 值.

【数学文卷·2015 届湖北省八校高三第一次联考(201412)word 版】9.已知符号函数 ?1, x ? 0, ? sgn( x) ? ?0, x ? 0, 则函数 f ( x) ? sgn(ln x) ? ln 2 x 的零点个数为 ?? 1, x ? 0 ? A.1 B.2 C.3 【知识点】函数零点的意义;分类讨论思想方法得应用. D.4 B9

?1 ? ln 2 x, ( x ? 1) ? 【答案】 【解析】 B 解析:f ( x) ? ?0, ( x ? 1) , 解得 x ? e ; x ? 1 时,f ( x) ? 1 ? ln 2 x ? 0 , ? 2 ?? 1 ? ln x, (0 ? x ? 1)

当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ;当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? ?1 ? ln 2 x ? 0 ,即 ln 2 x ? ?1 无解.故函数 f ( x) 的零点有 2 个.故选 B. 【思路点拨】分 x>1,x=1,0<x<1 三种情况求函数 f(x)的零点即可.

【数学文卷· 2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考 (201412) 】 10 已

? x 2 ? 2 x, x ? 0, ?2x?2 ? 1, x ? 0, ? g ( x) ? ? 1 知函数 f ( x) ? ? 则函数 f [ g ( x)] 的所有零点之 , x ? 0. x ? 2, x ? 0, ? ? ?x
和是( )

A. ?

1 ? 3 2

B.

1 ? 3 2

C. ? 1 ?

3 2

D. 1 ?

3 2

【知识点】函数的零点 B9 【答案】 【解析】B 解析:由 f(x)=0 得 x=2 或 x=-2,由 g(x)=2 得 x= 1 ? 3 ,由 g(x)=-2, 得x??

1 1 1 ,所以函数 f [ g ( x)] 的所有零点之和是 ? ? 1 ? 3 ? ? 3 ,则选 B. 2 2 2

【思路点拨】结合函数的零点的定义,可从外到内依次求值,即可解出所有零点.

B10 函数模型及其运算
?( x ? a) 2 , x ? 0, ? 【数学理卷· 2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考 (201411) 】 9. 设 f ( x) ? ? , 1 ? x ? x ? a, x ? 0 ?
若 f (0) 是 f ( x) 的最小值,则 a 的取值范围为【 A. [-1,2] B. [-1,0] 【知识点】分段函数的应用.B10 】 D. [0,2] C. [1,2]

【答案】 【解析】D 解析:由于 f(x)= 则当 x=0 时,f(0)=a2,



由于 f(0)是 f(x)的最小值, 则(﹣∞,0]为减区间,即有 a≥0, 则有 a2≤x 由x ≥2 +a,x>0 恒成立, =2,当且仅当 x=1 取最小值 2,

则 a2≤2+a,解得﹣1≤a≤2. 综上,a 的取值范围为[0,2]. 故选D. 【思路点拨】由分段函数可得当x=0时,f(0)=a2,由于f(0)是f(x)的最小值,则(﹣ ∞,0]为减区间,即有a≥0,则有a2≤x +a,x>0恒成立,运用基本不等式,即可得到右边

的最小值2+a,解不等式a2≤2+a,即可得到a的取值范围.

?( x ? a) 2 , x ? 0, ? 【数学理卷· 2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考 (201411) 】 9. 设 f ( x) ? ? , 1 ? x ? x ? a, x ? 0 ?
若 f (0) 是 f ( x) 的最小值,则 a 的取值范围为【 A. [-1,2] B. [-1,0] 【知识点】分段函数的应用.B10 】 D. [0,2] C. [1,2]

【答案】 【解析】D 解析:由于 f(x)= 则当 x=0 时,f(0)=a2, 由于 f(0)是 f(x)的最小值, 则(﹣∞,0]为减区间,即有 a≥0, 则有 a2≤x 由x ≥2 +a,x>0 恒成立, =2,当且仅当 x=1 取最小值 2,



则 a2≤2+a,解得﹣1≤a≤2. 综上,a 的取值范围为[0,2]. 故选D. 【思路点拨】由分段函数可得当x=0时,f(0)=a2,由于f(0)是f(x)的最小值,则(﹣ ∞,0]为减区间,即有a≥0,则有a2≤x +a,x>0恒成立,运用基本不等式,即可得到右边

的最小值2+a,解不等式a2≤2+a,即可得到a的取值范围.

2015 届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试 【数学理卷· (201411) 】 10.函数 f ( x) 的定义域为 D,若对于任意 x1 , x2 ? D ,当 x1 ? x2 时都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则称 函数 f ( x) 在 D 上为非减函数 ,设函数 f ( x) 在 [0,1] 上为非减函数 , 且满足以下三个条件 :①

x 1 1 1 f (0) ? 0 ;② f ( ) ? f ( x) ;③ f (1 ? x) ? 1 ? f ( x) ,则 f ( ) ? f ( ) 等于( ) 3 8 3 2 3 4 B. C. 1 D. 4 3
【知识点】抽象函数及其应用 B10 【答案】【解析】B 解析:∵函数 ( 在 [0, f x) 1] 上为非减函数,

A.

1 2

1 1 1 f ) ? ,所以有 ( ,又 2 2 2 x 1 x 5 5 x 1 f ( ) ? f ? x ?, ?( f x) ? 2( f ), ( f ) ? 2( f )( f ) ? ( f x),令 x ? 1 ,有 3 2 3 12 36 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( f ) ? ( f 1) ? f ) ? ( f ) ? f ) ? ( f ) ? ,令 x ? ,有 ( ,( , 3 2 2 3 9 2 3 4 6 2 2 4 1 1 1 非减函数性质:当 x1<x2 时,都有 ( f x1) ?( f x2),? < < , 9 8 6 1 1 1 1 1 1 1 1 f ) ?( f ) ?( f ),而 ( f ) ? ?( f ) f ) ? , 有( ,所以有 ( 9 8 6 9 4 6 8 4 1 1 1 1 3 则 f ( )? f ( ) ? ? ? . 故选 B. 3 8 2 4 4 1 1 1 1 f 1)、( f )、( f )、( f )、( f ) 【 思路点拨 】由已 知条件 求出 ( 的值 ,利用 当 2 3 9 6 1 1 1 1 1 1 1 1 ? < < , f ) ?f ( ) ? f ( ), f ) ? , 都有 ( , 有( 而有 ( x1<x2 时, f x1) ?( f x2) 9 8 6 9 8 6 8 4

①( f 0) ? 0;②( f 1 ? x) ?( f x) ? 1, ? () f 1 ? 1,令 x ?

代入结果可求.

【数学文卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】20、(本小题满分 13 分) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况. 在一般情况下, 大桥上的车 流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达 到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度 为60千米/小时.研究表明:当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1) 当 0 ? x ? 200 时,求函数 v ? x ? 的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位: 辆/小时) f ? x ? ? x ? v ? x ? 可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时) 【知识点】函数模型的选择与应用;基本不等式在最值问题中的应用.B10 E6

0 ? x ? 20 ? 60, ? 【答案】 【解析】(1) v ? x ? = ? 1 (2) 即当车流密度为100辆/千米 ? 200 ? x ? , 20 ? x ? 200, ? ?3
时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/小时 解析:(1) 由题意: 当 0 ? x ? 20 时,v ? x ? ? 60 ;当 20 ? x ?200 时,设 v ? x ? ? ax ? b ,

1 ? a?? ? ?200a ? b ? 0 ? 3 显然 v ? x ? ? ax ? b 在 ? 20, 200? 是减函数,由已知得 ? , ,解得 ? ?20a ? b ? 60 ?b ? 200 , ? 3 ?

0 ? x ? 20 ? 60, ? 故函数 v ? x ? 的表达式为 v ? x ? = ? 1 ???????????6分 ? 200 ? x ? , 20 ? x ? 200, ? ?3 0 ? x ? 20 ? 60 x, ? (2)依题意并由(Ⅰ)可得 f ? x ? ? ? 1 ???????8分 x 200 ? x , 20 ? x ? 200, ? ? ? ?3
当 0 ? x ? 20 时, f ? x ? 为增函数,故当 x ? 20 时,其最大值为 60 ? 20 ? 1200 ;

1 1 ? x ? ? 200 ? x ? ? 10000 当 20 ? x ? 200 时, f ? x ? ? x ? 200 ? x ? ? ? , ? ? 3 3? 2 3 ?
2

当且仅当 x ? 200 ? x ,即 x ? 100 时,等号成立.

10000 .???????.12分 3 10000 ? 3333. , 综上,当 x ? 100 时, f ? x ? 在区间 ?0,200? 上取得最大值 3
所以,当 x ? 100 时, f ? x ? 在区间 ? 20, 200? 上取得最大值 即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大, 最大值约为3333辆/小时????????????????????????...13分 【思路点拨】(1) 根据题意,函数v(x)表达式为分段函数的形式,关键在于求函数v(x) 在20≤x≤200时的表达式,根据一次函数表达式的形式,用待定系数法可求得;(2) 先在区 间(0,20]上,函数f(x)为增函数,得最大值为f(20)=1200,然后在区间[20,200]上 用基本不等式求出函数f(x)的最大值,用基本不等式取等号的条件求出相应的x值,两个 区间内较大的最大值即为函数在区间(0,200]上的最大值.

【数学文卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】11、已知定义在 R 上的 函 数

f ( x) , 满 足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) , 若 f ( 2?)?

l g f ( 23? ,)

l则 g 5

f (2014) ? f (2015) ?
【知识点】抽象函数及其应用;函数的值.B1 B10 【答案】 【解析】-1 解析:∵f(x+2)=﹣f(x) , ∴f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x) , ∴f(x)是周期为 4 的周期函数,又 f(2)=﹣lg2,f(3)=lg5 ∴f(2014)=f(503×4+2)=f(2)=﹣lg2,f(2015)=f(503×4+3)=f(3)=lg5, f(2014)﹣f(2015)=﹣lg2﹣lg5=﹣1. 故答案为:﹣1. 【思路点拨】直接利用已知条件求出函数的周期,然后化简所求的表达式即可.

B11 导数及其运算
【数学理卷·2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(201411)word 版】8. (原创) 若点 P 是函数 f ( x) ? x ? ln x 上任意一点,则点 P 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的最小距离为
2

(

) A. 2 B.

2 2
B11

C.

1 2

D.3

【知识点】导数的几何意义.

() 2 ?x ? ? 1 ? x? 1 【答案】 【解析】 A 解析: 由 f ?x

1 x

(负值舍去) , 得曲线 f ( x) ? x ? ln x
2

上切线斜率为 1 的点是 (1,1) , 所以点 P 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的最小距离为 故选 A.

1 ?1 ? 2 2

? 2,

【思路点拨】只需求曲线 f ( x) ? x ? ln x 的切线斜率为 1 的切点坐标,此点到直线线
2

x ? y ? 2 ? 0 的距离为所求.

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】8.已知 f '( x) 是定义在 R 上 的 函 数 f ( x ) 的 导 函 数 , 且 f ( x) ? f (5 ? x), ( ? x) f '( x) ? 0

5 2



x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 5 ,则下列结论中正确的是
A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

【 】 B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 D. f ( x1 ) ? f ( x2 )

【知识点】利用导数研究函数的单调性;抽象函数及其应用;导数的运算.B11 B12 【答案】 【解析】D 解析:∵f(x)=f(5﹣x) ,∴函数的对称轴为 x= , ∵( ﹣x)f′ (x)<0,当 x< 时,f′ (x)<0,f(x)单调递减, 又 x1<x2,x1+x2<5,∴x1<x2< (x1 和 x2 都在对称轴的左侧) , ∴f(x1)>f(x2) ,故选:D. 【思路点拨】由f(x)=f(5﹣x),得函数的对称轴为x= ,从而当x< 时,f′(x)<0,f (x)单调递减,得x1<x2< (x1和x2都在对称轴的左侧),从而f(x1)>f(x2).

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】8.已知 f '( x) 是定义在 R 上 的 函 数 f ( x ) 的 导 函 数 , 且 f ( x) ? f (5 ? x), ( ? x) f '( x) ? 0

5 2



x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 5 ,则下列结论中正确的是
A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

【 】 B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 D. f ( x1 ) ? f ( x2 )

【知识点】利用导数研究函数的单调性;抽象函数及其应用;导数的运算.B11 B12 【答案】 【解析】D 解析:∵f(x)=f(5﹣x) ,∴函数的对称轴为 x= , ∵( ﹣x)f′ (x)<0,当 x< 时,f′ (x)<0,f(x)单调递减, 又 x1<x2,x1+x2<5,∴x1<x2< (x1 和 x2 都在对称轴的左侧) , ∴f(x1)>f(x2) ,故选:D. 【思路点拨】由f(x)=f(5﹣x),得函数的对称轴为x= ,从而当x< 时,f′(x)<0,f (x)单调递减,得x1<x2< (x1和x2都在对称轴的左侧),从而f(x1)>f(x2).

【数学理卷·2015 届江西省五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余

四中)高三上学期第二次联考(201412)word 版】5.若函数 f ( x) ? e 图像在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为( A.直角 B.0 【知识点】导数的几何意义. B11 ) C.锐角

2x

cos x ,则此函数

D.钝角

【答案】 【解析】 C 解析: ∵ f ? ? x ? ? 2e cos x ? e sin x , ∴ f ? ?1? ? e ? 2 c o s 1 s i n 1?
2x 2x 2

?,

0 ?1?
故选 C.

