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一道课本例题探究的心路历程


霉I   J 中 小 学 数予. 亩 中 版  
一  

解 题 研 究  
—  

2 0 0 9 年 第5 期  
|   l ≯_   0 



道课本例题探究 的心路历程 
浙 江 省 绍 兴市 第 一 中 学 分校 ( 3 1 2 0 7 5 )   屠丰庆 孙 彬  ( 2 )为 后 续 学 习 椭 圆 的 
,‘  

读书要在“ 薄 一 厚 一 薄 ”的螺旋上升过 程 中完  成. 在例题的学 习过程 中, 我们 不能就题论题 , 要善 于  适度 引申, 以问题 为轴心 , 问是什么 、 有 什么 , 能 不 能  更好 等. 本文是笔者对课本例题进行研 究性学 习的心  路 历程 : 小结 、 发现 、 探索 、 质疑.   人教 A版 实验教材 ( 选修  2—1 ) P 4 1 例2 : 如图 1 , 在 圆x   Y  =4上任取一点 P, 过 P点  作 X轴 的 垂线 段 P D, D 为垂  足. 当点 P在 圆 上 运 动 时 , 线 
段P D 的 中 点  的 轨 迹 是 什  么? 为什 么 ?  
1 . 小 结 
L  

三角代换{   ?   , ( 参数  
Y   b s i nO  

方程)及角 0的几何意义找到  了几何原形 ( 如图2 ) , 即 0不  是椭圆 上点 与原 点 连线 的倾  斜角, 而 是 压缩 前 ( 或拉伸后 )  
相 应 点 与原 点 连 线 的倾 斜 角 .   3 . 探 究 
图2  

j  



 .  .



 



 

图 1  

按 照 以前 解 决 未 知 问 题 可 以 通 过 已 知 知 识 间接  解 决 的思 想 ( 化 归 )方 法 , 思 考 能 不 能 将 椭 圆 的 问题   圆化 或者将 圆的结论椭圆化.探究 明白了两者可以通 
f x   .   ,   ,  

从结论的角度 : 明确了椭圆可以看作是将 圆按照  某个方向均匀压缩 ( 或拉 伸)得到 , 从而将新知识 ( 椭  圆)与熟悉 的知识( 圆)密切 的联 系起来.   从方法 的角 度 : 在分析 了 已知 与未知 、 条 件与 目   标、 主动 ( 点 P)与被 动( 点  ) 后, 告诉我们求动点轨  迹方程的一种重要方法 : 转 移法 ( 或代入 法 ) . 基 本步  骤: 1 )建系设 点 ; 2 )寻找 被动 点 与从 动点 的坐标 关  系; 3 )将坐标关系式代人 已知方程化简 、 证 明即可.   从 知识 和 能 力 的 角 度 : 除 了 回顾 轨 迹 问 题 、 椭 圆  的方程以及学习椭 圆与 圆的关 系外 , 例题学 习还要做  到举~反三 , 应由此及类 , 由例题到模式 , 这是 培养我  们解题能力 、 抽象概括能力的重要手段.   笔者以为经 常小结 、 反 思对学 习很有帮 助 , 而不  是一味地通过补充大量 的练习来提高考试分数.  
2 . 发现  

过 压 缩 变 换  : {   b, 使 椭 圆  + 告: 1 二圆  
【  一 n   Y’   “   “  

从而加 以解决. 笔者尝试 了如下两个例  题, 效 果很 好 !  




