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高考数学大一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 6.2 一元二次不等式及其解法课件 文


第六章
不等式、推理与证明

第二节

一元二次不等式及其解法

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1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函 数、一元二次方程的联系. 3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式, 会设计求解的程序框图.

请注意
一元二次不等式是高考热点,以选择题、填空题为主, 在解答题中则作为一个数学工具来解决其他问题.难度中 等.主要考查形式有: 1.以考查一元二次不等式的解法为主,兼顾二次方程 及二次函数的图象与性质等. 2.以集合为载体,考查一元二次不等式的解法与集合 的运算. 3.以函数、数列、解析几何为载体,以一元二次不等 式的解法为手段,考查求参数的范围问题.

突破考点01 高考真题演练 突破考点02 课时作业 突破考点03

突破考点 01
不含参数的一元二次不等式的解法
(基础送分型——自主练透)

一元二次不等式的解法 判别式 Δ=b -4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象
2

Δ>0

Δ=0

Δ<0

判别式 Δ=b -4ac 一元二次方程 ax +bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
2 2

Δ>0

Δ=0 有两相等实根 b x1=x2=-2a ________

Δ<0

有两相异实根 x1,x2(x1<x2) ________ ________ ________ ________

没有实数 根

R

________

________

b {x|x<x1 或 x>x2} {x|x≠-2a} {x|x1<x<x2} ? ?

【调研 1】 (1)(2015· 重庆卷)函数 f(x)=log2(x2+2x-3)的定 义域是( ) B.(-3,1) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)

A.[-3,1] C.(-∞,-3]∪[1,+∞)

【解析】 由题意可知,x2+2x-3>0,解得 x<-3 或 x>1. 【答案】 D

(2)(2015· 广 东 卷 ) 不 等 式 - x2 - 3x + 4>0 的 解 集 为 ________.(用区间表示)
【解析】 由-x2-3x+4>0 可得,x2+3x-4<0,即(x+

4)(x-1)<0, 得-4<x<1, 所以不等式-x2-3x+4>0 的解集为(- 4,1).

【答案】 (-4,1)

x-1 (3)(2012· 重庆卷)不等式 ≤0 的解集为( 2x+1
? 1 ? A.?-2,1? ? ? ? 1 ? B.?-2,1? ? ? ? 1? C.?-∞,-2?∪[1,+∞) ? ? ? 1? D.?-∞,-2?∪[1,+∞) ? ?

)

【解析】

x-1 不等式 ≤0 2x+1 1 ?-2<x≤1,

? ??x-1??2x+1?≤0 ?? ? ?2x+1≠0,

? 1 ? ∴不等式的解集为?-2,1?. ? ?

【答案】 A

1.解一元二次不等式的一般步骤 (1)对不等式变形,使不等号一端二次项系数大于 0,另一 端为 0, 即化为 ax2+bx+c>0(a>0)或 ax2+bx+c<0(a>0)的形式; (2)计算相应的判别式; (3)当 Δ≥0 时,求出相应的一元二次方程的根; (4)根据对应的二次函数的图象,写出不等式的解集.

2.分式不等式的解法 解分式不等式的关键是先将给定不等式移项,通分,整理 成一边为商式,另一边为 0 的形式,再通过等价转化化成整式 不等式(组)的形式进行求解.即: f?x? (1) >0(<0)?f(x)· g(x)>0(<0); g?x? (2) f?x? g?x?≥0?≤0?,?g?x?≠0. ≥0(≤0)? f?x?· g?x?
? ? ? ? ?

突破考点 02
含参数的一元二次不等式
(重点得分型——师生共研)

【调研 2】 解关于 x 的不等式 ax2+(a-1)x-1>0(a∈R).

【解】

原不等式等价于(ax-1)(x+1)>0.

①当 a=0 时,由-(x+1)>0,得 x<-1; ②当 a>0
? 1? 时,不等式化为?x-a?(x+1)>0, ? ?

1 解得 x<-1 或 x> ; a

③当 a<0

? 1? 时,不等式化为?x-a?(x+1)<0; ? ?

1 1 若 <-1,即-1<a<0,则 <x<-1; a a 1 若a=-1,即 a=-1,则不等式解集为空集; 1 1 若a>-1,即 a<-1,则-1<x<a. 1 综上所述,a<-1 时,解集为{x|-1<x<a}; a=-1 时,原不等式无解;

1 -1<a<0 时,解集为{x|a<x<-1}; a=0 时,解集为{x|x<-1}; 1 a>0 时,解集为{x|x<-1 或 x>a}.

解含参数的一元二次不等式的步骤: (1)二次项系数若含有参数应讨论是等于 0,小于 0,还是 大于 0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式; (2)判断方程的根的个数,讨论判别式 Δ 与 0 的关系; (3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要 讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.

已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞), 若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值 为________.

解析:∵f(x)=x2+ax+b 的值域为[0,+∞).∴Δ=0, a2 1 2 ? 1 ?2 2 ∴b= 4 ,∴f(x)=x +ax+4a =?x+2a? . ? ? 又∵f(x)<c 的解集为(m,m+6),

a2 ∴m,m+6 是方程 x +ax+ 4 -c=0 的两根.
2

由一元二次方程根与系数的关系, 2m+6=-a ? ? 得? 解得 c=9. a2 m?m+6?= -c, ? 4 ?