?
3

?

?
2

,? cos1 ? cos

?
3

?

1 2 ,∴2cos1>1,∴ f ? ?1? ? e ? 2cos1 ? sin1? >0, 2

【思路点拨】根据导数的几何意义,得函数图像在点(1,f(1))处的切线的斜率,从而确定切 线倾斜角的范围.

【数学文卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】21、 (本小题满分 13 分)己知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x (1)若 f ( x) 在区间 [1,??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围;
3 2

(2)若 x ? ?

1 是 f ( x) 的极值点,求 f ( x) 在 [1, a] 上的最大值; 3

(3)在(2)的条件下,是否存在实数b,使得函数 g ( x) ? bx 的图象与函数 f ( x) 的图象恰 有3个交点,若存在,请求出实数b的取值范围;若不存在,试说明理由 【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值;函数的单调性与导数的关系;利用导数研究函 数的极值.B11 B12 【答案】【解析】(1) a ? 0 (2) -6(3) b ? ?7且 b ? ? 3 解析:(1) f '( x) ? 3x ? 2ax ? 3
2

? f ( x) 在[1,+ ? )单增 ? f ' ( x) 在[1,+ ? )

2 上恒有 f ' ( x) ? 0, 即 3x ? 2ax ? 3 ? 0 在[1,+ ? )上恒成立,则必有

a ? 1, 且 3

f ' (1) ? ?2a ? 0,? a ? 0 ???????????????4分
(2) f ' ( ? ) ? 0 ,即

1 2 ? a ? 3 ? 0,? a ? 4,? f ( x) ? x 3 ? 4 x 2 ? 3x 令 3 3 1 f '( x) ? 3x 2 ? 8 x ? 3 ? 0 ? x1 ? ? , x2 ? 3 ,则 3
x 1 (1,3) _ -6 3 0 -18 (3,4) + -12 4

1 3

f '( x) f ( x)

? f ( x) 在[1,4]上最大值 f (1) ? ?6 ????????????8分

(3)函数 g ( x ) ? hx 的图象与 f ( n) 图象恰有3个交点,即 x 3 ? 4 x 2 ? 3x ? bx 恰有3个不等 实根? x 3 ? 4 x 2 ? 3x ? bx ? 0 ,其中 x ? 0 是其中一个根 ? x 2 ? 4 x ? 3 ? b ? 0 ,有两个不等零的不等实根. ? ? 16 ? 4(3 ? b) ? 0, ? b ? ?7 且 b ? ?3 ?????13分 ∴ ?3 ? b ? 0 2 【思路点拨】 (1)求导函数,可得 f′(x)=3x ﹣2ax﹣3,利用 f(x)在区间[1,+∞)上 2 是增函数,可得 3x ﹣2ax﹣3≥0 在区间[1,+∞)上恒成立,从而可求实数 a 的取值范围; (2)依题意 x=﹣ 是 f(x)的一个极值点,所以
2

,从而可得 f(x)=x ﹣

3

4x ﹣3x,利用导数确定函数的单调性与极值,从而可求 f(x)在[1,4]上的最大值; (3)函数g(x)=bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点,即方程x ﹣4x ﹣3x=bx恰有3 个不等实根,即方程x ﹣4x﹣3﹣b=0有两个非零不等实根,从而可求实数b的取值范围。
2 3 2

【数学文卷·2015 届湖北省八校高三第一次联考(201412)word 版】17.在平面直角坐标 系 xOy 中 , 直 线 y ? 2 x ? b 是 曲 线 y ? a ln x 的 切 线 , 则 当 a ? 0 时 , 实 数 b 的 最 小 值 是 . 【知识点】导数的几何意义;导数的应用. B11 B12
a x? x0

【答案】 【解析】-2 解析:设切点为( x0 , a ln x0 ) ,则 y ? a ln x 上此点处的切线为 y ?
?a ? ?2 a ln x0 ? a ,故 ? x0 ?a ln x ? a ? b 0 ? a ? b ? a ln ? a ?a ? 0? 在 ?0,2 ? 上单调递减,在 ?2,?? ? 上单调递增. 2 ? b 的最小值为 ?2 .

【思路点拨】 根据函数在某点处的导数, 是函数在此点的切线的斜率.由此得 b ? a ln 又 a>0,利用导数确定函数 b ? a ln 当 a=2 时 b 取得最小值.

a ?a , 2

a ? a 在 ?0,2? 上单调递减,在 ?2,?? ? 上单调递增,所以 2

【数学文卷· 2015 届湖北省八校高三第一次联考 (201412) word 版】 4. 若幂函数 f ( x) ? mx a 1 1 的图像经过点 A( , ) ,则它在点 A 处的 4 2 切线方程是 A. 2 x ? y ? 0 B. 2 x ? y ? 0 C. 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 D. 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 【知识点】幂函数的定义;导数的几何意义. B8 B11 【答案】 【解析】C 解析:

1 1 1 f ( x) ? mxa 为经过 A( , ) 的幂函数,? m ? 1, a ? ,故 4 2 2

f ( x) ? x , f ?( x) ?

1 2 x

,则它在点 A 处的切线方程为 4x-4y+1=0,故选 C.

【思路点拨】由幂函数的定义得 f ( x) ?

x ,在由导数的几何意义得曲线的斜率为

1 f ?( ) ? 4

1 1 2 4

? 1 ,从而得所求切线方程.

【数学文卷·2015 届河北省唐山一中高三上学期期中考试(201411) 】6.如果 f ?( x) 是二次 函数, 且 f ?( x) 的图象开口向上,顶点坐标为(1, 3), 那么曲线

y ? f ( x) 上任一点的切线的倾斜角 ? 的取值范围是 (
A. (0,

) D. [

?
3

]

B. [

? ?

, ) 3 2

C. (

? 2?
2 , 3

]

?
3

,? )

【知识点】导数的几何意义 直线的倾斜角 B11 H1 【答案】 【解析】B 解析:根据已知可得 f ' ? x ? ? 3 ,即曲线 y ? f ( x) 上任一点的切线的 斜率 k ? tan ? ? 3 ,结合正切函数的图象,可知 ? ? [

? ?

, ) ,故选择 B. 3 2

【思路点拨】由二次函数的图象可知最小值为 3 ,根据导数的几何意义可得切线的斜率

tan ? ? 3 ,结合正切函数的图象求出角 α 的范围.

B12 导数的应用
【数学理卷·2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(201411)word 版】19. (本小 题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? bx 图像上一点 P (2, f (2)) 处的切线方程为 y ? ?3 x ? 2 ln 2 ? 2.
2

(Ⅰ)求 a, b 的值; (Ⅱ)若方程 f ( x) ? m ? 0 在区间 [ , e] 内有两个不等实根,求 m 的取值范围 【知识点】导数的应用. B12 【答案】 【解析】(Ⅰ) a=2,b=1;(Ⅱ) 1 ? m ≤
1 ?2 e2

1 e

解析:解:(Ⅰ) f ? ? x ? ? ∴

a a ? 2bx , f ? ? 2 ? ? ? 4b , f ? 2 ? ? a ln 2 ? 4b . x 2

a ? 4b ? ?3 ,且 a ln 2 ? 4b ? ?6 ? 2 ln 2 ? 2 .解得 a=2,b=1 2

(Ⅱ) f ? x ? ? 2ln x ? x 2 ,设 h ? x ? ? f ( x) ? m ? 2ln x ? x 2 ? m , 则 h? ? x ? ?
2 2(1 ? x 2 ) ,令 h? ? x ? ? 0 ,得 x=1(x=-1 舍去). ? 2x ? x x

1 当 x∈ [ , 1) 时, h? ? x ? ? 0 , h(x)是增函数;当 x∈ (1, e] 时, h? ? x ? ? 0 , h(x)是减函数. e 1 则方程 h ? x ? ? 0 在 [ , e] 内有两个不等实根的充要条件是 e

? 1 ? h( e ) ≤ 0, ? ? 1 ? h(1) ? 0, 解得 1 ? m ≤ 2 ? 2 e ? h(e) ≤ 0. ? ? ?
【思路点拨】 (Ⅰ) 由 f ?(2) ? ?3 和 P (2, f (2)) 在直线 y ? ?3x ? 2ln 2 ? 2 上, 得关于 a、 b 的方程组,解此方程组得 a、b 值;(Ⅱ) 设 h ? x ? ? f ( x) ? m ? 2ln x ? x 2 ? m , 利用导数确

定函数 h(x)在区间 [ , e] 上的单调性, 找到极值点, 从而得关于 m 的不等式组, 求得 m 范围.

1 e

【数学理卷· 2015 届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考 (201412) word 版】 21. (本 小题满分 13 分) 已知函数 f(x)=a(x ?

1 )-21nx(a ? R) . x

(1)若 a=2,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)设函数 g(x) ? ?

a .若至少存在一个 x0 ? [1,e],使得 f(x0) ? g(x0)成立, x

求实数 a 的取值范围. 【知识点】导数的应用 B12 【答案】(1)2x-y-2=0(2)略(3)a>0 【解析】函数的定义域为(0,+∞),f′(x)=a(1+

1 2 ax 2 ? 2 x ? a )- = . x x x2

(1)当 a=2 时,函数 f(x)=2(x-

2 x2 ? 2 x ? 2 1 )-2lnx ,f′(x)= , x x2

因为 f (1) =0, f' (1) =2. 所以曲线 y=f (x) 在点 (1, f (1) ) 处的切线方程为 y-0=2 (x-1) , 即 2x-y-2=0. (2)函数 f(x)的定义域为(0,+∞).

①当 a≤0 时,h(x)=ax2-2x+a<0 在(0,+∞)上恒成立, 则 f'(x)<0 在(0,+∞)上恒成立,此时 f(x)在(0,+∞)上单调递减. ②当 a>0 时,△=4-4a2, (ⅰ)若 0<a<1,由 f'(x)>0,即 h(x)>0,得 x <

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 或 x> ; a a

由 f'(x)<0,即 h(x)<0,得

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 < x< . a a 1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ) 和( , +∞) , a a

所以函数 f(x)的单调递增区间为(0 ,

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 单调递减区间为( , ). a a
(ⅱ)若 a≥1,h(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立,则 f'(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立,此 时 f(x)在(0,+∞)上单调递增. (3) ) 因为存在一个 x0∈[1,e]使得 f(x0)>g(x0) ,则 ax0>2lnx0,等价于 a >

2 ln x0 . x0

2 ln x ,等价于“当 x∈[1,e]时,a>F(x)min”. x 2(1 ? ln x ) 对 F(x)求导,得 F′(x)= .因为当 x∈[1,e]时,F'(x)≥0,所以 F(x)在[1, x2
令 F(x)= e]上单调递增.所以 F(x)min=F(1)=0,因此 a>0. 【思路点拨】(1)当 a=2 时求出 f(1),切线斜率 k=f′(1),利用点斜式即可求得切线 方程; (2)求出函数定义域,分①当 a≤0,②当 a>0 两种情况讨论解不等式 f'(x)>0,f'(x) <0 即可; (3)存在一个 x0∈[1,e]使得 f(x0)>g(x0),则 ax0>2lnx0,等价于 a >

2 ln x0 , x0

令 F(x)=

2 ln x ,等价于“当 x∈[1,e]时,a>F(x)min”.利用导数易求其最小值. x

【数学理卷· 2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考 (201411) 】 21. (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? x ? a ln( x ? 1) 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 .
2

(1)求实数 a 的取值范围; (2)讨论函数 f ( x) 的单调性; (3)若对任意的 x ? ( x1 ,??) ,都有 f ( x) ? m 成立,求实数 m 的取值范围. 【知识点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函

数的最值.B12 【答案】 【解析】 (1) 0?a?

1 ; (2) ①当 x ? (?1, x1 ) 时, f ' ( x) ? 0 ,即 f ( x) 在区间 (?1, x1 ) 2

上单调递增; ②当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f ' ( x) ? 0 ,即 f ( x) 在区间 ( x1 , x2 ) 上单调递减; ③当

x ? ( x2 ,??) 时, f ' ( x) ? 0 ,即 f ( x) 在区间 ( x2 ,??) 上单调递增. (3) m ?
解析:(1)由 f ( x) ? x 2 ? a ln( x ? 1) 可得 f ' ( x) ? 2 x ? 令 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? a ( x ? ?1) ,则其对称轴为 x ? ?
2

1 ? 2 ln 2 。 4

a 2x2 ? 2x ? a ? ( x ? ?1) . x ?1 x ?1
1 ,故由题意可知 x1 , x2 是方程 2
? g (?1) ? a ? 0

? ? 4 ? 8a ? 0 , g ( x) ? 0 的两个均大于 ? 1 的不相等的实数根,其充要条件为 ? ?

解得 0 ? a ?