+Y“ = a  

例 1   设 直线 Y = k x一1和 椭 圆  +  

=1 有 
 

且仅有一个公共点 , 则 m的取值范 围为
r   =  ,  







解 : 令 {   【 y  

丁 y,  

, 则 椭 圆 化 为  + Y “= 4 . ①  

直线化为 2 k x  一  m ) ,   一2=0 .   ②  要使直线和椭圆有且仅有一个公共点 , 则需 ① 的  圆心到直线 ② 的距离 d=— 三  =2 , 即4 七  +  
、 /( 2 k)   +i n  

由于例题揭示 了椭圆可 通过 圆等 比例压缩 或拉  伸得到这一内在联 系 , 笔者发现 :   ( 1 )椭 圆与 圆两 者 的图象 、 方程、 性 质等得 到 了 
圆  
y ▲  

m =1 , 故 0 <m ≤ 1 .   例2   AA B C 的 两 个 顶 点 A, B 的 坐 标 分 别 是 

( 一6 , 0 ) , ( 6 , 0 ) , 边A C、 B C所在直线的斜率之积等于 


÷, 求顶点C 的 轨迹方程.  
y 

椭圆 

关 系 

解: 联 想圆 的性 质 : 圆上 一点与 其任一直径 两端  连线 的斜率之积 k , k  :一1 , 通过 变换  将 圆的结论 
“ 椭圆化 ”很容易证 得 : 椭 圆上 的点与短 轴顶点 连线 
L2  

网 象   _ . ( 进 
方程  
范围  一 r ≤   ≤r . 一 r ≤v ≤r  

压 缩 或 拉 长  
0 -   ‘   特殊 情形  — n ≤   ≤d , 一 b ≤y ≤6   a = O - T  

+ 善: 1  

a = b : r 的  

的斜率之积 k 1 k 2=一   ( o>b>0 ) , 则题中顶点 C的 
a 
. .

2  





2 

对称性  过 0点 的直线 . 原点对 称  礴自 , y轴 , 原 点对称  一 样 
顶 点  离心率  ( : k a , 0 ) , ( 0 , ± 0 )   e = O   ( ± Ⅱ , 0 ) , ( 0 , 土 6 )   O < e < I   a = b   极端情形 

轨迹为椭 圆, 其方程为 

l (   ≠0 ) ?  

这样 的例习题很多 , 读者不妨练习 :  



42 一  

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解 题 研 究 

中 小 学 数学. 高 中 版 I - ■  
( 其 中  = r ,   =  ) , 这 样 会 更 容 易 理 解 后 越 小 , 椭 圆  
压得越扁 , 离心率 e 越大 , 特别地 当k=1 时, 圆没有压  缩, 离心率 e=0 ;   ( 4 )将此作 为引 例可 以突 出转 移法 这 一求 轨迹  方法的重要性 , 正如 等 比数列 求 和公 式 推导 过 程那  样, 既得 到公 式还 可以突出裂项相 消这一数 列求 和的 
方法.   有老师 的解释 : 可能 与后续 学 习的双 曲线 、 抛物  线有关 , 让它们 彼此 在定 义 、 方法、 性 质上 统一 起来.  

( 1 ) ( 1 9 8 9 年全国高考( 文) 压轴题) 给定椭圆与 
2  



鲁 = 1 , 求与这个椭圆有公共焦点的 双曲 线, 使得以   D  

它们的交点 为顶 点的四边 形面积最 大 , 并 求相应 四边  形 的顶点坐标.   ( 2 ) 类 比在 圆  + y 2:r   上任意一点的切线斜率 
o X


Y证 明 在 椭 圆  + 鲁= 1 上 任 意 一 点 的 切 线 斜 率  


o  

n 

扫  

为 一  

, 并求相应 的切线 方程.  

Ⅱ   Y o  

通过发现 和探索 , 运用类 比进 行合情 推理 , 能培  养我们思维的广阔性 和深 刻性 , 从 而 在提 出 问题 、 分  析问题和解决问题的过程 中享受成功的喜悦.  
4 . 质疑  

但笔者 以为教材逻辑上这样 安排 , 即 圆 一 椭 圆 一 椭  圆性质 ( 将 椭 圆的第一定义和第二 定义作为主要性 质  来解决 ) 一 从两个性质 ( 定义)的疑 问引 出双 曲线 一  是 不是会更 好?   道简单的例题 , 通 过小结 、 发现 、 探究 和质疑等  过程 , 合理地深化 了难 度 , 从而训 练 了 自己的思 维 , 深 
… …





