高考数学大一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 6.2 一元二次不等式及其解法课件 文

第六章
不等式、推理与证明

第二节

一元二次不等式及其解法

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1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型． 2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函 数、一元二次方程的联系． 3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式， 会设计求解的程序框图.

请注意
一元二次不等式是高考热点，以选择题、填空题为主， 在解答题中则作为一个数学工具来解决其他问题．难度中 等．主要考查形式有： 1．以考查一元二次不等式的解法为主，兼顾二次方程 及二次函数的图象与性质等． 2．以集合为载体，考查一元二次不等式的解法与集合 的运算． 3．以函数、数列、解析几何为载体，以一元二次不等 式的解法为手段，考查求参数的范围问题．

突破考点01 高考真题演练 突破考点02 课时作业 突破考点03

突破考点 01
不含参数的一元二次不等式的解法
（基础送分型——自主练透）

一元二次不等式的解法 判别式 Δ＝b －4ac 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
2

Δ>0

Δ＝0

Δ<0

判别式 Δ＝b －4ac 一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0 (a>0)的根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
2 2

Δ>0

Δ＝0 有两相等实根 b x1＝x2＝－2a ________

Δ<0

有两相异实根 x1，x2(x1<x2) ________ ________ ________ ________

没有实数 根

R

________

________

b {x|x<x1 或 x>x2} {x|x≠－2a} {x|x1<x<x2} ? ?

【调研 1】 (1)(2015· 重庆卷)函数 f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定 义域是( ) B．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

A．[－3,1] C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)

【解析】 由题意可知，x2＋2x－3>0，解得 x<－3 或 x>1. 【答案】 D

(2)(2015· 广 东 卷 ) 不 等 式 － x2 － 3x ＋ 4>0 的 解 集 为 ________．(用区间表示)
【解析】 由－x2－3x＋4>0 可得，x2＋3x－4<0，即(x＋

4)(x－1)<0， 得－4<x<1， 所以不等式－x2－3x＋4>0 的解集为(－ 4,1)．

【答案】 (－4,1)

x－1 (3)(2012· 重庆卷)不等式 ≤0 的解集为( 2x＋1
? 1 ? A.?－2，1? ? ? ? 1 ? B.?－2，1? ? ? ? 1? C.?－∞，－2?∪[1，＋∞) ? ? ? 1? D.?－∞，－2?∪[1，＋∞) ? ?

)

【解析】

x－1 不等式 ≤0 2x＋1 1 ?－2<x≤1，

? ??x－1??2x＋1?≤0 ?? ? ?2x＋1≠0，

? 1 ? ∴不等式的解集为?－2，1?. ? ?

【答案】 A

1.解一元二次不等式的一般步骤 (1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于 0，另一 端为 0， 即化为 ax2＋bx＋c>0(a>0)或 ax2＋bx＋c<0(a>0)的形式； (2)计算相应的判别式； (3)当 Δ≥0 时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．

2．分式不等式的解法 解分式不等式的关键是先将给定不等式移项，通分，整理 成一边为商式，另一边为 0 的形式，再通过等价转化化成整式 不等式(组)的形式进行求解．即： f?x? (1) >0(<0)?f(x)· g(x)>0(<0)； g?x? (2) f?x? g?x?≥0?≤0?，?g?x?≠0. ≥0(≤0)? f?x?· g?x?
? ? ? ? ?

突破考点 02
含参数的一元二次不等式
（重点得分型——师生共研）

【调研 2】 解关于 x 的不等式 ax2＋(a－1)x－1>0(a∈R)．

【解】

原不等式等价于(ax－1)(x＋1)>0.

①当 a＝0 时，由－(x＋1)>0，得 x<－1； ②当 a>0
? 1? 时，不等式化为?x－a?(x＋1)>0， ? ?

1 解得 x<－1 或 x> ； a

③当 a<0

? 1? 时，不等式化为?x－a?(x＋1)<0； ? ?

1 1 若 <－1，即－1<a<0，则 <x<－1； a a 1 若a＝－1，即 a＝－1，则不等式解集为空集； 1 1 若a>－1，即 a<－1，则－1<x<a. 1 综上所述，a<－1 时，解集为{x|－1<x<a}； a＝－1 时，原不等式无解；

1 －1<a<0 时，解集为{x|a<x<－1}； a＝0 时，解集为{x|x<－1}； 1 a>0 时，解集为{x|x<－1 或 x>a}．

解含参数的一元二次不等式的步骤： (1)二次项系数若含有参数应讨论是等于 0，小于 0，还是 大于 0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式； (2)判断方程的根的个数，讨论判别式 Δ 与 0 的关系； (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要 讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．

已知函数 f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)， 若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m，m＋6)，则实数 c 的值 为________．

解析：∵f(x)＝x2＋ax＋b 的值域为[0，＋∞)．∴Δ＝0， a2 1 2 ? 1 ?2 2 ∴b＝ 4 ，∴f(x)＝x ＋ax＋4a ＝?x＋2a? . ? ? 又∵f(x)<c 的解集为(m，m＋6)，

a2 ∴m，m＋6 是方程 x ＋ax＋ 4 －c＝0 的两根．
2

由一元二次方程根与系数的关系， 2m＋6＝－a ? ? 得? 解得 c＝9. a2 m?m＋6?＝ －c， ? 4 ?