1 . 2

????????4分

2 (2)由(1)可知 f ' ( x) ? 2 x ? 2 x ? a ? 2( x ? x1 )( x ? x2 ) ,其中 ? 1 ? x1 ? x2 ,故 x ?1 x ?1

①当 x ? (?1, x1 ) 时, f ' ( x) ? 0 ,即 f ( x) 在区间 (?1, x1 ) 上单调递增; ②当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f ' ( x) ? 0 ,即 f ( x) 在区间 ( x1 , x2 ) 上单调递减; ③当 x ? ( x2 ,??) 时, f ' ( x) ? 0 ,即 f ( x) 在区间 ( x2 ,??) 上单调递增.???8分 (3)由(2)可知 f ( x) 在区间 ( x1 ,??) 上的最小值为 f ( x2 ) . 又由于 g (0) ? a ? 0 ,因此 ?
2

1 2 ? 2 x2 ? a ? 0 ? x2 ? 0 .又由 g ( x2 ) ? 2 x2 2
2 2 2

可得 a ? ?(2 x2 ? 2 x2 ) ,从而 f ( x2 ) ? x2 ? a ln( x2 ? 1) ? x2 ? (2 x2 ? 2 x2 ) ln( x2 ? 1) . 设 h( x) ? x ? (2 x ? 2 x) ln( x ? 1) ,其中 ?
2 2

1 ? x ? 0, 2

则 h' ( x) ? 2 x ? 2(2 x ? 1) ln( x ? 1) ? 2 x ? ?2(2 x ? 1) ln( x ? 1) . 由? 递增.

1 1 ? x ? 0 知: 2 x ? 1 ? 0 , ln( x ? 1) ? 0 ,故 h' ( x) ? 0 ,故 h( x) 在 (? ,0) 上单调 2 2 1 2

1 ? 2 ln 2 . 4 1 ? 2 ln 2 所以,实数 m 的取值范围为 m ? .???????????13分 4
所以, f ( x2 ) ? h( x2 ) ? h(? ) ? 【思路点拨】 (1)先确定函数的定义域然后求导数 f′ (x) ,令 g(x)=2x2+2x+a,由题意知 x1、x2 是方程 g(x)=0 的两个均大于﹣1 的不相等的实根,建立不等关系解之即可;

(2)在函数的定义域内解不等式 f′ (x)>0 和 f′ (x)<0,求出单调区间; (3)x2是方程g(x)=0的根,将a用x2表示,消去a得到关于x2的函数,研究函数的单调性求 出函数的最大值,即可求m的取值范围.

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】20.(本小题 13 分) 为了保护环境,某工厂在政府部门的鼓励下,进行技术改进:把二氧化碳转化为某种化 工产品,经测算,该处理成本 y (万元)与处理量 x (吨)之间的函数关系可近似的表 示为:

?1 3 ? x ? 640, x ? ?10,30 ? ,且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化 y ? ? 25 ? x 2 ? 40 x ? 1600, x ? ?30,50? ?
工产品。 (Ⅰ)当 x ??30,50? 时,判断该技术改进能否获利?如果能获利,求出最大利润;如果不 能获利,则国家至少需要补贴多少万元,该工厂才不会亏损? (Ⅱ)当处理量为多少吨时,每吨的平均处理成本最少? 【知识点】函数最值的应用。B12 【答案】 【解析】 (Ⅰ) 国家至少需要补贴700万元, 该工厂才不会亏损; (Ⅱ) 当处理量为 40 吨时,每吨的平均处理成本最少。 解析:(Ⅰ)当 x ??30,50? 时,设该工厂获利为 S ,则

S ? 20 x ? ? x 2 ? 40 x ? 1600 ? ? ? ? x ? 30 ? ? 700 ,所以当 x ??30,50? 时, S ? 0 ,因此,
2

该工厂不会获利,所以国家至少需要补贴700万元,该工厂才不会亏损; ???5分 (Ⅱ)由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为

? 1 2 64 x ? , x ? ?10,30 ? y ? ? 25 x P ? x? ? ? ? , x ? 1600 x? ? 40, x ? ?30,50? ? x ?

??????6分

3 1 2 64 2 64 2 x ? 8000 ' x ? (1)当 x ??10,30 ? 时, P ? x ? ? ,所以 P ? x ? ? , x? 2 ? 25 x 25 x 25 x 2

?

?

因为 x ??10,30? , 所以当 x ??10,20? 时,P ? x ? ? 0 ,P ? x ? 为减函数; 当 x ?? 20,30? 时,
'

P' ? x ? ? 0 , P ? x ? 为增函数,所以当 x ? 20 时, P ? x ? 取得极小值
P ? 20 ? ? 202 640 ? ? 48 。??????9分 25 20

(2) 当 x ??3 0 5 ,0

? 时,P ? x ? ? x ?

1600 1600 1600 当且仅当 x ? , ? 40 ? 2 x ? ? 40 ? 40 , x x x

即 x ? 40 ??30,50? 时, P ? x ? 取最小值 P ? 40? ? 40 ,??????12分 因为 48 ? 40 ,所以当处理量为 40 吨时,每吨的平均处理成本最少。??13分 【思路点拨】 (Ⅰ)利用每处理一吨二氧化碳可得价值为 20 万元的某种化工产品,及处理成 本 y(万元)与处理量 x(吨)之间的函数关系,可得利润函数,利用配方法,即可求得结 论; (Ⅱ)求得二氧化碳的每吨平均处理成本函数是分段函数,再分段求出函数的最值,比较其 大小,即可求得结论.

【数学理卷· 2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考 (201411) 】 12. 函数 f ( x) ? 12 x ? x 3

3] 上的最小值是 在区间 [?3,



【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值.B12 【答案】 【解析】 ?16 解析:∵f'(x)=12﹣3x2, ∴f'(x)=0,得 x=±2, ∵f(﹣2)=﹣16,f(3)=9,f(﹣3)=﹣9,f(2)=6, ∴f(x)min=f(﹣2)=﹣16. 故答案为:﹣16. 【思路点拨】先对函数f(x)进行求导,然后令导函数等于0求出x的值,然后判断端点值和 极值的大小进而得到最小值.

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】8.已知 f '( x) 是定义在 R 上 的 函 数 f ( x ) 的 导 函 数 , 且 f ( x) ? f (5 ? x), ( ? x) f '( x) ? 0

5 2



x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 5 ,则下列结论中正确的是
A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

【 】 B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 D. f ( x1 ) ? f ( x2 )

【知识点】利用导数研究函数的单调性;抽象函数及其应用;导数的运算.B11 B12 【答案】 【解析】D 解析:∵f(x)=f(5﹣x) ,∴函数的对称轴为 x= , ∵( ﹣x)f′ (x)<0,当 x< 时,f′ (x)<0,f(x)单调递减, 又 x1<x2,x1+x2<5,∴x1<x2< (x1 和 x2 都在对称轴的左侧) , ∴f(x1)>f(x2) ,故选:D. 【思路点拨】由f(x)=f(5﹣x),得函数的对称轴为x= ,从而当x< 时,f′(x)<0,f (x)单调递减,得x1<x2< (x1和x2都在对称轴的左侧),从而f(x1)>f(x2).

【数学理卷· 2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考 (201411) 】 21. (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? x ? a ln( x ? 1) 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 .
2

(1)求实数 a 的取值范围; (2)讨论函数 f ( x) 的单调性; (3)若对任意的 x ? ( x1 ,??) ,都有 f ( x) ? m 成立,求实数 m 的取值范围. 【知识点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函 数的最值.B12 【答案】 【解析】 (1) 0?a?

1 ; (2) ①当 x ? (?1, x1 ) 时, f ' ( x) ? 0 ,即 f ( x) 在区间 (?1, x1 ) 2

上单调递增; ②当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f ' ( x) ? 0 ,即 f ( x) 在区间 ( x1 , x2 ) 上单调递减; ③当

x ? ( x2 ,??) 时, f ' ( x) ? 0 ,即 f ( x) 在区间 ( x2 ,??) 上单调递增. (3) m ?
2

1 ? 2 ln 2 。 4

a 2x2 ? 2x ? a ? 解析:(1)由 f ( x) ? x ? a ln( x ? 1) 可得 f ' ( x) ? 2 x ? ( x ? ?1) . x ?1 x ?1
令 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? a ( x ? ?1) ,则其对称轴为 x ? ?
2

1 ,故由题意可知 x1 , x2 是方程 2
? g (?1) ? a ? 0

? ? 4 ? 8a ? 0 , g ( x) ? 0 的两个均大于 ? 1 的不相等的实数根,其充要条件为 ? ?

解得 0 ? a ?

1 . 2

????????4分

2 (2)由(1)可知 f ' ( x) ? 2 x ? 2 x ? a ? 2( x ? x1 )( x ? x2 ) ,其中 ? 1 ? x1 ? x2 ,故 x ?1 x ?1

①当 x ? (?1, x1 ) 时, f ' ( x) ? 0 ,即 f ( x) 在区间 (?1, x1 ) 上单调递增; ②当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f ' ( x) ? 0 ,即 f ( x) 在区间 ( x1 , x2 ) 上单调递减; ③当 x ? ( x2 ,??) 时, f ' ( x) ? 0 ,即 f ( x) 在区间 ( x2 ,??) 上单调递增.???8分 (3)由(2)可知 f ( x) 在区间 ( x1 ,??) 上的最小值为 f ( x2 ) . 又由于 g (0) ? a ? 0 ,因此 ?
2

1 2 ? 2 x2 ? a ? 0 ? x2 ? 0 .又由 g ( x2 ) ? 2 x2 2
2 2 2

可得 a ? ?(2 x2 ? 2 x2 ) ,从而 f ( x2 ) ? x2 ? a ln( x2 ? 1) ? x2 ? (2 x2 ? 2 x2 ) ln( x2 ? 1) . 设 h( x) ? x ? (2 x ? 2 x) ln( x ? 1) ,其中 ?
2 2

1 ? x ? 0, 2

则 h' ( x) ? 2 x ? 2(2 x ? 1) ln( x ? 1) ? 2 x ? ?2(2 x ? 1) ln( x ? 1) . 由? 递增.

1 1 ? x ? 0 知: 2 x ? 1 ? 0 , ln( x ? 1) ? 0 ,故 h' ( x) ? 0 ,故 h( x) 在 (? ,0) 上单调 2 2 1 2

1 ? 2 ln 2 . 4 1 ? 2 ln 2 所以,实数 m 的取值范围为 m ? .???????????13分 4
所以, f ( x2 ) ? h( x2 ) ? h(? ) ? 【思路点拨】 (1)先确定函数的定义域然后求导数 f′ (x) ,令 g(x)=2x2+2x+a,由题意知 x1、x2 是方程 g(x)=0 的两个均大于﹣1 的不相等的实根,建立不等关系解之即可; (2)在函数的定义域内解不等式 f′ (x)>0 和 f′ (x)<0,求出单调区间; (3)x2是方程g(x)=0的根,将a用x2表示,消去a得到关于x2的函数,研究函数的单调性求 出函数的最大值,即可求m的取值范围.

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】20.(本小题 13 分) 为了保护环境,某工厂在政府部门的鼓励下,进行技术改进:把二氧化碳转化为某种化 工产品,经测算,该处理成本 y (万元)与处理量 x (吨)之间的函数关系可近似的表 示为:

?1 3 ? x ? 640, x ? ?10,30 ? ,且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化 y ? ? 25 ? x 2 ? 40 x ? 1600, x ? ?30,50? ?

工产品。 (Ⅰ)当 x ??30,50? 时,判断该技术改进能否获利?如果能获利,求出最大利润;如果不 能获利,则国家至少需要补贴多少万元,该工厂才不会亏损? (Ⅱ)当处理量为多少吨时,每吨的平均处理成本最少? 【知识点】函数最值的应用。B12 【答案】 【解析】 (Ⅰ) 国家至少需要补贴700万元, 该工厂才不会亏损; (Ⅱ) 当处理量为 40 吨时,每吨的平均处理成本最少。 解析:(Ⅰ)当 x ??30,50? 时,设该工厂获利为 S ,则

S ? 20 x ? ? x 2 ? 40 x ? 1600 ? ? ? ? x ? 30 ? ? 700 ,所以当 x ??30,50? 时, S ? 0 ,因此,
2

该工厂不会获利,所以国家至少需要补贴700万元,该工厂才不会亏损; ???5分 (Ⅱ)由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为

? 1 2 64 x ? , x ? ?10,30 ? y ? ? 25 x P ? x? ? ? ? , x ? 1600 x? ? 40, x ? ?30,50? ? x ?

??????6分

3 1 2 64 2 64 2 x ? 8000 ' x ? (1)当 x ??10,30 ? 时, P ? x ? ? ,所以 P ? x ? ? , x? 2 ? 25 x 25 x 25 x 2

?

?

因为 x ??10,30? , 所以当 x ??10,20? 时,P ? x ? ? 0 ,P ? x ? 为减函数; 当 x ?? 20,30? 时,
'

P' ? x ? ? 0 , P ? x ? 为增函数,所以当 x ? 20 时, P ? x ? 取得极小值
202 640 P ? 20 ? ? ? ? 48 。??????9分 25 20
(2) 当 x ??3 0 5 ,0

? 时,P ? x ? ? x ?