既然椭 圆与圆有这么密切的关 系 , 那 么教 材为何  不以该 例题为定义出发来研究椭 圆呢? 至少这样 可 以  带给我们以下好处 :   ( 1 )符合知识形成的逻辑 顺序 , 从熟 知 的圆出发  步步深入研 究椭圆 , 从 而更 符合我 们 的认 知结 构 , 便 
于接受 ;   ( 2 )可 以避开椭 圆方程 繁琐的化 简过程 , 从 而也  可以适当减少学生开始学习圆锥曲线的畏难情绪 ;  

化了认识 , 优化 了知识 结构 , 更关 键 的是让 我们 感受  到了学习数学 的乐趣.  
参考文献 :  

1   郑毓 信. 数 学方 法论 [ M] , 南宁 : 广 西教 育出  
版社 , 2 o 0 5, 6 .  

2   屠 丰庆. 新课 标 下如 何挖掘 课本 例题 的教 学  功能 [ J ] . 数学教学研究 , 2 0 0 6 , 3 .  

( 3 ) 对于 离 心率。: 三 :  

二  

: ̄ / /  

啄 ( 上接第 3 8页 )  
2 . 实 践 检 验  例  如图 5 , 已知 四棱锥  P—A B C D的 底 面 为 直 角 梯 形 ,  

设平 面 A C M 的法 向量 为 , l l= (  。 , Y   ,   。 ) , 平 面  B C M 的 法 向量 为 , l  = (  2 , Y 2 ,   : ) , 可得  

f   J l   .   : 0 ,『   ,  y   0 ,  

A B   f f   D C. / _ _ D A B=9 0 o. P A   L   底面A B C D, 且  =A D =DC  
1  


i  
图5  

: o   j 1   y 。 +   : o ;   蔚: o   1 一  +   : o .  

i 『   , l : . 赢: 0 ,f   z — Y 2   ,  

{ B:l , M是 P 曰的中点.  
二 

求二面角 A—MC—B的大小.  

解: 如图 5 , 以A D为 轴 , A B为 Y 轴, 』 4 P为 轴 , 建  立 空 间 直 角 坐 标 系 A —x y z .  
1  

由上述分析 可知 , 法 向量 , l 。 在 Y轴上 的投 影 为  负, 故取 Y l=一1 , 得 l=1 , = l=2 ,  
n l= ( 1 ,一1 , 2 ) ;   又 由法 向量 , l  在 z 轴上的投影为负 , 取Z 2=一2 ,  
’ . .

易 得c ( 1 , l , 0 ) , P ( O , 0 , 1 ) , B ( O , 2 , 0 ) , M ( O , 1 , ÷) ,  
、   二 

所 以   =( 1 , 1 , 0 ) ,   :f 0 , 1 , ÷) , 赢:  
、   二 ,  
— —  ,  



、  

可得 Y 2=一1 ,   2=一1 ,   J l 2=( 一1 , 一1 , 一2 ) .   则n   , J l : 所夹的角即为二面角 A—MC—B的大小 ,  
.  .

( 1 , 一l , o ) , B M =( 0 , 一l , ÷) .  
、   二 ,  

由以上所述两步操作方法 , 首先 作一条有 向曲线  m从平面 B C M 穿入 , 再从平 面 A C M穿出 , 沿有 向曲线 
m的方向 , 取平面 A C M 的法 向量 为 , l , , 取平面 B C M 的  法 向量为 , l   , 如图5 所示. 易判断 , 法 向量 , l  在 Y 轴 上  的投影为负 ( 或在 轴上 的投影为 正) , 法 向量 n : 在 

设 为 棚l J c o s   =  
?

= 一 号 .  





二面角 A—MC—   的大小为  一a r c c 。 s   .  

参考文献 :  

1   周强 , 李明鸿. 利用 法向量求二 面角的 一个难 


轴上 的投影为负.  

最[ J ] . 中小学数 学( 高 中版) , 2 0 0 9 ( 3 ) : 4 4 .  
43 - .  

.-


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