答案：9

突破考点 03
一元二次不等式恒成立问题
（高频考点型——多维探究）

一元二次不等式恒成立的条件 (1)不等式 ax ＋bx＋c>0 对任意实数 x
? ?a>0 或? ? ?Δ<0.
2

? ?a＝b＝0 恒成立?? ? ?c>0，

(2)不等式 ax ＋bx＋c<0 对任意实数 x
? ?a<0 或? ? ?Δ<0.

2

? ?a＝b＝0 恒成立?? ? ?c<0，

一元二次不等式与其相应的函数与方程之间存在着密切 的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互 联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成 立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的 符号，进而求出参数的取值范围． 归纳起来常见的命题角度有： (1)形如f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围； (2)形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围； (3)形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围．

x∈R时，f(x)≥0确定参数的范围

【调研3】 (1)(2012· 福建卷)已知关于x的不等式x2－ ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．

【解析】

本题考查了不等式的恒成立问题，体现了等

价转化思想的应用，难度中等．由不等式x2－ax＋2a>0恒成立 可得Δ＝a2－4×2a＝a2－8a<0，解得0<a<8，即得实数a的取 值范围为(0,8)．
【答案】 (0,8)

(2)(2013· 重庆卷)设0≤α≤π，不等式8x2－(8sinα)x＋ cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为________．
【解析】 根据题意可得(8sinα)2－4×8cos2α≤0， 即2sin2α－cos2α≤0,2sin2α－(1－2sin2α)≤0， 1 1 即－ ≤sinα≤ .因为0≤α≤π， 2 2
? ? π? ?5π 故α∈?0，6?∪? 6 ，π?. ? ? ? ?

【答案】

? ? π? ?5π ?0， ?∪? ，π? 6? ? 6 ? ?

对于当x∈R时，f(x)＝ax2＋bx＋c≥0恒成
? ?a>0 立问题都应转化为? ? ?Δ≤0，

从而确定参数．

当x∈[a，b]，f(x)≥0恒成立，求参数

【调研4】 (1)(2014· 辽宁卷)当x∈[－2,1]时，不等式 ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( A．[－5，－3] C．[－6，－2] 9 B．[－6，－8] D．[－4，－3] )

?1? ?1? 1 1 3 2 ? ? ? ? 【解析】 令t＝ x .x∈(0,1]时，得a≥－3 x －4 x ＋ x ＝ ? ? ? ?

－3t3－4t2＋t，t∈[1，＋∞)，令g(t)＝－3t3－4t2＋t，t∈[1， ＋∞)，则g′(t)＝－9t2－8t＋1＝－(t＋1)(9t－1)，显然在t∈ [1，＋∞)上，g′(t)<0，所以最大值为g(1)＝－6，因此a≥－ 6；

?1? ? 1? 1 3 2 ? ? ? ? 同理如果x∈[－2,0)，得a≤－3 x －4 x ＋ x ＝－3t3－4t2＋t， ? ? ? ? ? 1? t∈ ?－∞，－2? ，g′(t)＝－9t2－8t＋1＝－(t＋1)(9t－1)，则当 ? ?

t＝－1时，g(t)取得最小值g(－1)＝－2，所以a≤－2，综上所 述，－6≤a≤－2，显然对x＝0也成立．
【答案】 C

(2)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋ 1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．

【解析】 由题可得f(x)<0对于x∈[m，m＋1]恒成立，
2 ? ?f?m?＝2m －1<0 即? 2 ? f ? m ＋ 1 ? ＝ 2 m ＋3m<0， ?

2 解得－ 2 <m<0.
【答案】
? ? ?－ ?

2 ? ? ，0? 2 ?

对于已知x∈[a，b]，f(x)≥0恒成立，求参 数，一般采用分离参数法，使问题转化为λ≥f(x)恒成立，从 而λ≥fmax(x)．

当m∈[a，b]，f(x)≥0恒成立，求x的范围

【调研5】 (2016· 武汉模拟)已知不等式mx2－2x－m＋ 1<0. (1)若对所有的实数x，不等式恒成立，求m的取值范 围； (2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x 的取值范围．

【解】 (1)不等式mx2－2x－m＋1<0恒成立． 即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方． 当m＝0时，1－2x<0， 1 即当x>2时，不等式恒成立，故m＝0时，不合题意； 当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，

? ?m<0 即? ? ?Δ＝4－4m?1－m?<0，

则 m 无解．

综上可知不存在这样的 m. (2)设 g(m)＝(x2－1)m＋(1－2x)， 则其为一个以 m 为自变量的一次函数，其图象是直线， 由题意知当－2≤m≤2 时，图象为在 x 轴下方的线段，
? ?g?－2?<0 ∴? ? ?g?2?<0，
2 ? ?－2x －2x＋3<0① 即? 2 ? ? 2x －2x－1<0，②

－1－ 7 － 1＋ 7 解①，得x< 或x> ， 2 2 1－ 3 1＋ 3 解②，得 2 <x< 2 . －1＋ 7 1＋ 3 ∴ <x< 2 . 2
? ? ? ?－1＋ ? ∴x的取值范围为 x? ? 2 ? ?

7

? 1＋ 3? . <x< 2 ? ? ?

对于此类问题，我们采用更换主元法， 即把函数看作是关于m∈[a，b]的函数问题，把x看作是参 数，从而应用前面的解题思路方法求解x的范围．