1600 1600 1600 ? 40 ? 2 x ? ? 40 ? 40 , 当且仅当 x ? , x x x

即 x ? 40 ??30,50? 时, P ? x ? 取最小值 P ? 40? ? 40 ,??????12分 因为 48 ? 40 ,所以当处理量为 40 吨时,每吨的平均处理成本最少。??13分 【思路点拨】 (Ⅰ)利用每处理一吨二氧化碳可得价值为 20 万元的某种化工产品,及处理成 本 y(万元)与处理量 x(吨)之间的函数关系,可得利润函数,利用配方法,即可求得结 论; (Ⅱ)求得二氧化碳的每吨平均处理成本函数是分段函数,再分段求出函数的最值,比较其

大小,即可求得结论.

【数学理卷· 2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考 (201411) 】 12. 函数 f ( x) ? 12 x ? x 3

3] 上的最小值是 在区间 [?3,



【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值.B12 【答案】 【解析】 ?16 解析:∵f'(x)=12﹣3x2, ∴f'(x)=0,得 x=±2, ∵f(﹣2)=﹣16,f(3)=9,f(﹣3)=﹣9,f(2)=6, ∴f(x)min=f(﹣2)=﹣16. 故答案为:﹣16. 【思路点拨】先对函数f(x)进行求导,然后令导函数等于0求出x的值,然后判断端点值和 极值的大小进而得到最小值.

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】8.已知 f '( x) 是定义在 R 上 的 函 数 f ( x ) 的 导 函 数 , 且 f ( x) ? f (5 ? x), ( ? x) f '( x) ? 0

5 2



x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 5 ,则下列结论中正确的是
A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

【 】 B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 D. f ( x1 ) ? f ( x2 )

【知识点】利用导数研究函数的单调性;抽象函数及其应用;导数的运算.B11 B12 【答案】 【解析】D 解析:∵f(x)=f(5﹣x) ,∴函数的对称轴为 x= , ∵( ﹣x)f′ (x)<0,当 x< 时,f′ (x)<0,f(x)单调递减, 又 x1<x2,x1+x2<5,∴x1<x2< (x1 和 x2 都在对称轴的左侧) , ∴f(x1)>f(x2) ,故选:D. 【思路点拨】由f(x)=f(5﹣x),得函数的对称轴为x= ,从而当x< 时,f′(x)<0,f (x)单调递减,得x1<x2< (x1和x2都在对称轴的左侧),从而f(x1)>f(x2).

2015 届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试 【数学理卷· (201411) 】 22.(本小题满分 14 分) 已知函数 (Ⅰ)求 的值; 在 内 有两个不等实根,求 ); 图象与 轴交于 . , 的取值范围 图象上一点 P (2, f (2)) 处的切线方程为

(Ⅱ)若方程

(其中 为自然对数的底, (Ⅲ)令 ,如果 ,求证:

AB 中点为

【知识点】导数应用,函数综合 B12 B14

1 (Ⅱ) 1 ? m ? 2 ? 【答案】【解析】(Ⅰ) a=2,b=
解析: (Ⅰ) ∴ (Ⅱ) 则 在 当 x∈ 内,当 x∈ 时, ,且 ,令 ,令 时, , , .

1 (Ⅲ)略 e2


1 .????? 3 分 解得 a=2,b=


( 1 x=- 1舍去) ,得 x= .
,∴h(x)是增函数;

,∴h(x)是减函数.

则方程



内有两个不等实根的充要条件是

即1 ? m ? 2 ?

1 . e2

????????8 分

2 ? 2x ? n x ?2 ln x1 ? x12 ? nx1 ? 0 ① ? 2 ?2 ln x2 ? x2 ? nx2 ? 0 ② ? 假设结论不成立,则有 ? x1 ? x2 ? 2 x0 ③ ? ? 2 ? 2x ? n ? 0 ④ 0 ? ? x0
2 ' (Ⅲ) g ? x ? ? 2 ln x ? x ? nx, g ? x ? ?

x1 x x2 ①-②,得 2 ln 1 ? ? x12 ? x2 2 ? ? n ? x1 ? x2 ? ? 0 ? n ? 2 ? 2 x0 x2 x1 ? x2 ln

由④得

,∴

.即

.即

.⑤





(0<t<1),则 ,

>0.

∴ 在 0<t<1 上增函数. ∴⑤式不成立,与假设矛盾. ∴ .????????14 分 【思路点拨】 (Ⅰ)由条件直接求解即可. (Ⅱ) 可求函数 ,令

, 的单调性, 从而列出方程 在 内有两

个 不等实根 的充要条 件, 求解即可 . (Ⅲ) 利用 反证法假 设结论不 成立 ,则有

?2 ln x1 ? x12 ? nx1 ? 0 ① ? 2 ?2 ln x2 ? x2 ? nx2 ? 0 ② ? ? x1 ? x2 ? 2 x0 ③ ? ? 2 ? 2x ? n ? 0 ④ 0 ? ? x0
令 ∴ ,





(0<t<1),则 , .

>0.

在 0<t<1 上增函数.

∴⑤式不成立,与假设矛盾.∴

【数学理卷·2015 届湖北省八校高三第一次联考(201412) 】22. (本小题满分 14 分)已知 3 ( t ? 1 ) t ? 0 ,设函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3tx ? 1 . 2 (Ⅰ)若 f ( x) 在(0, 2)上无极值,求 t 的值; (Ⅱ)若存在 x0 ? (0,2) ,使得 f ( x0 ) 是 f ( x) 在[0, 2]上的最大值,求 t 的取值范围; (Ⅲ) 若 f ( x) ? xe x ? m ? 2(e 为自然对数的底数)对任意 x ? [0,??) 恒成立时 m 的最大值为 1, 求 t 的取值范围. 【知识点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.B12

纟1 5 【答案】 【解析】 (Ⅰ)1;(Ⅱ) t ? [ ,??) (Ⅲ) ? ? 0, ú 3 棼 3ú
解析: (Ⅰ) (Ⅱ) ①当 时, 得: 在 ,又 在(0, 2)无极值 单调递增, ????????????????3 分 单调递增, 在 单调递减, 在 在 时无解

?


②当 ③当

时,不合题意; 时, 在 即

单调递增, 在

单调递减, 在

单调递增,

④当

时,



单调递增,在

单调递减,满足条件

5 综上所述: t ? [ ,??) 时,存在 x0 ? (0,2) ,使得 f ( x0 ) 是 f ( x) 在 [0,2]上的最大 3 值. ?8 分

3(t +1) 2 x + 3tx +1 ? xe x m + 2 对任意 x ? [0,??) 恒成立, 2 骣x 3(t +1) 2 3(t +1) 即 m ? xe x x3 + x - 3tx +1 = x 琪 e - x2 + x - 3t +1 对任意 x ? [0,??) 恒成 琪 2 2 桫 3( t +1) x 2 x- 3 t , x ? [0,??) 由于 m 的最大值为 1, 立,令 g ( x ) = e - x + 2 3(t +1) x 2 x - 3t 0 恒成立,否则存在 x0 ? [0, 则 g ( x) = e - x + ) 使得 g ( x0 ) < 0 , 2 则当 x = x0 , m = 1 时, f ( x) ? xex m + 2 不恒成立, 1 由于 g (0) = 1 - 3t 0 ,则 0 < t ,? 10 分 3 1 3(t +1) x 当0 <t 时, g ?( x) = e - 2 x + ,则 gⅱ x) = ex - 2 , ( 3 2 x ⅱ 若 g ( x) = e - 2 = 0 , x = ln 2 ,则 g? ( x) 在上 ( 0,ln 2) 递减,在 ( ln 2, + ) 递增,
3 (Ⅲ)若 x -

即 g? x

( )

min

= g ( ln 2) = 2 +

\ g ( x) ? g ( 0) 1 - 3t

3(t +1) - 2 ln 2 > 0 ,\ g ( x) 在 [0, + ) 上是递增函数, 2 纟1 。? 14 分 0 满足条件,\ t 的取值范围是 ? ? 0, ú 棼 3ú

【思路点拨】 (Ⅰ)求导数,利用 f(x)在(0,2)上无极值,即可求 t 的值; (Ⅱ)分类 讨论,利用函数的单调性,结合 f(x0)是 f(x)在[0,2]上的最值,即可求 t 的取值范围; (Ⅲ)对原函数求导转化为不等式恒成立的问题, ,再利用导数结合单调性即可。

【数学理卷·2015届河北省唐山一中高三上学期期中考试(201411) 】21. (本小题满分12 分) 已知函数 (1)当 (2)若 时,解不等式 其中e是自然数的底数, ; .

上是单调增函数,求 a 的取值范围;

(3)当 a ? 0 ,求使方程

上有解的所有整数k的值.

【知识点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 B12 【答案】(1) ? 0, ?

? ?

1? ? 2 ? ? ;(2) ? ? , 0 ? ;(3) {-3,1}. a? ? 3 ?
? ? 1? 1? ? ? ? 0 ,∴f(x)>0的解集为 ? 0, ? ? ; a? a? ?

【解析】解析:(1)∵ex>0,∴当f(x)>0时即ax2+x>0, 又∵a<0,∴原不等式可化为 x ? x ? (2)

( f x)( ? ax2 ? x)ex ,

? f( ' x)( ? 2ax ?1 )ex ? (ax2 ? x)ex ? [ax2 ? (2a ? 1 )x ? 1]e x,
①当 a ? 0时,f ( ' x)( ? x ?1 )e x,

' x) ? 0 在上 [ ?11] , 恒成立,当且仅当x=-1时取“=”, ∵ f(
∴ a ? 0 满足条件; ②当 a ? 0 时,令 ( g x) ? ax2 ? (2a ? 1 )x ? 1,
2 ∵ ? (2a ? 1 ) ? 4a ? 4a 2 ? 1>0 ,

g x) ? 0 有两个不等的实根 x1、x2 , ∴(
f x) 不妨设 x1>x2 ,因此 ( 有极大值和极小值;
若 a>0, g ? ?1? g ? 0? ? ?a ? 0,

?( f x) f x) ( ? 11 , ) 在 内有极值点,? ( 在[-1,1]上不单调;
若 a ? 0 ,则 x1 ? 0 ? x2 ,

g ? x? 的图象开口向下,要 f ? x ? 使在 [-1 , 1] 单调递增,由

g ? 0? ? 1 ? 0 ,
∴?

? g (1) ? 0 ?3a ? 2 ? 0 2 ? 2 ? 即? ,∴ ? ? a ? 0 ;综上可知, a 的取值范围是 ? ? , 0 ? ; 3 ? 3 ? ? g (?1) ? 0 ? ?a ? 0

(3)当 a ? 0 时,方程 f ? x ? ? x ? 2 为 xe x ? x ? 2 ,不是原方程的解,
x e x>0, ? x ? 0 ∴原方程可化为 e ?

2 ?1 ? 0 ; x

x 令 h ? x? ? e ?

2 2 ? 1 ,∵ h ' ? x ? ? e x ? ? 0 在 x ? ? ??,0? ? ? 0, ??? 时恒成立, x x

∴ h ? x ? 在(-∞,0)和(0,+∞)上是单调增函数;

0 , h ? ?3? ? e 又 h ?1? ? e ? 3<0,h ? 2? ? e ? 2>
2

?3

1 ? 0, h ? ?2 ? ? e ?2 ? 0 3

∴方程有 f ? x ? ? x ? 2 且只有两个实根,且分别在区间 ?1, 2? 和 ? ?3, ?2? 上,

所以,整数k的所有值为{-3,1}. 【思路点拨】 (1) 由 e ? 0,f ? x ? >0 , 可化为 ax2 ? x 在 a<0 时,解关于 x 的不等式 >0,
x

ax 2 ? x>0 即可;

, 上 是 单 调 增 函 数 , 则 f ? x ? ? 0 在 [ ?11] , 上恒成立;讨论 (2) f ? x ? 在 [ ?11]

a ? 0、a>0、a<0 时 f ? x ? 的情况,求出a的取值范围;
x (3) a ? 0 时,方程为 xe x ? x ? 2 ,由 e x>0 ,知 x ? 0 ,原方程化为 e ?

2 ? 1 ? 0; x

x 设 h ? x? ? e ?

2 ? 1 ,求 h ? x ? 在 x ? 0 时的零点所在的区间,从而确定整数k的值. x

【数学理卷· 2015 届河北省唐山一中高三上学期期中考试( 201411 ) 】 16. 已知函数

f ( x) ? ax ?
①不论 ②若 ③若 ④当

b (a, b ? R) ,有下列五个命题 x

为什么值,函数 y ? f ( x) 的图象关于原点对称; ,函数 f ( x) 的极小值是 ,极大值是 ;

,则函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点的切线都不可能经过原点; 时 ,函数 y ? f ( x) 图象上任意一点的切线与直线 及 轴所围成的三角

形的面积是定值.其中正确的命题是 _________ (填上你认为正确的所有命题的序号) 【知识点】导数的应用B12

f x) ? ax ? (a,b ? R), 【答案】①③④【解析】A解析:函数 (
①函数的定义域为 ?x | x ? 0? , f ? ? x ? ? ?ax ?

b x

b b = ? (ax ? )= ? f ? x ?, b为什 ∴不论a, ?x x

么值,函数 y ? f ( x) 的图象关于原点对称,命题①正确; ②若 a ? b ? 0, 则 f ? ? x ?=a ?

b ax 2 ? b ? x)<0 ,函数 ( f x) 无 = , 当 a<0,b>0 时, f( x2 x2 b ax 2 ? b = , x2 x2
b )的 切 线 方 程 为 x0

极值,命题②错误;③若 ab ? 0 ,则, f ? ? x ?=a ?