答案:9

突破考点 03
一元二次不等式恒成立问题
(高频考点型——多维探究)

一元二次不等式恒成立的条件 (1)不等式 ax +bx+c>0 对任意实数 x
? ?a>0 或? ? ?Δ<0.
2

? ?a=b=0 恒成立?? ? ?c>0,

(2)不等式 ax +bx+c<0 对任意实数 x
? ?a<0 或? ? ?Δ<0.

2

? ?a=b=0 恒成立?? ? ?c<0,

一元二次不等式与其相应的函数与方程之间存在着密切 的联系.在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相互 联系,并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成 立问题,常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的 符号,进而求出参数的取值范围. 归纳起来常见的命题角度有: (1)形如f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围; (2)形如f(x)≥0(x∈[a,b])确定参数范围; (3)形如f(x)≥0(参数m∈[a,b])确定x的范围.

x∈R时,f(x)≥0确定参数的范围

【调研3】 (1)(2012· 福建卷)已知关于x的不等式x2- ax+2a>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是________.

【解析】

本题考查了不等式的恒成立问题,体现了等

价转化思想的应用,难度中等.由不等式x2-ax+2a>0恒成立 可得Δ=a2-4×2a=a2-8a<0,解得0<a<8,即得实数a的取 值范围为(0,8).
【答案】 (0,8)

(2)(2013· 重庆卷)设0≤α≤π,不等式8x2-(8sinα)x+ cos2α≥0对x∈R恒成立,则α的取值范围为________.
【解析】 根据题意可得(8sinα)2-4×8cos2α≤0, 即2sin2α-cos2α≤0,2sin2α-(1-2sin2α)≤0, 1 1 即- ≤sinα≤ .因为0≤α≤π, 2 2
? ? π? ?5π 故α∈?0,6?∪? 6 ,π?. ? ? ? ?

【答案】

? ? π? ?5π ?0, ?∪? ,π? 6? ? 6 ? ?

对于当x∈R时,f(x)=ax2+bx+c≥0恒成
? ?a>0 立问题都应转化为? ? ?Δ≤0,

从而确定参数.

当x∈[a,b],f(x)≥0恒成立,求参数

【调研4】 (1)(2014· 辽宁卷)当x∈[-2,1]时,不等式 ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是( A.[-5,-3] C.[-6,-2] 9 B.[-6,-8] D.[-4,-3] )

?1? ?1? 1 1 3 2 ? ? ? ? 【解析】 令t= x .x∈(0,1]时,得a≥-3 x -4 x + x = ? ? ? ?

-3t3-4t2+t,t∈[1,+∞),令g(t)=-3t3-4t2+t,t∈[1, +∞),则g′(t)=-9t2-8t+1=-(t+1)(9t-1),显然在t∈ [1,+∞)上,g′(t)<0,所以最大值为g(1)=-6,因此a≥- 6;

?1? ? 1? 1 3 2 ? ? ? ? 同理如果x∈[-2,0),得a≤-3 x -4 x + x =-3t3-4t2+t, ? ? ? ? ? 1? t∈ ?-∞,-2? ,g′(t)=-9t2-8t+1=-(t+1)(9t-1),则当 ? ?

t=-1时,g(t)取得最小值g(-1)=-2,所以a≤-2,综上所 述,-6≤a≤-2,显然对x=0也成立.
【答案】 C

(2)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+ 1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是________.

【解析】 由题可得f(x)<0对于x∈[m,m+1]恒成立,
2 ? ?f?m?=2m -1<0 即? 2 ? f ? m + 1 ? = 2 m +3m<0, ?

2 解得- 2 <m<0.
【答案】
? ? ?- ?

2 ? ? ,0? 2 ?

对于已知x∈[a,b],f(x)≥0恒成立,求参 数,一般采用分离参数法,使问题转化为λ≥f(x)恒成立,从 而λ≥fmax(x).

当m∈[a,b],f(x)≥0恒成立,求x的范围

【调研5】 (2016· 武汉模拟)已知不等式mx2-2x-m+ 1<0. (1)若对所有的实数x,不等式恒成立,求m的取值范 围; (2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立,求x 的取值范围.

【解】 (1)不等式mx2-2x-m+1<0恒成立. 即函数f(x)=mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下方. 当m=0时,1-2x<0, 1 即当x>2时,不等式恒成立,故m=0时,不合题意; 当m≠0时,函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数, 需满足开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解,

? ?m<0 即? ? ?Δ=4-4m?1-m?<0,

则 m 无解.

综上可知不存在这样的 m. (2)设 g(m)=(x2-1)m+(1-2x), 则其为一个以 m 为自变量的一次函数,其图象是直线, 由题意知当-2≤m≤2 时,图象为在 x 轴下方的线段,
? ?g?-2?<0 ∴? ? ?g?2?<0,
2 ? ?-2x -2x+3<0① 即? 2 ? ? 2x -2x-1<0,②

-1- 7 - 1+ 7 解①,得x< 或x> , 2 2 1- 3 1+ 3 解②,得 2 <x< 2 . -1+ 7 1+ 3 ∴ <x< 2 . 2
? ? ? ?-1+ ? ∴x的取值范围为 x? ? 2 ? ?

7

? 1+ 3? . <x< 2 ? ? ?

对于此类问题,我们采用更换主元法, 即把函数看作是关于m∈[a,b]的函数问题,把x看作是参 数,从而应用前面的解题思路方法求解x的范围.


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