∴ 过 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 上 任 意 一 点 (x0,ax0 ?

y ? ax0 ?

ax0 2 ? b b ax02 ? b b = ( x ? x ) , ? ax ? = , 0 0 代入 ( , ) 得 , , 即b=0, 与 ab ? 0 0 0 x0 x02 x0 x0

矛盾,∴函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点的切线都不可能经过原点,命题③正确;④当

ab ? 0 时,函数 y ? f ( x) 图象上任意一点的切线方程为 y ? ax0 ?

b ax02 ? b = ( x ? x0 ), x0 x02
2b x0

(0, ) (2 x0, 2ax0) (0, 0) 与 y ? ax 联立得交点为 ,令 x ? 0 得切线与y轴交点为 ,原点为 ,
∴围成的三角形面积为

1 2b ? ? 2ax0 ? 2ab. ∴与 y ? ax 直线及 y轴所围成的三角形的面积 2 x0

是定值.∴正确的命题是①③④.故答案为:①③④ 【思路点拨】对于①,可以判断该函数是奇函数,由此说明;对于②,当 a<0,b>0 .

(0, 0) 时,函数是单调函数,不满足题意;对于③可先用切点把切线方程表示出来,然后将
代入,只要是无解即可说明;对于④先表示出任意一点处切线的方程,然后求出该切线与

y ? ax ,y轴的交点,则三角形的三个交点可以求出,面积可求.

【 数 学 理 卷 · 2015 届 河 北 省 唐 山 一 中 高 三 上 学 期 期 中 考 试 ( 201411 ) 】 11. 函 数 的

f ( x) ?
A. ?

1 3 1 2 ax ? ax ? 2ax ? 2a ? 1 图像经过四个象限,则实数 a 的取值范围是( 3 2
B.a ? ? 6 5 C. ? 6 3 ?a?? 5 16
2

)

6 3 ?a?? 5 16

D.a ? ?

3 16

【知识点】导数的应用 B12

? x) ? ax ? ax ? 2a ? ( a x ?1 ) 【答案】 【解析】D解析:因为 f( ? x ? 2? ,若 a ? 0 ,则当

x ? ?2或x ? 1时,f ? ? x ? ? 0,当? 2 ? x ? 1时,f ? ? x ? ? 0, 要满足图像经过四个象限,只
需?

? 6 6 ? f ? ?2 ? ? 0 ? ? ? a ? ? ,若 a ? 0 ,则当 5 13 ? ? f ?1? ? 0

x ? ?2或x ? 1时,f ? ? x ? ? 0,当? 2 ? x ? 1时,f ? ? x ? ? 0, 要满足图像经过四个象限,只
需?

? 6 6 ? f ? ?2 ? ? 0 无解,所以 ? ? a ? ? ,故选择D. 5 13 ? ? f ?1? ? 0

【思路点拨】先求导函数,利用导数求函数的单调区间,进而得到函数的最值,要满足图像 经过四个象限,只需满足最值异号可以求解.

【数学理卷·2015 届江西省五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余 四中)高三上学期第二次联考(201412)word 版】20. (本小题满分 12 分)已知椭圆

C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形,直线 a2 b2 3 x ? 4 y ? 6 ? 0 与以椭圆 C 的上顶点为圆心,以椭圆 C 的长半轴长为半径的圆相切.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)椭圆 C 与 x 轴负半轴交于点 A ,过点 A 的直线 AM , AN 分别与椭圆 C 交于 M ,

3 N 两点, k AM 、k AN 分别为直线 AM 、 AN 的斜率, k AM ? k AN ? ? ,求证:直 4 线 MN 过定点,并求出该定点坐标;
(3)在(2)的条件下,求 ?AMN 面积的最大值. 【知识点】直线与椭圆的综合问题 H8

x2 3 【答案】 【解析】(1) 解析: (1)由椭圆 C 短轴的两个 ? y 2 ? 1 (2) (-1,0) (3) 4 2 顶点与右焦点的连线构成等边三角形,则 a ? 2b ,??1 分
又因为以椭圆 C 的上顶点为圆心,以椭圆 C 的长半轴长为半径的圆的方程为

x 2 ? ( y ? b) 2 ? a 2 , 所以圆心 (0, b) 到直线 3 x ? 4 y ? 6 ? 0 的距离 4b ? 6 d? ? a ? 2b ,?????????3 分 5 解得 a ? 2, b ? 1 ? 椭圆 C 的方程为
x2 ? y 2 ? 1 .???????????????????4 分 4 (2) 由 题 意 可 知 直 线 MN 斜 率 不 为 0 , 设 直 线 MN 的 方 程 为 x ? my ? n , ? x ? my ? n ? 消去 x 得 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,联立 ? x 2 ? y2 ? 1 ? ?4 2 2 2 (m ? 4) y ? 2mny ? n ? 4 ? 0 , ?2mn , ? y1 ? y2 ? 2 m ?4 n2 ? 4 y1 y2 ? 2 ,?????????????????????????????.5 分 m ?4 4n 2 ? 4m 2 8n 2 2 , x1 x2 ? m y1 y2 ? mn( y1 ? y2 ) ? n ? x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2n ? 2 m2 ? 4 m ?4 y y y1 y2 3 3 3 k AM ? k AN ? ? ,? 1 ? 2 ? ? ,即 ?? , 4 x1 ? 2 x2 ? 2 4 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 4

n2 ? 4 n2 ? 4 3 m2 ? 4 ? ? ? ,解得 n ? ?1 或 n ? ?2 ? 2 2 2 2 2 4n ? 4m 16n 4n ? 4m ? 16n ? 4m ? 16 4 ? 2 ?4 2 m ?4 m ?4 (舍去), ? 直线 MN 的方程为 x ? my ? 1 ,? 直线 MN 过定点(-1,0) (3) 记直线 MN 与 x 轴交点为 D ,则 D 坐标为(-1,0)

? x ? my ? 1 ? 消去 x 得 2 ? y ? 1 ? ?4 2 (m ? 4) y 2 ? 2my ? 3 ? 0 , 2m ?3 , y1 y2 ? 2 , ? y1 ? y2 ? 2 m ?4 m ?4 1 1 S ?AMN ? AD y1 ? y 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 2 2
联立 ? x 2

?

1 4m 2 12 m2 ? 3 , ? ? 2 2 (m 2 ? 4) 2 m 2 ? 4 (m 2 ? 4) 2
t ?2 (t ? 1) 2 1 1 3 ,当且仅当 t ? m 2 ? 3 ? 3 ?2 ? 1 1 2 t? ?2 3? ? 2 t 3
3 .????? 2

令 t ? m2 ? 3 , t ? 3

? S ?AMN ? 2

即 m ? 0 时, ?AMN 面积的最大值为

【思路点拨】由题中的条件可求出椭圆方程,再由直线与椭圆的联立方程可求出直线方程, 根据三角形的面积公式可列出关系式,利用不等式求出最大面积. 21. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 函 数 f ( x) ? x ? a ln x ? x , g ( x) ? 2 x ? 2 x x ? ke x ,
2

( e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数). (1)讨论

f ( x) 在其定义域上的单调性;

(2)若 a ? 2 ,且不等式 xf ( x) ? g ( x) 对于 ?x ? (0,??) 恒成立,求 k 的取值范围. 【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求函数的单调区间;利用导数求函数的最 值 。B12 【答案】 【解析】 (1)见解析; (2) (??, 0]

a 2x2 ? x ? a 解析: (1) f ( x) ? 2 x ? ? 1 ? , 令 ' , , f ( x) ? 0, 即2 x 2 ? x ? a =0 ? ? 1 ? 8a x x 1 ①当 a ? ? 时, ,则 ' ,此时 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增;………………2 分 f ( x) ? 0 ??0 8
'

1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a 1 , x2 ? ,方程 2 两根为 x1 ? ??0 2 x ? x ? a =0 4 4 8 1 (ⅰ)当 ? ? a ? 0 时, x1 ? 0, x2 ? 0 ,则当 x ? (0, x2 ) 时, f ' ( x) ? 0 ,当 x ? ( x2 , x1 ) 8
②当 a ? ? 时, 时,

f ' ( x) ? 0

,当

x ? ( x1 , ??) 时, f ' ( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (0, x2 ) 上递增,在 ( x2 , x1 )

上递减;在 (ⅱ)当

( x1 , ??) 上递增;…………………………………………………………………………………………….4 分
时,

a?0

f ' ( x) ? 0

x1 ? 0, x2 ? 0 ,则当 x ? (0, x1 ) 时, f ' ( x) ? 0 ,当 x ? ( x1 , ??) 时, ,所以 f ( x ) 在 (0, x ) 上递减,在 ( x , ??) 上递增;
1 1

综上:当 a ? ? 时, 当? 当

1 8

f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增;

1 在 ? a ? 0 时, f ( x) 在 (0, x ) 上递增, ( x2 , x1 ) 上递减;在 ( x1 , ??) 上递增; 2 8

对于?x ? (0,??) 恒成立,等价于 x( x 2 ? 2 ln x ? x) ? 2 x ? 2 x x ? ke x 对于 ?x ? (0,??) 恒成立, k ? e ? x [ x( x 2 ? 2 ln x ? x) ? 2 x ? 2 x x ] 即 对于?x ? (0,??) 恒成立, k ? e ? x x ? ( x 2 ? 2 ln x ? x ? 2 ? 2 x ) 令 , , x ? (0,??) h( x) ? e ? x x F ( x) ? x 2 ? 2 ln x ? x ? 2 ? 2 x (2)依题意, 显然 对于

a?0

时,

f ( x) 在 (0, x ) 上递减,在 ( x , ??) 上递增. …………………………………………6 分
1 1

h( x ) ? 0

,…………………………………………………………………………………………………………………..7 分 , x ? (0,??)

F ( x) ? x 2 ? 2 ln x ? x ? 2 ? 2 x

2 1 ( x ? 1)(2 x x ? 2 x ? x ? 2) ?1? ? , x x x ' 令 F ( x) ? 0 ,并由 x ? 0, 得 ( x ? 1)(2 x x ? 2 x ? x ? 2) ? 0, 解得 x ? 1, ' 令 F ( x) ? 0 ,由 x ? 0, 解得0 ? x ? 1. ……………………………………………………………………………9 分 则F ' ( x) ? 2 x ?
列表分析:

x 1 (0,1) (1,+?) 0 + F ( x) 0 递减 递增 F ' ( x) ? 函数 F ( x) ? F (1) ? 0 ,又 h( x) ? 0 ,? h( x) ? F ( x) 有最小值 0,………………………….11 分 因此, k 的取值范围是 (??, 0] .………………………………………………………………………….………………12 分
'

【思路点拨】 (1)先对原函数求导,然后对 a 进行分类讨论即可; (2)原不等式可转化为

k ? e ? x x ? ( x 2 ? 2 ln x ? x ? 2 ? 2 x )

对于 ?x ? (0,??) 恒成立, 然后利用导数求出最值即可。

【数学理卷·2015 届江西省五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余 四中)高三上学期第二次联考(201412)word 版】6.下列命题正确的个数有( ) (1)命题“ p ? q 为真”是命题“ p ? q 为真”的必要不充分条件 (2)命题“ ?x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“对 ?x ? R , 均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 ” (3)经过两个不同的点 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) 的直线都可以用方程 ( y ? y1 )( x2 ? x1 ) ?

( x ? x1 )( y2 ? y1 ) 来表示
(4)在数列 ?a n ? 中, a1 ? 1 , S n 是其前 n 项和,且满足 S n ?1 ?
3 2 2

1 S n ? 2 ,则 ?a n ? 是等比数列 2
D.4 个

(5)若函数 f ( x) ? x ? ax - bx ? a 在 x ? 1 处有极值 10,则 a ? 4,b ? 11 A.1 个 B.2 个 B12 C.3 个 【知识点】充分条件;必要条件;基本逻辑联结词及量词;已知递推公式求通项;函数有极 值的条件. A2 A3 D1

【答案】 【解析】B 解析: (1)命题“ p ? q 为真”是命题“ p ? q 为真”的充分不必要条 件,故(1)不正确; (2)命题“ ?x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“对 ?x ? R , 均有

x 2 ? x ? 1 ? 0 ”, 故 ( 2) 不正确; (3) 显然正确; (4) ∵ S n ?1 ?

1 1 S n ? 2 ,∴ Sn ? Sn?1 ? 2 , 2 2

两式相减得 an?1 ? an , ∴ ?a n ? 是等比数列, 故 (4) 正确; (5) 若函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 - bx ? a 2
2 ? ? f ?1? ? 1 ? a ? b ? a ? 10 ?a ? 4 ?a ? ?3 ?? 或? 在 x ? 1 处有极值 10,则 ? ,故(5)不正确. b ? 11 b ? ? 3 ? f 1 ? 3 ? 2 a ? b ? 0 ? ? ? ? ? ?

1 2

所以只有(3) , (4)正确,故选 B. 【思路点拨】逐个分析各命题的正误.

【数学理卷· 2015 届云南省部分名校高三 12 月统一考试( 201412 ) 】 21 .已知函数

f ( x) ?

1 2 x ? ln x . 2

(1)求函数 f ( x ) 在 [1, e] 上的最大值、最小值; (2)当 x ? [1, ??) ,比较 f ( x ) 与 g ( x) ?
n n n

2 3 x 的大小; 3
?

(3)求证: [ f ?( x)] ? f ?( x ) ? 2 ? 2(n ? N ) . 【知识点】导数的应用 B12

1 2 1 e ? 1 ,小 (2) f ( x) ? g ( x) (3)略 2 2 1 【解析】 (1) f ?( x) ? x ? ? 0( x ? 0) ? f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数, x
【答案】 (1)大

1 1 ? f max ( x) ? f (e) ? e 2 ? 1 , f min ( x ) ? f (1) ? 2 2
(2)令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1 2 2 x ? ln x ? x3 , 2 3

1 x 2 ? 1 ? 2 x3 (1 ? x)(2 x 2 ? x ? 1) F ?( x) ? x ? ? 2 x 2 ? ? x x x
当 0 ? x ? 1 时, F ?( x) ? 0 ;当 x ? 1, F ?( x) ? 0 ; ? F ( x) 在 (0,1) 上是增函数,在 (1, ??) 是减函数;

F ( x) 极大值为 F ( x) 是大值, Fmax ( x) ? F (1) ?

1 2 ? ?0 2 3

? 当 x ? [1, ??) 时, F ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) .

(3) f ?( x) ? x ?

1 1 1 ( x ? 0) [ f ?( x)]n ? ( x ? ) n , f ?( x n ) ? x n ? n x x x

n n 1 n ?1 令 S ? [ f ?( x)] ? f ?( x ) ? Cn x ?

1 1 2 n?2 ? Cn x ? 2? x x

n ?1 Cn x?

1 x n ?1

将上式倒序相加 S ? Cn ? x

n?1

?( n?2)

n?2 ? Cn ? x?( n?4) ?

1 n ?2 ? Cn x
n?1 ? Cn [ x?(n?2) ? x(n?2) ]

1 2 ?2S ? Cn [ xn?2 ? x?( n?2) ] ? Cn [ xn?4 ? x?(n?4) ] ?

1 2 ? 2Cn ? 2Cn ? 1 2 ? S ? Cn ? Cn ?

n ?1 ?2Cn n?1 0 1 2 ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? n?1 n ? Cn ? Cn ? 2 ? 2n ? 2

【思路点拨】求出导数利用单调性求出,根据倒序相加证明。 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号。

【 数 学 理 卷 · 2015 届 云 南 省 部 分 名 校 高 三 12 月 统 一 考 试 ( 201412 ) 】4.设函数
2 , 曲 线 y ? g ( x) 在 点 (1,g (1)处 ) 的 切 线 方 程 为 y ? 2x ?1 , 则 曲 线 f ( x) ? g ( x)? x

y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处切线的斜率为(
A. 2 B. 4 C. ?

) D. ?

1 4

1 2

【知识点】导数的应用 B12 【答案】B 【解析】f′(x)=g′(x)+2x.∵y=g(x)在点(1,g(1) )处的切线方程为 y=2x+1, ∴g′(1)=2,∴f′(1)=g′(1)+2×1=2+2=4, ∴y=f(x)在点(1,f(1) )处切线斜率为 4. 【思路点拨】欲求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处切线的斜率,即求 f′(1) ,先求出 f′(x) , 然后根据曲线 y=g(x)在点(1,g(1) )处的切线方程为 y=2x+1 求出 g′(1) ,从而得到 f′(x)的解析式,即可求出所求.

【数学文卷·2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(201411)word 版】20. (本题 满分 12 分)已知函数 g x ?

??

2 m?2 ? ln x , f ?x ? ? mx ? ? ln x , m ? R . x x

⑴求函数 g ( x) 的极值;⑵若 f ( x) ? g ( x) 在 ?1, ?? ? 上为单调函数,求 m 的取值范围. 【知识点】导数的应用;不等式恒成立问题. B12 E8 【答案】 【解析】 (1) g ? x ?极小值 ? g ?2 ? ? 1 ? ln 2 ,无极大值; (2) ? ??, 0?

?1, ?? ?

.

解析: (1)? g ??x ? ? ? 2 ? ? x x x2

2

1

x?2

令 g ?? x ? ? 0 得: x ? 2 ;令 g ?? x ? ? 0 得: x ? 2 又因为 g ? x ? 的定义域为 ?0, ? ?? 故 g ? x ? 在 ?0,2 ? 上单调递减,在 ?2,?? ? 上单调递增 故 g ? x ?极小值 ? g ?2 ? ? 1 ? ln 2 ,无极大值。 (2)∵ f ( x) ? g ( x) ? mx ?

mx 2 ? 2 x ? m m . ? 2 ln x. ? ? f ( x) ? g ( x) ?? ? x2 x

f ( x) ? g ( x) 在 ?1, ? ? 上为单调函数,
2 ? mx 2 ? 2 x ? m ? 0 或者 mx ? 2 x ? m ? 0 在 ?1, ? ? 恒成立

mx 2 ? 2 x ? m ? 0 等价于 m(1 ? x 2 ) ? 2 x, 即 m ?

2x , 1 ? x2

? ? 2x 2 ? 2 ? ? ,? 而 ? max ? 1???? m ? 1 . 1 ? x2 x ? 1 ? x ? 1 ? x ? x?
? mx 2 ? 2 x ? m ? 0 等价于 m(1 ? x 2 ) ? 2 x, 即 m ?


2x 在 ?1, ? ? 恒成立, 1 ? x2

2x ? ? 0,1? , m ? 0 . 1 ? x2

综上, m 的取值范围是 ? ??, 0?

?1, ?? ? .

【思路点拨】 (1)先求定义域上导函数为零的根,再判断此根两侧导函数值的符号,由此得 函数的极值情况; (2) h(x)= f ( x) ? g ( x) 在 ?1, ?? ? 上为单调函数,则在 ?1, ? ? 上 h? ? x ? ? 0 或

h? ? x ? ? 0 恒成立,在采用分离常数法求 m 范围.

【数学文卷· 2015 届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考 (201412) word 版】 21. (本 小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ?

ex 2 ? k ( ? 1nx)(k 为常数,e=2.718 28…是自然对数的底数) . 2 x x

(1)当 k≤0 时,求函数 f ( x ) 的单调区间;

(2)若函数 f ( x ) 在(0,2)内存在两个极值点,求 k 的取值范围。 【知识点】导数的应用 B12 【答案】(Ⅰ)f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞) (Ⅱ)(e,

e2 ) 2

【解析】(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),

( x ? 2)(e x ? kx) ∴f′(x)= (x>0), x3
当 k≤0 时,kx≤0,∴ex-kx>0, 令 f′(x)=0,则 x=2, ∴当 0<x<2 时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x>2 时,f′(x)>0,f(x)单调递增, ∴f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞). (Ⅱ)由(Ⅰ)知,k≤0 时,函数 f(x)在(0,2)内单调递减, 故 f(x)在(0,2)内不存在极值点; 当 k>0 时,设函数 g(x)=ex-kx,x∈[0,+∞). ∵g′(x)=ex-k=ex-elnk, 当 0<k≤1 时, 当 x∈(0,2)时,g′(x)=ex-k>0,y=g(x)单调递增, 故 f(x)在(0,2)内不存在两个极值点; 当 k>1 时, 得 x∈(0,lnk)时,g′(x)<0,函数 y=g(x)单调递减, x∈(lnk,+∞)时,g′(x)>0,函数 y=g(x)单调递增, ∴函数 y=g(x)的最小值为 g(lnk)=k(1-lnk) 函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点

? g (0) ? 0 ? g (ln k ) ? 0 ? 当且仅当 ? ? g (2) ? 0 ? ?0 ? ln k ? 2
解得:e< k <

e2 2 e2 ) 2

综上所述,函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点时,k 的取值范围为(e,

【思路点拨】 (Ⅰ)求出导函数,根据导函数的正负性,求出函数的单调区间; (Ⅱ)函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点,等价于它的导函数 f′(x)在(0,2)内 有两个不同的零点.

【数学文卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】21、 (本小题满分 13 分)己知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 3x (1)若 f ( x) 在区间 [1,??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x ? ?

1 是 f ( x) 的极值点,求 f ( x) 在 [1, a] 上的最大值; 3

(3)在(2)的条件下,是否存在实数b,使得函数 g ( x) ? bx 的图象与函数 f ( x) 的图象恰 有3个交点,若存在,请求出实数b的取值范围;若不存在,试说明理由 【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值;函数的单调性与导数的关系;利用导数研究函 数的极值.B11 B12 【答案】【解析】(1) a ? 0 (2) -6(3) b ? ?7且 b ? ? 3 解析:(1) f '( x) ? 3x ? 2ax ? 3
2

? f ( x) 在[1,+ ? )单增 ? f ' ( x) 在[1,+ ? )

上恒有 f ' ( x) ? 0, 即 3x 2 ? 2ax ? 3 ? 0 在[1,+ ? )上恒成立,则必有

a ? 1, 且 3

f ' (1) ? ?2a ? 0,? a ? 0 ???????????????4分
(2) f ' ( ? ) ? 0 ,即

1 2 ? a ? 3 ? 0,? a ? 4,? f ( x) ? x 3 ? 4 x 2 ? 3x 令 3 3 1 f '( x) ? 3x 2 ? 8 x ? 3 ? 0 ? x1 ? ? , x2 ? 3 ,则 3
x 1 (1,3) _ -6 3 0 -18 (3,4) + -12 4

1 3

f '( x) f ( x)

? f ( x) 在[1,4]上最大值 f (1) ? ?6 ????????????8分 3 2 (3)函数 g ( x ) ? hx 的图象与 f ( n) 图象恰有3个交点,即 x ? 4 x ? 3x ? bx 恰有3个不等
3 2 实根? x ? 4 x ? 3x ? bx ? 0 ,其中 x ? 0 是其中一个根 ? x 2 ? 4 x ? 3 ? b ? 0 ,有两个不等零的不等实根. ? ? 16 ? 4(3 ? b) ? 0, ? b ? ?7 且 b ? ?3 ?????13分 ∴ ?3 ? b ? 0 2 【思路点拨】 (1)求导函数,可得 f′(x)=3x ﹣2ax﹣3,利用 f(x)在区间[1,+∞)上 2 是增函数,可得 3x ﹣2ax﹣3≥0 在区间[1,+∞)上恒成立,从而可求实数 a 的取值范围;

(2)依题意 x=﹣ 是 f(x)的一个极值点,所以
2

,从而可得 f(x)=x ﹣

3

4x ﹣3x,利用导数确定函数的单调性与极值,从而可求 f(x)在[1,4]上的最大值; (3)函数g(x)=bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点,即方程x ﹣4x ﹣3x=bx恰有3 个不等实根,即方程x ﹣4x﹣3﹣b=0有两个非零不等实根,从而可求实数b的取值范围。
2 3 2

【 数 学 文 卷 · 2015 届 湖 南 省 衡 阳 市 五 校 高 三 11 月 联 考 ( 201411 ) 】 15 、 已 知 函 数

f ( x) ? x3 ? 3x2 ? a (a ? R)
①若 f ( x ) 的图像在 (1, f (1)) 处的切线经过点 (0, 2) ,则 a = ②若对任意 x1 ?[0, 2] ,都存在 x2 ?[2,3] 使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 ,则实数 a 的范围为 【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.B12 【答案】 【解析】.①1 ② a ? 3 解析:①函数 f(x)=x ﹣3x +a 的导数 2 f′(x)=3x ﹣6x,在(1,f(1) )处的切线斜率为 3﹣6=﹣3,
3 2

切点(1,a﹣2) ,由两点的斜率公式,得﹣3=
2

,则 a=1;

②导数 f′(x)=3x ﹣6x,当 x∈[0,2],f′(x)≤0,f(x)递减, 当 x∈[2,3],f′(x)≥0,f(x)递增.则 f(x1)的最大值为 f(0)=a, f(x2)的最小值为 f(2)=a﹣4,则由题意得,f(x1)max+f(x2)min≤2, 即有 a+a﹣4≤2,解得,a≤3.故答案为:1,a≤3 【思路点拨】①求出导数,求出切线的斜率和切点,再由两点斜率公式,即可得到 a; ②运用导数判断 f(x)在[0,2],在[2,3]的单调性,求出最值,由题意得,f(x1)max+f (x2)min≤2,得到不等式,解出即可.

【数学文卷· 2015 届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试 (201411) 】 22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? a ln x ? bx (a, b ? R ) ,曲线 y ? f ? x ? 在点

?1, f ?1? ? 处的切线方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 .
(1)求 f ( x) 的解析式;

k ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围; x (3)设 n 是正整数,用 n! 表示前 n 个正整数的积,即 n!? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n .
(2)当 x ? 1 时, f ? x ? ? 求证: n!? e
n ( n ?1) 4



【知识点】导数的应用,函数的单调性 B12 B3 【答案】 【解析】(1) f ? x ? ? ln x ?

x 1 (2) (??, ] (3)略 2 2
∴ f ?? x? ?

解析: (1)∵ f ? x ? ? a ln x ? bx ,

a ?b. x

∵直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的斜率为

1 1 ,且曲线 y ? f ? x ? 过点 (1, ? ) , 2 2

1 1 ? ? f ?1? ? ? , ?b ? ? , ? ? 2 即? 2 解得 a ? 1, b ? ? 1 . ∴? ? 2 ? f ? ?1? ? 1 , ?a ? b ? 1 , ? ? ? 2 ? 2
所以 f ? x ? ? ln x ?

x 2

????4 分

(2)由(1)得当 x ? 1 时, f ? x ? ?

k x k ? 0 恒成立即 ln x ? ? ? 0 , x 2 x

等价于 k ?

x2 ? x ln x . 2

令 g ? x? ?

x2 ? x ln x ,则 g ? ? x ? ? x ? ? ln x ? 1? ? x ? 1 ? ln x . 2

令 h ? x ? ? x ? 1 ? ln x ,则 h? ? x ? ? 1 ?

1 x ?1 ? . x x

当 x ? 1 时, h? ? x ? ? 0 ,函数 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,故 h ? x ? ? h ?1? ? 0 .

从而,当 x ? 1 时, g ? ? x ? ? 0 ,即函数 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增, 故 g ? x ? ? g ?1? ?

1 . 2

1 x2 因此,当 x ? 1 时, k ? ? x ln x 恒成立,则 k ? . 2 2
∴ k 的取值范围是 (??, ] . (3)由(2)知,当 x ? 1 时, f ? x ? ? 0 ( k ? 0 时) , 又 x ? 1 时 f ? x ? ? 0 也成立,所以当 x ? 1 时, ln x ? 于是 ln 1 ?

1 2

???11 分

1 2 3 , ln 2 ? , ln 3 ? , 2 2 2

把以上各式左右分别相加得 ln(1? 2 ? 3 即 ln n ! ?

x , 2 n , ln n ? 2 1? 2 ? 3 ? ? n n) ? 2
???14 分

n(n ? 1) ,所以 n ! ? e 4

n (n ?1) 4

.

【思路点拨】 (1)先求出函数 f(x)的导函数,根据在 x=1 处的导数等于切线的斜率建立 等量关系,以及切点在曲线上建立等式关系,解之即可. (2)由题意可得 k ?

x2 x2 ? x ln x ,令 g(x)= ? x ln x ,则利用导数判断函数的单调性, 2 2

求出函数 g(x)的最小值即可; (3)由(2)知,当 x>1 时,f(x)<0(k=0) ,又 x=1 时 f(x)<0 也成立,所以当 x≥1 时, ln x ?

x 1 2 3 ,于是 ln 1 ? , ln 2 ? , ln 3 ? , 2 2 2 2

, ln n ?

n ,上述各式相加 2

即可得出结论.

【数学文卷·2015 届湖北省八校高三第一次联考(201412)word 版】22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x 3 ? x ? x .
f ( x) 的单调性; x (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的零点的个数;

(Ⅰ)判断

1 若函数 y ? g ( x) 在 (0, ) 内有极值, 求实数 a 的取值范围. ? ln x , e f ( x) ? x 【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函

(Ⅲ) 令 g ( x) ?

ax 2 ? ax

数的最值.B12 【答案】 【解析】 (Ⅰ)φ(x)在(0,+∞)上单调递增; (Ⅱ)f(x)在(0,+∞)上有且 只有两个零点; (Ⅲ) (e+ ﹣2,+∞) 解析: (Ⅰ)设 φ(x)= 则 φ'(x)=2x+ =x ﹣1﹣
2

(x>0) ,

>0,∴φ(x)在(0,+∞)上单调递增;

(Ⅱ)∵φ(1)=﹣1<0,φ(2)=3﹣ ∴φ(x)在(1,2)内有零点,
3

>0,且 φ(x)在(0,+∞)上单调递增,

又 f(x)=x ﹣x﹣ =x?φ(x) ,显然 x=0 为 f(x)的一个零点, ∴f(x)在(0,+∞)上有且只有两个零点; (Ⅲ)g(x)= +lnx=lnx+ ,

则 g'(x)=

=



设 h(x)=x ﹣(2+a)x+1,则 h(x)=0 有两个不同的根 x1,x2,且有一根在(0, )内, 不妨设 0<x1< ,由于 x1x2=1,即 x2>e,由于 h(0)=1,故只需 h( )>0 即可, 即 ﹣(2+a) +1<0,解得 a>e+ ﹣2,∴实数 a 的取值范围是(e+ ﹣2,+∞) .

2

【思路点拨】 (Ⅰ)化简 运用零点存在定理说明

,并求导数,注意定义域: (0,+∞) ,求出单调区间; (Ⅱ) 在(1,2)内有零点,再说明 f(x)在(0,+∞)上有且只
2

有两个零点; (Ⅲ)对 g(x)化简,并求出导数,整理合并,再设出 h(x)=x ﹣(2+a)x+1, 说明 h(x)=0 的两个根,有一个在(0, )内,另一个大于 e,由于 h(0)=1,通过 h( ) >0 解出 a 即可.

【数学文卷·2015 届湖北省八校高三第一次联考(201412)word 版】17.在平面直角坐标 系 xOy 中 , 直 线 y ? 2 x ? b 是 曲 线 y ? a ln x 的 切 线 , 则 当 a ? 0 时 , 实 数 b 的 最 小 值 是 . 【知识点】导数的几何意义;导数的应用. B11 B12
a x? x0

【答案】 【解析】-2 解析:设切点为( x0 , a ln x0 ) ,则 y ? a ln x 上此点处的切线为 y ?
?a ? ?2 a ln x0 ? a ,故 ? x0 ?a ln x ? a ? b 0 ? a ? b ? a ln ? a ?a ? 0? 在 ?0,2 ? 上单调递减,在 ?2,?? ? 上单调递增. 2 ? b 的最小值为 ?2 .

【思路点拨】 根据函数在某点处的导数, 是函数在此点的切线的斜率.由此得 b ? a ln 又 a>0,利用导数确定函数 b ? a ln 当 a=2 时 b 取得最小值.

a ?a , 2

a ? a 在 ?0,2? 上单调递减,在 ?2,?? ? 上单调递增,所以 2

【数学文卷·2015 届河北省唐山一中高三上学期期中考试(201411) 】22. (本小题满分 12 . 分) ?x ? D, 有f ( x) ? F ( x) ? g ( x) , 则称 F ( x) 为 f ( x) 与 g ( x) 在 D 上的一个 “分界函数” 如

?x ? ? 0,1? ,1 ? x ? (1 ? x)e ?2 x ?

1 成立 1? x







y ? (1 ? x )e ?2 x 是y ? 1 ? x和y ?
(1)求证: y ? cos x 是 y ? 1 ? (2)若 f ( x) ?

1 在 ? 0,1? 上的 一个“分界函数” 。 1? x

1 2 1 x 和 y ? 1 ? x 2 在 ?0,1? 上的一个“分界函数” ; 2 4

x3 ? ax ? 1 和 g ( x) ? (1 ? x)e ?2 x ? 2 x cos x 在 ? 0,1? 上一定存在一个“分界 2

函数” ,试确定实数 a 的取值范围。 【知识点】导数的应用 B12 【答案】 【解析】(1)略;(2) a ? ?3 . 解析:(1)记 h( x) ? cos x ? 1 ?

1 2 x , x ? [0,1] 2

则 h ' ( x) ? ? sin x ? x ,记 G ( x) ? ? sin x ? x , G ' ( x) ? ? cos x ? 1 ? 0 ∴ G ( x) 在 [0,1] 上是增函数,则 G ( x) ? G (0) ? 0 ,∴ h( x) 在 [0,1] 上是增函数

h( x) ? h(0) ? 0 ,∴ x ? [0,1] 时, 1 ?
记 ? ( x) ? 1 ? 则 ? ( x) ? ?
'

1 2 x ? cos x . 2

1 2 x ? cos x , x ? [0,1] 4

x x 1 ? sin x ,记 H ( x) ? ? ? sin x , H ' ( x) ? ? ? cos x ? 0 2 2 2

∴ H ( x) 在 [0,1] 上是增函数,则 H ( x) ? H (0) ? 0 , ? ( x) 在 [0,1] 上是增函数

1 ? ( x) ? ? (0) ? 0 ,∴ x ? [0,1] 时, cos x ? 1 ? x 2 4
综上所述, x ? [0,1] 时, 1 ?

1 2 1 x ? cos x ? 1 ? x 2 .??????6 分 2 4

(2)要使 f ( x) , g ( x) 间一定存在“分界函数” ,则 x ? [0,1] 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立. 由已知, (1 ? x) ? e ?2 x ? 1 ? x, cos x ? 1 ?

1 2 x 4

g ( x) ? f ( x) ? (1 ? x)e ? 2 x ? 2 x cos x ? (

x3 ? ax ? 1) 2

1 2 x3 ? 1 ? x ? 2 x(1 ? x ) ? ( ? ax ? 1) ? ?(a ? 3) x 4 2
∴ a ? ?3 时, f ( x) ? g ( x) 在 [0,1] 上恒成立. 下证 a ? ?3 时, f ( x) ? g ( x) 在 [0,1] 上不恒成立. 由已知 (1 ? x) ? e
?2 x

?

1 1 , cos x ? 1 ? x 2 1? x 2

33 xx g ( x) ? f ( x) ? (1 xx cos xx ?? ( ( ?? cos (1? ?x x))e e ??22 cos axx?? 11) ) 22 1 1 2 x3 1 2 1 x3 ? ? 2 x( 1 ? x? )2? ( ? ?x ax) ? ? x(1 ?1 () ? cos x ? 1) 1? x 2x 22 1? 2 2 3 x x ? ? ? (a ? 3) x 1? x 2 x 2x ? [ x2 ? ? 2(a ? 3)] 2 1? x x ? [ x 2 ? 2 x ? 2(a ? 3)] 2 ?? 22 xx

记 ? ( x) ? x 2 ? 2 x ? 2(a ? 3) 必存在 x0 ? (0,1) 使 ? ( x0 ) ? 0 ∴必存在 x0 ? (0,1) 使 g ( x0 ) ? f ( x0 ) ,则 a ? ?3 时, f ( x) ? g ( x) 在 [0,1] 上不恒成立. 综上, a ? ?3 . 【 思 路 点 拨 】 根 据 题 意 即 证 1? ???????12 分

x2 x2 在 [0,1] 上 恒 成 立 , 令 ? cos x ? 1 ? 2 4

h( x) ? cos x ? 1 ?

1 2 1 x , ? ( x) ? 1 ? x 2 ? cos x ,只需证明 h( x) ? 0 , ? ( x) ? 0 在 [0,1] 上 2 4

恒成立,因为 h ' ( x) ? ? sin x ? x 在 [0,1] 上恒大于等于零,所以 h( x) 在 [0,1] 上是增函数, 故

h( x) ? h(0) ? 0

, 因 为 ? ( x) ? ?
'

x x ? sin x , 记 H ( x) ? ? ? sin x , 2 2

1 H ' ( x) ? ? ? cos x ? 0 ∴ H ( x) 在 [0,1] 上是增函数,则 H ( x) ? H (0) ? 0 ,? ( x) 在 [0,1] 2
g ( x) 间一定存在 上是增函数 ? ( x) ? ? (0) ? 0 , 故证得; 要使 f ( x) , “分界函数” , 则 x ? [0,1]
时, f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 g ( x) ? f ( x) ? (1 ? x)e ? 2 x ? 2 x cos x ? (

x3 ? ax ? 1) ,因为 2
所 以

(1 ? x) ? e ?2 x ? 1 ? x,

cos x ? 1 ?

1 2 x 4



1 x3 g ? x ? ? f ? x ? ? 1 ? x ? 2x (1 ? x2 ) ? ( ? ax ? 1) ? ? a( ? 4 2

, x 3)

∴ a ? ?3 时, f ( x) ? g ( x) 在 [0,1] 上恒成立,在证得 a ? ?3 时, f ( x) ? g ( x) 在 [0,1] 上不 恒成立,即可.

【数学文卷·2015 届河北省唐山一中高三上学期期中考试(201411) 】21.(本小题满分 12

分)己知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? 3 x (1)若 x ? ?

1 是 f ( x) 的极值点,求 f ( x) 在 [1, a ] 上的最大值; 3

(2)在(1)的条件下,是否存在实数 b,使得函数 g ( x) ? bx 的图象与函数 f ( x) 的图象 恰有 3 个交点,若存在,请求出实数 b 的取值范围;若不存在,试说明理由. 【知识点】导数的应用 B12 【答案】 【解析】(1)-6;(2) b ? ?7 且 b ? ?3 . 解析: (1) f ' (? ) ? 0 ,即

1 3

1 2 ? a ? 3 ? 0,? a ? 4,? f ( x) ? x 3 ? 4 x 2 ? 3 x 令 3 3

1 f '( x) ? 3 x 2 ? 8 x ? 3 ? 0 ? x1 ? ? , x2 ? 3 ,则 3
x 1 (1,3) _ -6 3 0 -18 (3,4) + -12 4

f '( x)
f ( x)

? f ( x) 在[1,4]上最大值 f (1) ? ?6 ????????????6 分
(2)函数 g ( x) ? bx 的图象与 f ( x) 图象恰有 3 个交点,即 x 3 ? 4 x 2 ? 3 x ? bx 恰有 3 个不 等实根,

? x 3 ? 4 x 2 ? 3 x ? bx ? 0 ,其中 x ? 0 是其中一个根 ? x 2 ? 4 x ? 3 ? b ? 0 ,有两个不等零的不等实根.


? ? 16 ? 4(3 ? b) ? 0, ? b ? ?7 且 b ? ?3 ??????????? 12 分 ?3 ? b ? 0

【思路点拨】 (1)根据 x ? ?

1 1 是 f ( x) 的极值点,可得 f ' (? ) ? 0 ,求得 a ? 4 ,由导函 3 3

数可得函数在区间 ?1,3? 上单调减,在 ? 3, 4 ? 上单调增,且 f ?1? ? f ? 4? ,所以最大值为

f ?1? ? ?6 ; ( 2 ) 根 据 题 意 可 得 x 3 ? 4 x 2 ? 3 x ? bx 恰 有 3 个 不 等 实 根 , 等 价 于
x 2 ? 4 x ? 3 ? b ? 0 ,有两个不等零的不等实根,进行求解.

16. 函数 f ( x) ? sin x 2015 届河北省唐山一中高三上学期期中考试 【数学文卷· (201411) 】

( x ? 0) 的图象与过原点的直线有且只有三个交点 , 设交点中横坐标的最大值为 ? , 则

(1 ? ? 2 ) sin 2?

?

=

___

.

【知识点】导数的应用 三角恒等变换 B12 C7

f x) ? sinx (x ? 0) 【答案】 【解析】2 解析:函数 ( 与直线有且只有三个交点,
? sin? ),? ? (? , ) , 令切点为 A(?,
在 ?? ,

3? 2

? ?

3? ? ' x) ? ?cosx , ? 上, f ( 2 ?
sin?

所以 ?cosx ? ?

?
?

,即 ? ? tan?,



(1 ? ? 2 ) sin 2?

?

(1 ? tan 2? ) sin 2? sin 2? ? ? 2 ,故答案为 2. tan? sin ? cos ?
3? 2

? sin? ),? ? (? , ) , 【思路点拨】 先根据题意画图, 然后令切点为 A(?, 在 ?? ,

? ?

3? 2

? ? 上, ?

根据切线的斜率等于切点处的导数建立等式关系,即可求出 ? ? tan?, ,代入所求化简即可 求出所求.

【数学文卷·2015 届河北省唐山一中高三上学期期中考试(201411) 】12. 设点 P 在曲线

y?

1 x e 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 PQ 最小值为( 2
B. 2(1 ? ln 2) C. 1 ? ln 2



A. 1 ? ln 2

D. 2(1 ? ln 2)

【知识点】反函数 导数的应用 B12 【答案】 【解析】B 解析:函数 y ?

1 x e 与函数 y ? ln(2 x) 互为反函数,图象关于 y ? x 对 2
,设函数



1 x e ?x 1 x 1 x y ? x 函 数 y ? e 上 的 点 P ( x, e ) 到 直 线 的距离为 2 d? 2 2 2
min

1 1 g ( x ) ? e x ? x ? g ? (x )? e x ? 1 ?g x ( m)i n ? ? 1 ln ? 2d 2 2
y ? x 对称得: PQ 最小值为 2d ? 2(1 ? ln 2) . min
【思路点拨】根据函数 y ?

?

1? l n 2 , 由图象关于 2

1 x e 与函数 y ? ln(2 x) 互为反函数,图象关于 y ? x 对称,要求 2

1 PQ 最小值,即求 y ? e x 到直线 y ? x 的最小距离的 2 倍. 2

B13 定积分与微积分基本定理
【数学理卷·2015 届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考(201412)word 版】4.设 f(x)= ?

1gx, x.0 ? ? ,若 f(f(1) )=l,则 a 的值是 a 2 x ? 3 t dt , x ? 0 ? ? ?0
C.1 D.-2

A.-1 B.2 【知识点】定积分与微积分基本定理 B13 【答案】B

【解析】由题意可得,f(1)=lg1=0,∴f(f(1))=f(0)= 即 a=2.

?

a 0

3t2dt=t3=t3

a 0

=a3,∴a3=8

【思路点拨】由题意可得,f(1)=lg1=0,则 f(f(1))=f(0)= 代入可求 a 的值.

?

a 0

3t2dt=t3=t3

a 0

=a3,

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】11. 【知识点】定积分.B13 【答案】【解析】 e ?

? (e
0

1

x

? x)dx 等于

1 1 1 2 1 1 1 x x 解析: ? (e ? x)dx ? e ? x |0 ? e ? ,故答案为 e ? 0 2 2 2 2

【思路点拨】根据定积分的定义计算即可。

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】11. 【知识点】定积分.B13 【答案】【解析】 e ?

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0

1

x

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1 1 1 2 1 1 1 x x 解析: ? (e ? x)dx ? e ? x |0 ? e ? ,故答案为 e ? 0 2 2 2 2

【思路点拨】根据定积分的定义计算即可。

?? ? 【数学理卷· 2015 届湖北省八校高三第一次联考 (201412) 】 3. 设 a ? ? 2? 2 cos ? x ? ?dx , ? 4? ? 2
则二项式 项的系数是 A. ?192 C. ?6 【知识点】定积分 展开式中含

?

B.193 D.7 二项式定理 B13 J3

【答案】 【解析】A
?

解析:由于
? ? ?
2 ?

?? ? a ? ? 2? 2 cos ? x ? ?dx ? ? 2? ? cos x ? sin x ?dx ? ? 2? cos xdx ? sin x ? ? ? 4? ? 2 2 2
则 含

?
2

?2

1 5 项的系数为 C 6 2 (?1) ? ?192 ,故选择 A.

【思路点拨】根据定积分的运算求出 a 的值,再找出二项式中的特定项. 【数学理卷·2015届河北省唐山一中高三上学期期中考试(201411) 】12.已知 a ? b ,若函 数 f ? x ? , g ? x ? 满足

? f ? x ? dx ?? g ? x ? dx ,则称 f ? x ? , g ? x ? 为区间 ? a, b? 上的一组“等
b b a a

积分”函数,给出四组函数: ① f ? x? ? 2 x , g ? x ? ? x ?1; ③ f ? x? ? 1? x , g ? x? ?
2

② f ? x ? ? sin x, g ? x ? ? cos x ;

3 2 ?x ; 4

④函数 f ? x ? , g ? x ? 分别是定义在 ? ?1,1? 上的奇函数且积分值存在. 其中为区间 ? ?1,1? 上的“等积分”函数的组数是( A.1 B.2 C.3 D.4 )

【知识点】定积分 B13 【 答 案 】【 解 析 】 C 解 析 : 对 于 ①
1 1

?

1

?1

2 x dx ? ?

? ?2x ?dx ? ?0 2xdx ? 2 ?1

0

1

,而

1 2 ??1 ? x ? 1?dx ? 2 x ? x ?1 ? 2 , 所 以 ① 是 一 组 “ 等 积 分 ” 函 数 ; 对 于 ② ,

? ?sin x ?dx ? ? cos x
?1

1

1 ?1

? 0 而 ? ? cos x ?dx ? sin x ?1 ? 2sin1 ? 0 ,所以②不是一组“等积
1 ?1

1

分”函数;对于③,由于函数f(x)的图象是以原点为圆心,1为半径的半圆,故积分为半圆
1 ?3 ? 1 ? ? 的面积 ,而 ? ? ? x 2 ?dx ? ? x3 ? ,所以③是一组“等积分”函数;对于④,由于 ?1 4 2 4 2 ? ? ?1 1

函数f(x) ,g(x)分别是定义在[-1,1]上的奇函数且积分值存在,利用奇函数的图象关于 原点对称和定积分的几何意义,可以求得函数的定积分都为零,所以④是一组“等积分”函数 ,故选择C. 【思路点拨】利用“等积分”函数的定义,对给出四组函数求解,即可得出区间[-1,1]上的“ 等积分”函数的组数

【数学理卷·2015 届江西省五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余

四中)高三上学期第二次联考(201412)word 版】4. ? (3x 2 ? sin x)dx 等于(
?1

1



A.0

B. 2sin1

C. 2cos1

D.2

【知识点】定积分与微积分基本定理. B13 【答案】 【解析】D 解析: ? (3x 2 ? sin x)dx = ( x3 ? cos x) |1 ?1 ? 2 ,故选 D.
?1 1

【思路点拨】根据微积分基本定理求得结论.

B14 单元综合
【数学理卷· 2015 届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考 (201412) word 版】 18. (本 小题满分 12 分) 已知定理:“若 a,b 为常数,g(x)满足 g(a+x)+g(a-x)=2b,则函数 y=g(x)的 图象关于点(a,b)中心对称”.设函数 f(x)=

x ?1? a ,定义域为 A. a?x

(1)写出 y=f(x)的图象的对称中心,并用以上定理证明; (2)当 x ? [a-2,a-l]时,求 f(x)的值域; (3)对于给定的 x1 ? A,设计构造过程:x2=f(x1) ,x3=f(x2) ,…,xn+1=f(xn) .如果 x1 ? A(i=2,3,4,…) ,构造过程将继续下去;如果 xi ? A,构造过程将停止.若对任 意 xi ? A,构造过程可以无限进行下去,求 a 的值. 【知识点】单元综合 B14 【答案】 (1)(a,-1)成中心对称(2)[-

1 , 0] (3)a=-1 2

【解析】 (1)f(x)=-1+

1 1 1 ,∴f(a+x)+f(a-x)=-1+ -1+ =-2 a?x a ? (a ? x) a ? (a ? x)

由已知定理知 y=f(x)的图象关于点(a,-1)成中心对称;

x ?1? a 1 =-1+ 知 f(x) 在 (- ∞ , a) , (a , +∞) 上 为 减 函 数 , a?x a?x 1 ∴当 x ∈ [a-2 , a-1] 时 , f(x) 的 值 域 为 [- , 0] 2 x ?1? a (3)∵对任意 x1∈A,构造过程都可以无限进行下去,∴f(x)= ≠a 对 任 意 x ∈ A a?x
(2)由 f(x)= 恒成立 ∴方 程

x ?1? a =a 无 解 即方程(a+1)x=a2+a+1 无解,或有唯一解 x=a, a?x

∴?

a ?1 ? 0 ? a ?1 ? 0 ? 或 由此得 a=-1 ? 2 2 ?a ? a ? 1 ? 0 ?a ? a ? 1 ? a(a ? 1)

【思路点拨】 (1)根据中心对称的定义和性质证明 y=f(x)的图象关于点(a,-1)成中心 对称; (2)根据函数的单调性写出 f(x)的单调区间,利用函数单调性求函数 f(x)的值域; (3)根据设计过程,进行推理即可.

2015 届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试 【数学理卷· (201411) 】 22.(本小题满分 14 分) 已知函数 (Ⅰ)求 的值; 在 内 有两个不等实根,求 ); 图象与 轴交于 . , 的取值范围 图象上一点 P (2, f (2)) 处的切线方程为

(Ⅱ)若方程

(其中 为自然对数的底, (Ⅲ)令 ,如果 ,求证:

AB 中点为

【知识点】导数应用,函数综合 B12 B14

1 (Ⅱ) 1 ? m ? 2 ? 【答案】【解析】(Ⅰ) a=2,b=
解析: (Ⅰ) ∴ (Ⅱ) 则 在 当 x∈ 内,当 x∈ 时, ,且 ,令 ,令 时, , , .

1 (Ⅲ)略 e2


1 .????? 3 分 解得 a=2,b=


( 1 x=- 1舍去) ,得 x= .
,∴h(x)是增函数;

,∴h(x)是减函数.

则方程



内有两个不等实根的充要条件是

即1 ? m ? 2 ?

1 . e2

????????8 分

2 ' (Ⅲ) g ? x ? ? 2 ln x ? x ? nx, g ? x ? ?

2 ? 2x ? n x

?2 ln x1 ? x12 ? nx1 ? 0 ① ? 2 ?2 ln x2 ? x2 ? nx2 ? 0 ② ? 假设结论不成立,则有 ? x1 ? x2 ? 2 x0 ③ ? ? 2 ? 2x ? n ? 0 ④ 0 ? ? x0

x1 x x2 ①-②,得 2 ln 1 ? ? x12 ? x2 2 ? ? n ? x1 ? x2 ? ? 0 ? n ? 2 ? 2 x0 x2 x1 ? x2 ln
由④得 ,∴ .即 .即 .⑤





(0<t<1),则 ,

>0.

∴ 在 0<t<1 上增函数. ∴⑤式不成立,与假设矛盾. ∴ .????????14 分 【思路点拨】 (Ⅰ)由条件直接求解即可. (Ⅱ) 可求函数 ,令

, 的单调性, 从而列出方程 在 内有两

个 不等实根 的充要条 件, 求解即可 . (Ⅲ) 利用 反证法假 设结论不 成立 ,则有

?2 ln x1 ? x12 ? nx1 ? 0 ① ? 2 ?2 ln x2 ? x2 ? nx2 ? 0 ② ? ? x1 ? x2 ? 2 x0 ③ ? ? 2 ? 2x ? n ? 0 ④ 0 ? ? x0
令 ∴ ,





(0<t<1),则 , .

>0.

在 0<t<1 上增函数.

∴⑤式不成立,与假设矛盾.∴


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